Flexão Pura

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
A aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos conceitos físicos no estudo de elementos
prismáticos simétricos sob ação da flexão pura.
PROPÓSITO
No dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia Mecânica, seja na Engenharia Civil, o fenômeno da flexão é
recorrente. Dessa forma, o conhecimento das relações matemáticas é fundamental para o desenvolvimento profissional.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a distribuição de tensões em função do momento
MÓDULO 2
Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de resistência
MÓDULO 3
Calcular a linha elástica
MÓDULO 4
Formular o cisalhamento na flexão
APRESENTAÇÃO DO FENÔMENO DA FLEXÃO PURA EM ELEMENTOS
PRISMÁTICOS E SUAS APLICAÇÕES.
Será feita um breve resumo dos aspectos apresentados no tema, destacando-se: tensões normais por flexão, cálculo da
linha elástica e tensões cisalhantes na flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas.
No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios
técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das
unidades.
 
Foto: Shutterstock.com
MÓDULO 1
 Identificar a distribuição de tensões em função do momento
A DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM FUNÇÃO DO MOMENTO;
Apresentação dos efeitos de tensão sob um elemento prismático (viga).
javascript:void(0)
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da tensão apresentará as seguintes hipóteses:

I
O regime do fenômeno é o elástico;
II
A peça é um prisma reto com simetria;


