APOSTILA_IEGRS_2 ANO_ENS MÉDIO_ PRONTA 4 MATEMÁTICA

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APOSTILA DE MATEMÁTICA 2º CICLO 
 2º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR 
 
Progressão aritmética (P.A.) 
É uma sequência de números reais onde 
cada termo, a partir do segundo, é igual ao 
anterior somado a uma constante denominada 
razão r. 
Exemplo: 
(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23...) 
Essa é uma sequência que pode ser classificada 
como progressão aritmética infinita, pois 
a razão r = 3 e o primeiro termo é 2. 
(1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...) 
Essa sequência não é uma progressão 
aritmética, por mais que ela tenha uma 
regularidade e a gente consiga prever os próximos 
termos, não há uma soma de uma razão que gere o 
próximo termo. 
 
A representação é ( a1, a2, a3, ..., an), onde: 
a1: primeiro termo 
n: número de termos 
r: razão 
an: termo geral 
Classificação da P.A 
Uma PA pode ser classificada como finita, 
quando existir uma qualidade limitada de termos, 
ou infinita. Além disso: 
• Uma P.A é crescente quando a razão r for 
positiva. 
• Uma P.A é constante quando a razão r for 
igual a zero. 
• Uma P.A é decrescente quando a razão r 
for negativa. 
Fórmula do termo geral de uma P.A 
an = a1 + (n - 1). r 
Exemplo 1 
Encontre o 16º termo de uma P.A. que possui razão 
3 e cujo primeiro termo é igual a 4. 
Resolução: 
 
an = a1 + (n – 1) r 
 
Queremos o 16º termo, então n = 16. Além disso, 
sabemos que r = 3 e a1 = 4. 
a16 = 4 + (16 – 1) 3 
a16 = 4 + (15) 3 
a16 = 4 + 45 
a16 = 49 
Exemplo 2 
Qual é o primeiro termo de uma P.A. em que o 
termo do seu 12º termo é igual a 5 e a razão é -4. 
Resolução 
Dados r = -4 e a12 = 5 
 
Soma dos termos de uma progressão 
aritmética (PA) 
 
Onde: 
Sn: soma dos n termos 
a1: primeiro termo 
an: enésimo termo 
n: número de termos 
Exemplo 1 
Determine a soma dos termos da seguinte PA: (2, 
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 
34, 36, 38, 40). 
Resolução: 
 
IEGRS 
PROFAS: JULIANA e SIMONE 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA 
 
https://escolakids.uol.com.br/progressoes-aritmeticas.htm
https://escolakids.uol.com.br/progressoes-aritmeticas.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pa.htm
Para usar a fórmula dada, observe que: 
a1 = 2 
an = 40 
n = 20 
Esse último dado (número de termos) foi 
obtido contando os termos da PA. Aplicando esses 
dados na fórmula, teremos: 
 
 
Assim, a soma dos termos dessa PA é 420. 
 Exemplo 2 
Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA 
a seguir: (5, 10, 15, …). 
Resolução: 
Note que essa PA é infinita, isso é 
evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 
5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. 
Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros 
termos, o 50º termo será representado por a50. 
Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula 
do termo geral da PA: 
 Nessa fórmula, r é a razão da PA. 
Substituindo os valores dados no enunciado 
nessa fórmula, teremos: 
 
Exercícios de fixação P.A. 
1) Considere uma progressão aritmética, em que a 
8 = a 2 + a 6, e a soma dos 10 primeiros termos dessa 
sequência é igual a 330. 
Assim, a razão dessa progressão é igual a: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13 
 
2) Três números inteiros positivos estão em 
progressão aritmética; o produto deles é 792 e a 
soma é 33. O maior desses números é: 
a) 11 b) 17 c) 18 d) 22 e) 66 
 
3) Em certa progressão aritmética, o 4º termo é 
igual a 18 e o 7º termo é igual a 30. Qual o valor da 
soma dos 3 primeiros termos dessa sequência? 
a) 34 b) 36 c) 30 d) 32 
 
4) O total de múltiplos de 5 compreendidos entre 
101 e 999 é igual a: 
a) 80 b) 100 c) 120 d) 150 e) 179 
 
5) Os termos k, 2k, 3k, 4k, ... 39k e 40k formam 
uma progressão aritmética cuja soma é 4100. 
Dessa forma, a soma dos quinze primeiros termos 
é: 
a) 480. b) 520. c) 560. d) 600. 
 
6) Em uma progressão aritmética, tem-se a2+a5=40 
e a4+a7=64. O valor do 31º termo dessa progressão 
aritmética é igual a: 
a) 180. b) 185. c) 182. d) 175. e) 178. 
 
7) A soma dos cinco termos de uma progressão 
aritmética crescente formada por números inteiros 
é 60. Logo, o terceiro termo dessa progressão é: 
a) 10. b) 12. c) 15. d) 18. 
 
https://escolakids.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pa.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pa.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pa.htm
8) Considere as informações para uma P. A 
(progressão aritmética): 1º termo é igual a 2, razão 
equivale a 5. Determine o valor do 17º termo 
dessa sequência numérica. 
A) 74 B) 53 C) 82 D) 18 E) 35 
 
9) Geraldo está tentando emagrecer. Aconselhado 
pelo seu médico, Geraldo resolveu caminhar na 
esteira elétrica. Como não fazia exercícios há 
muito tempo, ele começou caminhando 12 
minutos, depois aumentou para 14 minutos e 
continuou aumentando em 2 minutos a sua 
caminhada, diariamente, até conseguir caminhar 
durante 2 horas seguidas. O dia em que 
ele caminhou 2 horas seguidas foi o: 
A) 43° dia. B) 60° dia. C) 55° dia. 
D) 40° dia. E) 63° dia. 
 
10) Em 15 partidas que certo time de futebol 
disputou em um campeonato, houve x 
empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z 
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética 
de razão 2, quantos jogos esse time venceu? 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
 
Progressão geométrica 
É toda sequencia de números não-nulos em 
que cada termo, a partir do segundo, é igual ao 
produto de seu precedente por uma constante, 
denominada razão q da progressão geométrica. 
Exemplo 1: 
Considere a PG de razão 3 em que o primeiro termo 
é 2. 
Os termos da sequência são representados por (a1, 
a2, a3, a4, a5 …). 
a1 = 2 
a2 = 2.3 = 6 
a3 = 6.3 = 18 
a4 = 18.3 = 54 
a5 = 54.3 = 162. 
A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...). 
A razão de uma PG pode ser encontrada a 
partir da divisão de um termo da sequência pelo 
seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja 
realmente uma progressão geométrica, 
essa divisão sempre será igual a q. 
 
