C4_CURSO_E_PROF_MATEMATICA

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1. PROPRIEDADES QUE 
ANULAM O DETERMINANTE
O determinante de uma matriz quadrada é igual a
zero quando ela possui:
• Uma fila de elementos nulos;
• Duas filas paralelas iguais;
• Duas filas paralelas propor cionais;
• Uma fila que é combinação linear de outras filas
paralelas.
Assim, por exemplo, o deter minante da matriz 
A = é nulo, pois os elementos da �
2
0
3
5
–5
0
2
–1
3
0
2
1
7
0
5
6
�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 53
FRENTE 1 Álgebra
1. NOÇÃO DE DETERMINANTES
Dada uma matriz quadrada M, de ordem n, 
cha ma-se determinante da matriz M, e indica-se por 
det M, um número real, associado à matriz M, e
calculado da seguinte forma:
• Se M é de ordem 1, é do tipo M = [a11] e o
determinante de M é det M = a11.
Por exemplo, se M = [– 7], então det M = – 7
• Se M é de ordem 2, é do tipo
M = e o determinan te de M, que 
também pode ser indicado por , é 
det M = a11 . a22 – a21 . a12.
Por exemplo, se 
M = , então det M = = 3 . 5 – 2 . 4 = 7.
Observe que a11 . a22 é o produto dos elementos da
diagonal principal e a21 . a12 é o produto dos elementos
da diagonal secundária. Dessa forma, o determinante
de uma matriz quadrada de ordem dois é o
produto dos elementos da dia go nal principal
menos o pro duto dos elementos da diago nal
secundária.
• Se M é de ordem 3, é do tipo
M = e o de termi nante de M, que
também pode ser indicado por , é
det M = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 –
– a13 . a22 . a31 – a23 . a32 . a11 – a12 . a21 . a33
O determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser
cal culado por uma regra prática conhecida como Re -
gra de Sarrus que, na sua for ma mais simples, con -
siste em escre ver ao lado direito da matriz suas duas
primeiras colunas e multiplicar suas diagonais, conforme
o seguin te.
Por exemplo, se M = , então
e det M = 1 . 5 . 1 + 2 . 0 . (– 1) + 3 . 4 . 0 – (– 1) . 5 . 3 –
– 0 . 0 . 1 – 1 . 4 . 2, isto é, det M = 12.
Se M é de ordem superior a 3, o determinante pode
ser calculado aplicando-se teoremas como o de La place
ou regras como a de Chió. Esses teoremas e regras
serão estu da dos nas próximas aulas.
� a11a21
a12
a22
�
a11
a21
a12
a22
� 34 25 � 34 25
� a11a21a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
– – –
+ + +
M =
� 14
–1
2
5
0
3
0
1
�
1
4
–1
2
5
0
1
4
–1
2
5
0
3
0
1
– – –
+ + +
M =
MÓDULO 15 Determinantes
MÓDULO 16 Propriedades dos Determinantes
C4_MAT_E_TEO 2012_ROSE 08/12/11 14:35 Página 53
segunda linha são todos iguais a zero (det A = 0).
Por exemplo, o determinante da matriz
B = é nulo, pois as duas primeiras 
linhas são iguais (det B = 0).
Por exemplo, o determinante da matriz
C = é nulo, pois os elementos da 
primeira linha são proporcionais aos ele mentos da
segunda linha ( = = = e det C = 0).
Por exemplo, o determinante da matriz
D = é nulo, pois os elementos da 
quarta linha são as somas dos respectivos elementos
das demais linhas (det D = 0).
Uma combinação linear de duas ou mais filas
paralelas pode ser a so ma direta de seus respectivos
ele mentos ou a soma destes ele mentos mul tiplicados por
números reais quaisquer.
Assim, por exemplo, na matriz 
M = , a última co luna é uma 
combinação linear das três primeiras colunas, pois
O determinante de M (det M) é igual a zero.
Observe que as propriedades válidas para linhas de
uma matriz são também válidas para as colunas.
2. PROPRIEDADES EM QUE O VALOR 
DO DETERMINANTE É ALTERADO
O determinante de uma matriz troca de sinal quando
duas filas paralelas trocam de posição.
Assim, por exemplo,
,
pois a primeira e a terceira colunas trocaram de lugar.
Se multiplicarmos os ele men tos de uma fila de uma
matriz qua drada por um número, o deter minan te dessa
matriz fica multipli cado por este número.
Assim, por exemplo,
det = α.det ,
pois os elementos da primeira linha da primeira matriz
foram todos mul tiplicados por α.
Se mais que uma fila de uma ma triz for multiplicada
por um nú me ro, o determinante fica multi pli cado por ca -
da um desses números.
Assim, por exemplo,
det = α.β.γ.det , pois
na primeira matriz os elementos da primeira linha foram
multiplicados por α, os elementos da segunda linha
multiplicados por β e os ele mentos da terceira linha foram
multiplicados por γ.
