Relatório 5 de Física Experimental - MHS de um sistema massa-mola - Corpo

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I – INTRODUÇÃO 
	Sabemos de início que a palavra oscilação significa um balanço para frente e para trás. As oscilações ocorrem quando um sistema é perturbado a partir de uma posição de equilíbrio estável. Muitos exemplos existem: surfistas sobem e descem flutuando esperando uma boa onda, pêndulos de relógio balançam para lá e para cá, cordas e palhetas dos instrumentos musicais vibram. 
	Outros exemplos menos familiares, são as oscilações das moléculas de ar em uma onda sonora e as oscilações das correntes elétricas de rádios, aparelhos de televisão e detectores de metal. Existem muitos outros dispositivos que dependem de oscilações para funcionar. 
Muitos comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças restauradoras que tendem a trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições, sendo essas forças restauradoras basicamente do tipo forças elásticas, obedecendo, portanto, a Lei de Hooke : F = - kX
 Um tipo de movimento oscilatório muito comum e importante que discutiremos neste relatório de aula prática sob a orientação do professor Vanderlan Leite, é o movimento harmônico simples, como o de um corpo de massa m, é preso em uma mola vertical. Para tratarmos deste tipo de oscilação, primeiramente discutiremos os princípios básicos do MHS e de um sistema de oscilação massa-mola ideal.
Figura I.1: massa e mola em uma superfície sem atrito. O deslocamento medido no eixo x medido a partir da posição de equilíbrio (ponto 0), é positivo se a mola está esticada e é negativo se a mola está comprimida.
	
Em um equilíbrio de um sistema massa-mola, a mola não exerce força sobre o corpo. Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partir de sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre ele uma força -Kx dada pela lei de Hooke através da equação da força restauradora linear:
Fx = -Kx
Onde k é a constante de força da mola, uma medida de sua rigidez. O sinal negativo indica que a força é uma força restauradora; isto é ela tem o sentido oposto ao do deslocamento a partir da posição de equilíbrio. Combinando a equação da força restauradora linear com a 2ª lei de Newton temos:
- Kx = max
	A aceleração é proporcional ao deslocamento e o sinal negativo indica que a aceleração e o deslocamento possuem sentidos opostos. No movimento harmônico simples, a aceleração, e portanto, também a força resultante, são ambas proporcionais e opostas ao deslocamento a partir de sua posição de equilíbrio.
	Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força. 
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja jamais será considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. Enquanto um corpo de qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, é deformado, mesmo que seja de medidas desprezíveis.
Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola.
Em sala de aula, pela disciplina de Física experimental, realizamos um experimento que consistia em um sistema que possui um ponto de equilíbrio ao qual chamaremos de ponto 0 (x = 0). Toda vez que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto 0, surge uma força restauradora: F = -kX, que tenta trazê-lo de volta a situação inicial.
A posição - Xm representará a mola comprimida, enquanto que a posição +Xm representará a mola estendida.
À medida que afastamos o bloco de massa m da posição de equilíbrio, a força restauradora vai aumentando – ver figura I.2 – (por enquanto tratando do MHS em um sistema massa-mola, estamos tomando o valor de x crescendo positivamente à direita do ponto de equilíbrio e vice-versa), se empurrarmos o bloco de massa m para a esquerda da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento x surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0.
 Se puxarmos o bloco de massa m, e em seguida, o soltarmos, veremos o nosso sistema oscilando.
Figura I.2: representação de um sistema massa-mola em MHS, observe que o sistema obedece a uma frequência, oscilando por um deslocamento em x de –A até A.
 
	No experimento realizado em sala de aula, trabalhamos com um sistema massa-mola na posição vertical, neste caso imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante K e um bloco de massa m, que se aproximam das condições de um oscilador massa-mola ideal, com a mola presa verticalmente à um suporte e ao bloco de massa m, em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema:
Figura I.3: representação de um sistema massa-mola na posição vertical, observe que o sistema encontra-se na posição de equilíbrio com a massa m (P) presa. Esta pode assim oscilar da posição –A até A, caracterizando assim um MHS.
Nesse sistema quando um corpo é pendurado em uma mola vertical, existe uma força mg, para baixo, além da força da mola (figura I.3). se escolhermos o sentido de y positivo para baixo, então a força da mola sobre o corpo é –Ky, onde y é a distensão da mola. Partindo do ponto de equilíbrio, ao ser "puxado" o bloco, a força elástica será aumentada, e como esta é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador deve se manter em MHS, oscilando entre os pontos A e –A (figura I.3), já que a força resultante no bloco será:
 
y = -Ky + mg
	Mas, como o peso não varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma constante. Assim, a força varia proporcionalmente à elongação do movimento, portanto é um MHS. Tendo seu período expresso por:
T = 2 
II – OBJETIVOS
	