III
O momento fletor atua em torno de um eixo perpendicular ao eixo de simetria.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas aplicáveis.
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Para abordar tal conteúdo de uma forma prática, vamos considerar um elemento estrutural prismático reto e simétrico,
como mostra a figura 1, que possui uma malha em sua superfície para auxiliar no entendimento da deformação por flexão.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 1 – Elemento prismático.
A malha é composta por linhas paralelas ao eixo longitudinal do prisma e linhas paralelas às arestas da seção reta.
QUANDO UM PAR DE MOMENTOS FLETORES É APLICADO NAS
EXTREMIDADES DO ELEMENTO REPRESENTADO, AS LINHAS
LONGITUDINAIS SE DEFORMAM, ENQUANTO AS LINHAS
TRANSVERSAIS PERMANECEM SEM DEFORMAÇÃO.
Na figura 2, temos a representação da atuação dos momentos fletores e a deformação da barra. É importante ressaltar que
as linhas longitudinais se deformam segundo uma curva e as seções transversais sofrem uma rotação.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 2 – Elemento prismático deformado.
 ATENÇÃO
Cabe ressaltar (Figura 2) o eixo de simetria da seção reta e o momento fletor sendo aplicado em torno de um eixo,
perpendicular ao de simetria.
Qualitativamente, é fácil perceber que, sob a ação de um par de momentos fletores, nas condições já discutidas, as regiões
inferior e superior apresentarão deformações contrárias. Uma dessas regiões estará diminuída (contração) e a outra,
aumentada (tração). Observe a figura 3.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 – Elementos prismáticos sob ação de momento fletor.
As deformações compressivas serão associadas a valores negativos, e as trativas a valores positivos. Ao longo da seção,
o sinal das deformações varia e é possível inferir que nessa transição houve uma região onde as deformações foram nulas.
Observando-se a seção reta, essa região é a linha neutra (ou eixo neutro). Ao longo do elemento prismático, tem-se um
plano neutro ou uma superfície neutra. Observe a figura 4.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 202.
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
EXPRESSÃO PARA DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
A demonstração da distribuição de deformações em uma seção de um elemento submetido à flexão pura supõe que as
premissas adotadas no início do módulo sejam respeitadas. É possível demonstrar que essas deformações normais ( )
variam linearmente ao longo do eixo y.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 5 – Deformação normal.
Da figura 5, conclui-se que acima do eixo x as deformações normais são compressivas (negativas) e, abaixo, são trativas
(positivas). Ademais, a variação das deformações por flexão é linear, sendo o valor máximo, em módulo, associado ao
maior afastamento da linha neutra. Da semelhança de triângulos (Figura 5), é possível relacionar os módulos das
grandezas envolvidas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de que as deformações trativas e compressivas sejam apresentadas pela expressão anterior, será feito um ajuste
para adequação à orientação do conjunto de eixos adotados. Assim, tem-se a equação 1:
εx
=     →   ⃓ε  =⃓  ∣∣ ⋅  εmáx∣∣   (em módulo)ε  εmáx
y
c
y
c
ε = − ⋅ εmáx   
y
c
(equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é o maior valor absoluto da deformação e c a maior distância, em módulo, a partir da linha neutra. Ainda
sobre a Figura 5, perceba que para valores positivos de y, como c e na equação 1 são valores positivos, e
apresentará valor negativo, ou seja, uma deformação compressiva. De maneira oposta, para valores negativos de y, como
c e na equação 1 são valores positivos, e terá um valor positivo, ou seja, uma deformação trativa.
 EXEMPLO
Suponha a vista lateral de uma barra submetida à flexão pura. A distribuição de deformações está representada na figura.
Considere a deformação máxima em módulo igual a 1800μ.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determine:
A deformação na parte inferior da barra.
A deformação na parte superior a 30mm do eixo neutro.
A deformação no eixo neutro.
Solução
A deformação máxima ( ) em módulo é igual a 1800μ.
a) Pela semelhança de triângulos, . Do desenho, a deformação é positiva.
b) Da equação 1, .
c) No eixo neutro, a deformação é nula.
EXPRESSÃO PARA TENSÃO POR FLEXÃO
Considerando que a flexão ocorra dentro do regime elástico, é possível utilizar a Lei de Hooke, descrita na equação 2, para
determinar a tensão normal (σ) por flexão.
εmáx
εmáx
εmáx ε
εmáx
=   →  ε = 600µε
1800
30
90
ε = − ⋅ εmáx  →  ε = − ⋅ 1800  →  ε = −600µ
y
c
30
90
(equação 2)
Onde E é o módulo de Young e é a deformação.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a situação de deformação máxima , a equação 2 pode ser escrita da seguinte maneira:
(equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo-se as equações 2 e 3:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, a partir da equação 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
(equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 4, é possível inferir que a tensão normal por flexão varia linearmente a partir da linha neutra. Veja
esquematicamente essa variação:
σ = E. ε
ε
(σmáx)
σmáx = E. εmáx
= σ 
σmáx
E. ε 
E. εmáx
=   σ σmáx
ε 
εmáx
= −ε
εmáx
y
c
 σ = − ⋅ σmáx
y
c
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 6 – Tensão normal por flexão.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA ESTÁ SUBMETIDA À FLEXÃO PURA. O REGIME É O ELÁSTICO E A VIGA
APRESENTA EIXO DE SIMETRIA. SABE-SE QUE A SEÇÃO RETA DA VIGA TEM 150MM DE
ALTURA. AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO DEFORMADAS DE MANEIRA COMPRESSIVA,
ENQUANTO AS FIBRAS INFERIORES DE FORMA TRATIVA. A DEFORMAÇÃO COMPRESSIVA
MÁXIMA VALE, EM MÓDULO, O DOBRO DA DEFORMAÇÃO TRATIVA MÁXIMA EM MÓDULO. A
PARTIRDA BASE DA SEÇÃO, A QUE ALTURA SE ENCONTRA O EIXO NEUTRO?
A) 60mm
B) 50mm
C) 80mm
D) 100mm
E) 15mm
2. A FIGURA APRESENTA UM ELEMENTO PRISMÁTICO SOB A AÇÃO DE UM PAR DE
MOMENTOS FLETORES. SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS:
AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO TRACIONADAS E AS INFERIORES COMPRIMIDAS.
NA SITUAÇÃO MOSTRADA NÃO EXISTE A LINHA NEUTRA.
AS SEÇÕES TRANSVERSAIS SOFREM ROTAÇÃO DURANTE A ATUAÇÃO DO MOMENTO.
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas as afirmativas I e II.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas as afirmativas II e III.
3. UM EIXO MACIÇO ENCONTRA-SE BIAPOIADO EM EQUILÍBRIO SOB DETERMINADO
CARREGAMENTO. UMA SEÇÃO CIRCULAR É ESTUDADA E CONSIDERA-SE A FLEXÃO PURA
COMO O PRINCIPAL EFEITO. NA PERIFERIA DA SEÇÃO OCORRE A TENSÃO MÁXIMA POR
FLEXÃO EM MÓDULO IGUAL A 20MPA. CONSIDERANDO O RAIO DA SEÇÃO IGUAL A 80MM,
DETERMINAR, EM MÓDULO, A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO EM UM PONTO A 20MM DO
EIXO NEUTRO.
A) 20MPa
B) 12MPa
C) 10MPa
D) 6MPa
E) 5MPa
4. UMA VIGA APRESENTA SEÇÃO RETANGULAR DE LADOS 80MM E 100MM E ESTÁ
SUBMETIDA A UM MOMENTO FLETOR M, PARALELO À BASE (80MM), DE TAL FORMA QUE AS
FIBRAS SUPERIORES FICAM SOB COMPRESSÃO. SABENDO QUE O REGIME É O ELÁSTICO,
A ESTRUTURA ESTÁ EM EQUILÍBRIO, E A LINHA NEUTRA PASSA PELO CENTROIDE DA
SEÇÃO RETA, A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES NORMAIS ATUANTES A 20MM ACIMA DA LINHA
NEUTRA E A TENSÃO NORMAL ATUANTE A 30MM ABAIXO DA LINHA NEUTRA (CONSIDERAR
OS SINAIS DA COMPRESSÃO E DA TRAÇÃO).
A) 
B) 
C) 
1
3
− 1
3
 1
D) 
E) 
5. UMA VIGA ESTÁ SOB FLEXÃO PURA. A DEFORMAÇÃO NORMAL POR FLEXÃO É
APRESENTADA NO GRÁFICO A SEGUIR. O EIXO NEUTRO DA SEÇÃO EM ESTUDO DIVIDE O
EIXO Y EM DUAS PARTES: 40MM NA PARTE SUPERIOR E 20MM NA PARTE INFERIOR.
É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) As fibras na parte superior (acima do eixo neutro) estão comprimidas.
B) Todas as fibras apresentam-se tracionadas.
C) A 10mm acima do eixo neutro a deformação normal é 1000 .
D) A 20mm abaixo da linha neutra a deformação normal é 2000 .
E) A seção é retangular de base 60mm.
6. UMA ESTRUTURA ENCONTRA-SE SOB A AÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR, EM EQUILÍBRIO
NO REGIME ELÁSTICO. O GRÁFICO A SEGUIR MOSTRA A VARIAÇÃO DA TENSÃO NORMAL
NA SEÇÃO AO LONGO DO EIXO Y DE SIMETRIA. SUPONDO QUE A ESTRUTURA ESTÁ EM
EQUILÍBRIO SOB FLEXÃO E NO REGIME ELÁSTICO, DETERMINE A TENSÃO NORMAL POR
FLEXÃO MÍNIMA:
A) - 28MPa
B) - 30MPa
2
3
− 2
3
μ
μ
C) - 40MPa
D) - 50MPa
E) - 70MPa
GABARITO
1. Uma viga está submetida à flexão pura. O regime é o elástico e a viga apresenta eixo de simetria. Sabe-se que a
seção reta da viga tem 150mm de altura. As fibras superiores estão deformadas de maneira compressiva,
enquanto as fibras inferiores de forma trativa. A deformação compressiva máxima vale, em módulo, o dobro da
deformação trativa máxima em módulo. A partir da base da seção, a que altura se encontra o eixo neutro?
A alternativa "B " está correta.
A variação da tensão normal por flexão ao longo da altura da seção reta é linear, sendo zero na linha neutra e trativa ou
compressiva nas regiões superiores ou inferiores (ou vice-versa), dependendo da orientação do momento aplicado. Dessa
forma, é possível considerar a figura seguinte.
Da semelhança de triângulos:
2. A figura apresenta um elemento prismático sob a ação de um par de momentos fletores. São feitas as seguintes
afirmativas:
As fibras superiores estão tracionadas e as inferiores comprimidas.
Na situação mostrada não existe a linha neutra.
As seções transversais sofrem rotação durante a atuação do momento.
São corretas:
A alternativa "D " está correta.
=     → 2y = 150 − y → y = 50 mm ε 
2.ε
y 
150−y
A partir da figura, é possível concluir que as fibras superiores estão alongadas, isto é, tracionadas, e as fibras inferiores,
comprimidas. Como existem duas regiões com deformações de sinais opostos, essa transição ocorre com a existência da
linha neutra (deformação e tensão nulas). As seções retas sofrem apenas a rotação.
3. Um eixo maciço encontra-se biapoiado em equilíbrio sob determinado carregamento. Uma seção circular é
estudada e considera-se a flexão pura como o principal efeito. Na periferia da seção ocorre a tensão máxima por
flexão em módulo igual a 20MPa. Considerando o raio da seção igual a 80mm, determinar, em módulo, a tensão
normal por flexão em um ponto a 20mm do eixo neutro.
A alternativa "E " está correta.
Um elemento estrutural sob flexão pura, apresentando eixo de simetria, tem a distribuição de tensão e normas lineares, a
partir do eixo neutro, de acordo com a equação.
Utilizando a equação em módulo, tem-se:
4. Uma viga apresenta seção retangular de lados 80mm e 100mm e está submetida a um momento fletor M,
paralelo à base (80mm), de tal forma que as fibras superiores ficam sob compressão. Sabendo que o regime é o
elástico, a estrutura está em equilíbrio, e a linha neutra passa pelo centroide da seção reta, a razão entre as
tensões normais atuantes a 20mm acima da linha neutra e a tensão normal atuante a 30mm abaixo da linha neutra
(considerar os sinais da compressão e da tração).
A alternativa "E " está correta.
Na questão, as fibras superiores são compressivas, ou ainda, apresentam valores negativos. As fibras inferiores (abaixo da
linha neutra) estão sob tração, ou ainda, apresentam valores positivos. A partir da equação , é possível
inferir que as tensões são diretamente proporcionais às distâncias do eixo neutro. Assim: e , com K
um número real positivo. Logo, a razão será .
5. Uma viga está sob flexão pura. A deformação normal por flexão é apresentada no gráfico a seguir. O eixo neutro
da seção em estudo divide o eixo y em duas partes: 40mm na parte superior e 20mm na parte inferior.
É correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
A partir do gráfico e do enunciado da questão, os 40mm acima do eixo neutro (ou linha neutra) estão tracionados (valores
positivos de deformação), e os 20mm abaixo da linha neutra, comprimidos (valores negativos de deformação). O gráfico
mostra uma relação linear entre a deformação e a distância y. Assim, a 10mm acima do eixo neutro, tem-se:
Abaixo da linha neutra, as deformações são negativas.
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σ = ⋅ 20  →  σ = 5 MPa20
80
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σ = −20K σ' = 30K
− 2
3
=     → ε  = 1000 μ10
40
ε
4000
O gráfico informa sobre a dimensão vertical, não sobre a forma e a dimensão da base.
6. Uma estrutura encontra-se sob a ação de um momento fletor, em equilíbrio no regime elástico. O gráfico a seguir
mostra a variação da tensão normal na seção ao longo do eixo y de simetria. Supondo que a estrutura está em
equilíbrio sob flexão e no regime elástico, determine a tensão normal por flexão mínima:
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO MÍNIMA DE UMA ESTRUTURA, SOB FLEXÃO.
A partir do gráfico que relaciona a tensão por flexão e a altura da seção reta, será determinada a tensão mínima da seção
de uma estrutura em equilíbrio, sob flexão.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro está dimensionando uma estrutura e utilizará um perfil I (com dupla simetria) em uma das vigas, sujeita à
flexão pura. Na figura, tem-se as dimensões do perfil utilizado. Ele pede ao seu estagiário que determine as tensões em
alguns pontos (B e C), sabendo que em A a tensão é normal, compressiva, de módulo 40MPa. Ele informa ao estagiário
que o eixo neutro é horizontal e passa pelo centroide do perfil I. Além disso, o ponto C está na metade da altura da aba
inferior.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
DETERMINAR AS TENSÕES NORMAIS POR FLEXÃO EM UM PERFIL I.
A partir do conhecimento da distribuição linear das tensões por flexão, serão determinadas tensões em alguns pontos de
uma seção, sejam elas compressivas ou trativas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - ENGENHEIRO MECÂNICO) EM UM CORPO, AS FORÇAS PODEM
SER APLICADAS DE DIFERENTES MANEIRAS, ORIGINANDO DIFERENTES TIPOS DE
SOLICITAÇÃO. LEIA A DESCRIÇÃO ABAIXO E, EM SEGUIDA, ASSINALE A ALTERNATIVAQUE
APRESENTA A “SOLICITAÇÃO QUE TENDE A MODIFICAR O EIXO GEOMÉTRICO DE UMA
PEÇA”.
A) Tração
B) Compressão
C) Cisalhamento
D) Flexão
E) Torção
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA RETANGULAR DE DIMENSÕES 80MM (BASE) E 120MM
(ALTURA). O EIXO NEUTRO ESTÁ LOCALIZADO PARALELAMENTE À BASE, PASSANDO PELO
CENTROIDE DA SEÇÃO RETA. SOB FLEXÃO, AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO COMPRIMIDAS.
CONSIDERANDO DOIS PONTOS QUAISQUER, DISPOSTOS SIMETRICAMENTE EM RELAÇÃO
AO EIXO NEUTRO, A SOMA DAS TENSÕES NORMAIS ATUANTES NOS PONTOS:
A) É igual, em módulo, ao dobro da tensão que ocorre em um dos pontos.
B) É igual, em módulo, à metade da tensão que ocorre em um dos pontos.
C) É igual a zero.
D) Depende do momento fletor aplicado na seção.
E) É igual, em módulo, ao triplo da tensão que ocorre em um dos pontos.
GABARITO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - Engenheiro Mecânico) Em um corpo, as forças podem ser aplicadas de diferentes
maneiras, originando diferentes tipos de solicitação. Leia a descrição abaixo e, em seguida, assinale a alternativa
que apresenta a “Solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça”.
A alternativa "D " está correta.
 
Um elemento estrutural sob tração ou compressão preserva seu eixo geométrico, ocorrendo apenas aumento ou
diminuição da peça. Na torção, a deformação ocorre em torno do eixo geométrico. A flexão deforma a estrutura, mudando
o seu eixo geométrico. Observe:
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
2. Uma estrutura tem uma viga retangular de dimensões 80mm (base) e 120mm (altura). O eixo neutro está
localizado paralelamente à base, passando pelo centroide da seção reta. Sob flexão, as fibras superiores estão
comprimidas. Considerando dois pontos quaisquer, dispostos simetricamente em relação ao eixo neutro, a soma
das tensões normais atuantes nos pontos:
A alternativa "C " está correta.
 
