flexão 2

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Resistência dos Materiais 
Flexão 
 
• Deformação por flexão em 
um elemento reto 
Nessa parte estudaremos somente 
vigas com área de seção transversal 
simétrica em relação a um eixo e a um 
momento fletor aplicado em torno de 
uma linha central perpendicular a esse 
eixo de simetria. 
 
 
Quando um momento fletor é aplicado, 
as linhas da grade tendem a se 
distorcer, de forma que as linhas 
longitudinais se tornam curvas e as 
linhas transversais verticais 
permanecem retas, porém sofrem 
uma rotação. 
O comportamento de qualquer barra 
deformável sujeito a um momento 
fletor provoca o alongamento do 
material na parte inferior e a 
compressão do material a porção 
superior da barra. Portanto entre essas 
duas regiões deve existir uma 
superfície, denominada, superfície 
neutra. 
 
Com base nessas informações 
adotaremos três premissas: 
↪ O eixo longitudinal x, que se 
encontra no interior da superfície 
neutra, não sofre qualquer mudança no 
comprimento. O momento tenderá a 
deformar a viga de modo que essa 
linha torna-se uma curva localizada no 
plano de simetria x-y. 
↪ Todas as seções transversais da 
viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal 
durante a deformação. 
↪ Qualquer deformação da seção 
transversal dentro do seu próprio 
plano, será desprezada. 
Isolaremos um segmento da viga 
localizado a distância x ao longo do 
comprimento da viga com espessura 
∆x antes da deformação 
 
 Após a deformação, observe que 
qualquer segmento de reta ∆x, 
localizado na superfície neutra, não 
muda de comprimento, ao passo que 
qualquer segmento de reta ∆s, 
localizado à distância arbitrária y acima 
da superfície neutra, se contrairá e se 
tornará ∆s’. 
 
 
 
 
 
 
Por definição, a deformação normal ao 
longo de ∆s é: 
𝜀 = lim
∆𝑠→0
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
 
Agora representaremos essa 
deformação em termos da localização 
y do segmento e do raio de curvatura 
𝜌 do eixo longitudinal do elemento. 
𝜀 = lim
∆𝑠→0
(𝜌 − 𝑦)∆𝜃 − 𝜌∆𝜃
𝜌∆𝜃
 
Ou 
𝜀 = −
𝑦
𝜌
 
Esse resultado mostra que a 
deformação normal longitudinal variará 
linearmente com y em relação ao eixo 
neutro. 
 
Aqui a deformação máxima ocorre na 
fibra mais externa, localizada a distância 
c do eixo neutro. Temos então: 
𝜀
𝜀𝑚á𝑥
=
−
𝑦
𝜌⁄
𝑐
𝜌⁄
 
Portanto: 
𝜀 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜀𝑚á𝑥 
 
 
• A fórmula da flexão 
Partiremos da premissa que o material 
se comporta de uma maneira linear 
elástica, de modo que a lei de Hooke 
se aplica. 
Então, uma variação linear da 
deformação normal deve ser 
consequência de uma variação linear 
da tensão normal. 
Assim como a variação da deformação 
normal, a tensão variará de zero no 
eixo neutro do elemento até um valor 
máximo à distancia c mais afastada do 
eixo neutro. Portanto, podemos 
escrever: 
𝜎 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜎𝑚á𝑥 
 
Podemos localizar a posição do eixo 
neutro na seção transversal 
satisfazendo a condição de que a força 
resultante produzida pela distribuição 
de tensão na área de seção transversal 
deve ser nula. 
∫ 𝑑𝐹 = 0
𝐴
 
∫ 𝜎
𝐴
𝑑𝐴 = 0 
∫ − (
𝑦
𝑐
) 𝜎𝑚á𝑥
𝐴
𝑑𝐴 = 0 
− (
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
) ∫ 𝑦
𝐴
𝑑𝐴 = 0 
Viso que a tensão máxima é diferente 
de zero, então: 
∫ 𝑦
𝐴
𝑑𝐴 = 0 
Ou seja, o momento de primeira 
ordem da área da seção transversal do 
elemento em torno do eixo neutro 
deve ser nulo. Essa condição só é 
possível se o eixo neutro também for 
o eixo do centroide horizontal. 
Podemos determinar a tensão na viga 
pelo fato de que o momento interno 
resultante M deve ser igual ao 
momento produzido pela distribuição 
de tensão em torno do eixo neutro. 
𝑀 = ∫ 𝑦 𝑑𝐹
𝐴
 
𝑀 = (
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
) ∫ 𝑦2
𝐴
𝑑𝐴 
Nessa expressão, a integral representa 
o momento de inércia da área da 
seção transversal. 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 
Logo, a tensão normal em uma 
distância intermediária y é: 
𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
 
PONTOS IMPORTANTES 
► A seção transversal de uma viga 
reta permanece plana quando a viga se 
deforma por flexão. Isso prova uma 
tensão de tração de um lado da viga e 
de compressão do outro lado. O eixo 
neutro é submetido a tensão nula. 
► Por conta da deformação, a 
deformação longitudinal varia 
linearmente de zero no eixo neutro a 
máxima nas fibras externas da viga. 
Contando que o material seja 
homogêneo e a lei de Hooke se 
aplique, a tensão também varia 
linearmente na seção transversal. 
► Quando o material é linear elástico, 
o eixo neutro passa pelo centroide da 
área da seção transversal. Essa 
conclusão se baseia no fato de que a 
força normal resultante que age na 
seção transversal deve ser nula 
►A fórmula da flexão baseia-se no 
fato de que o momento resultante na 
seção transversal é igual ao momento 
produzido pela distribuição linear da 
tensão normal em torno do eixo 
neutro. 
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE 
► Momento interno: Tome uma 
seção do elemento no ponto onde a 
flexão ou tensão normal deve ser 
determinada e obtenha o momento 
interno M da seção. O eixo do 
centroide ou eixo neutro para a seção 
transversal tem de ser conhecido, visto 
que M deve ser calculado em torno 
desse eixo. 
► Se a tensão de flexão máxima 
absoluta tiver de ser determinada, 
represente graficamente o diagrama 
de momento fletor para determinar o 
momento máximo da viga 
► Propriedade da seção: determine o 
momento de inércia da área da seção 
transversal em torno do eixo neutro. 
► Tensão normal: especifique a 
distância y, medida perpendicularmente 
ao eixo neutro, até o ponto onde a 
tensão normal deve ser determinada. 
Então aplique a fórmula da tensão: 
𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
 