Por exemplo, se A é uma matriz quadrada de ordem
3, det (5A) = 53 . det A, pois
A = e
det (5A) = det =
= 5 . 5 . 5 . det = 53 . det A
�
2
2
3
5
–5
–5
2
–1
3
3
2
1
7
7
5
6
�
�
4
2
3
5
–10
–5
2
–1
6
3
2
1
14
7
5
6
�
4––
2
– 10–––––
– 5
6––
3
14–––
7
�
2
1
3
6
– 5
2
3
0
3
1
2
6
7
2
5
14
�
�
2
3
4
5
3
1
2
3
1
2
3
2
11
9
13
19
�
3 x 2 + 2 x 3 + (– 1) x 1 = 11
3 x 3 + 2 x 1 + (– 1) x 2 = 9
3 x 4 + 2 x 2 + (– 1) x 3 = 13
3 x 5 + 2 x 3 + (– 1) x 2 = 19 
Elementos da primeira coluna
Elementos da segunda coluna
Elementos da terceira coluna
Elementos da quarta coluna
a
b
c
x
y
z
m
n
p� �
m
n
p
x
y
z
a
b
c
det = – det � �
� α.abc
α.x
y
z
α.m
n
p � �
a
b
c
x
y
z
m
n
p �
�
α.a
β.b
γ.c
α.x
β.y
γ.z
α.m
β.n
γ.p � �
a
b
c
x
y
z
m
n
p
�
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
�
�
5a11
5a21
5a31
5a12
5a22
5a32
5a13
5a23
5a33
�
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
54 –
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3. PROPRIEDADES EM QUE O VALOR 
DO DETER MINAN TE NÃO É ALTERADO
O determinante de uma matriz e o da sua transposta
são iguais.
det = 7 e det = 7
• O Teorema de Jacobi
O determinante de uma matriz quadrada não se
altera se somarmos a uma fila uma combinação linear de
outras filas paralelas.
A combinação linear acres cen tada em uma fila pode
ser simples mente a soma ou a diferença de outra fila
paralela. Observe que so mente a fila onde se
acrescentou a combinação linear é que se altera.
O Teorema de Jacobi é de fun damental importância
no cálculo de um determinante, pois permite subs tituir
um determinante por outro, mais simples de ser
calculado, mas de mesmo valor.
Por exemplo,
= = = 0
Dos elementos da segunda co lu na subtraímos os
elementos da pri meira coluna, obtendo um deter minan -
te, de mesmo valor que o pri mei ro, mais simples de ser
cal culado.
4. SOMA DE DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n
pode ser decomposto em uma soma de dois ou mais
determinantes, desde que nestes determinantes (n – 1)
filas para lelas sejam conservadas como na matriz
original e apenas uma fila seja decomposta.
Assim, por exemplo,
det =
= det + det 
Esta propriedade pode facilitar o cálculo de alguns
determinantes.
Por exemplo,
= =
= + =
= + 0 = 
Observe que este último deter minante apresenta
números menores e, portanto, pode ser mais facilmente
calculado.
O determinante da matriz
M = 
é divisível por 4, pois:
= = 
= + = 
= 4 . + 0 = 4 . 
que é múltiplo de 4. 
1
–1
0
2
5
1
4
3
2� �det = det
1
–1
0
2
5
1
4 + 2 + 6
3 – 2 + 15
2 + 0 + 3� � = 7
Esta combinação linear, acrescentada na terceira 
coluna, são os elementos da primeira coluna 
multiplicados por dois, somados com os elementos 
da segunda coluna multiplicados por três.
758
645
376
760
647
378
1
1
1
758
645
376
760 – 758
647 – 645
378 – 376
1
1
1
758
645
376
2
2
2
1
1
1
�
a11
a21
a31
x + u
y + t
z + w
a13
a23a33
�
�
a11
a21
a31
x
y
z
a13
a23
a33
� �
a11
a21
a31
u
t
w
a13
a23
a33
�
3
2
1
51
67
87
48
65
87
3
2
1
3 + 48
2 + 65
0 + 87
48
65
87
3
2
1
3
2
0
48
65
87
3
2
1
48
65
87
48
65
87
3
2
1
3
2
0
48
65
87
3
2
1
3
2
0
48
65
87
5
13
19
16
1
3
32
5
15
5
13
19
16
1
3
32
5
15
4 + 1
13 + 0
19 + 0
16
1
3
32
5
15
4
13
19
16
1
3
32
5
15
1
0
0
16
1
3
32
5
15
1
13
19
4
1
3
8
5
15
1
13
19
4
1
3
8
5
15
�
1
– 1
0
2
5
1
4
3
2
� �
1
2
4
– 1
5
3
0
1
2
�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 55
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1. COMPLEMENTO ALGÉBRICO (COFATOR)
O complemento algébrico (ou COFATOR) do
elemento aij da matriz quadrada de ordem n > 1, que se
indica por Aij, é o produto de (– 1)
i+j pelo deter minante
da matriz obtida de A com a retirada da linha i e da
coluna j.
• Por exemplo, o complemento algébrico do ele -
men to a31 da matriz 
é:
• O cofator do elemento a22 da matriz 
2. O TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada M, de
ordem n > 1, é a soma dos produtos dos ele men tos
de uma fila pelos seus respec tivos cofatores.
Se A= , então
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j + … + anj . Anj
• Assim, por exemplo, se 
A = , então
A11 = (–1)
1+1 . = – 10
A12 = (–1)
1+2 . = – 33
A13 = (–1)
1+3 . = 26 e
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 ⇔
⇔ det A = (– 9) . (– 10) + 3 . (– 33) + 2 . 26 = 43
Observe que no cálculo do de ter minante de ordem
três, os cofa tores usam determinantes de ordem dois. No
cálculo de um determinante, o Teorema de Laplace
permite usar determinantes de ordens menores.