Exemplo 2: 
P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32) 
 
Logo, essa PG possui razão q = 2. 
 
Propriedades da PG 
• 1ª propriedade: o produto de termos 
equidistantes do extremo é sempre igual. 
Exemplo: 
(2, 8, 32, 128, 512, 2048) 
2∙ 2048= 4096 
8∙512 = 4096 
32 ∙128 = 4096 
Quando a PG possui uma quantidade ímpar de 
termos, há um termo central. Esse termo ao 
quadrado também é igual ao produto dos termos 
equidistantes. 
Exemplo: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) 
1∙ 64 = 64 
2∙32 = 64 
4∙16 = 64 
8∙8 = 64 
• 2ª propriedade 
O termo central da PG é também a sua média 
geométrica. 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/divisao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-naturais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/como-identificar-se-um-numero-par-ou-impar.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
 
Classificação de uma PG 
Uma PG pode ser classificada como finita, 
quando existir uma qualidade limitada de termos, 
ou infinita. Além disso, classificamos a PG como 
crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa 
classificação depende diretamente de q. 
 
• Crescente: cada termo, a partir do segundo, 
é maior que o termo antecessor. 
➔a1> 0 e q >1 
Ex: (2, 10, 50, 250, …), q = 5. 
 
➔a1 < 0 e 0 < q < 1 
Ex: (- 8, - 4, - 2, - 1, -1/2, ...), q = ½. 
 
• Constante ou estacionária: é a P.G que 
possui todos os termos iguais, pois q = 1. 
 Ex: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1. 
 
• Decrescente: cada termo, a partir do 
segundo, é menor que o termo antecessor. 
➔a1> 0 e 0 < q <1 
Ex: (8, 4, 1, 1/2,...), q= ½ . 
 
➔a1 < 0 e 0 < q < 1 
Ex: (- 2, - 4, - 8, - 16, ...), q =2 
 
• Oscilante: os termos são alternadamente 
negativos e positivos, o que ocorre quando a 
razão é negativa, ou seja, q < 0. 
Ex:(1,- 2, 4, -8, 16, -32, 64...) e q= - 2. 
 
Fórmula do termo geral da P.G. 
 
Numa P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão q, 
o termo geral an é dado por: 
 
Exemplo: Encontre o 9º termo de uma PG que 
possui a1 = 3 e q = 5. 
 
Soma dos termos de uma PG 
Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão q≠1. A 
soma dos n primeiros termos é dada por 
: 
 
Note que essa fórmula depende do valor de n, ou 
seja, ela só serve para uma quantidade limitada de 
valores, por isso dizemos que essa é a soma dos 
termos de uma PG finita. 
 
 
Ex: Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos 
da PG (3,6,12, 24,…)? 
Resolução: 
Temos que a1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo 
pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2). 
Assim, a soma dos 10 primeiros termos será: 
 
Um caso particular para soma dos termos da PG é 
quando ela é infinita e decrescente. Nesse caso, a 
razão q é um número entre zero e 1 (0 < q < 1). Com 
isso, é possível encontrar uma nova fórmula que só 
serve para esses casos: 
 
Ex: Calcule a soma de todos termos da sequência a 
seguir: 
 
Resolução: 
 
 
Exercícios de fixação P.G. 
01.(UDESC) O primeiro termo de uma progressão 
geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão 
dessa progressão é: 
a)2 b)4 c)5 d)6 e)10 
02.Determine a posição do termo 
2
625
 na P.G. 
(10, 2,...). 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
03. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que 
a1 = 8 e a3 = 18 é igual a: 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 
04. Calcule o valor de k para que a soma dos k 
primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, 
…) para que seja igual a 29524. 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)n.d.a 
05. Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e 
a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: 
a) -1700 b) -850 c) 850 d) 1700 e) 750 
 
06.Dê o sétimo termo da PG de razão 3 e segundo 
termo igual a 5. 
a) 243 
b) 245 
c) 1115 
d) 1215 
07. Numa P.G, temos a5 = 32 e a8 = 256. A soma 
do primeiro termo e a razão dessa P.G é 
A) 4 
B) 8 
C) 10 
D) 2 
08. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. 
(7, 14, ...). 
A) 424 
B) 456 
C) 342 
D) 441 
09. Em um laboratório de experiências, o número 
de bactérias, sob certas condições, se multiplica por 
três a cada hora. Se inicialmente existe uma 
bactéria na experiência, o número total de 
bactérias, após um período de sete horas, 
corresponde a 
A) 27. 
B) 81. 
C) 243. 
D) 729. 
E) 2187. 
10. Qual é o valor da soma dos termos da P.G ( 2, 
½, ...) 
a) 0 
b)1 
c)6/4 
d)8/3 
e) n.d.a 
 
PRISMAS 
 
 São os poliedros convexos que têm duas 
faces paralelas e congruentes (chamadas bases) e 
as demais faces em forma de paralelogramos 
(chamadas faces laterais). 
 
 
 Nomenclatura de um prisma 
 
 Os prismas são designados de acordo com o 
polígono da sua base. 
 
 - Se as arestas laterais são perpendiculares aos 
planos das bases, o prisma é dito reto. 
 - Se as arestas laterais são obliquas aos planos 
das bases, o prisma é dito obliquo. 
- Um prisma será regular quando ele for reto e sua 
base for um polígono regular. 
 
 
 
 
Área da superfície de um prisma 
 
 Observe o prisma abaixo e a sua 
planificação 
- Área da base ( Ab ): Corresponde a área do 
polígono da base. 
 
- Área lateral ( Al ): É a soma das áreas das 
faces laterais. 
 
- Área total ( At ): É a soma das áreas das 
bases com a áreas da face lateral, isto é: 
 
 
 Volume de um prisma 
 
 O volume de um prisma é dado por: 
, onde Ab ( área da base ) e h ( altura ) . 
 
PARALELEPÍPEDOS 
 
At = 2.Ab + Al 
V= Ab.h 
 São os prismas cujas faces são seis 
paralelogramos. 
 
