Aplicações de Integrais Duplas na Física

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
  
 
 
1º AED CÁLCULO lll 
( Turma: A-01 ) 
 
 
 
 
 
 
Lazaro Barbosa de Moraes Filho 
 
 
 
Goiânia 
09/09/2019 
 
Introdução 
Esta AED tem como objetivo, explicar as aplicações de integrais duplas, com conceitos fundamentais de física, dentre ele a capacidade de calcular a massa, o momento de massa, e o ponto de equilíbrio (conhecido como centro de massa), utilizando conceitos de integrais duplas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral Dupla 
Com a descoberta das integrais duplas, a possibilidade de resolver problemas (que até então não tinham respostas) gerou um tremendo avanço principalmente para a ciência, que necessitavam desta “ferramenta”. As principais aplicações foram para os Cálculos de área, Cálculos de volume, e Aplicações físicas.
 
 
Cálculo de Volume:
Diferentemente do Calculo no plano cartesiano, onde se usa X e Y, o cálculo de volume, tem por sua definição o eixo Z, sendo assim f(x,y) = z, para obter o volume do objeto
A integral Dupla é conhecida por duas partes de integração, a parte interna e a parte externa, divididas em dx e dy, onde são as áreas de variação do objeto, onde o calculo é resolvido pela integração interna e depois a externa, subtraindo uma pela outra
Tomando de exemplo os Prismas: em certo sentido, a integral inteirada, tem limites, quando as bases dos prismas tendem para pontos, por meio disso, torna-se mais compreensível a aplicação de uma integral dupla, como se fosse laminas cortando em mínimas partes o prisma, para destacar esse “ponto de vista”, expressamos o volume que é quando fixamos x, somamos os volumes dos prismas na direção do eixo y, para conseguir assim o volume de uma lamina , e por fim os volumes de todos as lâminas são somando em direção ao eixo x.
 
 
 (percebe-se que o objeto sempre fica no plano R3 para o cálculo de volume)
 
Cálculo de Massa:
Pense que seja colocado em plano, uma destruição matéria, que vamos chamar de lâmina, com uma região R, (se a densidade é denominada por g/cm^2) logo a Massa M da lâmina é simplesmente a densidade multiplicada pela área da lâmina.
 
 
(A casos que a densidade pode varias de ponto a ponto, nesses casos usamos a densidade média vezes a sua área.)
Para o calculo de massa em uma lâmina em um ponto X e Y, usamos integral dupla, com a utilização da formula seguinte:
 
 (calculando a integral interna e depois a externa)
Exemplo:
Cálculo de Centro de Massa:
O momento total de toda massa de uma lâmina é obtido pela integração de todos os momentos infinitesimais, nesse ponto temos o chamado ponto de equilíbrio da lâmina, a explicação física desse fenômeno e como se toda a massa da superfície estivesse concentrada em um único ponto, deixando a superfície em total equilíbrio.
 
 
Para o Calculo de Centro de Massa, primeiramente deve-se calcular a massa, e logo em seguida calculamos os momentos no eixo X e Y, utilizando integrais duplas. Veja o exemplo:
(Primeiro o cálculo de massa)
 
(Em seguida o cálculo de momento para X e Y)
 
(Por fim o cálculo de Centro de Massa)
 
Aplicações Físicas (Carga Elétrica):
Se uma carga elétrica é distribuída sobre uma região D e a densidade de carga for fornecida em unidades de área, então a carga total “q” é obtida pela formula: 
 
Do mesmo jeito das outras integrais, a resolução é pela integral interna e logo em seguida a externa, a diferença dentre a carga elétrica, e que a unidade de medida que vai ser usada é a Coulomb.
Aplicações Físicas (Momento de Inércia):
In O momento de inercia de uma partícula é denominado pela massa em torno do eixo, onde é a distância da partícula ate o eixo, tendo essa região D do plano e aplicando o conceito de integral dupla, o momento de inercia é uma distribuição de massa ( uma distribuição contínua), as formulas são: 
Para o eixo X: 
 Para o eixo Y:
 
Cálculo de Área:
Para determinar a área utilizando integral dupla, analisamos a área e em seguida calculamos a sua variação de X e Y, no cálculo de área utilizamos somente o plano R2, com duas funções que formam uma área fechada. Igualmente as outras aplicações, calcula-se primeiro a integral interna e depois a externa, é com o resultado (a unidade usada é a “unidades de área”) tem-se o cálculo de área.
Conclusão
As Noções Básicas de integral dupla, a qual mostrou determinadas definições e aplicações dentre elas físicas, que por meio de imagens a compreensão do conteúdo é definitivamente mais clara e obvia para os leitores, a AED tornou-se prazerosa, a medida que buscava conhecimento para a sua conclusão e elaboração. 
 
Referencias: 
 
https://prezi.com/3gfy97xasfcf/integral-dupla-aplicacoes/
file:///C:/Users/Pichau/Downloads/Integral_Dupla_Aplica%C3%A7%C3%B5es_Aldel%C3%A2nia_Pereira_Campos.pdf
https://drive.google.com/file/d/0BxzEh6_oQGT7RFNwbndENzg4VFk/view
 
 
 
 
 
Goiânia - GO 
09/09/2019