Atividade 3 - Cálculo 1

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Execute o que se pede para a função  f(x) = x4- 2x³.
Encontre os pontos críticos.
Encontre pontos de inflexão.
Encontre intervalos de crescimento e decrescimento.
Estude a concavidade.
Determine os extremos relativos.
 Determine os extremos absolutos. 
Esboce o gráfico.
Respostas:
Os pontos críticos são encontrados ao se calcular as raízes da primeira derivada da função dada:
f'(x) = 4x^3 – 6x^2 = 0
x(4x^2-6x) = 0 
x = 0 ou 4x^2-6x = 0
x(4x-6) = 0 
x = 0 ou x = 3/2
Assim, temos que a função correspondente à derivada primeira da função é uma função de terceiro grau do tipo poligonal com três raízes reais, sendo duas iguais a zero e uma igual a três meios, que são os pontos críticos desta função. 
Para calcular os pontos de inflexão, calculam-se as raízes da derivada segunda da função dada:
f"(x) = 12x^2-12x = 0
x(12x-12) = 0
x = 0 ou x = 1
Agora é preciso analisar se os pontos são ou não de inflexão. Isso é feito calculando-se valores antes e depois de cada valor.
f"(-1) = 12(-2)^2-12 = 48-12 = 36 > 0 (concavidade para cima)
f"(1/2) = 12(1/2)^2-12 = 3-12 = -9 < 0 (concavidade para baixo)
f”(2) = 12(2)^2-12 = 48-12 = 36 > 0 (concavidade para cima)
Portanto, como a concavidade da função, regida pelo sinal da segunda derivada, muda de sinal duas vezes, justamente nos pontos calculados, ambos são pontos de inflexão. 
Já para calcular os intervalos de crescimento e de decréscimo da função, deve-se analisar o sinal da derivada primeira:
f'(-1) = 4(-1)^3-6(-1) = -4+6 = 2 > 0 (crescimento)
f'(1/4) = 4(1/4)^3-6(1/4) = 1/16-6/4 = -23/16 < 0 (decréscimo)
f'(1) = 4(1)^3-6(1) = 4-6 = -2 < 0 (decréscimo)
A concavidade é da seguinte forma:
Para valores menores que zero para x, a concavidade é para cima. Entre os valores de x = 0 e x = 1, a função assume concavidade para baixo. E para valores superiores a x = 1 a função tem concavidade para cima novamente para cima.
Para determinar os extremos relativos, deve-se sobrepor a análise da primeira derivada com a da segunda derivada. Dessa forma obtém-se o seguinte: 
Em x = 0 e x=3/2 temos primeira derivada numa, o que é um indicador para pontos críticos, mas somente x = 3/2 é ponto de extremo relativo, sendo ponto de mínimo. 
Assim, o valor mínimo é:
f(3/2) = (3/2)^4-2(3/2)^3 = 81/16 – 27/4 = -27/16
Como só há um ponto de extremo relativo, este é um ponto de extremo absoluto, um mínimo global.
Esboço do gráfico de f(x) = x^4-2x^3