Paralelepípedo reto-retângulo 
 
 É o paralelepípedo cujas faces são 
retângulos 
 
Cubo 
 
 É o paralelepípedo cujas faces são 
quadrados. 
 
EXERCÍCIOS – PRISMAS 
 
1) Para abrir uma vala de 20 m x 1,5 m x 1m de 
profundidade, 3 homens levaram 6 dias. Calcule 
quantos homens serão necessários para abrir outra 
vala de 25 m x 2 m x 1 m de profundidade 
executando essa tarefa, no mesmo ritmo da 
anterior, em um dia a menos. 
 
2) A figura a seguir representa uma peça em forma 
prisma triangular. 
 
A soma das áreas de todas as faces dessa peça é 
igual a: 
(a) 6100 cm2 . (b) 8000 cm2. (c) 8400 cm2 . 
(d) 9000 cm2 . (e) 9600 cm2 . 
 
3) Vítor irá pintar uma caixa de madeira com 
formato de um paralelepípedo reto retângulo, como 
a da imagem a seguir, e irá usá-la para acomodar as 
miniaturas de carrinhos que tem. 
 
Sabe-se que Vítor pintará toda a superfície interior 
e exterior da caixa com tinta de mesma cor. A caixa 
tem dimensões de altura, largura e comprimento 
com medidas, respectivamente, iguais a 30 cm, 40 
cm e 60 cm. Dessa maneira, considerando a caixa 
sem tampa e desprezando a espessura de suas faces, 
determine o valor da área total da caixa que será 
pintada por Vítor . 
 
4) A diagonal de um cubo mede 16 cm. Determine 
a área total e o volume desse cubo. 
 
5) Se a soma das medidas de todas as arestas de um 
cubo é 60 cm, então o volume desse cubo, em 
centímetros cúbicos, é: 
(a) 125. (b) 100. (c) 75. (d) 60. (e) 255 
 PIRÂMIDE 
 
 Pirâmide é o poliedro convexo tal que uma 
face é um polígono convexo e as demais faces são 
triângulos que têm um vértice comum. Numa 
pirâmide devemos destacar os seguintes elementos: 
 
Nomenclatura : O nome de uma pirâmide, é de 
acordo com o número de lados do polígono da sua 
base. Se for triângulo, chama-se triangular, se for 
quadrilátero, quadrangular e assim sucessivamente. 
 
 Pirâmide Regular 
 
 Para uma pirâmide ser regular, é necessário 
que ela satisfaça duas condições: 
1ª) A base deve ser um polígono regular; 
2ª) A projeção ortogonal do vértice sobre o plano 
da base coincide com o centro da base. 
 
 Numa pirâmide regular devemos destacar os 
seguintes elementos: 
 
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são 
iguais, logo, as faces laterais são triângulos 
isósceles congruentes. 
 
Área total de uma pirâmide (At ) : 
onde Ab ( área da base ) e Al ( área lateral ou seja 
soma das áreas das faces ). 
 
Volume de uma pirâmide ( V ) : 
onde Ab ( área da base ) e h ( sua 
altura) 
 
 Tetraedro Regular 
 
 É a pirâmide que possui quatro faces que são 
triângulos eqüiláteros. 
 
apótema da base ( m ) : 𝑚 = 
√3𝑎
6
 ; 
apótema do tetraedro ( g ) : 𝑔 = 
√3𝑎
2
 ; 
altura de um tetraedro regular ( h ) : ℎ = 
√6𝑎
3
 ; 
área total ( At ) : 𝑨𝒕 = 𝒂
𝟐 . √𝟑 ; 
volume ( V ) : 𝐕 =
𝒂𝟑 .√𝟐
𝟏𝟐
 . 
At = Ab + Al 
𝑽 = 
𝟏
𝟑
 . 𝑨𝒃 . 𝒉 
 
 EXERCÍCIOS – PIRÂMIDE 
 
1) Uma doceira optou em produzir docinhos de 
chocolate em formato de pirâmide regular de base 
quadrada. Sabendo que o lado da base mede 4 cm 
e a altura da pirâmide mede 4,5 cm, calcule quantos 
cm³ de chocolate são necessários para produzir 5 
docinhos. 
 
2) Uma pirâmide de base retangular e altura 12 cm 
tem volume de 100 cm3 . Determine a área da base 
dessa pirâmide, em cm2 . 
 
3) A figura abaixo mostra um quadrado ABCD e 
quatro triângulos isósceles iguais. Essa figura é a 
planificação de uma pirâmide regular de base 
quadrada. 
 
Sabendo que AB = 4 cm e que AE = EB = 5 cm, 
quanto mede a altura dessa pirâmide, em cm? 
 
4) A aresta de um tetraedro regular mede √12 cm. 
Determine a altura e a área total desse tetraedro. 
 
5) Determine a medida da aresta lateral e o volume 
de uma pirâmide quadrangular regular, reta, cuja 
área da base é 36 cm² e a área de uma de suas faces 
é 15 cm². 
 
CILINDRO 
 
 Considere dois planos α e β, distintose 
paralelos, e um segmento de reta MN com M 
pertencente a α e N pertencente a β. Dado um 
círculo C de centro O e raio r, contido em a, 
chamamos cilindro circular (ou simplesmente 
cilindro) à reunião de todos os segmentos de reta, 
paralelos e congruentes ao segmento MN, que 
unem um ponto do círculo C a um ponto de b. 
 
Classificação: Cilindros pode ser Oblíquo ou Reto; 
estudaremos os cilindros retos. 
 Elementos: segmento OO’ é chamado de eixo, 
bases são círculos de centro O e O’ de raio r, ”g” 
são as geratrizes que ligam as duas bases, “h” é 
altura do cilindro. (distância entre O e O’) . 
 
Obs: O cilindro é um sólido de revolução. Ao girar 
um retângulo 360° em torno de um eixo forma-se 
um cilindro. (reto) 
 
Seção Meridiana de um cilindro reto: é a 
interseção deste que contém o eixo. A seção 
meridiana de um cilindro reto é um retângulo. 
 