A parir da equação 4 ( ) é possível determinar a tensão por flexão em qualquer ponto y afastado da linha
neutra. Dois pontos A e B, simétricos em relação à linha neutra estarão a distância +d e -d da linha neutra. Logo:
 
 
 
Assim, a soma das tensões será:
MÓDULO 2
 Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de resistência
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σA = − ⋅ σmáx
d
c
σB = − ⋅ σmáx  →  σB  =   ⋅ σmáx
( −d )
c
d
c
σA +  σB = − ⋅ σmáx  + ⋅ σmáx =  0
d
c
d
c
A DETERMINAÇÃO DE TENSÕES MÁXIMAS E MÍNIMAS, E MÓDULO DE
RESISTÊNCIA.
Partir de uma viga sob tensão pura, em equilíbrio e no regime elástico, serão apresentadas as tensões máxima e mínima e
o parâmetro geométrico módulo de resistência.
INTRODUÇÃO
Até aqui, a apresentação da flexão pura em barras prismática fez a consideração da linha neutra (tensão nula) e as
distâncias a partir dessa e, com isso, foi possível escrever duas relações matemáticas: a da deformação e a da tensão.
Contudo, não foi feita a localização da linha neutra. Neste módulo, o estudo será inicializado a partir de sua localização.
LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO DE UMA SEÇÃO
 
Foto: Shutterstock.com
Neste tópico, mais uma vez a condição de equilíbrio no regime elástico será assumida. Na flexão pura, ao escolhermos
uma seção reta para estudo, o esforço normal atuante na linha neutra é neutro. A próxima figura esquematiza a
distribuição, estando a região acima da linha neutra comprimida e, abaixo, tracionada, conforme a figura 7.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 7 – Tensão normal por flexão.
O objetivo é determinar o posicionamento da linha e da superfície neutra. Tomando-se um pequeno elemento de área dA
na face em estudo, existe uma tensão associada . A tensão é dada pela expressão . Ajustando-a para a área
infinitesimal, determina-se o infinitésimo da força (dF), ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, a equação 4 afirma que . Substituindo na expressão de dF:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c e são valores constantes, ao se integrar a equação anterior, tem-se:
σ σ = F
A
dF = σ. dA
σ = − ⋅ σmáx
y
c
dF = − ⋅ σmáx. dA
y
c
σmáx
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, a resultante das forças na direção x é nula, logo , o que implica que a integral é nula. A
interpretação é que o momento estático da área A da seção reta, em relação ao eixo neutro horizontal é nulo. Dessa forma,
a linha neutra passa pelo centroide da seção reta. No caso apresentado, horizontal.
 RELEMBRANDO
Lembrando que a situação de flexão pura tem a premissa que y é eixo simétrico. Caso a seção apresente um eixo
horizontal simétrico, pelo teorema de simetria, o centroide estará na interseção dos eixos. De outra maneira, os eixos são
centroidais e vale a conclusão anterior, ou seja, a linha neutra será o eixo de simetria x.
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES MÁXIMA E MÍNIMA POR
FLEXÃO
A demonstração da expressão que determina as tensões máxima e mínima será apoiada na figura 8:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 8 – Distribuição de tensão na flexão pura.
Inicialmente, deve-se lembrar que o momento fletor é um vetor na direção do eixo z. Na figura, o momento fletor M é
positivo, e um elemento de força é mostrado na figura. O momento exercido por esse elemento, em relação ao eixo z, é
dado por .
dF = − .  σmáx. dA
y
c
∫ dF = ∫ − .  σmáx. dA
y
c
Fx = ⋅ ∫ y ⋅ dA
−σmáx
c
0 = ⋅ ∫ y ⋅ dA
−σmáx
c
dF
dM = dF ⋅ y
Note que é um pequeno vetor no sentido crescente de z, logo, positivo.
A partir da definição de tensão normal média, , é possível escrever que .
Utilizando apenas o módulo na equação , tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando-se a equação anterior:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O momento de inércia da seção reta da viga, em relação ao eixo neutro é dado por . Substituindo na expressão
anterior, tem-se para o módulo da tensão normal máxima a equação 5:
(equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que c é a distância mais afastada da linha neutra e o módulo do momento fletor.
 EXEMPLO
Considere a figura em que a linha neutra da seção reta se encontra a 50mm da parte inferior da viga e o momento fletor na
seção tem valor 2.000N.m. Considere o momento de inércia em relação ao eixo neutro igual a . Determine as
tensões máximas compressiva e trativa.
dM
σ = F
A
dF = σ. dA
4 (|σ|=∣∣ ⋅ σmáx∣∣)
y
c
dM = .  σmáx. dA
y2
c
∫ dM = ∫ .  σmáx ⋅ dA
y2
c
M = ∫ y2dA
σmáx
c
∫ y2dA
σmáx =
M⋅c
I
M
4 ⋅ 10−5 m4
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Solução
Da figura, é possível inferir que as fibras acima da linha neutra estão comprimidas por ação do momento fletor, e as fibras
inferiores, tracionadas. Para cada situação (compressão e tração), maior afastamento da linha neutra será 100mm e
50mm. Aplicando-se a equação 5:
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A equação , utilizada para a determinação da tensão por flexão máxima, pode ser reescrita como:
 
 
 
A razão é função apenas de parâmetros geométricos da seção reta em que atua o momento fletor M. A essa razão
denomina-se módulo resistente à flexão ou módulo de resistência da flexão (W). Reescrevendo a equação 5, tem-se:
(equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A unidade no S.I. para o módulo resistente é m³, e significa a resistência da viga a sofrer flexão.
 EXEMPLO
Determine o módulo resistente de uma seção retangular de dimensões b (base) e h (altura).
Solução
σmáx =
M⋅c
I
σmáx =   →  σmáx = = 5MPa (compressiva)  M⋅cI
2000⋅(0,1)
4⋅10−5
σmáx = →  σmáx = = 2,5MPa (trativa)  M⋅cI
2000⋅(0,05)
4⋅10−5
5 (σmáx = )M⋅cI
σmáx =
M⋅c
I
σmáx =
M
I
c
I
c
σmáx =
M
W
Considere a figura da seção retangular e a linha neutra (LN).Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal (coincide com a linha neutra) é dado pela
expressão . O maior afastamento da linha neutra c é igual a . O módulo resistente W é calculado a partir da
razão . Assim:
 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES POR FLEXÃO
Aqui falaremos sobre a determinação da tensão por flexão em um ponto genérico da seção reta.
AS PREMISSAS ADOTADAS NO INÍCIO DO ESTUDO DA FLEXÃO PURA
CONTINUAM VÁLIDAS, OU SEJA, REGIME ELÁSTICO, EQUILÍBRIO E
SEÇÃO COM EIXO Y SIMÉTRICO.
A figura 9 mostra a variação da tensão ao longo do eixo y:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 9 – Distribuição de tensão normal por flexão pura.
I = b.h
3
12
h
2
I
c
W = =  Ic
b.h3
12
h
2
W = b.h
2
6
Observe o momento fletor M na seção e um ponto genérico, distante y unidades da linha neutra, submetido à tensão
normal de flexão (compressão) denominada . Considerando as equações 4 e 5, tem-se:
 
 
 