3. A REGRA DE CHIÓ
Para calcular o determinante de uma matriz M de
ordem n ≥ 3, é interessante abaixar a ordem, o que pode
ser feito pelo Teorema de Laplace. Existe, além disso,
uma regra prática dada por Chió que consiste em:
a) Suprimir de M a linha e a colu na que contêm um
elemento aij = 1;
b) Subtrair de cada elemento de M o produto dos
ele men tos que se acham nas extremidades das per pen -
diculares traçadas desse ele mento à linha e à coluna
eliminadas;
c) Calcular o determinante da matriz M’ que foi
obtida de M de acordo com (a) e (b) e multiplicar o
resultado por (–1)i+j.
4. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES
❑ Teorema de Binet
O determinante de um produto de duas matrizes
qua dradas é o produto dos determinantes destas ma -
trizes.
2
3
8
7
1
6
4
5
9� �
Coluna retirada
Linha retirada
A =
7
1
4
5| |A31 = (– 1)3+1 . = (– 1)4 . (7 . 5 – 4 . 1) = 31
1
3
2
A22 = (– 1)2+2 . 
0
2
0
4
5
3
1
5
3
2
A = é – 10, pois
2
4
3
–7
0
5
2
0
4
–5
5
3
= (– 1)4 . (6 – 16) = – 10
a11
a21
…
ai1
…
an1
a12
a22
…
ai2
…
an2
…
…
…
…
…
…
a1j
a2j
…
aij
…
anj
…
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
ain
…
ann
– 9
5
1
3
4
6
2
7
8
4
6
7
8
5
1
7
8
5
1
4
6
1
a'
b'
c'
a
m
q
t
b
n
r
u
c
p
s
v
=
= . (–1)1+1
m – a.a'
q – a.b'
t – a.c'
n – b.a'
r – b.b'
u – b.c'
p – c.a'
s – c.b'
v – c.c'
Elementos da coluna
retirada
Elementos da linha
retirada
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
56 –
MÓDULO 17
Teorema de Laplace, 
Regra de Chió e Outras Propriedades
C4_MAT_E_TEO 2012_ROSE 08/12/11 15:17 Página 56
1. MATRIZ DOS COFATORES
Seja M uma matriz quadrada de ordem n > 2.
Chama-se matriz dos cofatores M’ a matriz que se obtém
de M, substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo
cofator.
Assim, dada a matriz M = ;
a matriz dos cofatores de M é M’ = ,
em que Aij é o cofator do elemento aij de M.
Por exemplo, dada a matriz M = ;
tem-se os cofa tores:�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
�
�
A11
A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
�
�
2
0
– 1
– 3
5
2
1
4
3�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 57
Por exemplo
det = 7, det = – 5
e det . =
= det = – 35 = 7 . (– 5)
❑ Determinante de Vandermonde
Um determinante é de Vander monde quando os
elementos da primeira fila são todos iguais a 1, os
elementos da segunda fila são números quaisquer, os da
terceira fila são os quadrados dos elementos da segunda
fila, os da quarta fila são os cubos dos elementos da
segunda fila, e assim por diante.
Por exemplo,
é de Vandermonde, pois 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42 e 
25 = 52 e ainda 8 = 23, 27 = 33, 64 = 43 e 125 = 53
O determinante de Vandermonde pode ser cal culado
de maneira simples, efetuando o produto das diferenças
dos elementos da segun da linha, diferenças estas feitas
nesta ordem: segundo menos o primeiro, tercei ro menos
o primeiro, terceiro menos o segundo e assim por diante.
Assim, no exemplo anterior te mos:
❑ Determinante Diagonal Principal
Se todos os elementos situados de um mesmo lado
da diagonal principal de uma matriz quadrada são iguais
a zero, o determinante é o produto dos elementos dessa
diagonal principal.
• No determinante seguinte, todos os elementos
acima da dia gonal principal são nulos. O deter minante é
o produto dos ele men tos da diagonal.
❑ Determinante Diagonal Secundária
Se todos os elementos situados de um mesmo lado
da diagonal secundária de uma matriz quadrada são
iguais a zero, o determinante é o produto dos elementos 
dessa diagonal secundária, multiplicado por (–1) ,
em que n é a ordem da matriz.
• No determinante seguinte, todos os elementos
acima da dia gonal secundária são nulos. O deter minan -
te é o produto dos elementos da diagonal secundária, 
multiplicado por (–1) .
�
1
– 1
0
2
5
1
4
3
2
� �
1
2
4
– 1
0
3
0
1
1
�
�
1
–1
0
2
5
1
4
3
2
� �
1
2
4
–1
0
3
0
1
1
�
�
21
21
10
11
10
6
6
8
3
�
1
2
4
8
1
3
9
27
1
4
16
64
1
5
25
125
1
2
4
8
1
3
9
27
1
4
16
64
1
5
25
125
= 
= (3 – 2) . (4 – 2) . (4 – 3). (5 – 2) . (5 – 3) . (5 – 4) = 12
2
5
– 1
3
4
0
4
7
2
– 3
0
0
5
– 6
1
0
0
0
3
8
0
0
0
0
– 2
= 2 . 4 . 5 . 3 . (– 2) = – 240
n(n – 1)
––––––––
2
5(5 – 1)
––––––––
2
2
5
– 1
3
4
0
4
7
2
– 3
0
0
5
– 6
1
0
0
0
3
8
0
0
0
0
– 2
= 
= 2 . 4 . 5 . 3 . (– 2) . (– 1) = (–240). (–1)10 = – 240
5.(5–1)
––––––
2
MÓDULO 18 Inversão de Matrizes
C4_MAT_E_TEO 2012_ROSE 08/12/11 15:17 Página 57
A11= (–1)
1+1. = 7, A12 = (–1)
1+2 . = –4,
A13= (–1)
1+3. = 5, A21 = (–1)
2+1. = 11,
A22= (–1)
2+2. = 7, A23 = (–1)
2+3. = –1,
A31= (–1)
3+1. = –17, A32 = (–1)
3+2. = –8,
A33= (–1)
3+3. = 10, e, assim, a matriz dos
cofatores de M é M’ = 
2. MATRIZ ADJUNTA
Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada M
a matriz 
—
M, transposta da matriz dos cofatores de M.