Cilindro Equilátero: é aquele cuja seção 
meridiana é um quadrado. Então a sua altura é igual 
a dois raios. (h = 2r) 
 
Área Lateral (𝑨𝑳): A obtenção da superfície lateral 
do cilindro reto de altura “h” de cujos círculos da 
base tem raio “r”, ao planificar esse cilindro, 
obtém-se um retângulo de altura “h” e de base 2𝜋𝑟 
(comprimento da circunferência da base. Então a 
área lateral 𝑨𝑳 será dada por: 
 
 
Área Total (𝐴𝑇): é a soma da área lateral com as 
áreas dos círculos das bases. 
, ou seja, 
 
Pode ser também expressa por: 
 
 
 
 
Volume (V): é o produto da medida da altura “h” 
pela área da base. 
 
 
 
 EXERCÍCIOS – CILINDRO 
 
① Um cilindro equilátero tem área da base igual 
9𝜋 𝑑𝑚2. Calcular a área lateral, a área total e o 
volume. 
 
② Qual a razão entre a área total e a área lateral de 
um cilindro equilátero? 
 
③ Um cilindro de revolução (reto) cuja altura 
mede 5 cm, tem área da base igual a 4𝜋 𝑐𝑚2. 
Calcular a área total e o volume. 
 
④ A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do 
raio da base. Calcular a área lateral, sabendo-se que 
seu volume é 3𝜋2√𝜋 𝑐𝑚³ 
 
⑤ Um cilindro reto tem 7 cm de raio, tem 
119𝜋 𝑐𝑚2𝑑𝑒 área total. Calcule a altura, a área 
lateral e o seu volume. 
 
 CONE 
 
 Consideremos um círculo (região circular) 
de centro O e raio r situado num plano α e um ponto 
V fora do plano α. Chama-se cone circular ou cone, 
𝑨𝑳 = 𝟐𝝅𝒓𝒉 
𝑨𝑻 = 𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝟐𝝅𝒓² 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝟐𝑨𝑩 
 𝑨𝑻 = 𝟐𝝅𝒓(𝒉 + 𝒓). 
V = 𝝅𝒓²𝒉 
à reunião dos segmentos de reta com uma 
extremidade em V e a outra nos pontos do círculo. 
 
 
 
Elementos : V é o vértice, O é o centro do círculo 
(base do cone), o segmento VO é a altura do cone 
(h), r é o raio da base e os infinitos segmentos que 
saem do vértice até a circunferência é chamado de 
geratrizes (g) do cone. 
 Classificação: Os cones podem ser 
classificados pela posição da reta VO em relação 
ao plano 
da base: 
 - Se a reta VO é oblíqua ao plano da base, 
temos um cone circular oblíquo. 
 - Se a reta VO é perpendicular ao plano da 
base, temos um cone circular reto. 
 O cone circular reto é também chamado cone 
de revolução, pois é gerado pela rotação de um 
triângulo retângulo em torno de um eixo que 
contém um de seus catetos. 
 
Obs.: O cone é um sólido de revolução ao girar 
360°em torno, de um 
segmento perpendicular 
ao raio da base com uma geratriz, forma-se um 
triângulo retângulo, onde a geratriz g é a hipotenusa 
e os catetos são a altura h e o raio r. Daí temos: 
 
 
 Seção Meridiana: é a interseção do cone com 
um plano que contém o seu eixo. A seção meridiana 
de um cone reto é um triângulo isósceles. 
 
Cone Equilátero : é aquele cuja seção meridiana é 
um triangulo equilátero de lado 2r, onde a geratriz 
g = 2r e a altura h = 𝒓√𝟑. ( r é o raio da base). 
 
Área Lateral : A superfície lateral de um cone reto 
de geratriz g e raio da base r, quando planificada, é 
o setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e 
comprimento do arco é 𝟐𝝅𝒓 (perímetro da base), 
portanto, a sua área lateral 
𝐴𝐿 =
1
2
 ∙ 2𝜋𝑟 ∙ 𝑔 
 
 
g² = h² + r² 
→ 𝐴𝐿 = 𝜋𝑟𝑔 
Área Total : é a soma da área lateral (𝐴𝐿), com a 
área da base. Logo (𝐴𝑇) é igual a: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐵 → ou 
 
 
Volume: é um terço do 
produto da medida da 
altura (h) pela área da 
base. 
 
 
Apêndice: Se o comprimento de um arco que 
representa o setor circular cujo raio é g (geratriz do 
cone) e o comprimento do arco é 𝟐𝝅𝒓 (perímetro 
da base). Sendo 𝜃 (teta) o ângulo do setor circular, 
temos: 𝜽 = 
𝟐𝝅𝒓
𝒈
 𝒓𝒂𝒅 𝒐𝒖 𝜽 = 
𝟑𝟔𝟎∙𝒓 
𝒈
𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔. 
 
 EXERCÍCIOS – CONE 
 
① Calcular a área lateral, a área total e o volume 
de um cone reto, cujo raio da base mede 4 cm e a 
altura 3 cm. 
 
② Um cone de revolução tem 1 m de raio. Calcular 
a altura e o volume, sabendo que a área lateral é 
𝜋√5 m². 
 
③ Num cone reto, cuja área lateral é 18𝜋 𝑐𝑚², o 
raio é a metade da geratriz. Calcular o volume. 
 
④ Calcule a área total e o volume de um cone 
equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 
24𝜋 𝑐𝑚². 
 
⑤ Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 9 cm 
de altura. Calcular em radianos a medida do ângulo 
do setor circular que se obtém pelo 
desenvolvimento da superfície lateral do cone. 
 
 ESFERA 
 
 Chama-se esfera de centro O e raio R ao 
conjunto dos pontos P do espaço, tais que a 
distância OP seja menor ou igual a R. A esfera é 
também o sólido de revolução gerado pela rotação 
de um semicírculo em torno de um eixo que contém 
o diâmetro. 
 
 Elementos da esfera 
 
 Polos relativos a uma seção da esfera 
são as extremidades do diâmetro perpendicular 
ao plano dessa seção. 
 Considerando a superfície de uma 
esfera de eixo e, temos: 
polos: são as interseções da superfície 
com o eixo. 
equador: é a seção (circunferência) 
perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. 
paralelo: é uma seção (circunferência) 
perpendicular ao eixo. É "paralela" ao 
equador. 
meridiano: é uma seção (circunferência) 
cujo plano passa pelo eixo. 
 
