Estatística_semana02

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Estatística 
Semana 2 
 
Questão 1. Considere três dados cúbicos, simétricos, honestos, com seis faces cada um 
(numeradas de 1 a 6), e o experimento aleatório de lançá-los em sequência de maneira 
independente. 
 
Considere a variável aleatória X = “quantidade de números pares sorteados”. 
 
A média de X é: 
 
a) E(X) = 2 
b) E(X) = 1/2 
c) E(X) = 3/2 
d) E(X) = 2/3 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘C’. Já vimos na lista anterior que: 
 
(Questão 4, Semana 1) ⇒ P(X = 1) = 3/8, 
 
(Questão 6, Semana 1) ⇒ P(X = 2) = 3/8, 
 
(Questão 3, Semana 1) ⇒ P(X = 3) = 1/8. 
 
Assim: 
 
E(X) = 1 x P(X = 1) + 2 x P(X = 2) + 3 x P(X = 3) = 1 x ⅜ + 2 x ⅜ + 3 x ⅛ = 
= 12/8 = 3/2. 
 
 
Questão 2. Considere três dados cúbicos, simétricos, honestos, com seis faces cada um 
(numeradas de 1 a 6), e o experimento aleatório de lançá-los em sequência de maneira 
independente. 
 
Considere a variável aleatória X = “quantidade de números pares sorteados”. 
 
A variância de X é: 
 
a) VAR(X) = 1 
b) VAR(X) = 3/4 
c) VAR(X) = 1/2 
d) VAR(X) = 1/4 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘B’. Vimos acima que E(X) = 3/2, logo a variância é dada por 
 
VAR(X) = (1 - 3/2)² P(X = 1) + (2 - 3/2)² P(X = 2) + (3 - 3/2)² P(X = 3) = 
= (-2/2)² ⅜ + (1/2)² ⅜ + (3/2)² ⅛ = 
= 4/4 3/8 + 1/4 3/8 + 9/4 1/8 = 
= (12 + 3 + 9) / 32 = 24 / 32 = 3/4. 
 
 
Questão 3. Considere um maço de cartas formado por todas as 12 figuras do baralho: 4 
reis, 4 damas e 4 valetes. Em um experimento aleatório, são sorteadas duas cartas 
quaisquer desse maço ao acaso, sem reposição. Considere os eventos: 
 
K = “sair pelo menos um rei” 
Q = “sair pelo menos uma dama” 
 
Calcule P(Q | K). 
 
a) P(Q | K) = 1/11 
b) P(Q | K) = 2/11 
c) P(Q | K) = 3/11 
d) P(Q | K) = 4/11 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘D’. Primeiramente, vamos dividir o evento K em 3 eventos 
mutuamente excludentes: 
 
K1 = “sair um rei no primeiro sorteio somente” 
K2 = “sair um rei no segundo sorteio somente” 
K3 = “saem reis em ambos os sorteios” 
 
A probabilidade de K1 é a de sortear, como primeira carta, um dos 4 reis dentre o total de 
12 cartas, logo: 
 
P(K1) = 4/12 = 1/3. 
 
A probabilidade de K2 é a de sortear como primeira carta, um não-rei (8 dentre 12 
possibilidades) e, para segunda carta, um dos 4 reis dentre o total das 11 remanescentes 
(lembre-se que não há reposição). Logo: 
 
P(K2) = 8/12 x 4/11 = 4/11 x 2/3. 
 
Por fim, a probabilidade de K3 é a de sair um dos 4 reis no primeiro sorteio (4 dentre 12 
possibilidades) e novamente um rei no segundo sorteio (3 dentre 11 possibilidades). Daí: 
 
P(K3) = 4/12 x 3/11 = 3/11 x 1/3. 
 
Como K1, K2 e K3 são mutuamente excludentes “K1 ou K2 ou K3” = K temos 
 
P(K) = P(K1) + P(K2) + P(K3) = 11/11 x 1/3 + 4/11 x 2/3 + 3/11 x 1/3 = 
= (11 + 8 + 3) / 33 = 22/33 = 2/3. 
 
Da mesma forma: 
 
P(Q e K) = P(Q e K1) + P(Q e K2) + P(Q e K3) 
 
onde 
 
P(Q e K1) = probabilidade de sortear, como primeira carta, um rei (4 em 12 possibilidades) 
e, como segunda, uma dama (4 em 11 possibilidades; lembre-se: não há reposição) 
= 4/12 x 4/11 = 4/11 x 1/3. 
 
P(Q e K2) = probabilidade de sortear, como primeira carta, uma dama (4 em 12 
possibilidades) e, como segunda, um rei (4 em 11 possibilidades) 
= 4/12 x 4/11 = 4/11 x 1/3. 
 
P(Q e K3) = 0 (pois se saem 2 reis não há como sortear a dama!) 
 
⇒ P(Q e K) = 4/11 x 1/3 + 4/11 x 1/3 + 0 = 8/33 
 
Assim: P(Q | K) = P(Q e K) / P(K) = (8/33) / (2/3) = 4/11. 
 