E 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a expressão de , tem-se a equação 7 para determinar a tensão em um ponto genérico afastado y
unidades da linha neutra:
(equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que I é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra.
 ATENÇÃO
Obs.: Considere uma viga biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente distribuído q. O momento fletor
máximo ocorre na seção localizada no ponto médio da viga e tem módulo .
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE DUAS ESTRUTURAS FEITAS DO MESMO MATERIAL E COM AS MESMAS
DIMENSÕES. ADMITINDO-SE QUE A SEÇÕES SÃO RETANGULARES COM DIMENSÕES B
(BASE) E H (ALTURA), TAL QUE H = 2B. QUAL A RAZÃO ENTRE OS MÓDULOS RESISTENTES
DA SEÇÃO EM CADA SITUAÇÃO 1 OU 2?
σ
σ = − ⋅ σmáx   
y
c
σmáx =
M⋅c
I
σmáx
σ = −
y⋅M
I
Mmáximo =
q⋅L2
8
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. CONSIDERE UMA VIGA CIRCULAR MACIÇA DE 2M DE COMPRIMENTO E RAIO 40MM. EM
DADA SEÇÃO DESSA VIGA, O MOMENTO FLETOR TEM MÓDULO 2KN.M. CONSIDERANDO O
EQUILÍBRIO NO REGIME ELÁSTICO E A FLEXÃO PURA, DETERMINE O MÓDULO DA TENSÃO
NORMAL MÁXIMA:
A) 25,6MPa
B) 32,0MPa
C) 36,8MPa
D) 39,8MPa
E) 46,8MPa
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - AUDITOR PÚBLICO EXTERNO - ENGENHARIA CIVIL -
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS). CONSIDERE A VIGA PRISMÁTICA DE SEÇÃO
TRANSVERSAL RETANGULAR REPRESENTADA NA FIGURA ABAIXO:
CONSIDERANDO QUE O MATERIAL DA VIGA SEJA HOMOGÊNEO E ELÁSTICO LINEAR, A
TENSÃO MÁXIMA DE COMPRESSÃO DEVIDO À FLEXÃO, EM MPA, É:
A) 175
B) 250
1
2
1
2
2
3
3
2
C) 125
D) 75
E) 50
4. EM UMA ESTRUTURA, UMA VIGA ESTÁ CARREGADA DE TAL FORMA QUE O PRINCIPAL
EFEITO É O DA FLEXÃO PURA. SUPONDO O MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO DA SEÇÃO
RETA IGUAL A 12.000MM³ E A TENSÃO ADMISSÍVEL DO MATERIAL 80MPA, QUAL O MÓDULO
DO MOMENTO FLETOR MÁXIMO QUE PODE ATUAR NA SEÇÃO DE ESTUDO?
A) 1500N.m
B) 960N.m
C) 750N.m
D) 480N.m
E) 150N.m
5. CONSIDERE QUE UMA VIGA OCA (VER FIGURA) DE SEÇÃO QUADRANGULAR ESTEJA
SUBMETIDA À FLEXÃO PURA. EM DADA SEÇÃO, O MOMENTO FLETOR ATUANTE TEM
MÓDULO 6KN.M. CONSIDERANDO AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA DA VIGA COMO 100MM E
80MM, DETERMINE A TENSÃO POR FLEXÃO MÁXIMA EM MÓDULO:
A) 61MPa
B) 52MPa
C) 45MPa
D) 31MPa
E) 28MPa
6. (VUNESP - 2018 - PREFEITURA DE SÃO BERNARDO DO CAMPO - SP - ENGENHEIRO CIVIL).
CONSIDERE A VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM VÃO DE 8M E SEÇÃO TRANSVERSAL
RETANGULAR REPRESENTADA NA FIGURA A SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL MÁXIMA, DEVIDO À FLEXÃO NA FIBRA MAIS TRACIONADA DA VIGA, EM
MPA, É:
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
E) 150
GABARITO
1. Considere duas estruturas feitas do mesmo material e com as mesmas dimensões. Admitindo-se que a seções
são retangulares com dimensões b (base) e h (altura), tal que h = 2b. Qual a razão entre os módulos resistentes da
seção em cada situação 1 ou 2?
A alternativa "C " está correta.
O módulo resistente do retângulo é dado por:
Do enunciado, h = 2b.
Para a situação 1, base é b e altura h = 2b. Assim, .
Para a situação 1, base é h = 2b e altura b. Assim, .
Logo, .
2. Considere uma viga circular maciça de 2m de comprimento e raio 40mm. Em dada seção dessa viga, o momento
fletor tem módulo 2kN.m. Considerando o equilíbrio no regime elástico e a flexão pura, determine o módulo da
tensão normal máxima:
A alternativa "D " está correta.
W = b⋅h
2
6
W1 = =
b⋅(2b)
2
6
2⋅b3
3
W2 = =
2b⋅(b)
2
6
b3
3
= 2
W1
W2
O raio da seção circular é 40mm = 0,04m. O momento de inércia do círculo em relação ao eixo centroidal horizontal
(coincidente com o eixo neutro) é dado pela expressão . O maior afastamento da
linha neutra é igual ao raio (0,04m). Substituindo na equação 5, tem-se:
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Engenharia Civil - Conhecimentos Específicos). Considere a
viga prismática de seção transversal retangular representada na figura abaixo:
Considerando que o material da viga seja homogêneo e elástico linear, a tensão máxima de compressão devido à
flexão, em MPa, é:
A alternativa "B " está correta.
A carga distribuída ao longo da viga é de 2kN/m = 2.000N/m. As dimensões da seção reta são b = 0,06m e h = 0,10m. O
momento fletor interno máximo ocorre no ponto médio da viga e tem módulo . Logo:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é igual a:
A tensão máxima de compressão ocorre na parte superior da viga, ou seja, a 0,05m da linha neutra. Substituindo na
equação 5, tem-se:
4. Em uma estrutura, uma viga está carregada de tal forma que o principal efeito é o da flexão pura. Supondo o
módulo de resistência à flexão da seção reta igual a 12.000mm³ e a tensão admissível do material 80MPa, qual o
módulo do momento fletor máximo que pode atuar na seção de estudo?
A alternativa "B " está correta.
Homogeneizando as unidades, a tensão admissível (máxima) é e o módulo resistente (W) igual a 
.
A tensão máxima em função do módulo resistente é apresentada a seguir:
Substituindo os valores, tem-se:
5. Considere que uma viga oca (Ver figura) de seção quadrangular esteja submetida à flexão pura. Em dada seção,
o momento fletor atuante tem módulo 6kN.m. Considerando as dimensões da seção reta da viga como 100mm e
80mm, determine a tensão por flexão máxima em módulo:
I = = = 2,01.10−6 m4π⋅R
4
4
π⋅(0,04)
4
4
σmáx = = 39,8MPa
2000⋅(0,04)
2,01⋅10−6
Mmáximo =
q⋅L2
8
Mmáximo = = 25.000Nm
2000⋅(10)2
8
I = = = 5 ⋅ 10−6 m4b⋅h
3
12
0,06⋅(0,10)
3
12
σmáx = → σmáx = 250 MPa  (compressão)
25000⋅(0,05)
5.10−6
80 ⋅ 106 Pa
12 ⋅ 10−6 m3
σmáx =
M
W
80 ⋅ 106 = → M = 960N .mM
12⋅10−6
A alternativa "A " está correta.
O momento de inércia da seção quadrangular de lado L em relação ao eixo neutro é igual a:
Para a seção “vazada”, o momento de inércia em relação ao eixo neutro será igual a:
Em que L e l são as arestas dos quadrados externo e interno. Dessa forma:
A tensão máxima ocorre para o maior afastamento c da linha neutra, ou seja, . Substituindo na equação 5,
tem-se:
6. (VUNESP - 2018 - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP - Engenheiro Civil). Considere a viga simplesmente
apoiada com vão de 8m e seção transversal retangular representada na figura a seguir:
A tensão normal máxima, devido à flexão na fibra mais tracionada da viga, em MPa, é:
A alternativa "E " está correta.
I = L
4
12
I = −L
4
12
l4
12
I = − =   − = 4,92.10−6 m4L
4
12
l4
12
( 0,1 )
4
12
( 0,08 )
4
12
= 0,05m
0,1
2
σmáx = → σmáx = 61 MPa
6000.(0,05)
4,92.10−6
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NORMAL TRATIVA MÁXIMA DE UMA
VIGA SOB CARREGAMENTO UNIFORME DISTRIBUÍDO.
Aplicação do momento fletor em vigas biapoiadas sob carregamento uniforme para a determinação da tensão por flexão
máxima.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto apresentará uma pequena viga de seção quadrada maciça de comprimento L = 4m biapoiada em A e B,
conforme a figura. Os apoios são de 1º e 2º gêneros.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
No dimensionamento da viga, seu peso próprio serádesprezado. O carregamento a que a viga ficará submetida é
uniformemente distribuído, tal que q = 2400N/m. A viga será constituída de um material que suporta uma tensão de flexão
máxima equivalente a 100MPa . O engenheiro deseja saber o valor mínimo, em milímetros, da aresta da seção
reta da viga.
RESOLUÇÃO
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA, SOB FLEXÃO, COM
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO UNIFORME.
Aplicação do momento fletor máximo em uma viga sob carregamento distribuído para seu dimensionamento, considerando
a flexão pura.
(σadmissível)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA MECÂNICA). A FÓRMULA DA
FLEXÃO É DADA POR: E É UTILIZADA PARA DETERMINAR A TENSÃO NORMAL EM
UM MEMBRO RETO, COM SEÇÃO TRANSVERSAL SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM EIXO, E NO
QUAL O MOMENTO SEJA APLICADO NO SENTIDO PERPENDICULAR ÀQUELE EIXO. A
MÁXIMA TENSÃO NORMAL OCORRERÁ NO(S):
A) Ponto mais próximo do eixo neutro.
B) Eixo neutro.
C) Ponto mais afastado do eixo neutro.
D) Pontos acima do eixo neutro.
E) Pontos abaixo do eixo neutro.
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL –
ADAPTADA). CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA DE SEÇÃO RETANGULAR CONSTANTE,
SUBMETIDA A UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA, REPRESENTADA NA FIGURA A
SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO MÁXIMA EM MÓDULO É IGUAL A:
A) 
B) 
σ = −
y.M
I
σ =
4⋅q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ =
3⋅q⋅L2
8⋅b⋅h2
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - Perito Criminal - Engenharia Mecânica). A fórmula da flexão é dada por: e é
utilizada para determinar a tensão normal em um membro reto, com seção transversal simétrica em relação a um
eixo, e no qual o momento seja aplicado no sentido perpendicular àquele eixo. A máxima tensão normal ocorrerá
no(s):
A alternativa "C " está correta.
 
A partir da expressão apresentada no problema, e como M e I são valores constante, a tensão por flexão varia linearmente
com a distância y do eixo neutro. Sendo assim, no eixo neutro a tensão é nula e terá valor máximo no ponto mais afastado
do eixo neutro.
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil – adaptada). Considere a viga
biapoiada de seção retangular constante, submetida a uma carga uniformemente distribuída, representada na
figura a seguir:
A tensão normal por flexão máxima em módulo é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Momento fletor máximo em módulo é dado por:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é , e o afastamento máximo da linha neutra
é .
O módulo da tensão por flexão máxima é calculado por:
 
 
 
σ =
8⋅q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ =
3⋅q⋅L2
4⋅b⋅h2
σ =
q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ = −
y.M
I
Mmáximo =
q⋅L2
8
I = b⋅h
3
12
c = h
2
σmáx =
M⋅c
I
σmáx = →  smáx =
⋅
q⋅L2
8
h
2
b⋅h3
12
3⋅q⋅L2
4⋅b⋅h2
MÓDULO 3
 Calcular a linha elástica
A LINHA ELÁSTICA.
A linha elástica de uma viga sob tipos distintos de vinculações e de carregamento será apresentada. Aplicação das linhas
elásticas para determinação das deflexões e inclinações máximas.
INTRODUÇÃO
A partir deste ponto, o estudo de uma viga prismática ganha um elemento a mais a ser considerado: a sua deflexão sob
determinado carregamento. Particularmente, como foi para o cálculo da tensão, o valor máximo da deflexão é de interesse
para projetos. A figura 10 apresenta dois exemplos de linha elástica de uma viga.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 421.
 Figura 10 – Linha elástica de uma viga.
DEFLEXÕES EM UMA VIGA
 
