prática educativa do pensamento matemático

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Prática Educativa do Pensamento Matemático
Prática Educativa 
do Pensamento Matemático
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
Nancy Terezinha Oldenburg Kock
www.iesde.com.br
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Autoras
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
Nancy Terezinha Oldenburg Koch
Prática Educativa 
do Pensamento Matemático
2009
Todos os direitos reservados.
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 
80730-200 • Curitiba • PR
www.iesde.com.br
© 2004 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
P667 Pires, Magna Natália Marin. / Prática Educativa do Pen-
samento Matemático. / Magna Natália Marin Pires;
Marilda Trecenti Gomes; Nancy Terezinha Oldenburg Kock. — 
Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009
272 p.
ISBN: 85-7638-380-2
1. Matemática. 2. Educação. I. Título. 
CDD 501
Sumário
Geoplano ........................................................................................................................... 5
O que é o geoplano? ........................................................................................................................... 5
Alguns tipos de geoplano ................................................................................................................... 6
Primeiro contato com o geoplano ...................................................................................................... 7
Explorando localizações .................................................................................................................... 7
Explorando as figuras geométricas planas ......................................................................................... 8
Só triângulos ...................................................................................................................................... 9
Só quadriláteros ................................................................................................................................. 10
Ângulos .............................................................................................................................................. 11
Área e perímetro ................................................................................................................................ 12
O uso do tangram nas aulas de Matemática ...................................................................... 17
A compreensão do sistema de numeração decimal ........................................................... 27
O sistema de numeração egípcio ........................................................................................................ 27
O sistema de numeração decimal ....................................................................................................... 31
Material dourado: números naturais ................................................................................. 37
Material dourado: números decimais ................................................................................ 57
Algumas medidas convencionais ...................................................................................... 79
Medidas de comprimento ................................................................................................................... 80
Unidades de comprimento ................................................................................................................. 82
Medidas de superfície ........................................................................................................................ 82
Unidades de superfície ....................................................................................................................... 83
Medidas de massa .............................................................................................................................. 83
Unidades de massa ............................................................................................................................. 84
Volume e capacidade ......................................................................................................... 89
As novas tecnologias e o ensino de Matemática ............................................................... 99
O uso da calculadora nas aulas de Matemática ................................................................. 109
Utilização da calculadora no dia-a-dia e nas aulas de Matemática ................................................... 109
Desenvolvendo o conceito de chance ................................................................................ 119
Introduzindo o tema por meio de jogos ............................................................................................. 119
Árvore das possibilidades .................................................................................................................. 122
Desafios matemáticos ........................................................................................................ 129
Sólidos geométricos .......................................................................................................... 139
Considerações sobre o ensino-aprendizagem da Geometria ............................................................. 139
Representação de alguns sólidos geométricos ................................................................................... 149
Planificação de alguns sólidos geométricos ....................................................................................... 150
Planificação dos poliedros regulares .................................................................................................. 159
Produto cartesiano: localização em mapas........................................................................ 163
Pequeno referencial histórico ............................................................................................................. 163
Como localizar pontos no plano ......................................................................................................... 163
Como podemos localizar um país no mundo? .................................................................................. 166
O raciocínio combinatório ................................................................................................ 171
Princípio fundamental da contagem .................................................................................................. 171
Histórico ............................................................................................................................................. 171
Modelagem matemática .................................................................................................... 179
Modelagem matemática e o ensino-aprendizagem ............................................................................ 180
Contraexemplo ................................................................................................................................... 183
O uso de jogos no ensino de Matemática .......................................................................... 187
Jogos que envolvem as operações básicas (Kamii, 1992) .................................................................. 190
Simetria ............................................................................................................................. 193
Proposta de atividades........................................................................................................................ 198
Ângulos .............................................................................................................................207
Giros e rotações .................................................................................................................................. 207
Formalização ...................................................................................................................................... 211
Medida de um ângulo......................................................................................................................... 212
Investigação matemática ................................................................................................... 217
Exemplos de atividades de investigação matemática ......................................................................... 218
Matemática e arte .............................................................................................................. 225
O que é arte? ....................................................................................................................................... 225
Artes visuais ....................................................................................................................................... 225
Origami .............................................................................................................................................. 228
Ilusão de ótica .................................................................................................................................... 230
Música ................................................................................................................................................ 233
Proposta de atividades........................................................................................................................ 233
Gabarito ............................................................................................................................ 241
Referências ........................................................................................................................ 265
Geoplano
Magna Natália Marin Pires*
Marilda Trecenti Gomes**
Nancy Terezinha Oldenburg Koch***
É de consenso geral entre os educadores a necessidade de uma mudança nas condições em que se processa a aprendizagem da Matemática. Dentre as necessárias mudanças que são apontadas estão:
 a utilização de métodos de aprendizagem em que os alunos construam o 
seu próprio conhecimento;
 a utilização de materiais que contribuam para a formação de conceitos;
 ligar a Matemática com o real;
 abordar a Matemática por meio da resolução de problemas.
Este capítulo pretende contribuir para a discussão da utilização de suportes 
materiais para a aprendizagem da Matemática.
Oportunizando ao aluno a experiência da matematização por meio 
da manipulação de materiais, estamos criando situações que favorecem o 
desenvolvimento do pensamento abstrato, além de estarmos fomentando uma 
atividade lúdica.
Segundo Serrazina e Matos (1988), a formação de conceitos é a essência da 
aprendizagem da Matemática e ela deve ser baseada na experiência. O geoplano 
é um material que pode oferecer excelentes oportunidades no aprendizado da 
geometria e das medidas por meio de experiências.
O que é o geoplano?
Consiste numa placa de madeira com pregos dispostos de modo a formar 
uma malha que pode ter vários aspectos estruturais. É acompanhado de um 
conjunto de elásticos que permitem desenhar.
Configura um espaço geométrico em que os pontos são representados 
por pregos. Entre eles esticam-se elásticos do tipo atilho que possibilitam a 
representação de figuras geométricas.
É um modelo que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas, 
constituindo-se em um suporte para a representação mental, ou seja, um recurso 
que leva idéias abstratas à realidade.
* Mestre em Educação pela 
Universidade Federal do Pa-
raná (UFPR). Especialista em 
Educação Matemática pela 
Universidade Estadual de 
Londrina (UEL). Licenciada 
em Matemática pela UEL.
** Mestre em Educação pela 
Universidade Federal do Pa-
raná (UFPR). Especialista 
em Educação Matemática 
pela Universidade Estadual 
de Londrina (UEL). Gradua-
da em Matemática pelo Cen-
tro de Estudos Superiores de 
Londrina (CESULON), em 
Química pela Fundação Fa-
culdade Estadual de Filoso-
fia, Ciências e Letras de Cor-
nélio Procópio (FAFICOP) e 
em Ciências pela Universida-
de Estadual Paulista Júlio de 
Mesquita Filho (UNESP).
*** Mestre em Educação pela 
Universidade Federal do Pa-
raná (UFPR). Especialista 
em Educação Matemática 
pela Universidade Estadual 
de Londrina (UEL). Especia-
lista em Pedagogia Religiosa 
pela Pontifícia Universidade 
Católica do Paraná (PUC). Li-
cenciada em Matemática pelo 
Centro de Estudos Superiores 
de Londrina (CESULON). 
6
Alguns tipos de geoplano
 Geoplano 3 X 3: aquele em que a malha é quadrada e tem três pregos de 
cada lado, totalizando nove pregos.
 Geoplano 5 X 5: aquele em que a malha é quadrada e tem cinco pregos 
de cada lado, totalizando 25 pregos.
Seguindo esse raciocínio, podem ser construídos inúmeros geoplanos desse 
tipo, mudando-se apenas o número de pregos dos lados.
 Geoplano isométrico: aquele em que os pregos são colocados na 
intersecção das linhas.
 Geoplano circular: nesse tipo de geoplano, os pregos são dispostos de 
forma circular.
Ao trabalhar com o geoplano, o professor deve delinear bem os objetivos a 
serem alcançados, pois dessa forma ele se tornará um excelente meio para explorar 
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Geoplano
7
problemas geométricos. É aconselhável que, paralelamente ao trabalho com o 
geoplano, o professor utilize papel pontilhado imitando a disposição dos pregos, 
para que o aluno reproduza, ou registre, o que fez no geoplano.
Este capítulo pretende indicar alguns caminhos, procedimentos e formas 
de trabalho que contribuam para o exercício do professor com o conteúdo de 
 Geometria. As atividades desenvolvidas nesta aula devem ser realizadas no 
geoplano 5 X 5.
Primeiro contato com o geoplano
Para iniciar, o professor deve propor atividades que facilitem a familiari-
zação do aluno com o geoplano. O aluno deve explorar o material com o objeti-
vo de expe rienciar idéias geométricas iniciais. 
O desenho livre no geoplano é uma atividade que facilita o primeiro contato 
do aluno com o material. Nessa atividade, o aluno conhecerá o material, descobrirá 
a utilidade dos pregos e aprenderá a manipular os elásticos. 
