texto Fraçoes

Prévia do material em texto

O Estudo de Frações
A importância do estudo de frações em nossos dias já não é a mesma da deoutras épocas. Atualmente, pela facilidade que temos com os números fracionários escritos em sua forma decimal como no caso das medidas que acabamos de estudar, priorizamos mais o significado da representação fracionária de números e alguns de seus usos sem que seja necessário investir um tempo enorme em cálculos que acabam por cair no esquecimento porque não são compreendidos.
Na oficina que preparamos para realizar presencialmente priorizamos algumas atividades que contribuem para a compreensão do significado de frações bem como de algumas ideias sobre frações equivalentes e um início das operações com números fracionários.
As frações surgem em algum momento na história do pensamento matemático como decorrência da necessidade de medir parte de alguma coisa em vez de contar. Por exemplo, a professora conta quantos alunos vieram à escola num determinado dia, masparte o pão em 12 pedaços e oferece para cada um dos alunos presentes. 
	Sempre que dividimos um todo em partes menores, essas partes têm que ser matematicamente iguais para indicar uma fração. Assim, uma figura como a representada abaixo não indica 2/5. Observe:
	
	
	
	
	
O trabalho com as frações no ensino fundamental não deve ser exaustivo, envolvendo números grandes e difíceis de operar. É importante que as crianças desenvolvam um sentido numérico para o significado de diferentes números fracionários e para isso devemos explorar os seguintes temas:
1) frações simples como ;
2) aproximar outras frações usando estas frações simples e outras;
3) as ideias básicas sobre operações com frações;
4) as técnicas básicas de operações com frações, usando, de preferência, frações simples.
No quadro abaixo, observe o que está sendo dito:
 Disponível em Comparação de frações.by mprfm38 . Acesso em 23 de agosto de 2010.
Reparou o método adotado pela professora?
O que você diria sobre sua forma de ensinar?
A professora adota um ensino tecnicista no qual apenas ensina uma técnica para comparar frações. Você seria capaz de explicar porque 5/7 é maior do que 3/7?
Certamente se você compreendeu o significado de frações que mais usualmente é apresentado na escola, você poderá responder afirmando que de um inteiro dividido em 7 partes (denominador da fração), terei uma parte maior se escolho 5 dessas partes (numerador da fração 5/7) do que se escolho apenas 3 (numerador da fração 3/7). A ilustração abaixo pode ajudar a compreender o que foi dito:
	
	
Mas, você seria capaz de explicar porque quando os denominadores são diferentes se torna necessário igualar os denominadores das frações para poder compará-las?
Trata-se aqui de compreender o sentido do denominador da fração e sua relação com o numerador. Por exemplo, vamos pensar em um bolo de chocolate e outro de cenoura assados numa mesma forma de bolo retangular. O bolo de chocolate foi cortado em 8 pedaços do mesmo tamanho e o de cenoura foi cortado em 12 pedaços iguais. No entanto, os pedaços de bolo de cenoura não são do mesmo tamanho do que os pedaços de bolo de chocolate. Então se quisermos comparar de qual bolo resta o maior pedaço, sabendo que do primeiro bolo foram comidos 5 pedaços e do segundo 7 pedaços, precisamos transformar os pedaços dos dois bolos, em pedaços de mesmo tamanho. No caso, do bolo de chocolate resta 3/8 e do de cenoura 5/12.
	
	
Ao observar a ilustração pode nos parecer que ambos os pedaços são iguais. Para termos certeza precisaríamos ter pedaços do mesmo tamanho. Como é o denominador que define o tamanho dos pedaços, precisamos encontrar um denominador que seja compatível com os denominadores iniciais, ou seja com 8 e 12. Ou seja, precisamos achar uma fração que seja equivalente a 3/8 e outra que seja equivalente a 5/12 que tenham o denominador igual.
Você compreende o que são frações equivalentes? 
Vejamos um pouco mais sobre isso.
COMPREENDENDO FRAÇÕES EQUIVALENTES
Para compreender melhor essa ideia vamos desenvolver alguns conceitos.
Frações equivalentes são as que indicam a mesma quantidade. Por exemplo, é equivalente a ; é equivalente a . 
 Observe uma representação:
	
