Questão resolvida - I) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente II) encontre os valores máximo e mínimo local de f III) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflex

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I) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
 
II) encontre os valores máximo e mínimo local de f.
 
III) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
 
a) f x =( )
x
x + 3
2
2
 
Resolução: 
 
I) e II)
 
Primeiro, vamos determinar os pontos críticos de .f x( )
Para determinar os pontos críticos, fazemos a primeira derivada da função e igualamos a 
zero;
 
f x = f'(x) = f'(x) = f'(x) = ( )
x
x + 3
2
2
→
2x x + 3 - 2xx
x + 3
2 2
2
2
→
2x + 6x - 2x
x + 3
3 3
2
2
→
6x
x + 32
2
 
f'(x) = 0 = 0 6x = 0 x = x = 0→
6x
x + 32
2
→ →
0
6
→
Vamos verificar qual o sinal de antes de (em ), e em (em );f'(x) x = 0 x = -1 x > 0 x = 1
 
Para x = -1
 
f'(-1) = f'(-1) = f'(-1) = - f'(-1) = -
6(-1)
(-1) + 32
2
→
-6
1 + 3( )2
→
6
4( )2
→
6
16
 
f'(-1) = - < 0
3
8
 
 
Para ; x = 1
 
f'(1) = f'(1) = f'(1) = f'(1) =
6(1)
(1) + 32
2
→
6
1 + 3( )2
→
6
4( )2
→
6
16
 
f'(1) = > 0
3
8
 
Onde a derivada é negativa, a função decresce e onde a derivada é positiva a função 
cresce, com isso, podemos montar o esquema a seguir;
 
Dessa forma, x = 0 é a coordenada x do ponto de mínimo local da função, a função
 decresce para x < 0 e cresce para x > 0 
 
III) 
 
Para descobrir os intervalos em que a função tem concavidade para cima ou para baixo, 
fazemos a segunda derivada e igualamos a zero;
 
f'(x) = f''(x) = f''(x) =
6x
x + 32
2
→
6 x + 3 - 2 x + 3 2x6x
x + 3
2 2 2
2
2 2
→
6 x + 3 - 24x x + 3
x + 3
2 2 2 2
( 2
4
 
f''(x) = = = =
x + 3 6 x + 3 - 24x
x + 3
2 2
2
4
6 x + 3 - 24x
x + 3
2 2
2
3
6x + 18 - 24x
x + 3
2 2
2
3
18 - 18x
x + 3
2
2
3
 
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
0
(Resposta - I) e II))
f''(x) =
18 1 - x
x + 3
2
2 3
 
f''(x) = 0 = 0 18 1 - x = 0 1 - x = 1 - x = 0 -x = - 1→
18 1 - x
x + 3
2
2
3
→
2
→
2
0
18
→
2
→
2
-x = - 1 × ( - 1) x = 1 x = ± x = ±12 → 2 → 1 →
 
Vamos verificar qual o sinal de antes de (em ), entre f''(x) x = -1 x = -2 x = -1 e x = 1
(em ), e em (em ); x = 0 x > 1 x = 2
 
Para : x = -2
f''(-2) = f''(-2) = f''(-2) = f''(-2) = - < 0
18 1 - (-2)
(-2) + 3
2
2
3
→
18 1 - 4
4 + 3
( )
( )3
→
18 -3
7
( )
( )3
→
54
49
 
Para : x = 0
f''(0) = f''(0) = f''(0) = f''(0) = > 0
18 1 - (0)
(0) + 3
2
2
3
→
18 1 - 0
0 + 3
( )
( )3
→
18 1
3
( )
( )3
→
18
9
 
Para : x = 2
f''(2) = f''(20) = f''(2) = f''(2) = - < 0
18 1 - (2)
(2) + 3
2
2
3
→
18 1 - 4
4 + 3
( )
( )3
→
18 -3
7
( )
( )3
→
54
49
 
Onde a segunda derivada é negativa, a função tem concavidade para baixo e, onde a 
segunda derivada é positiva, a função tem concavidade para cima, com isso, podemos 
montar o esquema a seguir;
 
 
 
0-2
+
-1 1
-
Concavidade
para baixo
Concavidade
para cima
-
Concavidade
para baixo
Os pontos de inflexão são aqueles em que a função muda de concavidade, analisando o
 esquema acima, verificamos que a concavidade da função é para baixo 
quando x < -1 ou x > 1, e a concavidade é para cima no intervalo - 1, 1 . ] [
A concavidade da função muda nos pontos de abcissas x = -1 e x = 1. 
 
 
(Resposta - III))