As atividades que envolvem desenhos livres no geoplano podem ser 
desenvolvidas com alunos de todas as idades, que devem ser estimulados a 
registrar os desenhos no papel pontilhado, não só os que eles próprios fizeram 
mas também o que outros desenharam. Essa atividade é enriquecedora no que se 
refere à representação gráfica.
Seguem alguns exemplos de atividades que podem ser utilizadas com alunos 
que ainda não conhecem o geoplano:
 desenhar objetos no geoplano e pedir para que outro aluno adivinhe do 
que se trata;
 reproduzir no geoplano figuras que estão desenhadas no papel pontilhado 
(os desenhos no papel pontilhado podem ser feitos pelo professor ou pelos 
próprios alunos);
 fazer um desenho no geoplano, copiá-lo no papel pontilhado e pedir para 
que um amigo volte a desenhá-lo no geoplano;
 desenhar diversas letras do alfabeto no geoplano e depois reproduzi-las 
no papel pontilhado.
Explorando localizações
É possível trabalhar com as localidades “interior”, “exterior”, “direita”, 
“esquerda”, “fronteira”, entre outras, no geoplano. Esse trabalho pode ser relevante 
com as crianças da Pré-escola ou mesmo com crianças dos Anos Iniciais do Ensino 
Fundamental.
O trabalho pode ser desenvolvido em atividades como as desenvolvidas a 
seguir.
8
 Observe as figuras desenhadas no geoplano e determine quantos pontos 
(pregos) estão nointerior, no exterior e na fronteira de cada figura. 
As figuras podem ser.
 desenhe no geoplano 5 X 5 figuras que possuam
 quatro pregos na fronteira e um no interior;
 oito pregos na fronteira e três no interior;
 nenhum prego no exterior.
Explorando as figuras geométricas planas
O geoplano é um material muito apropriado para a introdução dos polígonos 
e posteriormente para a classificação dos mesmos.
Neste trabalho, pode-se fazer a análise dos componentes das figuras: os 
lados, os vértices, os ângulos e as diagonais.
As atividades seguintes são sugestões que objetivam a exploração dos 
conceitos citados anteriormente.
 Desenhe polígonos1 no geoplano.
 A partir das construções dos alunos, o professor pode montar com eles 
uma tabela como a que segue abaixo:
Desenhos N. de lados
N. de 
vértices
N. de 
ângulos Classificação
3 3 3 triângulos
4 4 4 quadriláteros
1Neste momento, o pro-fessor deve definir polígo-
nos: “Polígonos são figuras 
fechadas simples formadas 
apenas por segmento de reta.” 
Se neces sário, o professor 
deve ainda esclarecer a defi-
nição de figuras simples, seg-
mento de reta etc.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Geoplano
9
Desenhos N. de lados
N. de 
vértices
N. de 
ângulos Classificação
5 5 5 pentágonos
6 6 6 hexágonos
Só triângulos
Utilizando as construções que as crianças fazem, o professor pode, 
dependendo da faixa etária dos alunos, trabalhar com a classificação dos 
triângulos.
Observem as atividades que seguem:
 construa triângulos no geoplano 5 X 5;
 registre no papel pontilhado todos os que encontrar;
 desenhe um triângulo, no geoplano 5 X 5, que possua um número máximo 
de pregos no seu interior;
 encontre uma maneira de classificar os triângulos desenhados nas 
atividades anteriores.
Nessa última atividade, o professor deve fazer perguntas que conduzam 
os alunos a classificarem os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos. 
 Podendo, ainda, montar com eles as tabelas abaixo.
Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos lados
Desenhos possíveis Nomenclatura Definição
Eqüilátero
Triângulo que possui 
os três lados de mesma 
medida.
Isósceles
Triângulo que possui 
dois lados de mesma 
medida e um lado de 
medida diferente.
Escaleno
Triângulo que possui os 
três lados de medidas 
diferentes.
10
Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Definição
Acutângulo
Triângulo que possui 
os três lados de mesma 
medida.
Obtusângulo
Triângulo que possui 
dosi lados de mesma 
medida e um lado de 
medida diferente.
Retângulo
Triângulo que possui os 
três lados de medidas 
diferentes.
Só quadriláteros
Da mesma maneira que em relação aos triângulos, o professor pode trabalhar 
no sentido dos alunos conhecerem a classificação dos quadriláteros.
Para este trabalho, seguem algumas sugestões de atividades.
 Desenhar polígonos de quatro lados no geoplano.
 Reproduzir, no papel pontilhado, os polígonos conseguidos na atividade 
anterior.
 Encontrar a medida do lado menor e do lado maior do quadrado possível 
de se desenhar no geoplano 5 X 5.
 Construir um polígono que tenha, ao menos, dois lados paralelos e dois 
perpendiculares.
Partindo das figuras construídas nas atividades anteriores, construa com os 
alunos uma tabela para classificação dos quadriláteros.
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Alguma propriedade
Quadrado
Figura que possui os 
quatro lados de mesma 
medida
*
Retângulo
Figura que possui quatro 
ângulos retos e os lados 
paralelos, dois a dois, 
têm mesma medida.
* Não esquecer que o quadrado é um retângulo especial.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Geoplano
11
Classificação dos quadriláteros quanto aos ângulos
Desenhos possíveis Nomenclatura Alguma propriedade
Losango
Figura que possui os quatro 
lados de mesma medida (o 
quadrado é caso especial de 
losango).
Trapézio
Figura de quatro lados que 
possui dois lados opostos 
paralelos.
Paralelograma*
Figura que possui quatro 
lados e os lados paralelos, 
dois adois, têm mesma 
medida.
* Pela propriedade anunciada, todos os quadriláteros são paralelograma, porém a figura apresentada é a que recebe 
esse nome particular.
Ângulos
Para o trabalho com ângulos, sugerimos atividades que os evidenciem para 
chegarmos à classificação dos mesmos.
Vejam as atividades que seguem.
 Desenhe triângulos, quadrados e retângulos no geoplano 5 X 5 utilizando 
um elástico para cada lado.
 Retire alguns elásticos das construções feitas anteriormente, deixando 
apenas alguns lados que se tocam num vértice (lados consecutivos). 
Abaixo, estão exemplos de figuras encontradas com essa atividade:
 
 Quais dos ângulos anteriores foram conseguidos a partir de quadrados e 
de retângulos? Estes ângulos são chamados de ângulos retos. Compare-
os com o canto de uma folha de papel.
 Quantos ângulos retos tem um retângulo?
 Quantos ângulos retos tem um quadrado?
 Quantos ângulos retos tem um triângulo?
 Como se classificam os ângulos conseguidos a partir dos triângulos?
12
Nesse momento, o professor classifica e define os ângulos agudo e obtuso.
 Desenhe, no geoplano 5 X 5, uma figura com:
 quatro lados e nenhum ângulo reto;
 três lados e um ângulo reto;
 três lados e um ângulo obtuso;
 quatro lados e todos os ângulos agudos;
 ângulos agudos apenas.
Área e perímetro
O geoplano é um excelente material para o trabalho com área e perímetro. 
Ele favorece a compreensão da diferença entre esses dois conceitos.
A princípio, deve-se tomar como unidade linear a distância entre dois pregos:
E a região limitada por quatro pregos como a unidade de área:
Uma questão importante para um bom entendimento do significado de uma 
medida é a boa compreensão do processo envolvido. Para isso, é necessário que as 
crianças realizem medições utilizando medidas informais. O geoplano é um dos 
materiais apropriados para essa experiência. 
 Os pontos A e B marcados no papel pontilhado representam a casa de 
uma criança e a escola na qual essa criança estuda. Existem duas opções 
de caminho para ir da sua casa (A) até a escola (B). Os caminhos estão 
representados a seguir. Qual dos dois é o mais curto?
 
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Geoplano
13
 Desenhe alguns quadrados no geoplano. Calcule o perímetro de cada um 
deles.
 Qual é a área de cada um dos quadrados para os quais você acabou de 
calcular o perímetro?
 Discuta com seus colegas a diferença entre perímetro e área.
 Determine a área das seguintes figuras:
 Desenhe três figuras diferentes de área igual a 6 (seis). A seguir, calcule 
o perímetro de cada uma delas.
 Desenhe, no geoplano, figuras de área 6 e calcule o perímetro de cada 
uma delas. Agora, procure figuras com área 8 e calcule o perímetro de 
cada uma delas.
 Desenhe, no geoplano, figuras com um perímetro 10. Calcule a área 
de cada uma delas. Repita o procedimento para figuras com 12 de 
perímetro.
 Desenhe uma figura com área 8 e perímetro máximo. Agora, desenhe 
uma figura com área 8 e perímetro mínimo.
 No geoplano, desenhe figuras com os seguintes perímetros e áreas: 
Perímetro Área
12 9
10 4
12 8
8 4
12 6
14 10
10 5 
 Figuras de áreas iguais possuem perímetros iguais?
 Figuras de perímetros iguais possuem áreas iguais?