𝑨𝑳 = 𝝅𝒓𝒈 + 𝝅𝒓² 
 𝑨𝑻 = 𝝅𝒓(𝒈 + 𝒓) 
𝑽 = 
𝟏
𝟑
 ∙ 𝝅𝒓𝟐 ∙ 𝒉 
 
 Área da superfície de uma esfera: Dada pela 
expressão . 
 
 Volume da esfera: Dado pela expressão 
 
 
 
Partes da circunferência 
 
 Fuso esférico: é a superfície gerada pela rotação 
de uma semicircunferência, a qual gira 𝛼 graus 
(0°≤ 𝜶 ≤ 360°) em torno do eixo que contém 
seu diâmetro. Quando 𝜶 é dobrado, triplicado, 
etc...; acontece o mesmo na área do fuso. 
 
Se 𝜶 = 360° , o fuso se transforma na superfície 
da esfera, cuja expressão da área já se conhece. O 
fuso é dado pela expressão: 
 
 Cunha esférica: é um sólido gerado pela 
rotação de semicírculos que gira 𝜶 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 (𝟎° ≤
 𝜶 ≤ 𝟑𝟔𝟎°) em torno de um eixo que contém seu 
diâmetro. Quando 𝜶 é dobrado, triplicado, etc....; 
acontece o mesmo com o volume da esfera. 
 
 Se 𝛼 = 360° , a cunha se transforma no 
volume da esfera, cuja expressão do volume já se 
conhece. A cunha é dada pela seguinte expressão: 
 
 
EXERCÍCIOS – ESFERA 
 
① Se uma esfera tem 12 cm de diâmetro, qual é a 
área da superfície e o seu volume? 
 
② Determine a área de um fuso de 45° em uma 
esfera de 20 cm de diâmetro. 
 
③ Uma cunha esférica de 10° tem volume de 1078 
m³. Qual é a sua área total? Use a aproximação 𝜋 =
 
22
7
 . 
 
 Matrizes 
Matriz m x n é uma tabela de números reais 
dispostos em m linhas (filas horizontais) e n 
colunas(filas verticais). 
1. Exemplos: 
 
 𝑨 = 𝟒𝝅𝑹𝟐 
𝑽 = 
𝟒
𝟑
𝝅𝑹³. 
1. 




 −
=
240
321
A é uma matriz 2 x 3; 
2. 





−
=
11
04
B é uma matriz 2 x2; 
3. 
61
2
1
34 0
2 0 1
5 23
C
−−
−
= é uma matriz 4 x 3. 
Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 
respectivamente, uma matriz pode ser representada 
por colchetes, parênteses ou duas barras verticais. 
 
2. Representação de uma matriz: 
 As matrizes costumam ser representadas 
por letras maiúsculas e seus elementos por letras 
minúsculas, acompanhadas de dois índices que 
indicam, respectivamente, a linha e a coluna 
ocupadas pelo elemento. 
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é 
representada por: 
















=
mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
 
a aaa
a aaa
a aaa
A





 
 
ou, abreviadamente, A=  
n x mij
a , onde i e j 
representam, respectivamente, a linha e a coluna 
que o elemento ocupa, 





nj1
mi1
. 
 Por exemplo, na matriz anterior, 23a é o 
elemento da segunda linha com o da terceira 
coluna. 
Exemplo 1: Seja a matriz A=  
2 x 2ij
a , onde 
ji2a ij += : 
Genericamente, temos: 
2 x 22221
1211
aa
aa
A 





= . 
Utilizando a regra de formação dos elementos 
dessa matriz, temos: 
 ji2a ij += 
 
62)2(2a
42)1(2a
51)2(2a
31)1(2a
22
12
21
11
=+=
=+=
=+=
=+=
 
 Assim, A= 





65
43
. 
3. Matrizes especiais: 
 
3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto 
é, com uma única linha. 
 Ex: ( )
4x1
1374A −= . 
3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto 
é, com uma única coluna. 
Ex: 
1x3
0
1
4
B










−= . 
 
3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, 
isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. 
Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n. 
Ex:
2x2
12
7 4
C 





−
= Matriz de ordem 2 
3x3
3 7 2
3 0
0 14
D











−
= Matriz de ordem 3 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
Diagonal principal de uma matriz quadrada é o 
conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. 
 
Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o 
conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = 
n + 1.. 
 
Exemplo: 










−
−
−
=
675
303
5 21
A3 
 
Descrição da matriz: 
• O subscrito 3 indica a ordem da matriz; 
• A diagonal principal é a diagonal formada pelos 
elementos –1, 0 e –6; 
• A diagonal secundária é a diagonal formada 
pelos elementos 5, 0 e 5; 
• 11a = -1 é elemento da diagonal principal, pois i 
= j = 1; 
• 31a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois 
i + j = n + 1 = 3 + 1. 
 
3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os 
elementos são nulos. 
 Notação: n x mO 
Exemplo: 





=
000
000
O 3 x 2 
3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde 
só os elementos da diagonal principal são 
diferentes de zero. 
Ex: 





=
10
02
A 2 










=
700
030
004
B3 . 
3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada 
onde todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos e os da diagonal principal são 
iguais a 1. 
Notação: nI onde n indica a ordem da matriz 
identidade. 
Exemplo: 





=
10
01
I 2 










=
100
010
001
I3 
ou :  




=
==
ji se 0,
ji se ,1
a ,aI ijij n 
 
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz 
transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a 
partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas 
por colunas ou suas colunas por linhas. 
Notação: tA . 
Exemplo: Se 





−−
=
121
03 2 
A então tA =










−
−
1 0
23
12
 
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, 
tA é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A 
corresponde à primeira coluna de tA e a segunda 
linha de A corresponde à segunda coluna de tA . 
3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de 
ordem n é simétrica quando A= tA . 
 OBS: Se A = - tA , dizemos que a matriz A 
é anti-simétrica. 
 
Exemplo: Se 
3x3
541
423
132
A










= 
 
3x3
t
541
423
132
A










= 
 
3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de 
uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, 
trocando-se o sinal de todas os seus elementos. 
Notação: - A 
Exemplo: Se 





=
1-4
0 3
A então A− = 





−
−
14
03
 
3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e 
B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os 
elementos que ocupam a mesma posição são 
idênticos. 
Notação: A = B. 
 
