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FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS
Dependendo dos valores assumidos por x, uma função f(x) pode ser definida por duas ou mais sentenças.
Exemplos:
.
Exercícios:
Dada a função 
:
construa o gráfico de f(x) e determine o conjunto imagem;
determine f(3), f(-1) e f[f(-2)].
Dada a função 
a) construa o gráfico de f(x), determine os conjuntos imagem e domínio;
determine f(0), f(-1), f(2) e f(4).
Determine a função 
definida de 
 em 
, que representa a figura abaixo:
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
Construa o gráfico e determine o domínio e a imagem da função:
Construa o gráfico, determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
b)	
aqui, calcule f(-2), f(1), f(2), f(0) e f(5).
c)	
d)	
aqui, calcule também f(-1), f(3) e f(-3).
Determine a função y = f(x) definida de 
 em 
, que representa a figura abaixo:
	4) Dada a função 
construa o gráfico de f(x);
determine f(3), f(0) e f(-4);
determine D(f) e Im(f).
RESPOSTAS
D(f)=
; Im(f)= 
a)D(f)=
; Im(f)= 
;
b)D(f)=
; Im(f)= 
 ; f(-2)=0; f(1)=-3, f(2)=0, f(0)=-4, e f(5)=3;
c)D(f)=
; Im(f)= 
;
d)D(f)=
; Im(f)= 
; f(-1)=8, f(3)=0, f(-3)=0 
3)
	4) -
FUNÇÃO MÓDULO
	Uma função é modular se a cada x associa |x|:
Gráfico da função modular
D(f) =
Im (f) = 
Exercícios:
Represente graficamente:
f(x)=|x-1|. 4) f(x)=|x-1| + 1.
f(x)=|-x-2|. 5) f(x)=|x+1| -2.
 
f(x)=|x2-4x+3|.
FUNÇÃO RAIZ QUADRADA
A função f: R+ ( R+ , f(x) = 
 é dita função raiz quadrada. 
Gráfico da função raiz quadrada 
D(f) = 
Im (f) =
Exercícios:
Representar graficamente:
a)
.
.
FUNÇÃO POTÊNCIA DEFINIDA POR 
Se 
 
,	função identidade.
	D(f) =
	Im(f) =
Se 
 é par e 
,	
.
.
 
	D(f) =
	Im(f) =
	Se 
 é ímpar e 
,	
.
.
 
	D(f) =
	Im(f) =
Se 
 é ímpar e 
, 
.
 