14
Frações
(SERRAZINA; MATOS, 1988)
O geoplano pode ser utilizado para o estudo de números fracionários. A construção dos 
conceitos de metade e de partes iguais pode ser explorada como uma propedêutica ao estudo 
das frações começando pelo menos no ensino primário. Propomos, nesta seção, um conjunto de 
atividadesem que o geoplano é transformado num modelo que pode servir de apoio ao estudo das 
frações.
Atividade 1 – Tomando como unidade de área a área do retângulo da figura VI.11.1, quais 
são as áreas das figuras VI.11.2 e VI.11.3?
Fig. VI. 11.1 Fig. VI. 11.2 Fig. VI. 11.3
Agora, tomando como unidade de área o quadrado da figura VI.12.1, quais são as áreas das 
figuras VI.12.2 e VI 12.3?
Fig. VI. 12.1 Fig. VI. 12.2 Fig. VI. 12.3
Atividade 2 – Um mapa do reino da Trianglovânia está representado na figura VI.13. O rei 
Isósceles morreu de repente e deixou o reino aos quatro filhos. Cada filho deverá receber uma 
parte igual do reino, e cada parte deverá ter a mesma forma que o reino original. Use só um 
elástico para dividir o reino para os quatro filhos.
Fig. VI. 13.1
As atividades sugeridas são apenas exemplos de questões que, desenvolvidas 
no geoplano, podem ajudar na compreensão dos significados das medidas de 
comprimento e de área. É importante que essas medidas sejam confrontadas para 
que os alunos percebam a particularidade de cada uma delas.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Geoplano
15
1. Enumere alguns conteúdos que possam ser trabalhados utilizando o geoplano.
2. Cite alguns tipos de geoplanos.
Atividade 3 – Construa, num geoplano 5 X 5, uma figura que possa ser dividida em três, e 
depois em quatro partes iguais. Discuta as diversas soluções e compare-as.
Ao exprimir a área de uma superfície em função da área de outra, aparece a necessidade dos 
números fracionários, como acontece na atividade 1.
Os conceitos de metade e de partes iguais aparecem nas atividades 2 e 3.
16
3. Construa, num geoplano ou no papel pontilhado, figuras com 5, 6 e 7 lados. 
4. Calcule o perímetro e a área das figuras construídas no item anterior.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
O uso do tangram 
nas aulas de Matemática
D iversas são as referências feitas ao uso do jogo no ensino de Matemática. Eventos realizados por profissionais da Educação Matemática têm apresentado trabalhos que abordam o jogo como forma de ensinar.
O jogo tem sido apresentado como alternativa para a utilização do lúdico no ensino de 
 Matemática, uma vez que muitos são os trabalhos que apontam a Matemática como uma disciplina 
normalmente ensinada sem atrativos, levantando a problemática do fracasso no seu ensino.
Embora o jogo tenha sido usado em Educação desde a Roma e a Grécia antigas, apenas 
no século XX, com Piaget, Bruner, Wallon e Vygotsky, segundo Kishimoto (apud MOURA, 
1994), o jogo passou a ser utilizado com fins pedagógicos, buscando trazer contribuições ao ensino 
e à aprendizagem. É um elemento externo que atua internamente no sujeito, possibilitando novas 
estruturas de pensamento.
O jogo deve ser usado de modo intencional para que seja visto como uma ferramenta do 
conhecimento, e precisa de um plano de ação que permita a aprendizagem de conceitos tanto 
matemáticos como culturais. Assim, é percebido numa perspectiva de conteúdo com a finalidade 
de resolver problemas, dando a oportunidade de trabalhar conteúdos culturais inerentes ao 
próprio jogo.
Vários são os jogos que usualmente estão sendo empregados nas salas de aula. O tangram, por 
exemplo, está sendo utilizado para trabalhar vários conteúdos matemáticos.
Várias são as versões desse jogo chinês milenar, o quebra-cabeça – tangram. A palavra tangram 
vem de Tchi Tchiao Pan, cujo significado, “sete peças da sabedoria”, parece ter algum propósito 
religioso ou místico quando emprega as suas sete peças para descrever o mundo. 
Há outras versões para o significado da palavra tangram. Tan pode estar relacionada 
à dinastia de Tan (618-906) e gram significa algo desenhado ou escrito tal qual um diagrama. 
 (SOUZA et al., 1997).
O tangram tem sido utilizado nas aulas de Matemática para o desenvolvimento do raciocínio 
geométrico, percebendo formas, representando figuras geométricas, construindo e criando. Com suas 
sete peças é possível criar e montar figuras diversas como animais, plantas, pessoas, objetos, letras, 
números, figuras geométricas etc. Jogos como o tangram permitem promover a compreensão de um 
conceito, seu processo de construção e as habilidades envolvidas nessa construção.
As regras desse jogo consistem em formar, por meio de montagem com suas sete peças, sem 
sobreposição, figuras diversas.
Por meio das peças que compõem o tangram pode-se explorar conteúdos matemáticos 
específicos e também propiciar o desenvolvimento de habilidades de pensamento, de acordo 
com o envolvimento e a maturidade dos alunos.
18
O tangram é formado por sete peças, com formas geométricas bem 
conhecidas. É composto por cinco triângulos retângulos e isósceles, sendo dois 
triângulos grandes (T), um médio (M) e dois pequenos (t), além de um quadrado 
(Q) e um paralelogramo (p), que se originam de um quadrado, conforme a figura 
abaixo:
figura 1
t
p
tT
T
M
Q
Para a construção do tangram é necessário observar os ângulos retos, os 
paralelismos e pontos médios da construção. Pode-se, também, desenhar em 
 cartolina, emborrachado ou outros materiais e, em seguida, recortar as sete peças.
A seguir estão representados os passos para a construção de um tangram.
Primeiro passo: dobre o pedaço de papel na forma de um quadrado na sua 
diagonal, conforme a figura 2.
figura 2
Segundo passo: desdobre o papel e risque sobre a marca da dobra (fig. 3).
figura 3
Prática Educativa do Pensamento Matemático
O uso do tangram nas aulas de Matemática
19
Terceiro passo: dobre o papel na outra diagonal (fig. 4).
figura 4
Quarto passo: desdobre o papel e risque sobre a marca da dobra apenas do 
vértice até a outra diagonal, conforme a figura 5.
figura 5
Quinto passo: dobre o papel de forma que o vértice de onde não está 
desenhada a diagonal una-se ao ponto de encontro das diagonais, conforme a 
figura 6.
figura 6
Sexto passo: risque sobre a marca da dobra, conforme a figura 7.
figura 7
20
Sétimo passo: prolongue a diagonal não finalizada até a última linha traçada 
(fig. 8).
figura 8
Oitavo passo: dobre o papel de forma que o vértice que está sobre a diagonal 
riscada toque o centro do papel – encontro das diagonais (fig. 9).
figura 9
Nono passo: desdobre o papel e risque sobre a dobra que vai do ponto médio 
do lado do papel quadrado até encontrar a diagonal, conforme a figura 10.
figura 10
Décimo passo: dobre o papel de forma que o lado direito fique paralelo 
ao esquerdo e o ponto médio deste lado coincida com o ponto de encontro das 
diagonais (fig. 11).
figura 11
Prática Educativa do Pensamento Matemático
O uso do tangram nas aulas de Matemática
21
Décimo primeiro passo: desdobre o papel e risque sobre a marca dobrada 
apenas do ponto médio do triângulo do canto inferior direito até tocar a diagonal 
(fig.12).
figura 12
t
p
tT
T
O tangram está pronto. Agora é só recortar as peças, a partir dos dois 
triângulos grandes, um médio, dois pequenos, um quadrado e um paralelogramo.
É importante o aluno perceber que o tangram se compõe de sete peças que, 
juntas, formam um quadrado: a área das sete peças juntas equivale à área do 
quadrado que forma o tangram (princípio da conservação da área).
O jogo do tangram se justifica por si só. No entanto, sua utilização 
 pedagógica deve ir além do prazer de jogar, podendo ter diferentes objetivos. 
Ele pode ser utilizado para identificar formas geométricas, compor e decompor 
figuras, fazer relações entre os elementos de uma figura, explorar os conceitos 
de área e perímetro, resolver problemas que envolvam o teorema de Pitágoras, 
relacionar área e perímetro, trabalhar classificação etc.
É interessante que, no primeiro momento, as crianças brinquem tentando 
formar figuras quaisquer, como de animais (pato, coelho) e objetos(barco, vela) 
etc. Após, iniciar com outras atividades para que elas percebam as características 
das formas geométricas.
Uma das atividades a ser feita com o aluno é separar as peças do tangram e 
solicitar que ele monte um quadrado novamente.
Outra atividade para as crianças mais novas é oferecer-lhes um modelo 
desenhado em tamanho reduzido e solicitar que montem um semelhante com as 
peças do tangram ou vice-versa. Isto é, oferecer a montagem de uma figura com 
as peças do tangram e solicitar que os alunos a reproduzam com lápis e régua.