 
Questão 4. Considere um maço de cartas formado por todas as 12 figuras do baralho: 4 
reis, 4 damas e 4 valetes. Em um experimento aleatório, são sorteadas duas cartas 
quaisquer desse maço ao acaso, sem reposição. Considere os eventos: 
 
K = “sair pelo menos um rei” 
Q = “sair pelo menos uma dama” 
 
Pode-se dizer que estes eventos: 
 
a) São independentes. 
b) São complementares. 
c) São mutuamente excludentes. 
d) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘D’. Esses eventos não são independentes, pois a informação 
de um “interfere” no conhecimento do outro. Por exemplo, baseado na resolução do 
exercício anterior temos 
 
P(Q | K) = 4/11 mas P(Q) = 2/3 (são diferentes). 
 
Também não são complementares (podem sair 2 valetes) nem mutuamente excludentes 
(pode sair um rei e uma dama). Resta a alternativa ‘D’. 
Questão 5. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e ambas com a mesma 
esperança. Podemos sempre escrever a esperança da variável aleatória X² + Y² como: 
 
a) E(X² + Y²) = E(X)² + E(Y)² 
b) E(X² + Y²) = VAR(X) + VAR(Y) 
c) E(X² + Y²) = E(X)² + E(Y)² - E(XY) 
d) E(X² + Y²) = VAR(X) + VAR(Y) + 2 E(XY) 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘D’. Sabemos que 
 
E(X² + Y²) = E(X²) + E(Y²) 
 
e que 
 
VAR(X) = E(X²) - E(X)² ⇒ E(X²) = VAR(X) + E(X)² 
VAR(Y) = E(Y²) - E(Y)² ⇒ E(Y²) = VAR(Y) + E(Y)² 
 
de modo que, substituindo, temos 
 
E(X² + Y²) = VAR(X) + VAR(Y) + E(X)² + E(Y)². 
 
Por outro lado, X e Y têm a mesma esperança, isto é, E(X) - E(Y) = 0. Elevando ambos os 
lados ao quadrado e desenvolvendo temos 
 
0 = [ E(X) - E(Y) ]² = E(X)² + E(Y)² - 2 E(X) E(Y) 
 
e assim 
 
E(X)² + E(Y)² = 2 E(X) E(Y). 
 
Por fim, sendo X e Y independentes, temos E(XY) = E(X) E(Y), e logo: 
 
E(X² + Y²) = VAR(X) + VAR(Y) + E(X)² + E(Y)² = 
 = VAR(X) + VAR(Y) + 2 E(X) E(Y) = 
 = VAR(X) + VAR(Y) + 2 E(XY). 
 
 
Questão 6. Sejam S um espaço amostral e A,B dois eventos em S. Considere as seguintes 
afirmações: 
 
I) Se A e B forem complementares então A e B são mutuamente excludentes. 
II) Se A e B forem mutuamente excludentes então A e B são complementares. 
III) Se A e B são mutuamente excludentes então A e B são independentes. 
IV) Se A e B são independentes então A e B são mutuamente excludentes. 
V) Se A e B são independentes então A e B são complementares. 
VI) Se A e B são complementares então A e B são independentes. 
 
São sempre VERDADEIRAS: 
 
a) A afirmação (I) apenas 
b) As afirmações (I) e (III) apenas 
c) As afirmações (II), (IV) e (VI) apenas 
d) Todas as afirmações. 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘A’. Se dois eventos são complementares, então por definição 
sua intersecção é vazia e sua reunião é o espaço amostral todo; em particular, eles são 
mutuamente excludentes. Logo (I) é verdadeira. 
 
As outras afirmações são falsas, em geral. Para ver isso, considere os espaço amostral 
 
S = { 1, 2, 3, 4 } 
 
Contra-exemplo para (II): A = { 1 } e B = { 2 } são mutuamente excludentes, mas não são 
complementares (pois 3 não pertence nem a A nem a B). 
 
Contra-exemplo para (III): A = { 1 } e B = { 2 } são mutuamente excludentes, mas não são 
independentes pois: 
 
P(A | B) = P (A e B) / P (B) = 0 / P(B) = 0, mas P(A) = ¼ (são diferentes). 
 
(na verdade, dois eventos mutuamente excludentes nunca são independentes, exceto se 
um deles for um “evento impossível” i.e. P = 0). 
 
Contra-exemplo para (IV): Os eventos A = { 1, 2 } e B = { 2, 3 } são independentes, pois 
 
P(A | B) = P(A e B) / P(B) = P( { 2} ) / P( { 2, 3 } ) = (¼) / (½) = ½ 
 
e 
 
P(A) = P( { 1, 2 } ) = ½ ⇒ portanto, são iguais! 
 
Mas eles não são mutuamente excludentes pois “A e B” = { 2 } não é vazio. 
 
Contra-exemplo para (V): Os eventos A = { 1, 2 } e B = { 2, 3 } são independentes (veja 
acima) mas não são complementares, pois 4 não pertence a “A ou B” = { 1, 2, 3 }. 
 