Ex: Se 





−
=
b1
02
A 





−
=
31
c2
B e A = B, então 
c = 0 e b = 3 
 
Simbolicamente: ijij baBA == para 
todo mi1  e todo ni1  . 
 
Exercícios de fixação_ Matrizes 
1 – Dê o elemento a23 da matriz A = (aij) 3 x 3, em 
que 
 
a)-1 b)0 c)1 d)2 
 
2-Determine os valores de x, y, z e t, 
respectivamente. 
 
 
 
a) -2, 2, - 3, 3 
b) -3, 3, 2, - 2 
c) 2, - 3, 3, -2 
d) 2, -3, 3, 4 
e) n.d.a 
 
3)Unicamp – ADAPTADA – Sendo a um número 
real, considere a matriz A = 
 
Então, A3 é igual a 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) n.d.a 
4–(PUC) – Se A, B e C são matrizes quadradas e 
At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, a 
igualdade falsa entre essas matrizes é: 
a) (A + B) . C = A . C + B . C 
b) (A + B)t = At + Bt 
c) (A . B)t = At . Bt 
d) (A – B)C = AC – BC 
e) (At)t = A 
5 – (UDESC) – Sendo a matriz 
 igual à matriz identidade de 
ordem 2, o valor de 2.x é: 
a) – 4 b) 6 c) 4 d) 8 e) – 8 
6– (CONSULTPLAN 2016) – Calcular o valor de 
x+y+z, sabendo que: 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
https://www.unicamp.br/unicamp/
https://www.pucminas.br/destaques/Paginas/default.aspx
https://www.udesc.br/
https://www.consulplan.net/home.aspx
7 – (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e B= ( )ijb
, quadradas de ordem 2, com 
j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então 
2C 
é igual a: 
a-)






10
01 b-)






−
−
10
01 c-)






01
10 d-)






−
−
01
10 e-) 






11
11 
8 – (CRM PR – Quadrix 2014) – Uma matriz M de 
ordem 3 é resultante da soma de outras duas 
matrizes, A e B. Se aij = 2i + j e bij = i
j, então a razão 
entre os elementos M21 e M12 é: 
a) 5/6 
b) 6/5 
c) 7/4 
d) 6/7 
e) 7/5 
9– (Prefeitura de Cuiabá – UFMT 2010) – Em cada 
um dos quatro dias de desfile de carnaval, a 
temperatura foi medida em graus Celsius, no meio 
da multidão, em três momentos distintos. Cada 
elemento aij da matriz A abaixo corresponde à 
medida da temperatura no momento i do dia j. 
 
Qual foi, respectivamente, o momento e o dia em 
que se registrou a maior temperatura durante os 
desfiles? 
a) 2.º e 4.º b) 2.º e 2.º c) 3.º e 2.º d) 3.º e 4.º 
10_ Determine a matriz é inversa de A= 





− 34
02
. 
A) A-1=
2x23
1
3
2
2
1 0






−
 
B) A-1= [
1/2 2/3
0 −1/3
] 
C) A-1=[
0 1/2
−1/3 2/3
] 
D) A-1=[
0 1/2
−1/3 2/3
] 
Determinantes 
 
Definição: Determinante é um número 
associado a uma matriz quadrada. 
 
Aplicações dos determinantes na matemática: 
 
• Cálculo da matriz inversa; 
• Resolução de alguns tipos de sistemas de 
equações lineares; 
• Cálculo da área de um triângulo, quando são 
conhecidas as coordenadas dos vértices. 
 
1. Determinante de primeira ordem 
 
Dada uma matriz quadrada de −
a
1 ordem M=
 11a , chamamos de determinante associado à 
matriz M o número real 11a . 
 
 Notação: det M ou 
11a = 11a 
 
 Exemplos: 
 
1.   55ou 5Mdet5M 11 === 
2.   33-ou 3Mdet3M 12 −=−=−= 
 
2. Determinante de segunda ordem 
 
Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, 
por definição, temos que o determinante associadoa essa matriz, ou seja, o determinante de −
a
2 ordem 
é dado por: 
 
http://www.quadrix.org.br/
https://www.ufmt.br/ufmt/site/page/index/Cuiaba
( )21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
Mdet −=





= 
 
Assim: 
( )21122211 aaaaMdet −= 
 
Ex: Sendo M= 





54
32
, então: 
 
detM= 212104352
54
32
−=−=−= 
 
Logo: det M = -2 
 
Conclusão: O determinante de uma matriz de 
ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. 
 
 
3. Cofator 
 
Chamamos de cofator (ou complemento 
algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz 
quadrada de ordem n o número ijA , tal que 
ij
ji
ij MC)1(A −=
+ . 
 
Exemplo 1: Dada M= 





2221
1211
aa
aa
, os 
cofatores relativos a todos os elementos da matriz 
M são: 
 
 2222
2
MC
22
11
11 aa)1(a)1(A
11
+=−=−= + ; 
 2121
3
MC
21
21
12 aa)1(a)1(A
12
−=−=−= + ; 
 1212
3
MC
12
12
21 aa)1(a)1(A
21
−=−=−= + ; 
 1111
4
MC
11
22
22 aa)1(a)1(A
22
+=−=−= + . 
 
 
4.Teorema de Laplace 
 
Definição: O determinante de uma matriz 
quadrada   ( )2m aM
m x mij
= pode ser obtido 
pela soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos 
respectivos cofatores. 
 Assim, fixando mj1 que tal,Nj  , 
temos: 
 

=
=
m
1i
ijijAaMdet 
 
onde, 
=
m
1i
é o somatório de todos os termos de 
índice i, variando de 1 até m, Nm e ijA é o 
cofator ij. 
 
Exemplo : Calcular com o auxílio do 
Teorema de Laplace, o seguinte determinante: 
Solução: 
 
 
6 5 0 
2 1 2
43 2 
D1 −
−
= 
 
Aplicando Laplace na coluna 1, temos: 
 
   2 1
43
(-1)0
6 5
43
(-1))2(
65
21
(-1)2D
31
31
21
21
11
11
CofatorA
13
a
CofatorA
12
a
)11cofator(A
11
a
1 
−
+
−
−+= +++

 
 
 0
6 5
43
2
65
21
2D1 +
−
+= 
 
 2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1 +=++= 
 
 68768D1 =+−= 
 
 
5. Regra de Sarrus 
 
Dispositivo prático para calcular o determinante 
de −
a
3 ordem. 
 