Os alunos também devem ser estimulados a observar as características de 
cada uma das peças e compará-las, como na explicação a seguir.
Q
M
p
t
tT
T
22
Os triângulos indicados com a letra T são iguais e suas hipotenusas (lados 
opostos ao ângulo de 90º) são iguais ao lado do quadrado original (com as sete 
peças). Seus catetos medem o dobro dos catetos dos triângulos indicado pela letra 
t, que também equivale ao lado do quadrado.
O triângulo indicado com a letra M tem catetos iguais à metade do lado do 
quadrado original, e sua hipotenusa é igual à metade da diagonal do quadrado 
original.
Relações como estas, feitas anteriormente, e também outras relações com 
as demais peças do tangram, devem ser percebidas pelos alunos. É relevante que 
o aluno perceba, por exemplo, que um dos lados do paralelogramo indicado pela 
letra p é igual à metade do lado do quadrado original.
Embora a regra do jogo do tangram seja montar objetos com as sete peças, 
pode-se trabalhar outras variações, como a montagem de um quadrado com 
apenas triângulos de alguns tangrans (nesse caso, faz-se necessário ter mais de 
um conjunto de peças).
Com essa atividade, os alunos deverão perceber que cada conjunto de dois 
triângulos pequenos forma um médio e que cada conjunto de dois médios forma 
um triângulo grande. Com isso, para formar quadrados apenas com triângulos, os 
alunos terão que descobrir o número de tangrans necessários para formar certos 
quadrados maiores. Inclusive o quadrado do tamanho original do tangram. É 
sempre relevante que eles façam os contornos das peças numa folha de papel e 
enumerem a quantidade de triângulos que foi utilizada na construção de cada 
quadrado.
Exemplos
Neste caso, foram utilizadas três peças triangulares médias e duas pequenas.
Neste outro caso, utilizaram-se quatro peças triangulares pequenas e duas 
grandes.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
O uso do tangram nas aulas de Matemática
23
A Geometria permite desenvolver o senso espacial, favorecendo a 
 capacidade de comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas. 
Nesta atividade, o que se deseja é que o aluno perceba relações de composição 
existentes entre as diversas peças do quebra-cabeça (tangram).
Professor e alunos devem fazer novas proposições para novas montagens. 
Seguem alguns exemplos.
 Figuras montadas com apenas dois triângulos pequenos.
 Figuras montadas com dois triângulos pequenos e um médio.
 Pode-se montar um triângulo grande com as peças que se desejar. Existem 
quantas possibilidades para isso?
 Caso se queira montar um quadrado usando apenas duas das peças de 
um único tangram, como se poderia obtê-lo?
 E com três peças? E com quatro? 
 Mostre como foi possível cada uma dessas soluções.
São inúmeras as atividades que podem ser realizadas utilizando peças de 
um único tangram ou de mais de um. Exemplo: monte um octógono apenas com 
triângulos pequenos e quadrados.
Como foi colocado anteriormente, pode-se utilizar o tangram para trabalhar 
outros conteúdos matemáticos como áreas, frações, relação de área e fração de 
uma peça em relação à outra etc.
Ao se trabalhar com séries mais elevadas, pode-se propor problemas de níveis 
mais complexos, como solicitar aos alunos que construam um tangram não apenas 
com dobradura mas também utilizando régua e compasso para depois utilizá-lo 
trabalhando semelhança de triângulos, áreas de outros polígonos formados pela 
composição de peças etc.
Como se pode perceber, o uso do tangram é uma estratégia rica para ensinar 
vários conteúdos matemáticos, os quais são trabalhados de forma lúdica e sem 
grandes gastos. Assim, esse jogo pode ser utilizado nas escolas de todos os níveis 
e condições econômicas, de forma individual ou em grupos.
O lado sério do jogo: a possibilidade de aprender
(Moura, 1994)
O raciocínio mais ou menos decorrente do fato de que os sujeitos aprendem por meio do 
jogo é de que este possa ser utilizado pelo professor em sala de aula.
As primeiras ações dos professores que se apóiam em teorias construtivistas foram as de tornar 
os ambientes bastante ricos, em quantidade e variedade de jogos, para que os alunos pudessem, pela 
manipulação dos mesmos, descobrir conceitos inerentes às estruturas dos jogos. Essa concepção 
24
tem levado a práticas espontaneístas de utilização dos jogos nas escolas. A sustentação de tal prática 
pode ser encontrada nas teorias psicológicas que colocam apenas no sujeito as possibilidades de 
aprender, desconsiderando elementos externos como possibilidades da aprendizagem.
São concepções de aprendizagem subjetivistas que colocam o conhecimento como produto 
de articulações internas aos sujeitos. Para essa visão, a atividade direta do aluno sobre os objetos 
de conhecimento é a única fonte válida de aprendizagem e assume implicações que qualquer 
tentativa de intervenção do professor para transmitir um conhecimento estruturado está fadada 
ao fracasso ou a produzir um conhecimento meramente repetitivo (COLL).
Essas concepções têm como principal característica a crença de que o desenvolvimento 
cognitivo é a sustentação da aprendizagem. Asseguram que para haver aprendizagem é necessário 
que o aprendiz tenha um determinado nível de desenvolvimento. Tal crença tem levado muitos 
educadores a serem colocados na posição dos que apenas promovem situações desafiadoras para 
os sujeitos em situação escolar. As situações de jogo são consideradas como parte das atividades 
pedagógicas porque são elementos estimuladores do desenvolvimento.
Neste sentido, o jogo é elemento do ensino apenas como possibilitador de colocar o 
pensamento do sujeito em ação. O jogo é o elemento externo que irá atuar internamente no 
sujeito, possibilitando-o a chegar a uma nova estrutura de pensamento. Desta forma, o jogo, ainda 
sendo essa concepção, deve ser usado na educação matemática, obedecendo a certos níveis de 
conhecimento dos alunos, tidos como mais ou menos fixos.
O material a ser distribuído para os alunos deve ter uma estruturação tal que lhes permita dar 
um salto na compreensão dos conceitos matemáticos presentes. É assim que materiais estruturados 
como blocos lógicos, material dourado, cuisenaire e outros, na maioria decorrente destes, passaram 
a ser veiculados nas escolas.
A visão do conhecimento puro, aquele que decorre apenas do amadurecimento de estruturas 
internas, levou à prática na qual os conteúdos eram pouco relevantes e por priorizarem o desenvolvimento 
destas estruturas levou a uma concepção de jogo como promotor desse desenvolvimento.
O uso de sucatas para a confecção de brinquedos, jogos de montar e a retomada do uso de 
materiais de ensino sem objetivos pedagógicos claros é a concretização da concepção que entende 
a construção do conhecimento como fenômeno essencialmente individual e regido apenas por leis 
internas ao sujeito.
A Educação Matemática, na década de 1960, viveu uma situação que poderíamos dizer 
esteve à beira da esquizofrenia. Ao mesmo tempo em que se apoiava em teorias psicológicas que 
 defendiam a utilização de materiais concretos como facilitadores da aprendizagem, utilizava-se de 
uma linguagem matemática altamente sofisticada, obedecendo às estruturas lógicas desta ciência, 
acreditando em outro paradigma da Psicologia daépoca: a estrutura do conhecimento matemático 
se aproxima das estruturas psicológicas dos sujeitos (PIAGET). Disto decorreu o aparecimento 
de propostas de ensino de Matemática em que se destacou a ênfase na linguagem e na visão 
estruturalista, também presente na produção matemática.
O surgimento de novas concepções sobre como se dá o conhecimento tem possibilitado novas 
formas de considerar o papel do jogo no ensino. São as contribuições da Psicologia, de cunho 
sociointeracionistas, que vêm estabelecer novos paradigmas para a utilização do jogo na escola.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
O uso do tangram nas aulas de Matemática
25
Também esta concepção acredita no papel do jogo na produção de conhecimentos tal como 
a ante rior. Diferencia-se daquela ao considerar o jogo como impregnado de conteúdos culturais 
e que os sujeitos, ao tomarem contato com os mesmos, fazem-no por meio de conhecimentos 
adquiridos socialmente.
Ao agirem assim, esses sujeitos estão aprendendo conteúdos que lhes permitem entender o 
con junto de práticas sociais nas quais se inserem. Neste sentido, as concepções sociointeracionistas 
partem do pressuposto de que a criança aprende ao lidar com o jogo de regra e também 
desenvolve suas estruturas cognitivas ao lidar com os mesmos. Nessa concepção, o jogo promove 
o desenvolvimento, porque está impregnado de aprendizagem. E isto ocorre porque sujeitos, 
ao jogarem, passam a lidar com regras que lhes permitem a compreensão do conjunto de 
conhecimentos veiculados socialmente, permitindo-lhes novos elementos para apreenderem os 
conhecimentos futuros.
O jogo, nessa visão da Psicologia, permite a apreensão dos conteúdos, porque coloca os sujeitos 
diante das impossibilidades de resolverem, na prática, as suas necessidades psicológicas, para faz-
de-conta, do jogo regrado pela lógica vivenciada ou criada para solucionar as impossibilidades de 
tornar realidade o seu desejo (LEONTIEV).