Contra-exemplo para (VI): Os eventos A = { 1 } e B = { 2, 3, 4 } são complementares mas 
não são independentes pois 
 
P(A | B) = P(A e B) / P(B) = P( vazio) / P( { 2, 3, 4 } ) = 0, mas P(A) = ¼ (são diferentes). 
 
 
Questão 7. Considere as seguintes variáveis aleatórias: 
 
I) Número de dias em que choveu em um dado ano. 
II) Volume de água dentro de uma caixa d’água em um dado instante. 
III) Altura média de uma população num dado mês. 
IV) Quantidade de ovos produzidos numa granja, num dadomês. 
 
São variáveis CONTÍNUAS: 
 
a) I e II 
b) I e IV 
c) II e III 
d) III e IV 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘C’. Volume de líquidos e altura de pessoas podem ser 
consideradas variáveis CONTÍNUAS. Número de dias e quantidades numéricas de objetos 
são variáveis DISCRETAS. 
 
 
Questão 8. Considere o espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } e o evento 
 
A = “números em S que são múltiplos de 3”. 
 
Sejam ainda B e C dois eventos complementares (isto é, são mutuamente excludentes e 
sua reunião é S) tais que 
 
P(A | B) = 2/5, 
P(A | C) = 1/5. 
 
Nesse caso, pode-se determinar P(B) e P(C) que são, respectivamente: 
 
a) 1/5 e 4/5 
b) 1/4 e 3/4 
c) 1/3 e 2/3 
d) 1/2 e 1/2 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘D’. Como B e C são complementares temos, por um lado, que 
 
P(B) + P(C) = 1 ⇒ P(C) = 1 - P(B) 
 
e, por outro lado, temos pelo Teorema de Bayes que 
 
P(A) = P(B) P(A | B) + P(C) P(A | C). 
 
Assim: 
 
P(A) = P( { 3, 6, 9 } ) = 3/10 
 
P(B) P(A | B) + P(C) P(A | C) = P(B) ( ⅖) + (1 - P(B)) ( ⅕) = 
 = P(B) ( ⅖ - ⅕) + ⅕ = 
 = ⅕ P(B) + ⅕ 
⇒ 3/10 = ⅕ P(B) + ⅕ ⇒ P(B) = 5 (3/10 - 1/5) = 5 (1/10) = ½ 
⇒ P(C) = 1 - P(B) = 1 - ½ = ½ 
 
 
Questão 9. Considere um maço de cartas formado por todas as 12 figuras do baralho: 4 
reis, 4 damas e 4 valetes. Em um experimento aleatório, são sorteadas duas cartas 
quaisquer desse maço ao acaso, só que agora COM REPOSIÇÃO. Considere os eventos: 
 
K = “sair pelo menos um rei” 
Q = “sair pelo menos uma dama” 
 
Pode-se dizer que estes eventos: 
 
a) São independentes. 
b) São complementares. 
c) São mutuamente excludentes. 
d) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘D’. Esses eventos não são complementares (podem sair 
valetes, por exemplo) nem mutuamente excludentes (pode ocorrer 1 rei e 1 dama). 
Também não são independentes: note que (agora temos reposição) 
 
P(K) = P(“sai um rei no primeiro sorteio e qualquer coisa no segundo”) + 
+ P(“sai qualquer coisa no primeiro sorteio e um rei no segundo”) + 
- P(“saem reis nos dois sorteios”) 
= 4/12 x 1 + 4/12 x 1 - 4/12 x 4/12 = 4/12 (2 - 4/12) 
 
e, da mesma forma, 
 
P(Q) = 4/12 x 1 + 4/12 x 1 - 4/12 x 4/12 = 4/12 (2 - 4/12) = 4/12 x 20/12 = 5/15 = 1/3 
 
Além disso: 
 
P(Q e K) = P(“sai um rei no primeiro sorteio e uma dama no segundo”) + 
+ P(“sai uma dama no primeiro sorteio e um rei no segundo”) 
= 4/12 x 4/12 + 4/12 x 4/12 = 2 x (4/12)² 
 
Assim: 
 
P(Q | K) = P(Q e K) / P(K) = 2 x (4/12)² / [ 4/12 (2 - 4/12) ] = (8/12) / (20/12) = 8/20 = ⅖ 
 
que é diferente de P(Q) = ⅓. 
 
Questão 10. Considere um maço de cartas formado por todas as 12 figuras do baralho: 4 
reis, 4 damas e 4 valetes. Em um experimento aleatório, são sorteadas duas cartas 
quaisquer desse maço ao acaso, só que agora COM REPOSIÇÃO. Considere os eventos: 
 
K = “sair dois reis” 
Q = “sair duas damas” 
 
Pode-se dizer que estes eventos: 
 
a) São independentes. 
b) São complementares. 
c) São mutuamente excludentes. 
d) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
RESPOSTA: ALTERNATIVA ‘C’. Esses eventos são claramente mutuamente excludentes, 
uma vez que, se sair dois reis, não pode sair nenhuma dama. Mas eles não são 
complementares, pois pode haver valetes, por exemplo. 
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