Processos Estocásticos e Distribuição de Probabilidades

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Processos Estocásticos
Catiúscia Borges
cborges@unicarioca.edu.br
É a função que associa cada elemento do espaço amostral
(𝑆) de um experimento aleatório, um número real, ou seja,
𝑓: 𝑆 → ℜ.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como
discretas ou contínuas.
Tema 04 -Distribuição de
Probabilidades - Valor Esperado -
Distribuição Binomial
Variável Aleatória Discreta (VAD): é aquela em que
todos os possíveis valores da variável, podem ser listados
numa tabela, com as probabilidades correspondentes.
Variável Aleatória Continua (VAC): é aquela em que não
podem ser listados todos os possíveis valores fracionários
da variável, e assim, as probabilidades determinadas por
uma função matemática, são retratadas, por uma função
densidade ou por uma curva de probabilidade.
Variáveis Aleatórias
A Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
discreta X é a função P(X = x) que determina a
probabilidade de X assumir o valor x. Para uma variável
aleatória contínua é a função que determina a probabilidade
de X assumir valores em um determinado intervalo.
Distribuição de Probabilidades Discreta
A distribuição de probabilidade discreta pode ser
interpretada pela transformação das frequências relativas
em probabilidades, como no exemplo a seguir:
Distribuição de Probabilidades:
Na tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes
solicitados em uma agencia de aluguel de carros, durante um
período de 50 dias.
Demanda 
possível(X)
(caminhonetes)
Numero de dias Probabilidade P(X)
3 3 3/50 = 0,06
4 7 7/50 = 0,14
5 12 12/50 = 0,24
6 14 14/50 = 0,28
7 10 10/50 = 0,20
8 4 4/50 = 0,08
 50 50/50 = 1
Baseado nela, calcular:
a)a probabilidade de serem solicitados exatamente 7
caminhonetes em um dia escolhido aleatoriamente;
b)a probabilidade de serem solicitados seis ou mais
caminhonetes
Assim teremos:
a) P(X=7) = 10/50 = 0,20
b) P(X ≥ 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) =
=14/50 + 10/50 + 4/50 = 0,28 + 0,20 + 0,08 = 0,56
Baseado nela, calcular:
a)a probabilidade de serem solicitados exatamente 7
caminhonetes em um dia escolhido aleatoriamente;
b)a probabilidade de serem solicitados seis ou mais
caminhonetes
Assim teremos:
a) P(X=7) = 10/50 = 0,20
b) P(X ≥ 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) =
=14/50 + 10/50 + 4/50 = 0,28 + 0,20 + 0,08 = 0,56
Considere uma distribuição de probabilidade discreta.
Então o valor esperado dessa variável é definido por:
𝐸 𝑋 = ෍𝑥𝑖 . 𝑝(𝑥𝑖)
Valor Esperado
Suponha um jogo de tabuleiro onde o pião deve andar o
número correspondente a face superior de um dado
honesto, no entanto, se o dado for igual a 6 o pião deve
ficar no lugar. Determine o número de casas que um
indivíduo deve esperar andar em uma jogada qualquer,
considerando a probabilidade de ocorrência de cada face.
Valor Esperado
Resultados 1 2 3 4 5 6
X 1 2 3 4 5 0
P(Xo)
(probabilidade de 
ocorrência de 
cada face)
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
𝐸 𝑥 = 1 .
1
6
+ 2.
1
6
+ 3.
1
6
+ 4.
1
6
+ 5.
1
6
+ 0.
1
6
=
1
6
+
2
6
+
3
6
+
4
6
+
5
6
+
0
6
=
15
6
= 2,5
Valor Esperado
Resultados 1 2 3 4 5 6
X 1 2 3 4 5 0
P(Xo)
(probabilidade de 
ocorrência de 
cada face)
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Processo de Bernoulli:
Uma sequência de testes resulta em um processo de
amostragem de BERNOULLI, sempre que forem obedecidas as
seguintes regras:
Em cada tentativa existirem somente dois resultados
possíveis, mutuamente exclusivos, chamados SUCESSO E
FRACASSO.
As séries de tentativas e/ou observações, são constituídas de
eventos independentes.
O processo é estacionário, isto é, a probabilidade de sucesso,
indicado por “p” , permanece constante de tentativa para
tentativa. A probabilidade de falha, indicada apor “q” , é (1-p),
pois p + q = 1.
Distribuição Binomial
Exemplo:
Suponhamos um experimento de 10 lançamentos de uma
moeda, onde queremos observar como sucesso o efeito
“cara”.
Observe que:
1º) Em cada lançamento há somente dois resultados
possíveis: sucesso (cara) ou falha (coroa).
2º) As séries de tentativas são independentes.
3º) O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de
sucesso p (cara) é sempre igual a 1 / 2.
Distribuição Binomial
É uma das distribuições discretas de probabilidade, mais
comuns em estatística. É aplicável sempre que o processo de
amostragem for do tipo BERNOULLI.
A probabilidade de se obter exatamente “k” sucessos em “n”
repetições, é denominada por :
𝐵 𝑛, 𝑘, 𝑝 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 , onde k é o número de sucessos, n
é o número de tentativas e/ou observações, e p é a
probabilidade de sucesso em cada tentativa;
𝑛
𝑘
é o
coeficiente binomial dado por
𝑛
𝑘
= 𝐶𝑘
𝑛 =
𝑛!
𝑘! . 𝑛−𝑘 !
.
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛!
𝑘! . 𝑛 − 𝑘 !
.𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
k = número de sucessos
n = número de tentativas, isto é, “n” repetições
p = probabilidade de sucesso em uma tentativa
q = probabilidade de fracasso em uma tentativa
Nota: q = 1 - p
Exemplos: 
1) Em uma maternidade estão programados o nascimento de 8
crianças. Determine a probabilidade de que 6 dessas crianças
sejam meninas.
Há duas maneiras de utilizarmos o coeficiente binominal para resolvermos esta
questão:
1ª)
S = “nascimento de 8 crianças” 𝑛 𝑆 = 28 = 256
A = “6 meninas”  𝑛 𝐴 = 𝐶6
8 =
8!
6! . 8−6 !
=
8.7.6!
6!.2!
=
8.7
2
=
28
Assim pela definição de probabilidade:
𝑃 𝐴 =
28
256
≅ 0,1094 ⇒ 10,94%
Exemplos: 
1) Em uma maternidade estão programados o nascimento de 8
crianças. Determine a probabilidade de que 6 dessas crianças
sejam meninas.
Há duas maneiras de utilizarmos o coeficiente binominal para resolvermos esta
questão:
1ª)
S = “nascimento de 8 crianças” 𝑛 𝑆 = 28 = 256
A = “6 meninas”  𝑛 𝐴 = 𝐶6
8 =
8!
6! . 8−6 !
=
8.7.6!
6!.2!
=
8.7
2
=
28
Assim pela definição de probabilidade:
𝑃 𝐴 =
28
256
≅ 0,1094 ⇒ 10,94%
Propriedades:
Média - Medida de tendência central  µ = 𝑛 . 𝑝
Variância - Medida de dispersão  𝜎2 = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
Desvio Padrão - Medida de dispersão  𝜎 = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