Uma decorrência dessa visão é o aparecimento dos cantinhos de jogos, das brincadeiras 
de faz-de-conta etc. O jogo como promotor da aprendizagem e do desenvolvimento passa a 
ser considerado nas práticas escolares. A perspectiva de que é importante aliado de situações 
de jogos pode ser uma boa estratégia para aproximá-lo dos conteúdos culturais a serem 
veiculados na escola, como também pode estar promovendo o desenvolvimento de novas 
estruturas cognitivas.
O jogo na Educação Matemática passa a ter o caráter de material de ensino quando se 
considera que ele é promotor de aprendizagem da criança, colocada diante de situações em que, 
ao brincar, apreen de a estrutura lógica do material e deste modo apreende, também, a estrutura 
matemática presente.
Esta poderia ser tomada como fazendo parte da primeira visão de jogo que tratamos até aqui. 
Já na segunda concepção, esse deve estar carregado de conteúdo cultural e, sendo assim, o seu uso 
requer um certo planejamento que considere os elementos sociais em que se insere.
O jogo, desse modo, é visto como conhecimento feito e também se fazendo, é essa característica 
que exige o seu uso de modo intencional. É educativo e, sendo assim, requer um plano de ação que 
permita a aprendizagem de conceitos matemáticos e culturais, de uma maneira geral.
Nesta perspectiva, o jogo será conteúdo assumido com a finalidade de desenvolver habilidades 
de resolução de problemas possibilitando ao aluno a oportunidade de estabelecer planos de ações 
para atingir determinados objetivos, a executar jogadas segundo este plano e a avaliar a eficácia 
destas jogadas nos resultados obtidos.
Desta maneira, o jogo aproxima-se da Matemática via desenvolvimento de habilidade de 
resolução de problemas (MOURA) e, mais, permite trabalhar os conteúdos culturais inerentes ao 
próprio jogo.
26
1. Monte com as peças do tangram um peixe, um coelho e um navio (lembre-se que as peças não 
podem ser sobrepostas).
2. Faça a leitura complementar e escreva as diferentes concepções de jogos apresentadas no texto.
3. Com as peças de um único tangram, encontre todas as possibilidades de se construir um 
quadrado usando:
a) duas peças;
b) três peças; 
c) quatro peças.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
A compreensão 
do sistema de 
numeração decimal
E stamos habituados a fazer uso da numeração indo-arábica, de base dez, em várias situações. Mas nem sempre foi assim: houve um tempo em que o homem não sabia contar. Não sabia relacio nar a quantidade de elementos de uma coleção com uma idéia precisa, o que hoje 
denominamos número.
Inúmeras línguas escritas, antigas ou modernas, trazem as marcas das limitações primitivas e, 
com o passar do tempo, o homem começou a fazer uso de estratégias para conseguir maior exatidão 
quantitativa.
É chamado de sistema de numeração o conjunto de regras utilizado para escrever números. 
Antigas civilizações possuíam formas bastante organizadas para registrar os números. Conhecer 
algumas delas nos ajuda a compreender nosso próprio sistema de numeração e suas propriedades.
Faremos, a seguir, algumas atividades com a numeração egípcia e a numeração maia, tentando 
entender as regras de cada sistema, assim como a base sobre a qual cada um deles se apóia.
O que significa base de um sistema de numeração? Base de um sistema é a quantidade escolhida 
no processo de agrupar e reagrupar os elementos de um conjunto. Por exemplo, no sistema de 
numeração decimal, a base é dez.
O sistema de numeração egípcio
Os egípcios da Antigüidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, 
 baseado em agrupamentos. O número 1 era representado por uma figura que parecia um bastão:
2 I I 6 I I I I I I 
3 I I I 7 I I I I I I I 
4 I I I I 8 I I I I I I I I 
5 I I I I I 9 I I I I I I I I I
Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas I I I I I I I I I por um novo símbolo: . Feito 
isso, continuavam até o 19: 
10 12 I I
11 I 13 I I I
14 I I I I 17 I I I I I I I
15 I I I I I 18 I I I I I I I I
16 I I I I I I 19 I I I I I I I I I
28
O 20 era registrado por ,
30 era ,
40 era e assim por diante.
Para registrar o 100, ao invés de dez marcas , eles 
trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de 
corda enrolada: 
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca.
Símbolo egípcio Descrição Nosso símbolo
bastão 1
calcanhar 10
rolo de corda 100
flor de lótus 1 000
dedo apontando 10 000
peixe 100 000
homem 1 000 000
As regras para o uso desses símbolos eram as seguintes:
 cada marca só pode ser repetida nove vezes;
 cada dez marcas são trocadas por outra, de um agrupamento superior;
 para saber o valor do número escrito, é preciso somar o valor dos símbolos 
utilizados e por isso dizemos que nesse sistema está presente o princípio 
aditivo;
 a numeração egípcia não possuía um símbolo para o zero;
 a numeração egípcia não é posicional e assim tanto faz escrever o número 
23 como sendo I I I ou 
 I I I
Prática Educativa do Pensamento Matemático
A compreensão do sistema de numeração decimal
29
1. Escreva em algarismos egípcios os seguintes números:
a) 206 
b) 1 430 
c) 2 007 
d) 1 000 36 
2. Represente com o nosso sistema os números:
O sistema de numeração egípcia tem base dez, pois as trocas são efetuadas 
a cada grupo de dez símbolos. Observe como eles escreviam, por exemplo, o 
número 322:
Agora, observe como os sacerdotes maias registravam os números.
30
Você saberia dizer qual a base deste sistema?
À primeira vista, essa numeração parece ter base cinco, mas não é assim. 
Uma mudança significativa ocorre ao se escrever o número 20 (como explicaremos 
abaixo) e então dizemos que a base da numeração maia é 20.
As regras para o uso desses símbolospodem ser definidas conforme abaixo.
 As unidades de primeira ordem – números até 19 – são representadas por 
símbolos bem simples: pontos e traços.
 De um a quatro pontos para as quatro primeiras unidades.
 Um traço horizontal para o 5.
 Um, dois, três e quatro pontos acima do traço para os números de 6 a 9.
 Dois traços para o 10 e assim por diante.
 Números superiores a 20.
 São escritos em forma vertical, com uma fileira para cada ordem de 
unidades.
 Para números compostos de duas ordens, coloca-se o algarismo das 
unidades simples na parte de baixo e o algarismo das vintenas na parte 
de cima. Assim, o número 25 = 1 . 20 + 5, é escrito do seguinte modo:
 O que coloca em evidência o princípio multiplicativo.
 Também dizemos que o sistema de numeração maia é posicional, uma 
vez que o lugar ocupado pelos algarismos determina seu valor.
 Nesse sistema, vale o princípio aditivo, pois é necessário somar para 
saber o valor do número.
 Os maias possuíam um símbolo para o zero.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
A compreensão do sistema de numeração decimal
31
3. Escreva com numerais maias os seguintes números:
a) 43 
b) 85 
c) 106 
4. Represente com o nosso sistema os números:
O sistema de numeração decimal
Para mostrar o funcionamento deste sistema usaremos a ilustração de um 
ábaco, porque essa visualização facilita a sua compreensão. Dessa forma, também 
podemos reproduzir a tentativa dos antigos hindus e traduzir a ação do ábaco 
na linguagem dos numerais. Possivelmente, essa organização contribuiu para a 
invenção posicional do nosso sistema.
Vamos imaginar uma situação na qual efetuamos uma contagem com auxílio 
do ábaco.
As unidades são representadas na primeira coluna da direita para a esquerda, 
à qual chamaremos coluna da primeira posição.
4 unidades
O número máximo de unidades que se pode representar nessa coluna é nove: 
quando são inseridas dez unidades, é necessário fazer uma troca.
Tiram-se as dez unidades que são trocadas por uma unidade, e é colocada 
na coluna que ocupa a segunda posição. Os elementos dessa segunda coluna 
representam uma ordem imediatamente superior, ou seja, uma dezena.
32
10 unidades 1 dezena
Após a primeira dezena, a contagem continua pela casa das unidades. Mais 
dez unidades na primeira coluna são trocadas por uma unidade na segunda, e 
continua-se a contagem sempre pela posição das unidades.
Supondo que o número de unidades contadas seja 35, a representação no 
ábaco será:
Podemos resumir as regras desse sistema conforme abaixo.
 Sua base é dez, porque os agrupamentos são feitos de dez em dez.
 É posicional, pois um mesmo símbolo representa valores diferentes 
dependendo da posição que ocupa. Por exemplo, no número 544, o 
numeral 4 tem valor posicional 4 e valor posicional 40.
 O sistema também utiliza o zero.
