Fatoração e Produtos Notáveis

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BASES MATEMÁTICA 
Fatoração e Produtos Notáveis 
Jonas Ricardo: jnsricardo@gmail.com 
Produtos Notaveis 
 
Quadrado da soma: 
 
 (a + b)² = ( a + b) . (a + b) 
 (a + b)²= a² + ab+ ab + b² 
 (a + b)²= a² + 2ab + b² 
 
Exemplos : 
 
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x² 
 
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 
12xy + 9y² 
 
Quadrado da Diferença: 
 
 (a - b)² = ( a - b) . (a - b) 
(a - b)²= = a² - ab- ab + b² 
(a - b)²= = a² - 2ab + b² 
 
Exemplos: 
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x² 
 
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 
12xy+ 9y² 
 
Produto da Soma pela Diferença. 
 
 ( a + b) . (a - b) 
 ( a + b) . (a - b) = a² - b² 
 
Exemplos : 
 
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25 
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y² 
 
Cubo da Soma e Cubo da diferença 
 
(a + b)
3
 = ( a + b) . (a + b) . (a + b) 
(a + b)
3
= a
3
 + a
2
b+ ab
2
 + b
3 
 
(a - b)
3
 = ( a - b) . (a - b) . (a - b) 
(a - b)
3
= a
3
 - a
2
b+ ab
2
 - b
3 
 
 
EXERCICIOS: 
1) Calcule o produto da soma pela diferença de 
dois termos: 
 
a) (x + y) . ( x - y) = 
b) (y – 7 ) . (y + 7) = 
c) (x + 3) . (x – 3) = 
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = 
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = 
g) (3x + y ) (3x – y) = 
 
2) Desenvolva: 
 
a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ = 
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ = 
 
3) A expressão (a + b + c)² é igual a 
 
a) a² + 2ab + b² + c² 
b) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 
c) a² + b² + c² + 2abc 
d) a² + b² + c² + 4abc 
e) a² + 2ab + b² + 2bc + c² 
 
4) Seja N o resultado da operação 375² - 374². A 
soma dos algarismos de N é: 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22 
5) Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se 
a) 4 
b) 2 319 456 
c) 2 319 448 
d) 2 086 246 
e) 1 159 728 
 
6) O produto (x + 1)(x² - x +1) é igual a: 
 
a) x³-1 
b) x³ + 3x² - 3x + 1 
c) x³ + 1 
d) x³ - 3x² + 3x - 1 
e) x² + 2 
 
7) Sabendo que x² + y² = 153 e que xy = 36, 
calcule o valor de (x+y)². 
 
8) Qual o valor numérico da expressão (a - 2b)², 
sabendo-se que a² + 4b² = 30 e ab = 5. 
 
9) Se x - y = 7 e xy = 60, então o valor da 
expressão x² + y² é: 
 
a) 53 b) 109 c) 169 d) 420 
10) (TRT-2011) Indagado sobre o número de 
processos que havia arquivado certo dia, um 
Técnico Judiciário, que gostava muito de 
Matemática, respondeu:- O número de processos 
que arquivei é igual a (12,25)
2 
- (10,25)
2
 
Chamando X o total de processos que ele 
arquivou, então é correto afirmar que: 
 
a)38<X<42. 
 
b)X>42. 
 
c)X<20. 
 
d)20<X<30. 
 
e)30 < X < 38 
 
11) Fatore o polinômio ax² + bx² - 7x 
 
12) Escreva a forma fatorada do polinômio 8a
5 
b + 
12a³. 
13) Fatore os seguintes polinômios: 
 
a) 5x + 5y 
b) 7ab – 14bx 
 
c) a³ + 3a² + 5a 
d) 4x² + 12x³y – 28x²z 
14) Fatore o polinômio 21a²b²c³ + 9abc – 
6abcd. 
 
 
15) Qual é o valor numérico do polinômio 2m + 
2n , sabendo que m + n = 10? 
 
 
16) Que valor numérico tem a expressão 5ab + 
5a², quando a = 4 e a + b = 8?