Por exemplo, dada a matriz M = ,a 
matriz dos cofatores de M é M’ = e a 
matriz adjunta de M é 
—
M = 
3. MATRIZ INVERSA DE M
Chama-se matriz inversa de M e indica-se por M–1 a
matriz tal que M–1 . M = M.M–1 = In, ou seja, a matriz
que multiplicada por M resulta na matriz identidade.
Dada a matriz M = , a matriz inversa é 
M–1 = , pois
M.M–1 = . = = I2 e
M–1.M = . = = I2
4. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE M
Pode-se calcular a matriz inversa de M usando a
fórmula
em que
—
M é a matriz adjunta de M.
Regra Prática
• Calcula-se o determinante de M.
• Calcula-se o cofator de cada elemento e monta-se
a matriz dos cofatores de M (M’).
• Determina-se a matriz adjunta de M (
—
M ) usando—
M = (M’)t.
• Obtém-se a matriz inversa usan do a fórmula:
Por exemplo, dada a matriz M = , 
têm-se:
• O determinante de M é det M = 35.
• A matriz dos cofatores de M é 
M’ = 
• A matriz adjunta de M é
—
M = 
• A matriz inversa de M é
M–1 = =
= . =
5. EXISTÊNCIA DA MATRIZ INVERSA DE M
A condição necessária e su ficiente para existir a
inversa de uma matriz quadrada M é que det M � 0.
Quando det M � 0, a matriz é chamada de
invertível ou não singular.
Quando det M = 0, a matriz é cha mada de não
invertível ou sin gular.
6. PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA DE M
• Se uma matriz é invertível, então a inversa é única.
• Se A é invertível, então (A–1)–1 = A, ou seja, a
inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz.
• Se A e B são matrizes invertíveis e de mesma
ordem, então (A . B)–1 = B–1 . A–1.
• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.
• Se A é invertível, então det (A–1) = .
5
2
4
3 � 0–1 43 �
0
–1
5
2 �–32 13 �
2
–1
1
3 � 2–1 –32 �
–3
5
1
4 � 20 14 �
2
0
–3
5
�
7
11
–17
–4
7
–8
5
–1
10 �
�
2
0
– 1
– 3
5
2
1
4
3 �
�
7
11
–17
–4
7
–8
5
–1
10 �
�
7
– 4
5
11
7
– 1
–17
– 8
10 �
� 62
8
3 �
�
3––
2
–1
– 4
3 �
� 62
8
3 � �
3––
2
–1
– 4
3 � �
1
0
0
1 �
� 3––2
–1
– 4
3
� � 62 83 � � 10 01 �
1
M–1 = ––––––– . 
—
M
det M
1
M–1 = ––––––– . 
—
M
det M
� 20
– 1
– 3
5
2
1
4
3
�
� 711
–17
– 4
7
– 8
5
–1
10
�
� 7– 4
5
11
7
– 1
–17
– 8
10
�
1
–––––– 
—
M
det M
1
–––
31 �
7
– 4
5
11
7
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–17
– 8
10
� �
7–––
31
– 4––––
31
5–––
31
11–––
31
7–––
31
– 1––––
31
– 17–––––
31
– 8––––
31
10–––
31
�
1––––––––
det (A)
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1. SEQUÊNCIAS
Definição
Chama-se sequência de núme ros reais toda fun ção
de �* em �.
• Por exemplo, a função 
f : �* → �, tal que f(x)=x . (x+1), é uma sequência de
números reais, pois seu domínio é �* e seu con tra -
domínio é �.
Nesta função: 
f(1) = 1 . (1 + 1) = 2
f(2) = 2 . (2 + 1) = 6
f(3) = 3 . (3 + 1) = 12
f(4) = 4 . (4 + 1) = 20
f(5) = 5 . (5 + 1) = 30
e assim por diante.
Em uma sequência de números reais, a imagem do
1 indica-se por a1, a imagem do 2 indica-se por a2, a
imagem do 3 indica-se por a3 e assim a imagem de n
indica-se por an e é conhecida como termo ge ral da
sequência. Uma se quên cia pode ser escrita da forma:
No exemplo anterior,
a1 = f(1) = 2
a2 = f(2) = 6
a3 = f(3) = 12
a4 = f(4) = 20
a5 = f(5) = 30
f = {(1; f(1)), (2; f(2)), (3; f(3)), ..., (n; f(n)), ...}
ou
(an) = (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)
1. INTRODUÇÃO
A trigonometria permite deter minar os elementos não
dados de um triângulo. A resolução de um triân gulo, pelo
cálculo, fundamenta-se em relações exis tentes entre os
elementos do triângulo. As mais im portantes são Lei dos
Senos e Lei dos Cossenos.
2. LEI DOS SENOS
Demonstra-se que "em todo triângulo, as medidas
dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos, e a razão de proporcio nalidade é a medida do
diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo".