 É multiplicativo, pois cada algarismo representa o produto dele mesmo 
pelo valor da posição que ocupa. Por exemplo, o número 245:
245 = 2 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1
 É aditivo: 245 = 200 + 40 + 5
 É econômico em relação aos símbolos que utiliza, pois com apenas dez 
símbolos diferentes, (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), escreve-se qualquer 
número.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
A compreensão do sistema de numeração decimal
33
5. Faça a leitura das quantidades representadas nos ábacos:
a) b) c)
6. Represente, nos ábacos, as quantidades solicitadas:
a) 528 b) 604 c) 450
Relações entre o que as crianças sabem e a 
organização posicional do sistema de numeração
(LERNER; SADOVSKY, 1996)
Segundo afirmam as crianças, um número é maior que outro “porque tem mais algarismos” 
ou “porque o primeiro é quem manda”. O saber que assim se expressa refere-se a propriedades 
dos números ou a propriedades das notações numéricas?
A pergunta que antecede pode resultar estranha: estamos tão acostumados a conviver com a 
linguagem numérica que em geral não distinguimos o que é próprio dos números como tais – quer 
dizer, do significado – das propriedades do sistema que usamos para representá-los. No entanto, 
esta distinção é necessária.
Com efeito, enquanto as propriedades dos números são universais, as leis que regem os 
diferentes sistemas de numeração produzidos pela humanidade não o são.
“Oito é menor que dez” é uma afirmação válida em qualquer cultura, independentemente do 
sistema de numeração que ela utiliza. Porém, se esta afirmação justifica-se afirmando que “oito 
só tem um algarismo e dez tem dois”, está sendo utilizada uma argumentação que é específica 
dos sistemas posicionais, já que nos sistemas não posicionais a quantidade de algarismos não está 
relacionada com o valor do número.
34
Então, o que tem o sistema posicional que os outros não têm? Justamente, a posicionalidade. 
Ela é a responsável pela relação quantidade de algarismos–valor do número; dela depende também 
a validade do “primeiro é quem manda”.
Em nosso sistema de numeração – como é sabido –, o valor que representa cada algarismo 
obtém-se multiplicando esse algarismo por uma determinada potência de base. Se um número 
tem mais algarismos que o outro, necessariamente intervieram em sua composição potências de 
dez de maior grau que as envolvidas no outro, e em conseqüência será maior.
Por outro lado, quando se trata de dois números da mesma quantidade de algarismos – 
com exceção dos que comecem com o mesmo algarismo –, é o primeiro que determina qual é o 
maior, porque esse algarismo indica por quanto deve ser multiplicada a potência de grau maior 
que “intervém” no número. Por razões semelhantes, se os primeiros algarismos fossem iguais, 
a responsabili dade de determinar o número maior seria transferida ao algarismo imediatamente 
posterior e assim sucessivamente.
O contraste com os sistemas não posicionais contribui para esclarecer a questão. Vejamos, 
por exemplo, o que acontece no sistema de numeração egípcio (5000 a.C.), que era aditivo e 
dispunha de símbolos só para representar as potên cias de 10. O número 3 053 se anotava assim:
No sistema egípcio, a quantidade de símbolos de um número não informa a respeito de sua 
magnitude: para representar, por exemplo, 9.999, utilizam-se 36 símbolos, enquanto que 10.000 
 representava-se com um símbolo só.
Além disso, cada símbolo representava sempre o mesmo valor, não importando a posição 
que ocupasse e, mesmo que uma convenção estabelecesse determinada ordem de notação, esta 
notação podia ser alterada sem que por isso mudasse a interpretação do número representado.
[...] Um sistema posicional é, ao mesmo tempo, muito menos transparente e muito mais 
econômico que um sistema aditivo.
É menos transparente porque o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa, e porque 
essa posição é o único vestígio da presença de uma potência de base. Ao contrário do que acontece 
ao interagir com outros sistemas que utilizam símbolos específicos para indicar a potência de 
base, para interpretar um número representado em um sistema posicional é necessário inferir qual 
é a potência da base pela qual se deve multiplicar cada algarismo.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
A compreensão do sistema de numeração decimal
35
É mais econômico porque, justamente como conseqüência do valor posicional, uma 
quantidade finita de símbolos – de dez, em nosso caso – é suficiente para registrar qualquer 
número. Em um sistema como o egípcio, no entanto, a quantidade de símbolos necessários para 
que seja possível escrever qualquer número não é finita: dispõe-se de símbolos para um, dez, cem, 
mil, dez mil, cem mil e um milhão – são os que provavelmente existiram na cultura egípcia – e se 
pode escrever qualquer número até nove milhões, novecentos e noventa e nove mil, novecentos e 
noventa, porém será necessário se criar um novo símbolopara representar dez milhões. A criação 
deste símbolo permite estender a escrita a todos os números menores que cem milhões, porém a 
representação deste último exigirá um novo símbolo e esta exigência voltará a apresentar-se cada 
vez que apareça uma nova potência de base.
Economia e transparência não são variáveis independentes: quanto mais econômico é um 
sistema de numeração, menos transparente se apresenta. Um sistema como o egípcio é quase 
uma tradução das ações de contar, agrupar e reagrupar; foi necessário ocultar essas ações por 
trás da posicionalidade para conseguir um sistema cuja economia seja indiscutível.
Quem, como as crianças, tenta apropriar-se de nosso sistema de numeração, deverá descobrir 
o que ele oculta...
7. Segundo o texto, o que significa posicionalidade de um sistema?
8. Quais as principais vantagens do sistema de numeração decimal sobre o sistema egípcio?
36
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: 
números naturais
O sistema de numeração que utilizamos é o sistema decimal, chamado assim porque a contagem é feita na base dez.
O material dourado, idealizado pela médica italiana Maria Montessori, organiza as quantidades 
de acordo com a base dez e, por isso favorece a compreensão do nosso sistema de numeração e das 
operações feitas nele.
A seguir, as peças que o compõem:
Cubo
1 milhar ou
10 centenas ou
100 dezenas ou
1 000 unidades
Placa
1 centenas ou
10 dezenas ou
100 unidades
Barra
1 centenas ou
10 dezenas
Cubinho
1 unidade
Considerando as peças como dispostas anteriormente, encaminharemos o trabalho para a 
compreensão das operações com os números naturais.
Na sequência, apresentaremos atividades que favorecem a manipulação com o material e ajudam 
na compreensão das trocas e na formação dos conceitos embutidos nelas, ou seja, o significado dos 
algarismos nas ordens.
Atividade 1: Descobrindo relações
Nesta atividade, os alunos devem manipular o material livremente. Depois de um tempo, o 
professor pode perguntar se eles descobriram algumas coisas nas peças do material. É possível que os 
alunos percebam algumas relações do tipo:
 a barra tem 10 cubinhos;
 a placa tem 100 cubinhos;
 a placa tem 10 barras;
 o cubo tem 10 placas;
38
 o cubo tem 100 barras;
 o cubo tem 1 000 cubinhos.
Essas relações devem ser exploradas pelo professor e se algumas delas não 
forem sugeridas pelos alunos, o professor deve fazer perguntas que possam fazê-
los pensar em cada uma delas. As perguntas podem ser como abaixo.
 Quantos cubinhos vão formar uma placa?
 E quantos formarão um cubo?
 De quantas barras preciso para formar um cubo?
É importante também que os alunos façam desenhos e anotações para 
registrar essas relações.
Atividade 2: Representando quantidades
O professor pede para os alunos representarem quantidades usando as peças 
do material dourado. Seguem alguns exemplos.
a) 16
Pode ser que o aluno represente usando apenas cubinhos:
Então, o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira, usando 
perguntas do tipo:
– É possível substituir quantidades de cubinhos por outra peça? Qual?
O aluno deve perceber que a quantidade 16 também pode ser representada assim:
b) 135
Mesmo sendo uma quantidade relativamente grande, pode ser que o aluno 
represente usando apenas cubinhos. É aconselhável que o professor permita que 
ele assim o faça.
Então o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira. 
O aluno deve perceber que a quantidade 135 pode ser representada de 
maneiras diferentes:
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
39
 135 cubinhos (135 unidades);
 13 barras e 5 cubinhos (13 dezenas e 5 unidades);
 1 placa, 3 barras e 5 cubinhos (1 centena, 3 dezenas e 5 unidades).
Após algumas atividades, o professor deve introduzir as nomenclaturas:
 unidade para o cubinho;
 dezena para a barra;
 centena para a placa;
 milhar para o cubo.
Atividade 3: Contando e escrevendo
O professor pede aos alunos que escrevam a quantidade que ele mostra, 
utilizando as peças do material dourado.
Seguem alguns exemplos.
a) 
Dependendo das respostas e considerações dos alunos, o professor pode 
explorar as quantidades aproveitando os agrupamentos visualizados nas peças.
 231 = 200 + 30 + 1
 231 = 2 centenas, 3 dezenas e 1 unidade
 2 centenas = 200
 3 dezenas = 30
 1 unidade = 1
b) 
 305 = 300 + 5
 305 = 3 centenas e 5 unidades
 3 centenas = 300
 5 unidades = 5
40
Esse exemplo é importante porque faz o aluno perceber a ausência de dezenas 
soltas e a importância de representar essa ausência com o algarismo zero.