A ilustração mostra o inteiro que na primeira figura está dividido em duas partes e na segunda, foi dividido em dez partes.
Quando divido um inteiro em partes iguais defino o denominador da fração. O que está pintado, representando a parte que escolhi, representa o numerador. 
Assim, tomar uma parte de duas ou tomar cinco partes de dez (quando o inteiro considerado em cada caso é o mesmo inteiro) resulta em partes iguais do mesmo inteiro. 
Há um método prático que nos ajuda a sabermos se duas frações são equivalentes. Multiplicamos o numerador de uma pelo denominador da outra. No primeiro exemplo (1/2 e 5/10) fazemos 1 x 10 e 2 x 5 e constatamos que o resultado é 10 para as duas multiplicações.
No exemplo (3/4e12/16) fazemos 3x16e4x12 e ambas as multiplicação têm o mesmo produto que é 48. 
Como o resultado é o mesmo, as frações são equivalentes. 
Esse é um método prático para saber se duas frações são equivalentes. 
Também na prática, se temos uma fração e queremos achar frações que sejam equivalentes a ela, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por números naturais: 1,2,3,4,5,6,...
Por exemplo: quero encontrar frações equivalentes a 5/6 e frações equivalentes a 3/4.
Podemos escrever um conjunto de frações equivalentes a cada uma dessas frações:
5/6 = 10/12 = 15/18 = 20/24 = 25/30 = 30/36 = 35/42 = ...
3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24 = 21/28 = ...
Se tivéssemos continuado multiplicando essas duas frações pelos números naturais, encontraríamos outras. Sem fazer conta de multiplicar, você saberia dizer qual é a próxima
 fração equivalente a 
3/4
?
Se você observou a regra de formação do numerador que cresce de 3 em 3 e do denominador que cresce de 4 em 4, você terá respondido que a próxima fração equivalente a 3/4 é 24/32. Como os números naturais formam um conjunto infinito de números, o conjunto das frações equivalentes a uma fração, também será infinito.
Entre as frações que escrevemos há duas em cada conjunto que têm denominadores iguais às do outro conjunto. No caso,10/12 e9/12 e20/24 e18/24 são equivalentes a 5/6 e3/4. 
Observando que o primeiro denominador comum é 12 e o segundo 24, o próximo será 36, a seguir 48, depois 60...Os denominadores comuns vão variando de 12 em 12, nas duas séries apresentadas.
E os numeradores? Você notou que eles também vão se modificar na mesma proporção que os denominadores? Assim, 12 é o dobro de 6 (denominador da fração inicial), e 10, o dobro de 5. No caso, 24 é 4 vezes maior do que 6, e 20 também será 4 vezes maior do que 5.
Você se l
embra do procedimento que aprendemos sem entender muito bem que nos dizia que tínhamos que achar o mmc dos denominadores e em seguida dividir o 
valor encontrado pelo debaixo (
denominador) e multiplicar pelo de cima
 (
numerador)
?
Você 
vê uma
 relação dessa técnica com o que acabamos de fazer? Pense um pouco sobre isso
.
Quando queríamos comparar frações e nos diziam para aplicar a técnica, ficávamos na dúvida se tínhamos que dividir pelo de cima ou pelo debaixo, porque não compreendíamos que ao fazer o mmc (mínimo múltiplo comum) dos denominadores estávamos procurando um novo denominador que fosse múltiplo dos denominadores das frações dadas. Ao encontrá-lo tínhamos que encontrar o novo numerador para que as frações resultantes fossem equivalentes às frações iniciais. Dividir pelo número debaixo (denominador) nos levava a achar o número natural pelo qual o denominador da fração equivalente havia sido multiplicado quando fizemos o mmc. Ao multiplicá-lo pelo numerador, encontrávamos a fração equivalente. 
E os pedaços de Bolo?
Isso tudo começou quando quisemos comparar se o bolo de cenoura que restou era maior ou menor do que o de chocolate. Agora podemos compreender quepara fazer a comparação dos pedaços de bolos que restaram, vamos transformar 3/8 e 5/12 em frações de mesmo denominador. Podemos fazer isso multiplicando 8 por 12 que é igual a 96. Esse será o denominador das duas novas frações. 
P
oderíamos ter achado o mmc, que como você sabe é o menor múltiplo dos dois números ao mesmo tempo. 
Entretanto, ao multiplicarmos dois números o produto é múltiplo dos dois números
. N
ão será necessariamente o menor múltiplo mas certamente será múltiplo dos dois denominadores.
Temos que determinar agora o novo numerador dessas frações. Para isso, podemos descobrir quantas vezes 96 é maior que 8 fazendo 96 : 8, que é igual a 12. Então, se multiplicarmos 3 (numerador de 3/8) por 12 encontramos 36, e a fração equivalente a 3/8 é 36/96. Fazendo o mesmo para a segunda fração: 96 : 12 é igual a 8 e 8 x 5 é igual a 40. A fração equivalente a 5/12 é 40/96.
A ilustração a seguir representa o bolo de chocolate e o de cenoura divididos, cada um deles, em 96 partes. Do de chocolate restaram 36 partes e do de cenoura 40 partes. Ou seja, o pedaço de bolo de cenoura que restou é 4/96 maior que o de chocolate.
	
Como já havíamos notado as duas frações são muito próximas e por isso na figura que fizemos quase podem se confundir. Ou seja, apesar de 5/12 ser maior do que 3/8, as duas quantidades são praticamente iguais. A diferença entre elas é de 4/96. Esse valor é de 4 partes em 96, o que é um número bem pequeno. Podemos, ainda, dizer que 4/96 é equivalente a 1/24, o que nos mostra melhor ainda que a diferença é de 1 pedacinho em 24.
	
Você entendeu essa última parte que fizemos?
Quando dissemos que 4/96 é equivalente a 1/24, na verdade simplificamos a fração 4/96 encontrando outra fração equivalente a ela expressa por números menores.
Nesse texto estudamos frações equivalentes que nos ajudam a compreender como comparar e também, simplificar frações. 
No próximo texto vamos aprender um pouco mais sobre as operações com frações.