3. LEI DOS COSSENOS
Demonstra-se que "em todo triângulo, o quadrado da
medida de um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros lados, menos o dobro do produto
destas medidas pelo cosseno do ângulo que eles
formam".
a b c
––––––– = ––––––– = ––––––– = 2R
sen A sen B sen C
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A^
FRENTE 2 Trigonometria e Álgebra
MÓDULO 15 Lei dos Senos e dos Cossenos
MÓDULO 16 Sequências, Progressão Aritmética
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e a sequência pode ser escrita da forma:
f = {(1; 2), (2; 6), (3; 12), ...}
ou
(an) = (2, 6, 12, 20, 30, ...)
Desta forma a sequência de nú meros reais é um
conjunto de núme ros reais ordenado, ou seja, existe um
primeiro, um segundo, um ter cei ro e assim por diante.
São exemplos de sequências:
• a sequência de números primos naturais
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...)
• a sequência de números ímpares na -
turais
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...)
• a sequência de Fibo nacci, na qual os dois
pri meiros termos são iguais a 1 e, a partir do
terceiro, ca da termo é a soma dos dois termos que
lhe antecedem.
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)
indica-se por 
a1 = 1, a2 = 1 e 
an+2 = an+1 + an, com n ∈ �*.
❑ Leis de formação
Algumas sequências obedecem a uma lei de forma -
ção. Estas leis de formação são de dois tipos básicos:
as leis de recorrências e as fórmulas do termo
geral.
❑ Leis de recorrências
São fórmulas que relacionam o valor de um termo
com o valor de um ou mais termos anteriores.
• Por exemplo, a sequência (an), tal que a1 = 2 e
an+1 = 3 . an, com n ∈ �*, é dada por uma lei de recor -
rência.
Nesta sequência
a2 = a1+1 = 3 . a1 = 3 . 2 = 6
a3 = a2+1 = 3 . a2 = 3 . 6 = 18
a4 = a3+1 = 3 . a3 = 3 . 18 = 54
a5 = a4+1 = 3 . a4 = 3 . 54 = 192
Assim: 
(an) = (2, 6, 18, 54, 192, ...)
Observe que a fórmula an+1 = 3 . an indica que, a partir
do segundo, cada termo é o produto de 3 pelo valor do
termo anterior.
❑ Fórmula do termo geral
São fórmulas que relacionam o valor (an) de um
termo com a posi ção (n) que ele ocupa na se quên cia.
• Por exemplo, a sequência (an), tal que an = 3n + 1,
com n ∈ �*, é dada por uma fórmula do termo geral.
Nesta sequência
a1 = 3 . 1 + 1 = 4
a2 = 3 . 2 + 1 = 7
a3 = 3 . 3 + 1 = 10
a4 = 3 . 4 + 1 = 13
Assim: (an) = (4, 7, 10, 13, ...)
Observe que a fórmula an = 3 . n + 1 relaciona o va lor do
termo com a posição (n) que ele ocupa na se quência.
❑ Monotonicidade de uma sequência
A exemplo do que ocorre com funções, uma
sequência pode ser:
• estritamente crescente, quando os valores
sempre au men tam, como por exemplo: 
(an) = (2, 4, 6, 8, 10, ...)
• estritamente decres cen te, quando os valo -
res sempre dimi nuem, como por exemplo:
(an) = (10, 8, 6, 4, 2, ...)
• constante, quando os va lo res não mudam,
como por exemplo: 
(an) = (2, 2, 2, 2, 2, ...)
• crescente, quando os va lo res aumentam ou não
mudam, como por exemplo:
(an) = (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...)
• decrescente, quando os valores diminuem ou
não mudam, como por exemplo:
(an) = (12,12,12,10,10,10,8,8,8,...)
• não monotônica, quando não se enquadra em
nenhum dos cinco casos anteriores, como por
exemplo:
(an) = (2,–4,8,–16,32,–64,128,...)
Algumas sequências são de es pecial importância
para os estu dos matemáticos. As mais conhecidas são a
progressão aritmética e a progressão geomé -
tri ca.
2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA
❑ Definição
Progressão aritmética (P.A.) é toda sequência cuja
lei de formação é do tipo a1 = a e an+1 = an + r,
qualquer que seja n no conjunto �*.
Por exemplo, a sequência (an), tal que a1 = 2 e 
an+1 = an + 3, com n ∈ �*, é uma progressão aritmética.
Nesta sequência
a2 = a1+1 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5
a3 = a2+1 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8
a4 = a3+1 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11
a5 = a4+1 = a4 + 3 = 11 + 3 = 14
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1. TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS
Considere uma progressão arit mética (an), os termos
ak+1 e an–k são chamados de equidis tantes de a1 e
an, pois o número de termos que antecede ak+1 é igual
ao número de termos que sucede an–k até an.
(an) = (a1,a2...,ak,ak+1,...,an–k,an–k+1,...,an,...)
k termos k termos
Aplicando a fórmula do termo geral, obtém-se:
ak+1 + an–k = a1 + (k + 1 – 1) . r + a1+ (n – k – 1).r = 
= a1 + a1 + (n – 1) . r = a1 + an
A conclusão é a de que a soma de dois termos
equidistantes de a1 e an é igual à soma de a1 com an.
Se considerarmos apenas os n primeiros termos da
progressão arit mética, a1 e an serão chamados de ex tre -
mos, e a propriedade se traduz em:
“Na progressão aritmética, a soma de dois
termos equidis tantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.”
• Por exemplo, na progressão aritmética (1, 4, 7, 10,
13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37), tem-se:
1 + 37 = 4 + 34 = 7 + 31 =
= 10 + 28 = 13 + 25 = 16 + 22 = 19 + 19
2. TERMO MÉDIO
A partir do segundo, cada termo de uma progressão
aritmética é a média aritmética entre o anterior e o
posterior.