Atividade 4: Contando pontos de um jogo
Esta atividade pode ser decorrente de jogos de dados. Por exemplo, é 
importante que o jogo utilizado não se destaque demais. A intenção é que os 
alunos façam trocas entre as ordens das classes numéricas para marcar pontos de 
um jogo. A regra é que, para fazer essa marcação, o aluno nunca pode usar dez 
peças iguais.
Simulamos aqui um jogo de dados (dois dados cada jogada) entre dois 
alunos. O jogo será composto por quatro rodadas.
O aluno A joga os dados e obtém:
O aluno, então, pega 4 + 3 cubinhos para representar as quantidades:
O aluno B joga os dados e procede da mesma forma que o aluno A para 
registrar o número de pontos por ele obtidos.
Na segunda rodada, o aluno A joga novamente os dados e pode obter, por 
exemplo,
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
41
O aluno, então, pega 6 + 2 cubinhos para representar as quantidades
e junta as quantidades da primeira e da segunda rodadas:
Obedecendo a regra do jogo (o aluno nunca pode usar dez peças iguais), 
por isso deve trocar dez cubinhos por uma barra (dez unidades por uma dezena), 
ficando com
E assim o jogo prossegue até que seja realizada a quantidade de rodadas 
combinadas no início. Se o professor desejar, pode sugerir um número maior de 
rodadas: dessa forma, os alunos podem realizar trocas e chegar à centena.
No final, os alunos devem escrever a quantidade de pontos obtidos e comparar 
com a quantidade obtida pelo parceiro de jogo. Vence o que obtiver o maior ou o 
menor número de pontos, dependendo do que foi combinado no início do jogo.
Atividade 5: Somando e subtraindo quantidades
Para realizar somas e subtrações com o material dourado, vamos sugerir a 
utilização de um “cartaz valor lugar”, conhecido como ábaco de papel.
Esse ábaco de papel pode ser confeccionado pelos próprios alunos. 
Precisaremos apenas de uma cartolina, régua e pincel atômico ou canetinha.
M C D U
42
Realizaremos agora algumas operações.
a) 124 + 53
Devemos representar as duas quantidades com o material dourado e dispor 
no ábaco de papel. 
A seguir, devemos juntar as quantidades de mesma ordem iniciando pelas 
unidades.
É muito importante que, paralelamente à representação com o material 
dourado, deve ser feita a representação escrita.
M C D U
1 2
5
4+
3
1 7 7
Então, juntando 124 com 53, temos 177.
b) 267 + 235
Representando as duas quantidades com o material dourado, temos
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
43
M C D U
2
2
6
3
7+
5
Juntando as quantidades de mesma ordem:
Vejam que nesse caso temos uma quantidade na ordem das unidades que 
 podem ser trocadas por dezena:
44
M C D U
2
2
1
6
3
7+
5
2
Agora temos dez dezenas, que podem ser trocadas por uma centena:
Então, a soma resulta em:
M C D U
1
2
2
1
6
3
7+
5
5 0 2
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
45
c) 345 – 233
No algoritmo da subtração com o material dourado, é recomendávelque se 
utilize a idéia de tirar. A idéia de comparar necessita de uma grande quantidade de 
peças do material dourado e isso pode tornar o trabalho inviável.
Usando então a idéia de tirar para realizarmos subtrações, devemos repre-
sentar apenas o minuendo:
Do minuendo, retiramos o subtraendo:
Então resta:
M C D U
3
2
4
3
5-
3
1 1 2
d) 327 – 173
46
Nesse caso, retiramos 3 unidades de 7 unidades:
Ficamos com:
M C D U
3
1
2
7
7-
3
4
Agora, temos que retirar 7 dezenas. Para isso, devemos trocar 1 centena por 
10 dezenas. Representamos essa troca assim:
M C D U
32
1
12
7
7-
3
4
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
47
Agora, retiramos 7 dezenas de 12 dezenas e 1 centena de 2 centenas:
Ficamos com:
M C D U
32
1
12
7
7-
3
1 5 4
Vamos passar, agora, para a discussão da multiplicação e da divisão. 
Para realizarmos multiplicações no ábaco de papel e não corrermos o 
risco de confundirmos os alunos com excesso de peças, trabalharemos apenas 
multiplicações com números baixos, como os exemplos que seguem.
e) 3 . 5
Temos um total de 15 unidades e dez delas podem ser trocadas por 1 dezena. 
Ficamos, então, com
48
D U
3x
5
1 5
f) 2 . 26
Temos um total de 12 unidades soltas, e dez delas podem ser trocadas por 1 
dezena. Ficamos, então, com:
D U
1 6x 
2
5 2
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
49
Passemos agora à divisão. Para realizar divisões com o auxílio do material 
dourado, não usaremos o ábaco de papel.
g) 45 : 3
Primeiramente, representamos a quantidade 35 com as peças do material 
dourado.
Distribuiremos as dezenas em três grupos e desta forma cada grupo fica 
com uma dezena e resta uma dezena:
45 3
1 1
Agora, trocamos uma dezena por 10 unidades e juntamos a estas cinco 
unidades, totalizando 15 unidades:
45 3
15 1
Agora, dividimos 15 unidades por 3:
45 3
15 15
Dessa forma, distribuímos todas as 15 unidades, restando nenhuma:
45 3
15 15 
0
50
h) 213 : 2
Representamos a quantidade 213 com as peças do material dourado:
Distribuindo as centenas em dois grupos, cada grupo fica com 1 centena, 
restando nenhuma centena:
213 2
0 1
Distribuímos agora a dezena, porém não é possível dar nenhuma dezena 
inteira para cada grupo:
213 2
01 10
Devemos colocar zero no quociente, indicando que além da centena ele não 
terá dezenas inteiras.
Trocamos, então, uma dezena por 10 unidades e a elas juntamos mais três 
unidades, totalizando 13 unidades:
213 2
013 10
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
51
Agora, dividimos 13 unidades por 2:
213 2
013 106
 1
Dessa forma, distribuímos 12 unidades e sobrou 1 unidade.
O ábaco de papel
(CARDOSO, 1998, p. 27-28)
Ábaco de papel é a denominação dada pela CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas) nas AMs (Atividades Matemáticas) para o material “quadro valor lugar” juntamente 
com uma adaptação das peças do material dourado apresentadas e cortadas em papel quadriculado 
de 1cm x 1cm.
O motivo da denominação ábaco deve-se ao fato de que sua estrutura assemelha-se ao ábaco 
de pinos e também porque é um contador.
centena dezena unidade
Este modelo revela algumas vantagens sobre o ábaco de pinos em termos pedagógicos, 
primeiro porque pode ser construído facilmente apenas com papel e tesoura pelo professor ou até 
mesmo pelos alunos e segundo porque as trocas de ordens de grandezas realizadas nas operações 
são de fácil visualização.
52
Queremos observar que o ábaco não é o único material que pode ser usado para o trabalho 
aqui proposto e não deve ser usado todo o tempo. Utilizar vários recursos e materiais é importante 
no ensino de Matemática, uma vez que as idéias a serem desenvolvidas não estão em cada material, 
mas nas ações e relações mentais que os alunos podem fazer com e entre os diferentes objetos e 
atividades propostas.
Se o professor quiser, pode trabalhar com os alunos em grupo e pedir que construam cada 
um o seu ábaco de papel. Basta, para isso, duas folhas de papel quadriculado (de 1 cm) para o 
recorte das peças e uma folha de papel sulfite para o “quadro valor” de posição.
Os números no ábaco de papel podem ser representados da seguinte maneira:
O professor deve chamar a atenção, como no ábaco de pinos, e desenvolver várias atividades, 
para o fato de que dez peças de uma coluna (ordem) representam o mesmo que uma peça da 
coluna seguinte à esquerda.
Exemplo:
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
53
1. Enumere alguns motivos que tornam o material dourado indicado para o trabalho com as quatro 
operações fundamentais.
54
2. Utilizando o material dourado ou o desenho de suas peças, represente as quantidades.
a) 1.025
b) 357
c) 603
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números naturais
55
d) 81
3. Se você não tiver à mão o material dourado, construa centenas, dezenas e unidades com o papel 
quadriculado e realize, junto com seus colegas, as operações.
a) 124 + 38
b) 300 – 127
c) 34 . 3
d) 128 : 5
56
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: 
números decimais
J á vimos como trabalhar com o material dourado para tornar os algoritmos das operações fundamentais com os números naturais mais significativos.
Nesta aula, veremos que o material dourado também pode ser trabalhado para compreensão dos 
algoritmos com os números decimais.
Para o trabalho mencionado, consideraremos as peças do material da seguinte forma:
cubo
1 unidade
placa
1 décimo
barra
1 centésimo
cubinho
1 milésimo
É aconselhável que o trabalho com o material dourado e os números decimais seja feito com um 
tempo razoável em relação ao trabalho com o material dourado e os números naturais. As crianças 
devem estar bem cientes dos valores das peças.