.
	D(f) =
	Im(f) =
	Se 
 é par e 
,	
.
.
	D(f) =
	Im(f) =
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
�
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Dadas as funções f e g, chama-se:
função soma de f com g a função notada por f+g e definida por:
(f+g)(x) = f(x) + g(x); Dom(f+g) = Dom(f) 
Dom(g).
função diferença entre f e g, nesta ordem, a função notada por f-g e definida por:
(f-g)(x) = f(x) – g(x); Dom(f-g) = Dom(f) 
Dom(g).
função produto de f por g é a função notada por f.g e definida por:
(f.g)(x) = f(x) . g(x); Dom(f.g) = Dom(f) 
Dom(g).
função quociente entre f e g, nesta ordem, a função notada por f/g e definida por:
(f/g)(x) = f(x) / g(x); Dom(f/g) = (Dom(f) 
Dom(g) ) – {x / g(x) = 0}.
FUNÇÃO COMPOSTA
	Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 9, 16, 25} e as funções f:A(B, definida por f(x) = x + 3, e g: B(C, definida por g(x) = x2, se considerarmos uma função h:A(C, composta de g e f, é possível associar cada elemento de A diretamente a C, como vemos no esquema:
	Essa função h pode ser obtida aplicando f(x) aos elementos de A; em seguida, essas imagens são transformadas por g(x). Veja:
Assim, podemos escrever: 
h(-1) = g(f (-1)) = g(2) = 4.
	Genericamente, escrevemos h(x) = g( f(x) ) ou (g o f)(x), para todo x ( A, sendo que h(x) representa a função g composta com f.
Exemplos:
Para as funções f e g tais que f(x)= 2x+1 e g(x) = 
, temos:
(f+g)(x) = 2x + 1 + 
 		b) (f/g)(x) = 
Dom(f/g) = R – { 0 } 			d) (f o g)(x) = 2
 + 1
(g o f)(x) = 
 			f) (f o f)(x) = 2(2x+1) +1 = 4x+3
Exercícios:
Sendo f(x) = x – 3 e g(x) = -3x + 4, determine:
f(f(0))
g(g(2))
f(f(1)) + g(f(3))
Sendo f(x) = 3x – 1, g(x) = 1 – x2 e h(x) = -x2, obtenha:
(f o g)(x)
(g o h)(x)
(f o f)(x)
g(h(1))
Sendo f(x) = 3x +1 e f(g(x))= 6x –2, determinar g(x).
Em relação as funções reais 
 e 
, obtenha h(x) = g(f(x)).
FUNÇÃO INVERSA
Seja f : D ( I uma função real tal que para cada y ( I, existe um único x ( D tal que f(x) = y.
Podemos definir uma nova função g: I ( D que a cada elemento y ( I associa x = g(y) ( D, tal que f(x) = y.
	Esta função g é denominada função inversa de f e a representamos por f –1.
Assim,
f(x) = y	 ( 	f –1(y) = x.
(x , y) ( f	( 	(y , x) ( f –1.
Observe que:
D(f –1) = Im (f) = I e Im (f –1) = D(f) = D.
O ponto (x, y) está no gráfico de f se, e somente se, o ponto (y , x) estiver no gráfico de f –1. Isto significa que os dois gráficos são simétricos em relação à bissetriz do 1o e 3o quadrantes do sistema cartesiano.
A lei que define a função f –1 é a que expressa x em função de y, x = f –1 (y), obtida a partir da lei que define f, y = f(x).
Como é usual representarmos por x a variável do domínio e por y a da imagem, quando achamos a lei da inversa, x = f –1(y), trocamos x por y, e y por x.
Exemplo:
Seja a função f : R ( R, f(x) = 
.
Temos:
Trocando x por y , e y por x, obtemos y = 2x – 2.
Portanto, a inversa de f é f –1(x) = 2x – 2.
�
Exercícios:
Seja f:((( a função definida por f(x) = -6x +2.
Determine a f--1(x).
 Construa o gráfico de f e f –1 no mesmo sistema de eixos.
Dadas as funções f(x) = 3x+2 e g(x) = 
, determine:
f--1(x).
g-1(x).
f-1(g-1(2)).
g--1(f--1(2)).
 Dadas f(x) = x2 e g(x) = 5x + 1, x ( (, determine:
(g o f)(x).
 (f o g)(x).
(f o f)(x).
(g o g)(x).
 Dadas f(x) = 
 e g(x) = 
, determine:
(f+g)(x).
(f/g)(x).
Dom(f-g)(x).
Dom(f/g)(x).
 Sejam f(x) = 
 e g( x) = x2 – 1. encontre:
(f o f)(x).
(g o g)(x).
(f o g )(x).
 Calcular f o g , sendo:
f(x) = 
 e g(x) = x – 3.
f(x) = 
 e g(x) = -2x +6. 
f(x) = 
 e g(x) = x – 3.
f(x) = 
 e g(x) = x2 +1.
f(x) = 
 e g(x) = x2 – 4.
RESPOSTAS
. 
a) 
. 
b) 
.
c) = d) =
.
a) 	5x2 +1.
b) 	25x2 + 10x +1.
x4.
25x + 6.
a) (f+g)(x) = 
.
b) (f/g)(x) = 
.
c) {x(R/ x
4}.
d) {x(R/ x>4}.
a) (f o f)(x) = 
.
b) (g o g) (x) = (x2 – 1)2 – 1.
c) (f o g)(x) = 
.
	
� EMBED Equation.3 ��� ( � EMBED Equation.3 ��� ( x = 2y – 2.
1 x
1
-2
-2 x
x
y f –1(x)
f(x)
y
� EMBED Equation.DSMT4 ���
y
� EMBED Equation.DSMT4 ���
x
6) a) f o g (x) = � EMBED Equation.3 ���
 b) f o g (x) = � EMBED Equation.3 ���	
 c)f o g (x) = � EMBED Equation.3 ���	 
 d) f o g (x) = � EMBED Equation.3 ���	
 e) f o g (x) = � EMBED Equation.3 ���
y
9
8
6
10
�
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
-1 (
A
B
 ( 2
 ( 3
 ( 4
 ( 5
C
g(2) = 4 
h (x)
h (x)
C
( 4 
( 9
( 16
( 25
A
-1 (
 0 (
 1 (
 2 (
f (-1)= 2 
B
 h(x)
C
B
A
 g(f(x))f(x)
x (
�PAGE �1�
�PAGE �34�
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