Imagem: Shutterstock.com
Aqui será considerado um carregamento transversal à viga para a determinação de sua deflexão ao longo do eixo
longitudinal.
DE ACORDO COM HIBBELER (2010), O DIAGRAMA DA DEFLEXÃO DO
EIXO LONGITUDINAL QUE PASSA PELO CENTROIDE DE CADA ÁREA
DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA É DENOMINADO LINHA
ELÁSTICA.
A concavidade da linha elástica está associada ao “sinal” do momento e a convenção a ser adotada no estudo é que
momentos fletores positivos comprimem as fibras superiores e tracionam as fibras inferiores. Para momento fletor negativo,
ocorre o inverso. A figura 11 mostra a convenção adotada.
Veja a convenção adotada:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 11 – Convenção de sinais para o momento fletor.
Momentos fletores positivos levam a uma linha elástica com concavidade voltada “para cima” (abertura para cima);
momentos negativos levam a linha elástica a ter concavidade voltada “para baixo” (abertura para baixo). Veja, na figura
12, o diagrama do momento fletor (DMF) para um carregamento pontual e a associação à concavidade da linha
elástica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 12 – DMF e concavidade da linha elástica de uma viga.
 ATENÇÃO
Note que, na linha elástica, existe um ponto denominado de inflexão cuja definição matemática revela a transição de
concavidade. O ponto de inflexão está associado ao valor nulo do momento fletor. Atente também para a convenção de
sinais para o deslocamento (positivo acima da barra) e para a inclinação (positiva para ângulos agudos).
Considere uma viga tendo sua seção reta com simetria no eixo vertical e o regime elástico. O raio de curvatura ( ) é uma
função do momento fletor interno (M), do módulo de elasticidade (E) do material, e do momento de inércia (I) em relação à
linha neutra. Supondo que o momento fletor (M), ao longo do eixo longitudinal (x), seja uma função M(x) com I e E
constantes, tem-se a equação 8 relacionando as grandezas descritas:
ρ
=1
ρ
M(x)
E⋅I
(equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A quantidade é denominada de curvatura.
Para o momento fletor constante ao longo do eixo x, tem-se , e a equação 8 pode ser escrita como a equação
9:
(equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O produto é denominado rigidez à flexão e depende do tipo de material (E) e da geometria da seção reta (I).
A figura 13 mostra duas situações para o raio de curvatura da linha elástica. O raio de curvatura segue o sinal do momento
fletor positivo (convenção adotada). Assim, o raio de curvatura será positivo para M positivo, e negativo, para M negativo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 13 – Raio de curvatura da linha elástica.
LINHA ELÁSTICA
Para efeitos de nomenclatura, a linha elástica será apresentada com a letra y, que é uma função da abscissa x, ou seja,
y(x). A inclinação da reta tangente à linha elástica será definida como . Observe:
1
ρ
M(x) = M
=1
ρ
M
E⋅I
E ⋅ I
θ
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 14 – Linha elástica de uma viga.
 VOCÊ SABIA
A determinação da equação da linha elástica é feita a partir da resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO). A
técnica empregada é a separação de variáveis, ou seja, integrações sucessivas. Assim, constantes genéricas surgirão.
Para a determinação de constantes particulares (associadas ao carregamento particular), as condições de contorno devem
ser satisfeitas.
Fisicamente, tais condições são provenientes dos tipos de apoios da viga. Cada apoio impedirá ou não deslocamentos
verticais da viga e/ou rotações (inclinações). Ademais, podemos utilizar condições para o momento fletor (M) e esforço
cortante (V) no ponto. Observe na figura 15, as condições de alguns apoios em relação aos deslocamentos vertical ( ) e
rotacional ( ) do ponto da linha elástica e M e V:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 425 - modificada.
 Figura 15 – Condições de contorno.
Obs.: A inclinação é igual 
É possível demonstrar que a EDO associada à linha elástica de uma viga é a EDO da equação 10, ou seja:
(equação 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Δ
θ
θ
dy
dx
=
d2y
dx2
M(x)
E⋅I
As equações do momento fletor M(x), do esforço cortante V(x) e do carregamento w(x) se relacionam, conforme
expressões a seguir:
 
 
 
E 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalAssim, é possível reescrever a equação 10.
(equação 11)
(equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 8.1 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, BEER;
JOHNSTON JR., 1995, P. 822.
Considere uma viga engastada em uma das extremidades e livre na outra (ver figura). A seção reta é constante ao longo
da viga e o material homogêneo:
V (x)=
dM(x)
dx
−w(x)=
dV(x)
dx
=
d3y
dx3
V (x)
E⋅I
=
d4y
dx4
−w(x)
E⋅I
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Supondo o regime elástico, determine:
A equação da linha elástica da viga quando uma carga constante e de módulo P é aplicada na extremidade livre.
O deslocamento na extremidade livre.
A rotação (inclinação) na extremidade livre.
Solução
Inicialmente, é necessário escrever a função que descreve o momento fletor ao longo de x. A partir do DCL (ver figura) de
uma parte da barra, e aplicando-se a condição de equilíbrio rotacional, tem-se:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Equilíbrio rotacional
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na figura a seguir, há um croqui da linha elástica para a situação apresentada e as condições de contorno na extremidade
engastada:
∑MC = 0  → P ⋅ x + M = 0  → M(x)= −P ⋅ x
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 824.
Equação da linha elástica (equação 10):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo M(x) e integrando:
 
 
 
 (*)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO DE :
Na extremidade engastada (x = L), a inclinação é nula. Substituindo na equação (*):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a equação será:
 (**)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando a equação (**), tem-se:
 (***)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
=
d2y
dx2
M(x)
E⋅I
=   → E ⋅ I = −P ⋅ x
d2y
dx2
−P .x
E⋅I
d2y
dx2
E ⋅ I = +  C1
dy
dx
−P .x2
2
C1
( )dy
dx
E ⋅ I ⋅ 0 = +  C1 →  C1 =  
−P .L2
2
P ⋅L2
2
E ⋅ I = +  
dy
dx
−P ⋅x2
2
P ⋅L2
2
E ⋅ I ⋅ y = + ⋅ x + C2
−P ⋅x3
6
P ⋅L2
2
DETERMINAÇÃO DE :
Na extremidade engastada (x = L), o deslocamento (y) é nulo. Substituindo na equação (***):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação da linha elástica é:
 
 
 