Considerando as peças conforme dispostas anteriormente, estaremos encaminhando o trabalho 
para a compreensão das operações com os decimais.
As atividades que seguem têm os mesmos objetivos da seqüência de atividades para os números 
naturais, porém agora esses objetivos são transferidos para os números decimais.
Atividade 1: relacionando as peças 
Os alunos manipulam o material livremente. Depois de um certo tempo, o professor pode 
 perguntar que relações existem entre as peças. As relações devem ser exploradas. 
58
 O cubo tem 10 placas, logo uma placa é a décima parte do cubo.
 O cubo tem 100 barras, logo uma barra é a centésima parte do cubo.
 O cubo tem 1.000 cubinhos, logo um cubinho é a milésima parte do cubo.
 A placa tem 10 barras, logo uma barra é a décima parte da placa.
 A placa tem 100 cubinhos, logo um cubinho é a centésima parte da placa.
 A barra tem 10 cubinhos, logo um cubinho é a décima parte da barra.
Para nomear as peças de décimo, centésimo e milésimo, é importante que o 
professor frise que sempre estará se referindo ao inteiro.
Dessa forma, chamaremos a placa de décimo, a barra de centésimo e o 
cubinho de milésimo.
1 inteiro
1
1 décimo 1 centésimo 1 milésimo
1
10
0 1= , 1
100
0 01= , 1
1 000
0 001
 
= ,
Atividade 2: representando quantidades
O professor pede para os alunos representarem quantidades usando as peças 
do material dourado. Para esta atividade, seria interessante que cada grupo tivesse 
fácil acesso a duas caixas de material dourado, mesmo que para isso os grupos 
tivessem um número maior de crianças. Se isso não for possível, as quantidades 
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
59devem ser pensadas de forma a não utilizar mais de um inteiro ou mais de dez 
décimos. Seguem alguns exemplos.
a) Um inteiro e 12 centésimos.
Pode ser que os alunos representem assim:
Então, o professor indaga se é possível fazê-lo de outra maneira e usa perguntas 
do tipo:
– É possível substituir 10 barras por outra peça? Qual?
O aluno deve perceber que a quantidade 12 também pode ser representada 
assim:
No final, há a necessidade do registro: 1,12
b) Cento e trinta e quatro milésimos.
Nesse tipo de exemplo, é importante que o aluno perceba que
0,134
Após algumas atividades, o professor deve introduzir as nomenclaturas:
 inteiro para o cubo;
60
 décimo para a placa;
 centésimo para a barra;
 milésimo para o cubinho;
c) 1 inteiro e 26 milésimos.
É possível que apareçam as seguintes representações:
=
1,026
Atividade 3: escrevendo quantidades
O professor pede aos alunos que escrevam a quantidade que ele mostra utili-
zando as peças do material dourado.
Seguem alguns exemplos.
a)
4 décimos, mais 3 centésimos, mais 5 milésimos.
0,435
b)
1 inteiro, mais 8 centésimos, mais 5 milésimos.
1,085
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
61
c) 
2 décimos, mais 6 milésimos.
0,206
Atividade 4: somando e subtraindo com decimais
Para realizar somas e subtrações de números decimais com o material 
dourado, vamos utilizar o ábaco de papel – agora, porém, com as ordens adequadas 
aos decimais.
Inteiros Décimos Centésimos Milésimos
Realizaremos agora algumas operações.
a) 1,24 + 0,152
Devemos representar as duas quantidades com o material dourado e dispor 
no ábaco de papel.
62
Juntando milésimos com milésimos, décimos com décimos e assim por 
 diante, temos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Como não temos dez ou mais em nenhuma ordem, não faremos nenhuma troca.
Paralelamente à representação com o material dourado, deve-se fazer a 
repre sentação escrita:
i d c m
1,
0,
2
1
4
5
+
2
1, 3 9 2
Então, juntando 1,24 com 0,152, temos 1,392.
b) 0,263 + 0,338
Representando as duas quantidades com o material dourado, temos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0,
0,
2
3
6
3
3+
8
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
63
Juntando as quantidades de mesma ordem:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Nessa soma, temos 11 milésimos e 10 deles podem ser trocados por 1 centésimo:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0,
0,
2
3
1
6
3
3+
8
1
64
Agora, temos 10 centésimos que podem ser trocados por um décimo:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Então, a soma resulta em:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0,
0,
1
2
3
1
6
3
3+
8
0, 6 0 1
c) 1,35 – 0,233
Da mesma forma que fizemos para os números naturais, com os decimais 
usaremos também a idéia de tirar, assim evitando o acúmulo de materiais.
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
65
Vamos então representar o minuendo e retirar dele o subtraendo:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Para retirar 3 milésimos (0,233), necessitamos realizar uma troca: vamos 
trocar 1 centésimo por 10 milésimos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
1,
0,
3
2
4
5
3
10-
3
Dessa forma, podemos retirar:
 3 milésimos de 10 milésimos;
 3 centésimos de 4 centésimos;
 2 décimos de 3 décimos.
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
1,
0,
3
2
4
5
3
10-
3
1, 1 1 7
66
d) 1 – 0,732
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Para retirar 0,732 de um inteiro, vamos trocar 1 inteiro por 10 décimos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0
1
0,
10
7 3 2
Agora, trocamos 1 décimo por 10 centésimos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
67
i d c m
0
1
0,
9
10
7
10
3 2
Finalmente, trocamos 1 dos 10 centésimos por 10 milésimos:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0
1
0,
9
10
7
9
10
3
10–
2
Dessa forma, podemos retirar 0,732:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
68
Restará:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
i d c m
0
1
0,
9
10
7
9
10
3
10–
2
0, 2 6 8
Agora, vamos desenvolver algumas multiplicações.
e) 3 . 0,4
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Temos um total de 12 décimos e 10 deles podem ser trocados por 1 inteiro:
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
69
i d
1
0,
4x
3
1, 2
f) 2 . 0,52
Décimos Centésimos MilésimosInteiros
Temos um total de 10 décimos e 4 centésimos, e 10 décimos podem ser 
trocados por 1 inteiro:
i d c
1
0, 5 2x
2
1, 0 4
Passemos agora para a divisão. 
g) 1,23 : 3
Primeiramente, representamos a quantidade 1,23 com as peças do material 
dourado:
70
Vamos separar essa quantidade em três grupos. Sabemos que nenhum dos 
grupos ficará com inteiro, pois só temos um. 
1 23 3,
 0,
Para distribuir o inteiro em três grupos, é necessário trocá-lo por 10 décimos:
Juntando os 10 décimos que trocamos pelo inteiro com os dois que já 
tínhamos, ficamos com 12 décimos:
1 23 3,
 0,
( d
Doze décimos divididos por três dá 4 décimos:
( d
1 23 3, 
 0,44
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
71
Distribuímos assim todos os décimos:
( d
1 23 3, 
 0,440
Temos agora três centésimos para distribuir:
 
( d
1 23 3, 
 0,403
c
3
Distribuídos em três grupos, dá um centésimo para cada grupo:
( d
1 23 3, 
 3 0,40 1
c
72
Distribuídos todos os centésimos, não nos resta nada:
( d
1 23 3, 
 03 0,41
 0
c
0
h) 2,17 : 2
Representamos a quantidade 2,17 com as peças do material dourado:
Distribuindo os inteiros em dois grupos, cada grupo fica com um inteiro:
2 17 2, 
0 1
Temos agora que distribuir os décimos:
2 17 2, 
01 1
d
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
73
Nessa divisão, não é possível dar décimos inteiros para cada grupo:
2 17 2, 
01 1,0
d
Então, vamos trocá-los por centésimos e juntá-los com os 7 centésimos que 
já tínhamos:
2 17 2, 
0 17 1,0
c
17 centésimos distribuídos em dois grupos dá 8 para cada grupo e ainda 
 sobra 1 centésimo:
2 17 2, 
0 17 1,08
 1
d
74
Visualizando a rua dos racionais
(FIORENTINI; MIORIM, 2001, p. 89-91)
Para a grande maioria dos profissionais do ensino de Matemática deste país, o estudo dos 
números racionais desenvolve-se na seguinte seqüência: inicialmente, as frações ordinárias; depois, 
as frações decimais e porcentagem; por fim, os números decimais. Na prática, um estudo exaustivo 
de fração e suas operações antecedem o surgimento dos décimos, centésimos e milésimos na sua 
representação como números com vírgula. 
Na minha concepção, esta sequência traz embutida uma contradição. Ela tende a provocar 
uma ruptura no processo de ensino e aprendizagem do sistema de numeração decimal. Depois 
Agora, trocamos 1 centésimo por 10 milésimos:
2 17 2, 
0 17 1,08
 10
d
m
 
E distribuímos em dois grupos, resultando 5 milésimos para cada grupo:
2 17 2, 
0 17 1,085
 10
 0
d
m
Prática Educativa do Pensamento Matemático
Material dourado: números decimais
75
de passar quatro anos, no mínimo, construindo uma parte deste sistema, com