Exemplo 1: Calcular o seguinte 
determinante através da Regra de Sarrus. 
 
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
 
Solução: 
 
−
a
1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas 
ao lado da −
a
3 : 
 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
 
a
a
a
 
aaa
aaa
aaa
 
 
−
a
2 Passo: Encontrar a soma do produto dos 
elementos da diagonal principal com os dois 
produtos obtidos com os elementos das paralelas a 
essa diagonal. 
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal 
positivo, ou seja: 
 
( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++= 
 
−
a
3 Passo: Encontrar a soma do produto dos 
elementos da diagonal secundária com os dois 
produtos obtidos com os elementos das paralelas a 
essa diagonal. 
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal 
negativo, ou seja: 
 
( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++− 
 
Assim: 
 
( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−=
( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++ 
 
OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo 
determinante de −
a
3 ordem com o auxílio do 
teorema de Laplace, veríamos que as expressões 
são idênticas, pois representam o mesmo número 
real. 
 
Exemplo 2: Calcular o valor do seguinte 
determinante: 
 
( ) ( ) 47242381821283
2
1
3
 
3-
4 
2 
 
1 2 3
2 1 4 
13 2 
D1
−=−−=−−+++−=
=
−
−
=
 
 
 
Exercícios de fixação_ Determinantes 
 
1_(UFRGS) Se A = [
5 0
0 1
]é uma matriz 2x2 e detA 
= 5, então o valor de det 2A é: 
A) 5 
B) 10 
C) 20 
D) 25 
E) 40 
 
2_ Calcule a equação |
𝑋 4
1 2
| = 3𝑋 − 5. 
A) 1. 
B) -1. 
C) -1/5. 
D) 0. 
E) 7/8 
 
 
3) O valor de x na equação a seguir é 
 
 
 
 
 
a) - 3 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
4)(Fuvest- SP) O valor de é : 
 
a) 0 
b)20 
c)30 
d)40 
e)50 
 
5) (UNIBAHIA) Considerando a matriz 
e det(A)=4, pode-se afirmar que o 
valor de x é igual a: 
A) 3. 
B) -3. 
C) -1. 
D) 1. 
E) 2. 
 
6)
 
 
7)Unicap – PE Calcule o valor de x, a fim de que 
o determinante da matriz A seja nulo. 
 
A) -13 
B) -6 
C) 6 
D) 13 
 
 
9) (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A = 
 é: 
 
a)2 
b)1 
c)-1 
d)-2 
e)-3 
 
a) -4 
b) -2 
c) 0 
d) 1 
e) 1131 
 
 
Sistemas Lineares 
Equação linear: Chamaremos de equação 
linear toda equação do tipo: 
 
Chamaremos: 
• : coeficientes reais, não todos 
nulos 
• : são as incógnitas 
• : termo independente 
Se o termo independente for igual a zero
, a equação recebe um nome 
específico: equação linear homogênea. 
 
Sistemas lineares 
Chama-se sistema linear a n incógnitas um 
conjunto de duas ou mais equações lineares com n 
incógnitas. 
 
Exemplos 
a) 2x + 3y = 7 
 x – y = 1 
 
Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, 
onde x e y são as incógnitas e 7 e 1 são os termos 
independentes. 
 
b) 3x + y – 4 z= - 7 
 x – 2y + 3z = 3 
 2x – y + 4z = 12 
 
Sistema linear de três equações e três incógnitas, 
onde x , y e z são as incógnitas e – 7, 3 e 12 são os 
termos independentes. 
 
 Genericamente, um sistema linear de m 
equações com n incógnitas, também indicado por 
sistema linear m x n( lê-se: “m por n”), é 
representado por um conjunto de equações lineares 
do tipo: 
 
 
 
Solução de um sistema linear 
Uma solução de um sistema linear é 
um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo 
tempo todas as equações do sistema linear. 
 
Exemplo: 
Para o sistema 2x + 3y = 7 
 x – y = 1 
 
os valores que satisfazem as duas equações são x = 
2 e y = 1. 
Logo a solução do sistema é o par ordenado 
(2,1) 
Sistema linear homogêneo 
Um sistema linear homogêneo é um 
sistema composto apenas por equações lineares 
homogêneas, ou seja, são sistemas onde todas as 
equações tem termo independente igual a zero. 
Todo sistema linear homogêneo admite 
pelo menos uma solução: a solução nula
, também chamada de solução 
trivial. Obviamente, o sistema pode admitir 
também outras soluções, além da trivial. 
 
Temos dois métodos bastante práticos para 
obter o conjunto verdade de um sistema e facilitar 
a resolução de sistemas: a regra de Cramer e o 
escalonamento. 
Regra de Cramer 
Pelo teorema de Cramer, se um sistema 
linear apresenta o número de equações igual ao 
número de incógnitas e determinante diferente de 
zero, então as incógnitas são calculadas por: 
 
 
Os valores de Dx, Dy e Dz são encontrados 
substituindo a coluna de interesse pelos termos 
independentes da matriz. 
 
Uma das maneiras de calcular o 
determinante de uma matriz é utilizando a regra de 
Sarrus: 
 
Para aplicar a regra de Cramer o 
determinante deve ser diferente de zero e, desta 
forma, apresentar uma solução única. Caso seja 
igual a zero, temos um sistema indeterminado ou 
impossível. 
Portanto, de acordo com a resposta obtida 
no cálculo do determinante, um sistema linear pode 
ser classificado em: 
• Determinado, pois possui uma solução única; 
• Indeterminado, pois possui infinitas soluções; 
• Impossível, pois não apresenta soluções. 
 
 
Obs: sistemas homogêneos NUNCA serão SI, pois 
sempre admitirão pelo menos a solução nula. 
 
Exercício resolvido: método de Cramer para 
sistema 2x2 
Observe o sistema a seguir com duas equações e 
duas incógnitas. 
 
1º passo: calcular o determinante da matriz de 
coeficientes. 
 
2º passo: calcular Dx substituindo os coeficientes 
da primeira coluna pelos termos independentes. 
 
3º passo: calcular Dy substituindo os coeficientes 
da segunda coluna pelos termos independentes. 
 
4º passo: calcular o valor das incógnitas pela regra 
de Cramer. 
 