Ou se for a tensão máxima: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
A viga tem seção transversal 
retangular e está sujeita à distribuição 
normal mostrada na figura abaixo. 
Determine o momento interno M na 
seção provocado pela distribuição de 
tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) 
pela determinação da resultante da 
distribuição de tensão pelos princípios 
básicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
A viga simplesmente apoiada tem a 
área de seção transversal mostrada na 
figura abaixo. Determine a tensão de 
flexão máxima absoluta na viga e 
represente a distribuição na seção 
transversal nessa localização. 
 
 
 
Exemplo 3 
A viga abaixo tem seção transversal na 
forma de um canal. Determine a tensão 
de flexão máxima que ocorre na viga 
na seção a-a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
O elemento com seção transversal 
retangular foi projetado para resistir a 
um momento de 40N.m. Para 
aumentar sua resistência e rigidez, foi 
proposta a adição de duas pequenas 
nervuras em sua parte inferior. 
Determine a tensão normal máxima no 
elemento para ambos os casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Flexão assimétrica 
Considere que a seção transversal da 
viga tem a forma assimétrica como 
mostrada na figura abaixo. 
O eixo de coordenadas é definido de 
tal modo que a origem esteja localizada 
no centroide C da seção transversal e 
o momento interno M aja ao longo do 
eixo +z. A distribuição de tensão que 
age sobre toda área de seção 
transversal deve ter força resultante 
nula, momento interno resultante em 
torno do eixo y nulo e momento 
interno resultante em torno do eixo z 
iguala M*. Expressando essas 
condições, temos: 
− ∫ 𝜎
𝐴
𝑑𝐴 = 0 
∫ 𝑧𝜎 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
𝑀 = ∫ −𝑦𝜎 𝑑𝐴 
Visto que o eixo z representa o eixo 
neutro para a seção transversal, a 
deformação normal variará de zero no 
eixo neutro a máxima em um ponto y 
localizado à maior distância y=c do eixo 
neutro. 
Contanto que o material se comporte 
de maneira linear elástica, a distribuição 
de tensão normal na área da seção 
transversal também será linear. 
 
𝜎 = −
𝑦
𝑐
 𝜎𝑚á𝑥 
Substituindo na integral: 
−
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0
𝐴
 
Que exige que: 
∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0
𝐴
 
Essa integral é denominada produto de 
inércia para a área. E ela realmente 
será nula se os eixos y e z sejam 
escolhidos como eixos principais de 
inércia para a área. 
Agora, considere que uma viga está 
sujeita a um momento M que forma 
um ângulo 𝜃 com o eixo principal z.. 
Consideraremos 𝜃 positivo quando 
estiver direcionado do eixo +z para o 
+y. Nesse caso iremos decompor o 
momento M, sendo: 
𝑀𝑧 = 𝑀 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑀𝑦 = 𝑀 𝑠𝑖𝑛𝜃 
Aplicando a fórmula da flexão: 
𝜎 =
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
 
 
 
 
 
O ângulo 𝛼 do eixo neutro pode ser 
terminado por 𝜎 = 0, visto por 
definição que nem uma tensão age no 
eixo neutro. Temos: 
𝑦 =
𝑀𝑦𝐼𝑧
𝑀𝑧𝐼𝑦
𝑧 
Visto que 
𝑀𝑧 = 𝑀 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑀𝑦 = 𝑀 𝑠𝑖𝑛𝜃 
Então: 
𝑦 = (
𝐼𝑧
𝐼𝑦
 𝑡𝑔𝜃) 𝑧 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
 𝑡𝑔𝜃 
PONTOS IMPORTANTES 
►A fórmula da flexão só pode ser 
aplicada quando a flexão ocorrer em 
torno de eixos que representem os 
eixos principais de inércia para a seção 
transversal. Esses eixos têm origem no 
centroide e estão orientados ao longo 
de um eixo de simetria, caso ele exista 
e perpendicular a ele. 
► Se o momento for aplicado em 
torno de um eixo arbitrário, então 
deve ser decomposto em 
componentes ao longo de cada um 
dos eixos principais, e a tensão em um 
ponto é determinada por superposição 
de tensão provocada por cada uma 
das componentes dos momentos. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 5 
A seção transversal retangular 
mostrada na figura abaixo está sujeita 
a um momento fletor M=12kNm. 
Determine a tensão normal 
desenvolvida em cada canto da seção 
e especifique a orientação do eixo 
neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 6 
Uma viga em T está sujeita a um 
momento fletor de 15kNm. Determine 
a tensão normal máxima na viga e a 
orientação do eixo neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 7 
A seção em Z está sujeita a um 
momento fletor M=20kNm. Os eixos y 
e z estão orientados como mostra a 
figura, de tal modo que representam 
os momentos principais de inércia 
mínimo e máximo 𝐼𝑦 =
0,960(10−3)𝑚4 e 𝐼𝑧 = 7,54(10−3)𝑚4, 
respectivamente. Determine a tensão 
normal no ponto P e a orientação do 
eixo neutro.