 (****)
Deslocamento vertical na extremidade livre: Substituindo x = 0 na equação da linha elástica (****), tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rotação na extremidade livre: Substituindo-se x = 0 na equação (**) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. (CESGRANRIO - 2015 - PETROBRAS - PROFISSIONAL JÚNIOR - ENGENHARIA MECÂNICA) A
LINHA ELÁSTICA DE UMA VIGA ENGASTADA-LIVRE, SUJEITA A UM CARREGAMENTO
TRANSVERSAL UNIFORME AO LONGO DE TODO O SEU VÃO, É REPRESENTADA POR UM
POLINÔMIO DE ORDEM:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. UMA VIGA PRISMÁTICA DE MATERIAL HOMOGÊNEA, DISPOSTA HORIZONTALMENTE,
ENCONTRA-SE ENGASTADA EM UMA DAS EXTREMIDADES. NA EXTREMIDADE LIVRE É
C2
E ⋅ I ⋅ 0 = +   ⋅ L +  C2  →  C2 =  
−P ⋅L3
6
P ⋅L2
2
− P ⋅L3
3
y = ⋅( +   ⋅ x − )1
E.I
−P ⋅x3
6
P ⋅L2
2
 P .L3
3
y = ⋅ (−x3 +  3 ⋅ L2 ⋅ x − 2 ⋅ L3)P
6⋅E⋅I
yA =
−P ⋅L3
3⋅E⋅I
E ⋅ I ⋅ θA = +  
−P ⋅02
2
P ⋅L2
2
θA =  
  P ⋅L2
2⋅E⋅I
APLICADA UMA FORÇA VERTICAL PARA BAIXO DE 1.200N. SUPONDO QUE O MATERIAL QUE
CONSTITUI A VIGA POSSUI MÓDULO DE ELASTICIDADE 80GPA E A SEÇÃO RETA MOMENTO
DE INÉRCIA, EM RELAÇÃO À LINHA NEUTRA, , DETERMINE EM MÓDULO O
DESLOCAMENTO VERTICAL DA EXTREMIDADE LIVRE. CONSIDERE O COMPRIMENTO DE 4M
DA VIGA.
A) 4mm
B) 4,5mm
C) 5mm
D) 6mm
E) 7mm
3. SUPONHA UMA VIGA DISPOSTA HORIZONTALMENTE ENGASTADA EM UMA DAS
EXTREMIDADES COM O COMPRIMENTO DE 2M. NA EXTREMIDADE LIVRE É APLICADA UMA
FORÇA VERTICAL PARA BAIXO DE 4KN. SUPONDO A RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) CONSTANTE E
IGUAL A EM UNIDADES DO S.I., DETERMINE EM MÓDULO AS INCLINAÇÕES NAS
EXTREMIDADES DA VIGA:
A) 0 e 0,002 rad
B) 0,001 e 0,001 rad
C) 0 e 0,0001 rad
D) 0 e 0,001 rad
E) 0,0001 e 0,001 rad
4. UMA VIGA ENCONTRA-SE BIAPOIADA E COM UM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE
DISTRIBUÍDO (Q) AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO L. SUPONDO QUE A SEÇÃO RETA SEJA
CONSTANTE E O MATERIAL HOMOGÊNEO, DETERMINE A EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
PARA A SITUAÇÃO DESCRITA. CONSIDERE A RIGIDEZ À FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) 
8 ⋅ 10−5 m4
8 ⋅ 106
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
4.E.I
B) 
C) 
D) 
E) 
5. CONSIDERE UM ELEMENTO ESTRUTURAL PRISMÁTICO (VIGA) BIAPOIADO, DISPOSTO
HORIZONTALMENTE E COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q AO LONGO
DE SEU COMPRIMENTO L. SUPONDO QUE A SEÇÃO RETA SEJA CONSTANTE, O MATERIAL
HOMOGÊNEO E O REGIME ELÁSTICO, DETERMINE EM MÓDULO O MAIOR DESLOCAMENTO
VERTICAL DA VIGA. CONSIDERE A RIGIDEZ À FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UMA ESTRUTURA METÁLICA QUE POSSUI ELEMENTOS HORIZONTAIS E
VERTICAIS. UM DOS ELEMENTOS HORIZONTAIS APRESENTA-SE BIAPOIADO (APOIOS DE
PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS NAS EXTREMIDADES) SOB CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
Q, AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO. O MATERIAL UTILIZADO É O AÇO A 36 COM SEÇÃO
RETA CONSTANTE, TAL QUE O PRODUTO DO MOMENTO DE INÉRCIA (I) PELO MÓDULO DE
ELASTICIDADE (E) DO AÇO É CONSTANTE. ASSIM, EM MÓDULO, AS INCLINAÇÕES NAS
EXTREMIDADES ONDE ENCONTRAM-SE OS APOIOS VALEM:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. (CESGRANRIO - 2015 - Petrobras - Profissional Júnior - Engenharia Mecânica) A linha elástica de uma viga
engastada-livre, sujeita a um carregamento transversal uniforme ao longo de todo o seu vão, é representada por
um polinômio de ordem:
A alternativa "E " está correta.
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
12.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
24.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)3q
8.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
6.E.I
y =
5q⋅L4
24⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
120⋅E⋅I
y =
q⋅.L4
120⋅E⋅I
y =
3⋅q⋅L4
384⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
384⋅E⋅I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
24.E.I
3q.L3
24.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
12.E.I
q.L3
24.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
24.E.I
q.L3
24.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
12.E.I
q.L3
12.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
120.E.I
q.L3
120.E.I
A partir da EDO que descreve a linha elasticidade (equação 10), tem-se:
Para um carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor atuante ao longo da viga é uma função polinomial do
2º grau. Como serão feitas duas integrações, a linha elástica será do 4º grau.
2. Uma viga prismática de material homogênea, disposta horizontalmente, encontra-se engastada em uma das
extremidades. Na extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo de 1.200N. Supondo que o material
que constitui a viga possui módulo de elasticidade 80GPa e a seção reta momento de inércia, em relação à linha
neutra, , determine em módulo o deslocamento vertical da extremidade livre. Considere o comprimento
de 4m da viga.
A alternativa "A " está correta.
Seja uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força concentrada P na extremidade livre, com rigidez à
flexão (E.I) constante. O deslocamento vertical é em módulo igual a:
Substituindo os valores apresentados na questão:
3. Suponha uma viga disposta horizontalmente engastada em uma das extremidades com o comprimento de 2m.
Na extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo de 4kN. Supondo a rigidez à flexão (E.I) constante e
igual a em unidades do S.I., determine em módulo as inclinações nas extremidades da viga:
A alternativa "D " está correta.
Considere uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força concentrada P na extremidade livre, sendo a
rigidez à flexão (E.I) constante. A inclinação na extremidade engastada é zero e, na extremidade livre, tem módulo igual a:
Substituindo os valores apresentadosna questão:
4. Uma viga encontra-se biapoiada e com um carregamento uniformemente distribuído (q) ao longo de seu
comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante e o material homogêneo, determine a equação da linha
elástica para a situação descrita. Considere a rigidez à flexão igual a E.I.
A alternativa "C " está correta.
=
d2y
dx2
M(x)
E⋅I
8 ⋅ 10−5 m4
ymáx =
P⋅L3
3⋅E⋅I
ymáx = = 0,004m = 4 mm
1200⋅43
3.80.109⋅8⋅10−5
8 ⋅ 106
θA =  
  P.L2
2⋅E⋅I
θA = = 0,001 rad
  4000⋅22
2⋅ (8⋅10 )
6
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE VIGA BIAPOIADA SOB
CARREGAMENTO UNIFORME.
Demonstração da linha elástica para viga biapoiada com carregamento uniforme, a partir da EDO e condições de contorno.
5. Considere um elemento estrutural prismático (viga) biapoiado, disposto horizontalmente e com carregamento
uniformemente distribuído q ao longo de seu comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante, o material
homogêneo e o regime elástico, determine em módulo o maior deslocamento vertical da viga. Considere a rigidez à
flexão igual a E.I.
A alternativa "E " está correta.
Para a situação descrita, a linha elástica é:
O deslocamento vertical máximo ocorre para . Substituindo na equação da linha elástica, tem-se:
Em módulo, .
6. Considere uma estrutura metálica que possui elementos horizontais e verticais. Um dos elementos horizontais
apresenta-se biapoiado (apoios de primeiro e segundo gêneros nas extremidades) sob carregamento distribuído q,
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
24.E.I
x = L
2
y = ⋅(( )
4
+ 2 ⋅ L( )
3
− L3 ⋅( )) q
24⋅E⋅I
L
2
L
2
L
2
y = ⋅ (− +   − )q
24⋅E⋅I
L4
16
L4
4
L4
2
y =
−5q⋅L4
384⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
384⋅E⋅I
ao longo de seu comprimento. O material utilizado é o aço A 36 com seção reta constante, tal que o produto do
momento de inércia (I) pelo módulo de elasticidade (E) do aço é constante. Assim, em módulo, as inclinações nas
extremidades onde encontram-se os apoios valem:
A alternativa "C " está correta.
A situação de carregamento e apoios apresenta a seguinte linha elástica:
Derivando em relação a x, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A inclinação é dada por . Nas extremidades, x = 0 e x = L. Substituindo na equação anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento prevê uma viga AB, de comprimento L,
engastada em uma das extremidades e livre na outra com carregamento uniformemente distribuído, conforme a figura:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A viga a ser utilizada é prismática com seção reta constante de material homogêneo de módulo de elasticidade E. O
momento de inércia da seção em relação à linha neutra é I (constante) e o regime de trabalho desse elemento estrutural é
o elástico. O engenheiro quer determinar a linha elástica para o carregamento proposto e o deslocamento máximo.
RESOLUÇÃO
y = ⋅ (−x4 + 2.L.x3 − L3.x)q
24.E.I
= ⋅ (−4.x3 +  6.L.x2 − L3)dy
dx
q
24.E.I
θ
dy
dx
θ1 = ⋅(−4. 03 + 6.L. 02 − L3)→ θ1 =
q
24.E.I
−q.L3
24.E.I
θ2 = ⋅(−4.L3 + 6.L.L2 − L3)→ θ2 =
q
24.E.I
q.L3
24.E.I
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE UMA VIGA ENGASTADA E
SOB CARREGAMENTO UNIFORME.
A partir da equação diferencial (EDO) que rege a deformação elástica de uma viga, será demonstrada a linha elástica e
calculada a deflexão máxima.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SUPONHA AS DUAS SITUAÇÕES APRESENTADAS NA FIGURA. CONSIDERANDO QUE AS
BARRAS 1 E 2 APRESENTAM A MESMA RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) E O COMPRIMENTO DA
SEGUNDA É O DOBRO DO COMPRIMENTO DA PRIMEIRA, A RAZÃO ENTRE OS
DESLOCAMENTOS DAS EXTREMIDADES LIVRES É:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. SEJA UMA VIGA SOB UM CARREGAMENTO GENÉRICO, TAL QUE O MOMENTO FLETOR
QUE ATUA NAS SEÇÕES INTERNAS É DESCRITO POR UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 3º
GRAU. ADOTANDO-SE AS PREMISSAS DE REGIME ELÁSTICO, SEÇÃO CONSTANTE E
MATERIAL UNIFORME, A LINHA ELÁSTICA SERÁ DESCRITA POR UMA
A) função exponencial.
B) função constante.
C) função polinomial do 5º.
D) função polinomial do 4º.
E) função polinomial do 3º.
GABARITO
1. Suponha as duas situações apresentadas na figura. Considerando que as barras 1 e 2 apresentam a mesma
rigidez à flexão (E.I) e o comprimento da segunda é o dobro do comprimento da primeira, a razão entre os
deslocamentos das extremidades livres é:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma viga engastada de comprimento L e sob a ação de uma força concentrada F na extremidade livre, com rigidez à
flexão (E.I) constante, o deslocamento vertical em módulo da extremidade livre é igual a:
1
2
1
3
1
4
1
8
1
16
Para cada situação, apenas o comprimento varia. Assim:
A razão será:
2. Seja uma viga sob um carregamento genérico, tal que o momento fletor que atua nas seções internas é descrito
por uma função polinomial do 3º grau. Adotando-se as premissas de regime elástico, seção constante e material
uniforme, a linha elástica será descrita por uma
A alternativa "C " está correta.
 