Estudar o Movimento Harmônico Simples(MHS) para um sistema massa-mola;
 Verificar a relação do período de oscilação e a massa do corpo;
Verificar a Lei de associações de molas em série e paralelo;
Medir grandezas físicas diretas e, a partir de gráficos, determinar outras grandezas;
Analisar o comportamento estático e dinâmico de um sistema massa-mola suspenso.
Verificar que o comportamento estático de uma mola, para pequenas deformações, é corretamente descrito pela Lei de Hooke.
III – MATERIAIS E METODOLOGIA APLICADA
	Neste procedimento experimental foram utilizados os seguintes equipamentos: uma mola, um suporte vertical para a mola, cronômetro, suporte para os blocos de massas diferentes, e blocos de massas variando de 10 a 60g. 
	O procedimento experimental baseou-se inicialmente na verificação e análise da mola que seria utilizada no experimento, primeiramente montamos o experimento onde a mola esteve disposta na posição vertical. Em seguida prendemos o suporte para os blocos na extremidade da mola.
	Sendo assim colocamos o sistema para oscilar fornecendo de início uma determinada força manual que provocou uma distensão específica na mola, assim o sistema começou a oscilar com pequenas amplitudes, e com o cronometro medimos o tempo para cada 10 oscilações.
	Este procedimento foi realizado com a utilização de cada bloco de massa, onde variávamos com o aumento da massa, onde cada vez que aumentávamos a massa do bloco, repetíamos o procedimento de provocar uma oscilação no sistema e calculávamos o tempo para cada 10 oscilações.
	Esta operação foi realizada três vezes para se obter um valor médio para o período. Os dados experimentais referentes às grandezas físicas como o tempo para cada 10 oscilações e o período, foram anotadas e tabeladas para posterior análise.
IV – RESULTADOS
	
	Tabela IV.1 – Medidas de tempo e período do oscilador massa-mola.
	
	Tempo t (s)
	
	Medida
	Massa (g)
	t1
	t2
	t3
	Período T1 (s)
	Período T2 (s)
	Período T3 (s)
	Período médio Tmed (s)
	Período médio ao quadrado Tmed2 (s2)
	1
	10
	3,34
	3,47
	3,680,33
	0,34
	0,36
	0,34
	0,13
	2
	20
	4,12
	3,94
	3,93
	0,41
	0,39
	0,39
	0,39
	0,15
	3
	30
	4,47
	4,50
	4,35
	0,45
	0,45
	0,43
	0,44
	0,19
	4
	40
	5,10
	4,93
	5,09
	0,51
	0,49
	0,51
	0,509
	0,25
	5
	50
	5,41
	5,56
	5,47
	0,54
	0,56
	0,55
	0,55
	0,30
	6
	60
	5,68
	5,59
	5,72
	0,57
	0,56
	0,56
	0,56
	0,31
V – DISCUSSÕES
	