Portanto, x = 2 e y = - 3. 
Confira um resumo completo sobre Matrizes. 
Exercício resolvido: método de Cramer para 
sistema 3x3 
O sistema a seguir apresenta trêsequações e três 
incógnitas. 
 
1º passo: calcular o determinante da matriz de 
coeficientes. 
 
Para isto, primeiramente, escrevemos os 
elementos das duas primeiras colunas ao lado da 
matriz. 
 
Agora, multiplicamos os elementos das diagonais 
principais e somamos os resultados. 
 
 
Seguimos multiplicando os elementos das 
diagonais secundárias e invertemos o sinal do 
resultado. 
 
 
Posteriormente, juntamos os termos e resolvemos 
as operações de adição e subtração para obter o 
determinante. 
https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/
 
2º passo: substituir os termos independentes na 
primeira coluna da matriz e calcular Dx. 
 
Calculamos Dx da mesma maneira que 
encontramos o determinante da matriz. 
 
3º passo: substituir os termos independentes na 
segunda coluna da matriz e calcular Dy. 
 
4º passo: substituir os termos independentes na 
terceira coluna da matriz e calcular Dz. 
 
5º passo: aplicar a regra de Cramer e calcular o 
valor das incógnitas. 
 
Portanto, x = 1; y = 2 e z = 3 
Escalonamento 
O sistema de escalonamento consiste em 
levar o sistema a um formato de “escada”, ou seja, 
de equação para equação, no sentido de cima para 
baixo, há um aumento dos coeficientes nulos da 
esquerda para a direita. 
Para isso, podemos realizar à vontade ações que 
não alteram a solução do sistema: 
• trocar equações de posição; 
• multiplicar uma equação por um número real 
qualquer; 
• substituir equações pelo resultado da soma ou 
subtração dela mesma com outra equação do 
sistema. 
Observações importantes 
• Se, ao escalonarmos um sistema, chegarmos a 
alguma equação do tipo
, esta equação 
deverá ser eliminada do sistema. 
• Se, ao escalonarmos um sistema, chegarmos a 
alguma equação do tipo
, com , 
o sistema será impossível, pois não há valor que 
multiplicado por zero resulte em um número 
diferente de zero. 
Exemplos de resolução por escalonamento: 
Vamos então aplicar a técnica do 
escalonamento, considerando dois tipos de sistema: 
I. O número de equações é igual ao número de 
incógnitas (m=n) 
Exemplo 1: 
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1ª 
incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as 
propriedades dos sistemas equivalentes: 
• Trocamos de posição a 1ª equação com a 
2ª equação, de modo que o 1º coeficiente 
de x seja igual a 1. 
• Trocamos a 2ª equação pela soma da 1ª 
equação, multiplicada por -2, com a 2ª 
equação: 
 
• Trocamos a 3ª equação pela soma da 1ª 
equação, multiplicada por -3, com a 3ª 
equação: 
 
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita 
a partir da 3ª equação: 
• Trocamos a 3ª equação pela soma da 2ª 
equação, multiplicada por -1, com a 3ª 
equação: 
 
Agora o sistema está escalonado e podemos 
resolvê-lo. 
-2z=-6 z=3 
Substituindo z=3 em (II): 
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1 
Substituindo z=3 e y=-1 em (I): 
x + 2(-1) + 3= 3 x=2 
Então, x=2, y=-1 e z=3 
Exemplo 2: 
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª 
incógnita a partir da 2ª equação: 
• Trocamos a 2ª equação pela soma do 
produto da 1ª equação por -2 com a 2ª 
equação: 
 
 
• Trocamos a 3ª equação pela soma do 
produto da 1ª equação por -3 com a 3ª 
equação: 
 
 
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª 
incógnita, a partir da 3ª equação: 
• Trocamos a 3ª equação pela soma do 
produto da 2ª equação por -1 com a 3ª 
equação: 
 
Dessa forma, o sistema está escalonando. 
Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o 
sistema é impossível. 
 
 
Exercícios de fixação - sistemas lineares 
 
1) A solução do sistema linear é 
 





=++
=++
=++
18325
6
1132
zyx
zyx
zyx
 
a)(3,1,2) 
b) (1,2,3) 
c) (2,1,3) 
d) n.d.a 
 
2) Se o sistema linear a seguir, é impossível, 
 





=−+
=+−
=++
232
032
1
zyx
zyx
zyax
 
então: 
a) a = 0 
 b) a = -14/3 
c) a = 3/4 
d) a = 1 
e) a = 28 
 
3) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, 
José respondeu o seguinte: "Minha idade 
quando somada à idade de Júnior é igual a 47 
anos; e quando somada à idade de Maria é igual 
a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 
39 anos." Qual a idade de Júnior? 
a) 2 anos 
b) 3 anos 
c) 4 anos 
d) 5 anos 
e) 10 anos 
 
4) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia 
prova em uma sala. Em um dado momento, 
retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número 
de rapazes igual ao dobro do número de moças. 
Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na 
sala igual ao número de moças e rapazes. O total 
de alunos que fazia prova nessa sala era 
a) 96 
b) 98 
c) 108 
d) 116 
e) 128 
 
5) Seja o sistema 





−=++−
=+−
=−+
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S . 
Verifique se (2, -1, 1) e (0,0,0) são soluções de S 
a) não; não b)não; sim c)sim; sim d)sim; não 
 
6) Seja o sistema: 



+=−
−=+
32
93 2
kyx
kyx
. Calcule k 
para que o sistema seja homogêneo. 
a)k = -3 b)k = 0 c)k = 3 d) n.d.a 
 
7) A solução do sistema a seguir. 



−=−
=+
432
52
yx
yx
 
a)(3,2) 
b)(2,3) 
c)(2,1) 
d)(1,2) 
 
8) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: 
 





=−−
=−−
=−+
03
05
010
zy
zx
yx
 
a)(6,4,1) 
b)(4,6,1) 
c)(1,4,6) 
d)(-6,-4,1) 
 
9) Resolva as equações matriciais: 






−
=











− 13
9
31
12
y
x
. 
A) X = -2 E Y = 5 
B) X = 2 E Y - -5 
C) X=2 E Y = 5 
D) X=2 E Y= -5 
10) Qual é a classificação do sistema 
 3x + 4y = 8 
 6x + 8y = 7 
 
a) SPD b) SPI c) SI d)n.d.a