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a linha elasticidade é:
O carregamento apresentado é tal que o momento fletor atuante ao longo da viga é uma função polinomial do 3º grau.
Como serão feitas duas integrações numa função do 3º grau, a linha elástica será do 5º grau.
MÓDULO 4
 Formular o cisalhamento na flexão
O CISALHAMENTO NA FLEXÃO.
Apresentação da tensão cisalhante em uma seção de uma viga sob flexão.
yextremidade   livre =
F.L3
3.E.I
y1 =     e    y2 =
F.L3
3.E.I
F.(2L)3
3.E.I
= =  
y1
y2
F.L3
3.E.I
F.8.L3
3.E.I
1
8
=
d2y
dx2
M(x)
E.I
INTRODUÇÃO
Este módulo apresentará a tensão de cisalhamento ao longo de uma seção reta de uma viga submetida à flexão.
Individualizando um elemento infinitesimal cúbico, percebe-se que a tensão cisalhante atua nas quatro faces do cubo,
conforme figura 16.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 16 – Distribuição cisalhante em uma viga sob flexão.
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS PRISMÁTICOS
A Figura 16 mostra que a tensão cisalhante de um elemento prismático sob flexão ocorre também no plano perpendicular
ao da seção reta. O entendimento físico dessa atuação pode utilizar uma analogia, como faz o autor Hibbeler, em sua obra.
Suponha três tábuas empilhadas sem nenhum tipo de atrito entre elas. Ao se aplicar uma carga concentrada P, o conjunto
sofrerá uma flexão, e como as tábuas estão soltas, é possível o deslizamento entre elas.
Caso as tábuas estivessem unidas, o deslizamento não ocorreria (haveria uma tendência). Esse impedimento ao
movimento é a ação da tensão cisalhante nas superfícies de união das tábuas. Observe a figura 17.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 17 – Cisalhamento no plano longitudinal.
No estudo do cisalhamento de uma viga sob flexão, as seguintes premissas serão utilizadas: regime elástico e deformação
desprezível das seções transversais, mantendo-se planas. A figura 18 mostra uma viga com a deformação real em que as
seções retas deixam de ser planas.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 263.
 Figura 18 – Cisalhamento no plano longitudinal.
EXPRESSÃO MATEMÁTICA PARA O CISALHAMENTO
A demonstração da expressão que determina a tensão cisalhante ao longo da seção reta de uma viga prismática, sob
flexão, apresenta maior dificuldade matemática, visto que a deformação por cisalhamento e a tensão cisalhante não
apresentam, por exemplo, um comportamento linear.
Seja a viga com um carregamento genérico, conforme ilustra a figura 19. Além, será inicialmente considerada uma seção
com geometria genérica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 19 – Carregamento genérico em uma viga biapoiada.
Da figura 19, isolando-se um comprimento infinitesimal dx da viga, tem-se a figura 20, que apresenta uma série de
informações:
LINHA NEUTRA (LN).
ESPESSURA T ONDE DESEJA-SE DETERMINAR A TENSÃO
CISALHANTE.ÁREA A DA SEÇÃO TRANSVERSAL.
ÁREA A' DA SEÇÃO ACIMA DA LINHA T.
DISTÂNCIA ( ) DO CENTROIDE DA ÁREA A' À LINHA NEUTRA.
DISTÂNCIA ( ) DA LINHA DE ESPESSURA T À LINHA NEUTRA.
ȳ '
y'
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 20 – Cisalhamento no plano longitudinal
Assim, a expressão que determina a tensão cisalhante ao longo da linha de espessura t é dada pela equação 13.
(equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que V é o esforço cortante resultante na seção de estudo, e Q é o momento estático da área A’, em relação à linha
neutra. Relembrando, a expressão que calcula Q é dada pela equação 14:
(equação 14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OBS.: A TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DA LINHA DE ESPESSURA
É UM VALOR MÉDIO, CONSIDERANDO-SE, ASSIM, COMO CONSTANTE.
 EXEMPLO
Suponha uma viga biapoiada sob o carregamento mostrado na figura. A seção reta da viga é um retângulo de base 100mm
e altura 200mm.
τ =
V .Q
I.t
Q = ∫ ydA' =  ȳ '.A'
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando o corte indicado na figura, determine a tensão numa linha paralela ao eixo neutro, a 50mm desse eixo.
Solução
Inicialmente, deve-se encontrar as reações nos apoios A e B a partir do equilíbrio da viga. Pela simetria, 
. Fazendo o “corte” na região indicada e mostrando apenas o esforço interno cortante, tem-se:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Do equilíbrio translacional do DCL, V = 3kN = 3.000N
Seção reta:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determinação do momento de inércia da seção reta em relação à linha neutra:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espessura da linha: t = 100mm = 0,1m
Área acima da linha t: 
Momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra:

RA  =  RB  =  3. 000N
I = = 6,67.10−5 m4
( 0,1 ) .(0,2)
3
12
A'   =  (0,1). (0,05)  =  5.  10 − 3m2
Q = ȳ ' ⋅ A' → Q = (0,075). 5. 10−3 = 3,75. 10−4m3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 13, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÃO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES USUAIS
No item anterior, foi apresentado o cálculo da tensão cisalhante para uma seção reta genérica. A partir da expressão
determinada na equação 13, é alcançada uma expressão que mostra, por exemplo, como a tensão cisalhante varia ao
longo de uma seção retangular/quadrangular. Além disso, a partir da expressão matemática, será percebida a variação da
tensão, ao longo da altura da seção, além dos seus valores máximo e mínimo.
A SEÇÃO RETA A SER ESTUDADA É A RETANGULAR DE BASE B E
ALTURA H. NOTE QUE UM QUADRADO É UM CASO PARTICULAR DO
RETÂNGULO EM QUE B = H = L.
Suponha a seção retangular de base (b) e altura (h) submetida à resultante dos esforços cortantes V. Ademais, o momento
de inércia da seção retangular em relação à linha neutra e dado por . A figura a seguir apresenta um esboço da
seção reta e alguns elementos importantes:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A linha t, em destaque, tem espessura t = b. A área A’ acima dessa linha é determinada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da geometria da figura é possível escrever a expressão para :
τ = = 0,16875 MPa
3000.(3,75. 10−4)
6,67.10−5.(0,1)
I = b.h
3
12
A' =( − y). bh
2
ȳ '
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra é dado por:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 13:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se a equação 15:
(equação 15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, é possível inferir que nas extremidades da seção reta da viga ( ou ) as tensões
cisalhantes são nulas. Observe:
 
 
 