1. Para cada valor de medida, calcular o período médio, o desvio padrão dos períodos, o quadrado dos períodos e a propagação de erros. Esses dados devem ser mostrados em forma de tabela. 
2. Fazer um gráfico, com os dados da tabela 1, em papel milimetrado de 2 em função da massa(m) para cada medida e o seu valor médio. 
3. Usando o método dos mínimos quadrados, encontrar, a equação da reta que se ajusta melhor aos dados do experimento. 
4. Discutir a relação entre a massa e o período de oscilação do sistema massa-mola. 
5. Fazer o gráfico do período médio( ) em função da massa(m). Verificar que função é obtida com esse gráfico[T(m)]. 
6. Esboçar o gráfico de log(T) em função de log(m). 
7. Determine uma equação entre o período e a massa do corpo. 
RESPOSTAS
1 – 
	Medida
	Período T1 (s)
	Período T2 (s)
	Período T3 (s)
	Período médio Tmed (s)
	Período médio ao quadrado Tmed2 (s2)
	1
	0,33
	0,34
	0,36
	0,34
	0,12
	2
	0,41
	0,39
	0,39
	0,39
	0,15
	3
	0,45
	0,45
	0,43
	0,44
	0,19
	4
	0,51
	0,49
	0,51
	0,509
	0,25
	5
	0,54
	0,56
	0,55
	0,55
	0,3
	6
	0,57
	0,56
	0,56
	0,56
	0,31
	Médias
	0,468333333
	0,465
	0,466666667
	0,464833333
	0,22
	Desvio padrão 
	0,08173467
	0,08180261
	0,07760298
	0,08171172
	0,072111
	Erro absoluto
	0,08173467
	0,08180261
	0,07760298
	0,08171172
	0,072111
	Erro relativo
	0,174522427
	0,175919591
	0,1662921
	0,175787135
	0,3277774
	Erro percentual
	17,4522427
	17,59195914
	16,62921
	17,57871352
	32,777741
2 – O gráfico referente a esta questão encontra-se ao final deste relatório.
3 – 
4 – Sabemos que o tempo que leva para um objeto deslocado executar um ciclo completo num movimento oscilatório é chamado de período T. Sabemos também que o inverso do período é a frequência f, que é o numero de ciclos por unidade de tempo:
 f = 
Experimentalmente temos que a posição no movimento oscilatório é dada por :
x = A cos(ωt + δ) 
Temos que a constante ω é chamada de frequência angular, e ela é descrita como:
 ω = ; onde K é a constante de elongação da mola e m é a massa do corpo suspenso à mola. A frequência angular possui unidades em radianos por segundo e dimensões de inverso do tempo, assim como a rapidez angular, que também é denotada por ω. Substituindo ω por 2π / T na equação que determina a posição no movimento oscilatório, teríamos então:
x = A cos(2π + )
Podemos ver por inspeção, que cada vez que o tempo t aumenta de T, a razão t / T aumenta de 1, a fase aumenta de 2π e um ciclo do movimento é completado. 
A frequência se relaciona com a frequência angular da forma:
ω = 2π - 2πf
	Como ω = , a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se relacionam com a constante de força K e a massa m da forma:
f = = 
Assim a frequência diminui com o aumento da massa, como o período é o inverso da frequência, temos que em um movimento harmônico simples num sistema massa-mola vertical, o período é diretamente proporcional a massa aplicada ao sistema, ou seja quanto maior for a massa maior será o tempo para que o corpo de massa m, suspenso pela mola, levará para executar um ciclo completo do movimento oscilatório.
5 – O gráfico referente a esta questão encontra-se ao final deste relatório
	Medida
	Massa (g)
	Período médio Tmed (s)
	1
	10
	0,34
	2
	20
	0,39
	3
	30
	0,44
	4
	40
	0,509
	5
	50
	0,55
	6
	60
	0,56
6 – O gráfico referente a esta questão encontra-se ao final deste relatório.
	Medida
	Massa (g)
	log(m)
	Período T1 (s)
	log(T1)
	Período T2 (s)
	log(T2)
	Período T3 (s)
	log(T3)
	1
	10
	1
	0,33
	-0,4814861
	0,34
	-0,46852108
	0,36
	-0,4436975
	2
	20
	1,30103
	0,41
	-0,3872161
	0,39
	-0,40893539
	0,39
	-0,40893539
	3
	30
	1,47712
	0,45
	-0,3467875
	0,45
	-0,34678749
	0,43
	-0,36653154
	4
	40
	1,60206
	0,51
	-0,2924298
	0,49
	-0,30980392
	0,51
	-0,29242982
	5
	50
	1,69897
	0,54
	-0,2676062
	0,56
	-0,25181197
	0,55
	-0,25963731
	6
	60
	1,77815
	0,57
	-0,2441251
	0,56
	-0,25181197
	0,56
	-0,25181197
7 – Temos que a frequência f sendo assim consequentemente o período T depende da constante K da mola e da massa, sendo que o período é diretamente proporcional a massa importa sobre a mola. Segue abaixo a equação que relaciona o período com a massa. 
T = 2 
VI – CONCLUSÃO
Neste experimento foram obtidas as seguintes conclusões:
Analisando os resultados para a associação em série, percebemos que quanto maior o número de espiras, menor será a constante de elasticidade equivalente (Keq), enquanto que na associação em paralelo esta constante aumenta proporcionalmente na medida em que aumenta a quantidade de molas.
Pode-se observar que ocorreram erros sistemáticos no experimento, erros estes
que devem ter sido provocados por algum erro na escolha de um valor da Escala Milimetrada Complementar, ou ainda, pela falta de visão do aluno no momento de
medir os dados analisados.
Apesar destes erros, o experimento foi de grande importância pois, proporcionou
aos alunos que dele participaram uma outra oportunidade de aprendizado. Porque através dele, foi possível observar a mudança que sofre a constante de elasticidade
equivalente de molas associadas.
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VII – REFERÊNCIAS
Apostila e material de apoio de Física Experimental, Movimento harmônico simples de um sistema massa-mola . Prof. Vanderlan Leite, Universidade Federal de Campina Grande. Outubro de 2011.
CUTNELL, J.D.; JOHNSON, K.W.; Física, Volume 1. 6ª edição, ed. LTC; tradução de José Paulo Soares de Azevedo. Rio de Janeiro, 2006.
TIPLER, P.A.; MOSCA, G.; Física para cientistas e engenheiros: Mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. Volume 1. 6º edição, ed. LTC. Rio de Janeiro 2009.
YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A., Física I: Mecânica. 12º
 edição, ed. Pearson Addison Wesley. São Paulo, 2009.