Na progressão aritmética
(an) = (a1,a2,a3,...,an–1,an,an+1,...), tem-se:
an = ,∀n ∈ �* e n ≥ 2
an–1 + an+1––––––––––
2
Assim: (an) = (2, 5, 8, 11, 14, ...)
Observe que na progressão aritmética, a partir do
segundo, cada termo é o termo anterior acrescido de
uma constante (r). Esta constante é chamada de razão
da progressão aritmética.
❑ Fórmula do termo geral 
da progressão aritmética
Considerando a progressão arit mé tica (an), tal que 
a1 = a e an+1 = an + r, com n ∈ �*, têm-se:
a2 = a1+1 = a1 + r
a3 = a2+1 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3+1 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
a5 = a4+1 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
a6 = a5+1 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
e assim:
Esta fórmula é conhecida como fórmula do ter -
mo geral da P.A. e tem a finalidade principal de per -
mitir determinar um termo da pro gressão.
• Por exemplo, para determinar o 18o. termo da pro -
gres são aritmética na qual a1 = 5 e an+1 = an + 3, com 
n ∈ �*, basta substituir a1 por 5, r por 3 e n por 18 na
fórmula do termo geral. 
Assim: a18 = a1 + (18 – 1) . r = 5 + 17 . 3 = 56
• Por exemplo, na progressão aritmética (2, 6, 10, 14,
18, ...), o décimo terceiro termo é 50, pois:
a13 = a1 + (13 – 1) . r = 2 + 12 . 4 = 50
A fórmula do termo geral permite também:
• determinar o primeiro termo (a1), quando se co -
nhecem um termo qualquer e a razão;
• determinar a razão (r), quando se conhecem dois
termos quaisquer;
• determinar a posição (n) de um termo, quando se
co nhe cem o valor do termo, o primeiro termo e a
razão.
Observe que, se (an) é uma progressão aritmética de
primeiro termo a1 e razão r, então:
am = a1 + (m – 1) . r } ⇒
an = a1 + (n – 1) . r 
⇒ am – an = (m – 1) . r – (n – 1) . r ⇒ am – an = (m – n) . r
Assim:
Esta fórmula relaciona dois ter mos quaisquer da pro -
gressão arit mética.
an = a1 + (n – 1) . r
am = an + (m – n) . r
MÓDULO 17 Propriedades da Progressão Aritmética
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Na progressão aritmética (an) = (a1, a2, a3, ..., 
an, ...), a soma Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an é
chamada de soma dos n primeiros termos da progressão
aritmética.
Observe que
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an
Sn = an + an–1 + an–2 + ... + a3 + a2 + a1,
do que se conclui:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... +
+ (a1 + an), pois a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 =
= ... = an + a1.
Assim sendo, 2Sn = (a1+an) . n, e 
Essa fórmula permite calcular a soma dos termos de
uma progressão aritmética e é conhecida como fór -
mula da soma da P.A.
• Por exemplo, na progressão aritmética (1, 4, 7, 10,
13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37), a soma dos sete
primeiros termos é 70, pois 
S7 = = = 70
• A soma dos múltiplos de 3 com preendidos entre
10 e 100 é 1665, pois:
a1 = 12 (primeiro múltiplo de 3 depois do 10), 
an = 99 (último múltiplo de 3 antes do 100), 
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3 ⇒ n = 30 
(quantidade de múltiplos de 3 com preendidos entre
10 e 100), e
Sn = ⇒ S30 = ⇒
⇒ S30 = = 1665.
• Um teatro que tem 10 pol tronas na primeira fila,
12 poltronas na segunda fila, 14 na terceira fila e assim
por diante, num total de 220 poltronas, possui 11 filas,
pois
Sn = ⇒ Sn = ⇒
⇒ 220 = ⇔
⇔ 220 = (9 + n) . n ⇔ n2 + 9n – 220 = 0 ⇔
⇔ n = – 20 ou n = 11 ⇒ n = 11, visto que n > 0.
(a1 + an) . nSn = –––––––––––––––2
(a1 + a7) . 7–––––––––––
2
(1 + 19) . 7
–––––––––––
2
(a1 + an) . n–––––––––––––
2
(a1 + a30) . 30––––––––––––
2
(12 + 99) . 30
––––––––––––
2
(a1 + an) . n–––––––––––
2
(a1 + a1 + (n – 1) . r) . n ––––––––––––––––––––––
2
(10 + 10 + (n – 1) . 2) . n
––––––––––––––––––––––
2
• Por exemplo, na progressão aritmética 
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37), tem-se:
a2 = = = 4
a7 = = = 19
• Por exemplo, na progressão aritmética 
(3, 2x – 3, 3x – 4, ...), o valor de x é 5, pois:
a2 = ⇒ 2x – 3 = ⇔ 
⇔ 4x – 6 = 3x – 1 ⇔ x = 5
a1+a3––––––
2
3+(3x – 4)
–––––––––
2
a6 + a8–––––––
2
16 + 22
––––––––
2
a1 + a3–––––––
2
1 + 7
–––––
2
MÓDULO 18 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
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1. RAZÃO ENTRE AS ÁREAS 
DE FIGURAS SEMELHANTES
A razão entre as áreas de duas superfícies seme -
lhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Exemplo
Se os triângulos ABC e MNP da figura forem seme -
lhantes e tiverem áreas S1 e S2, respectivamente, então 
e 
(razão de semelhança) (razão de área)
2. POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS
Dizemos que um polígono é circunscritível quando
ele admite circunferência inscrita.
A área A de um polígono circunscrito a uma circun -
ferência de raio r é onde p é o semipe- 
rímetro do polígono.