ȳ ' = y +   ⋅( − y)= ⋅( + y)12
h
2
1
2
h
2
Q = ȳ ' ⋅ A' → Q = ⋅( + y)⋅( − y)⋅b12
h
2
h
2
Q = ⋅( − y2)b2
h2
4
τ =
V ⋅ ⋅( −y2 )b2
h2
4
⋅bb.h
3
12
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
2
y = − h
2
τ = ⋅( − ( )2)→ τ = 06V
b.h3
h2
4
h
2
τ = ⋅( − (− )2)→ τ = 06V
b.h3
h2
4
h
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, a expressão da equação 15 representa a função de uma parábola, ou seja, a tensão cisalhante varia segundo
uma função do 2º grau.
 ATENÇÃO
Para se determinar o valor máximo da tensão cisalhante, deriva-se a expressão 15 em relação à variável y e iguala-se a
zero.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Valor máximo da tensão cisalhante: substituir y = 0 (maximante) na equação 15, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A figura 21 tem um esboço da variação da tensão cisalhante ao longo da altura da seção reta (equação 15):
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 265.
 Figura 21 – Distribuição da tensão cisalhante.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA BIAPOIADA DE 3M DE COMPRIMENTO ENCONTRA-SE SOB UM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q = 2 KN/M. A SEÇÃO RETA DA VIGA É UM RETÂNGULO DE
BASE 120MM E ALTURA 300M. A FLEXÃO SOFRIDA PELA VIGA PROVOCA TENSÕES DE
CISALHAMENTO NA SEÇÃO DE ESTUDO. SOBRE ESSAS TENSÕES, SÃO FEITAS AS
SEGUINTES AFIRMATIVAS:
= ⋅(0 − 2y)→ ⋅(0 − 2y)= 0 → y = 0dτ
dy
6V
b.h3
6V
b.h3
τmáxima = ⋅( − 02)= ⋅ = =6Vb.h3
h2
4
6V
b.h3
h2
4
3.V
2.b.h
3.V
2.A
A VARIAÇÃO DA TENSÃO AO LONGO DO EIXO VERTICAL Y É LINEAR, SENDO MÁXIMA
NAS EXTREMIDADES E MÍNIMA NA LINHA NEUTRA.
A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DO EIXO Y VARIA SEGUNDO UMA
FUNÇÃO QUADRÁTICA.
OS VALORES MÍNIMOS DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO ENCONTRAM-SE NAS FIBRAS
SUPERIOR E INFERIOR DA VIGA.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas as afirmativas I e II.
C) Apenas a afirmativa I e III.
D) Apenas a afirmativa II e III.
E) Apenas a afirmativa III.
2. UMA VIGA RETANGULAR DE ÁREA COM DIMENSÕES 50MM POR 100MM ENCONTRA-SE
BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO NA FORMA TRIANGULAR. UMA SEÇÃO FOI
DEFINIDA PARA O ESTUDO DAS TENSÕES CISALHANTE E O ESFORÇO CISALHANTE É DE
3KN. DETERMINAR A TENSÃO DE CISALHANTE MÁXIMA:
A) 0,90MPa
B) 0,80MPa
C) 0,75MPa
D) 0,60MPa
E) 0,50MPa
3. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA DE SEÇÃO CIRCULAR E ÁREA A. O ESFORÇO
CORTANTE NA REGIÃO ANALISADA APRESENTA MÓDULO V. DETERMINE A TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA, EM MÓDULO:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2V
3A
3V
2A
4V
3A
3V
4A
V
A
4. CONSIDERE A VIGA MOSTRADA NA FIGURA COMO PARTE DE UMA ESTRUTURA EM
EQUILÍBRIO. A SEÇÃO RETA DA VIGA É CONSTANTE E TEM A FORMA DE UM RETÂNGULO DE
BASE B E ALTURA H. EM DADA SEÇÃO É FEITO UM “CORTE” PARA ESTUDO E O ESFORÇO
CORTANTE TEM MÓDULO V. QUE EXPRESSÃO DETERMINA A TENSÃO CISALHANTE NUM
PONTO LOCALIZADO A UMA DISTÂNCIA DE DA LINHA NEUTRA?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DUAS VIGAS MACIÇAS E DE SEÇÕES RETAS COM MESMA ÁREA A ESTÃO SUBMETIDAS A
CARREGAMENTO PARTICULARES. A PRIMEIRA VIGA TEM SEÇÃO RETANGULAR, E A
SEGUNDA VIGA, SEÇÃO CIRCULAR. CONSIDERE QUE NAS DUAS SEÇÕES DE ESTUDO OS
ESFORÇOS CORTANTE TENHAM MESMO VALOR V. QUAL A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES
CISALHANTES MÁXIMAS ATUANTES (NA SEÇÃO CONSIDERADA) NA PRIMEIRA E NA
SEGUNDA VIGAS:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. (QUESTÃO 7.4 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. HIBBELER, 2010, P. 272) SE A VIGA
DE ABAS LARGAS FOR SUBMETIDA A UM CISALHAMENTO V = 125KN, CONFORME A FIGURA,
DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA:
h
3
3.V
2.b.h
4.V
3.b.h
6.V
5.b.h
5.V
6.b.h
1.V
6.b.h
9
16
9
4
1
9
8
16
9
A) 8,74MPa
B) 10,25MPa
C) 14,89MPa
D) 16,52MPa
E) 19,87MPa
GABARITO
1. Uma viga biapoiada de 3m de comprimento encontra-se sob um carregamento uniformemente distribuído q = 2
kN/m. A seção reta da viga é um retângulo de base 120mm e altura 300m. A flexão sofrida pelaviga provoca
tensões de cisalhamento na seção de estudo. Sobre essas tensões, são feitas as seguintes afirmativas:
A variação da tensão ao longo do eixo vertical y é linear, sendo máxima nas extremidades e mínima na linha
neutra.
A variação da tensão cisalhante ao longo do eixo y varia segundo uma função quadrática.
Os valores mínimos das tensões de cisalhamento encontram-se nas fibras superior e inferior da viga.
A alternativa "D " está correta.
A equação 15 rege a distribuição da tensão cisalhante ao longo da seção:
A função é do 2º grau e não linear, e para ou (extremos da viga) a tensão cisalhante é zero, logo mínima.
2. Uma viga retangular de área com dimensões 50mm por 100mm encontra-se biapoiada com carregamento
distribuído na forma triangular. Uma seção foi definida para o estudo das tensões cisalhante e o esforço cisalhante
é de 3kN. Determinar a tensão de cisalhante máxima:
A alternativa "A " está correta.
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
2
y = − h
2
A área A da seção retangular é . A expressão para tensão máxima numa seção
retangular é dada por:
3. Considere uma viga biapoiada de seção circular e área A. O esforço cortante na região analisada apresenta
módulo V. Determine a tensão cisalhante máxima, em módulo:
A alternativa "C " está correta.
Considere a seção circular a seguir. A tensão de cisalhamento ocorre no diâmetro da seção:
Espessura da linha: t = 2R
Área 
Momento estático Q – lembrando que o centroide do semicírculo, em relação ao diâmetro, está na posição . Logo, 
Momento de inércia I do círculo em relação ao eixo neutro: 
Substituindo na equação 13, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Considere a viga mostrada na figura como parte de uma estrutura em equilíbrio. A seção reta da viga é
constante e tem a forma de um retângulo de base b e altura h. Em dada seção é feito um “corte” para estudo e o
esforço cortante tem módulo V. Que expressão determina a tensão cisalhante num ponto localizado a uma
distância de da linha neutra?
A alternativa "D " está correta.
A = 0, 05 × 0, 1  =  5. 10−3 m2
tmáxima = = 0,90 MPa
3.3000
2.(5.10−3)
A' = π.R
2
2
ȳ' = 4R
3π
Q = ⋅ → Q =4R
3π
π.R2
2
2R3
3
I =
π.R4
4
τ = → τ = → τmáxima = =
V.Q
I.t
V⋅
2R3
3
⋅2R
π.R4
4
V⋅
2R3
3
⋅2R
π.R4
4
4.V
3.A
h
3
A equação 15 determina a tensão cisalhante em qualquer ponto para uma seção retangular.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y é medido a partir da linha neutra. Para a questão, . Substituindo-se na equação anterior, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Duas vigas maciças e de seções retas com mesma área A estão submetidas a carregamento particulares. A
primeira viga tem seção retangular, e a segunda viga, seção circular. Considere que nas duas seções de estudo os
esforços cortante tenham mesmo valor V. Qual a razão entre as tensões cisalhantes máximas atuantes (na seção
considerada) na primeira e na segunda vigas:
A alternativa "D " está correta.
A tensão cisalhante máxima para a seção retangular é dada por , e para a seção circular é dada por .
Assim, a razão entre as tensões será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. (Questão 7.4 do livro Resistência dos Materiais. Hibbeler, 2010, p. 272) Se a viga de abas largas for submetida a
um cisalhamento V = 125kN, conforme a figura, determine a tensão de cisalhamento máxima:
A alternativa "E " está correta.
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
3
τ = ⋅( − ( )
2
)→ τ = ⋅( − 2)=6V
b.h3
h2
4
h
3
6V
b.h3
h2
4
h
9
5.V
6.b.h
τ = 3V
2A
τ' = 4V
3A
= =τ
τ'
3V
2A
4V
3A
9
8
CÁLCULO DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA NUMA VIGA DE PERFIL
T.
Determinação do local da seção T em que ocorre a tensão cisalhante máxima, e sua determinação, a partir da expressão
geral.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma estrutura metálica com seção circular reta de raio R será utilizada com uma viga em um projeto. A fim de conhecer a
distribuição das tensões cisalhante na seção reta dessa viga, o engenheiro quer desenvolver uma expressão. Considere
que para dada seção o esforço cortante seja V.
RESOLUÇÃO
DEMONSTRAÇÃO DA EXPRESSÃO DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
EM SEÇÕES CIRCULARES. APLICAÇÃO PARA A TENSÃO MÁXIMA.
A partir da fórmula geral para tensão cisalhante, será demonstrada uma expressão da tensão cisalhante ao longo do raio
de uma seção circular. Será utilizada a ferramenta matemática integração.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE QUE UMA VIGA DE SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM ESTÁ SOB FLEXÃO, NO
REGIME ELÁSTICO. A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA É IGUAL A 6,00MPA. SE A VIGA FOR
TROCADA POR OUTRA DE RAIO 40MM, SOB AS MESMAS CONDIÇÕES, A TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA SERÁ:
A) 6,00MPa
B) 4,50MPa
C) 3,00MPa
D) 1,50MPa
E) 0,50MPa
2. UMA VIGA BIAPOIADA COM 2M DE COMPRIMENTO ESTÁ SOB UM CARREGAMENTO
UNIFORME. EM DADA SEÇÃO O ESFORÇO CORTANTE É DE 12KN. SUPONDO QUE A SEÇÃO
RETA SEJA UM RETÂNGULO DE BASE 200MM E ALTURA 250MM, DETERMINE A TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA:
A) 1,00MPa
B) 0,80MPa
C) 0,50MPa
D) 0,36MPa
E) 0,25MPa
GABARITO
1. Considere que uma viga de seção circular de raio 20mm está sob flexão, no regime elástico. A tensão cisalhante
máxima é igual a 6,00MPa. Se a viga for trocada por outra de raio 40mm, sob as mesmas condições, a tensão
cisalhante máxima será:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma seção circular, a tensão máxima é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A razão entre as tensões cisalhantes é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma viga biapoiada com 2m de comprimento está sob um carregamento uniforme. Em dada seção o esforço
cortante é de 12kN. Supondo que a seção reta seja um retângulo de base 200mm e altura 250mm, determine a
tensão cisalhante máxima:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma seção retangular, a tensão máxima é dada por:
 
 
τmáxima =  
4.V
3.π.R2
= → = → τ' = 1 ,50 MPa6
τ'
4V
3.π.(20)2
4V
3.π.(40)2
6
τ'
1600
400
τmáxima =  
3.V
2A
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos os principais aspectos da flexão pura em elementos prismáticos (vigas). Inicialmente apresentamos os efeitos nas
fibras (compressão e tração) e a região de transição, a linha neutra ou eixo neutro.
Na sequência, as expressões para o cálculo das tensões mínima e máxima por flexão foram apresentadas, além da
variação linear dessa tensão ao longo da altura da seção reta submetida à flexão.
Posteriormente, vimos a equação da linha elástica de vigas sob flexão, e a exemplificação de várias situações, como vigas
biapoiadas e engastadas com carregamentos distintos; além disso, inclinações e deflexões máximas foram determinadas.
Por fim, fizemos a análise das tensões cisalhantes em elementos sob flexão e para seções usuais, e apresentamos
expressões particulares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e métodos básicos. 2 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
τmáxima =   = 0,36  = 0,36 MPa
3.(12.000)
2. ( 200 ) .(250)
N
mm2
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos aqui abordados:
Pratique os exercícios (páginas 339 a 343) da terceira edição do livro Resistência dos Materiais (indicado nas
referências).
Complemente o estudo de tensões cisalhantes em elementos sob flexão (páginas 493 a 495) do livro Mecânica
Vetorial para Engenheiros – Estática, de Johnston Jr. e Ferdinand P. Beer.
Complemente o estudo da linha elástica nas tabelas (páginas 586 e 587) do livro Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler (indicado nas referências).
CONTEUDISTA
Julio Cesar José RodriguesJunior