De fato
A = AOA1A2 + AOA2A3 + ... + AOAnA1 ⇒
⇒ A = + +...+ ⇒
⇒ A = . r ⇒
3. POLÍGONOS REGULARES
❑ Definição e propriedades
• Polígono regular é aquele cujos lados são res pec -
tivamente côngruos e cujos ângulos internos tam bém são
respectivamente côn gruos.
• Todo polígono regu lar é ins critível e circuns crití vel
a uma circun ferência.
O é o centro das circunferências ins cri ta (interna) e
cir cuns crita (externa) do polí gono.
❑ Apótema do polígono regular
Se o polígono for regular, então o raio da circun -
ferên cia inscrita recebe o nome de apótema e é
representado por a.
OM
— 
é um dos apótemas do he xá gono regular
ABCDEF.
A = p . r
a1 . r–––––
2
a2 . r–––––
2
an . r–––––
2
a1 + a2 + ... + an––––––––––––––––
2
A = p . r
b1 h1
–––– = –––– = k
b2 h2
S1
–––– = k2
S2
FRENTE 3 Geometria Plana e Analítica
MÓDULO 15
Razão Entre as Áreas de Figuras 
Semelhantes e Área dos Polígonos Regulares
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❑ Triângulo equilátero inscrito
Sendo R o raio da circunferência circunscrita, � o
lado e a o apótema de um triângulo equilátero, temos:
• AM
—
é a altura do triângulo equilátero 
ABC ⇒ 
• Como O é o baricentro do triângulo ABC, temos
AO = 2 . OM ⇒ R = 2a ⇒ 
• AM = AO + OM ⇒ = 2a + a ⇒
⇒
❑ Quadrado inscrito
Sendo R o raio da circunferência circunscrita, � o
lado e a o apótema do quadrado inscrito, temos:
• AC
—
é a diagonal do quadrado 
ABCD ⇒ AC = ���2 ⇒ 2 R = ���2 ⇒
• OM = ⇒
• Como a = e � = R���2, temos:
❑ Hexágono regular inscrito
Sendo R o raio da circunferência circunscrita, � o
lado e a o apótema do hexágono regular inscrito, temos:
• O triângulo ABO é equilátero ⇒ AB
—
≅ OA
—
⇒
• OM
—
é a altura do triângulo equilátero ⇒
⇒ OM = ⇒
4. ÁREA DOS POLÍGONOS REGULARES
Sendo � a medida do lado de um polígono regular
de n lados, cujo apótema mede a, sobre cada lado
podemos construir um triângulo de base � e altura a.
Assim, a área do polígono será igual à soma das áreas
dos n triângulos construídos, ou seja,
em que p é semiperímetro
� ���3
AM= –––––
2
R
a = –––
2
� ���3
–––––
2
����3
a = ––––––
6
� = R ���2
AB
––––
2
�
a = –––
2
�
––
2
R ���2
a = –––––––
2
� = R
AB ���3
–––––––
2
R ���3
a = ––––––
2
S = p . a
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1. COORDENADAS 
CARTESIANAS ORTOGONAIS
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em
O e seja α o plano determinado por eles. Temos, assim,
o sistema de eixos cartesianos ortogonais.
O plano α fica assim dividido:
Tomemos agora um ponto P qualquer do plano α e
por ele conduzamos perpendiculares aos eixos, as quais
interceptarão x e y em P1 e P2 respectivamente.
Define-se:
• Abscissa de P é o número real xp = OP1.
• Ordenada de P é o número real yp = OP2.
• Coordenadas de P são os números reais xp e
yp indicados por (xp; yp).
• x ou Ox é o eixo das abscissas.
• y ou Oy é o eixo das ordenadas.
• O (0; 0) é a origem do sistema cartesiano orto -
gonal.
Notando que (a; b) = (c; d) ⇔ a = c e b = d, con -
cluímos que a cada ponto P do plano α corresponde
um único par ordenado (xp; yp) que o representa.
Dessa forma, podemos admitir que, em Geometria Ana -
lí tica, conhecer um ponto significa conhecer suas coor -
denadas. 
Assim:
• Ao pedir um ponto, estamos pedindo suas coor -
de nadas.
• Ao dar um ponto, estamos dando suas coorde na -
das.
A partir das definições, notamos que:
I. O ponto P(xp; yp) pertence ao eixo das abscis -
sas se, e somente se, yp = 0. 
Simbolicamente:
II. O ponto P(xp; yp) pertence ao eixo das ordena -
das se, e somente se, xp = 0. 
Simbolicamente:
P(xp; yp) ∈ Ox ⇔ yp = 0
P(xp; yp) ∈ Oy ⇔ xp = 0
MÓDULO 16
Coordenadas Cartesianas 
Ortogonais e Razão de Secção
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III.O ponto P(xp; yp) pertence à bissetriz (r) dos
quadrantes ímpares se, e somente se, xp = yp. 
Simbolicamente:
IV. O ponto P(xp; yp) pertence à bissetriz (s) dos
quadrantes pares se, e somente se, xp = – yp. 
Simbolicamente:
2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Consideremos dois pontos quaisquer, A(xA; yA) e
B(xB; yB).
No triângulo ABC, AC = xB – xA, BC = yB – yA e 
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 ⇔ AB = ���������������������(xB – xA)2 + (yB – yA)2 .
Notando que a ordem dos termos em cada diferença não
altera o cálculo da distância entre os pontos A e B,
podemos escrever 
assim:
3. RAZÃO DE SECÇÃO
❑ Definição
Razão de secção de um seg mento AB
—
(A ≠ B) por um
ponto C(C ≠ B) da mesma reta suporte de AB é o número
real r, tal que:
❑ Problema I
Dados A (xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), obter r.
Temos:
Observação
• r > 0 ⇔ C interno a AB
—
• r < 0 ⇔ C externo a AB
—
• r = 1 ⇔ C ponto médio de AB
—
❑ Problema II
Dados A (xA, yA), B(xB, yB) e r ≠ – 1, obter C(xC, yC).
Temos:
❑ Caso particular
Dados A (xA,yA) e B(xB, yB), obter M, ponto médio de
AB (r = 1). 
Temos:
xA + r . xB yA + r . yBC(––––––––––––, ––––––––––––)1 + r 1 + r
xA + xB yA + yBM (––––––––– , –––––––––)2 2
P(xp; yp) ∈ r ⇔ xp = yp
P(xp; yp) ∈ s ⇔ xp = – yp
AB = ���������������������(xB–xA)2+(yB–yA)2 = ��������������� (Δx)2 + (Δy)2
Δx = x B – xA = xA – xB e Δy = yB – yA = yA – yB
AC
r = –––––
CB
xC – xA yC – yAr = ––––––––––– = –––––––––––
xB – xC yB – yC
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– 67
MÓDULO 17 Alinhamento de Três Pontos e Curvas
1. ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS (ÁREA
DE UM TRIÂNGULO)
Seja o determinante 
D = constituído pelos pontos A(xA; yA),
B(xB; yB) e C(xC; yC), não coin cidentes. 
Temos que
• A C.N.S para que A, B e C sejam colineares é 
D = 0.
• A C.N.S para que A, B e C formem um triângulo é
D ≠ 0, e nesse caso, a área do triângulo será
Exemplos
• Os pontos A(2; 3), B(0; 1) e C(1; 2) estão alinha -
dos, pois
D = = 0
• Os pontos A(1; 3), B(0; –1) e C(3; 2) não estão
alinhados, pois
D = = 9 ≠ 0
E, portanto, são vértices de um triângulo de área
D = ⇒
2. CURVAS
❑ Interceptos
Os interceptos de uma curva são os pontos em que
a curva corta os eixos coordenados.
A determinação dos interceptos é feita da seguinte
maneira:
• toma-se y = 0, na equação da curva, calculan -
do-se o valor de x;
• toma-se x = 0, na equação da curva, calculan -
do-se o valor de y.
Exemplo
• Os interceptos da curva de equação x + 2y – 5 = 0
são (0; ) e (5; 0), pois
Para x = 0 ⇒ 0 + 2y – 5 = 0 ⇒ y =
Para y = 0 ⇒ x + 2 . 0 – 5 ⇒ x = 5
❑ Intersecção
As intersecções de duas curvas são os pontos de
encontro das duas curvas.
As coordenadas dos pontos de intersecção são as
soluções reais, obtidas na resolução do sistema de ter -
minado pelas equações das duas curvas.
Exemplo
• Obter a intersecção das retas: (r) x + 2y – 5 = 0
e (s) x – y + 1 = 0
Resolução
Considerando o sistema determinado pelas retas r e
s, temos
{ x + 2y – 5 = 0 (I)x – y + 1 = 0 (II)
• fazendo I – II, temos
3y – 6 = 0 ⇒ 
• substituindo y = 2 em I
x + 2 . 2 – 5 = 0 ⇒
Resposta: A intersecção das retas r e s é o
ponto (1; 2). 
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
� D �
S = ––––––
2
2
0
1
3
1
2
1
1
1
1
0
3
3
–1
2
1
1
1
� 9 �
––––
2
9S = –––
2
5
––
2
5
––
2
y = 2
x = 1
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68 –
1. TEOREMA
“A toda reta r do plano cartesiano, associa-se uma
equação do tipo ax + by + c = 0, com a e b não simul -
taneamente nulos.”
2. DETERMINAÇÃO DA 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Seja r a reta do plano cartesiano, determinada pelos
pontos A(xA; yA) e B(xB; yB). Tomemos P(x; y) um ponto
qualquer de r. 
Teremos
P, A e B alinhados ⇒ = 0
Desenvolvendo-se o determinante, resulta
(yA – yB)x + (xB – xA)y + + (xAyB – xByA) = 0
a b c
e finalmente , com a e b não
simulta neamente nulos, que é chamada Equação
Geral da reta.
Observações
• Lembre-se sempre de que, na equação: ax+by+c = 0,
x e y são as coordenadas de um ponto qualquer dessa
reta. Isso significa que, se um ponto P(xp, yp) per tence à
reta, então suas coordenadas satisfazem à equa ção da
reta, isto é, axp + byp + c = 0, e reci proca mente.
Exemplo
• O ponto C (2; 3) pertence à reta de equação 
x – y + 1 = 0, pois suas coordenadas satisfazem a
equação da reta. Com efeito, temos 
• Podemos também demonstrar o seguinte:
Teorema: Toda equação do 1o. grau do tipo 
ax + by + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos,
é equação de uma reta.
3. CASOS PARTICULARES 
DA EQUAÇÃO DA RETA
• x = k, k ≠ 0 (reta paralela ao eixo y)
• x = 0 (eixo y)
• y = k, k ≠ 0 (reta paralela ao eixo x)
• y = 0 (eixo x)
x
xA
xB
y
yA
yB
1
1
1
ax + by + c = 0
2 – 3 + 1 = 0
MÓDULO 18 Equação Geral da Reta
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