Geometria Analítica e Elipse

Prévia do material em texto

Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
✲
✻
s
........................
........................
........................
........................
.......................
......................
......................
.......................
........................
........................
........................................................................................................................
......................
..
.................
......
..............
........
............
..........
............
...........
...........
...........
..
...........
...........
..
..........
..........
....
..........
..........
....
..........
..........
....
..........
..........
....
...........
...........
..
...........
...........
..
............
...........
............
..........
..............
........
.................
......
......................
..
........................ ........................ ........................ ........................ ........................
........................
........................
.......................
......................
......................
.......................
........................
........................
........................
........................
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜❜
❜
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧✧
✧
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚❚
s
s
.
............................. ............................ ............................ ........................... .......................... ......................... ......................... ......................... ..........................
...........................
............................
.
.............................
............................
............................
........................... .......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ........................... ............................rq
........... ......... ........ ........ ......... ...........
.......... ......... ........ ........ ......... ..................... ......... ........ ........ ......... ...........
.......... ......... ........ ........ ......... ..................... ......... ........ ........ ......... ...........
.......... ......... ........ ........ ......... ..........
PULINUS
Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e Computac¸a˜o Cient´ıfica
Universidade Estadual de Campinas
e-mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/
Janeiro de 2018
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Operac¸o˜es Elementares. Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.15 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.16 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Vetores no Plano e no Espac¸o 111
2.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Operac¸o˜es com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Adic¸a˜o de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Produto Escalar 151
3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Norma Euclidiana. Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3 Definic¸a˜o de Aˆngulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Processo de Ortogonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
i
ii SUMA´RIO
3.8 Distaˆncia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Produto Vetorial. Produto Misto 201
4.1 Orientac¸a˜o do Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5 Estudo da Reta no Espac¸o 229
5.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2 Posic¸a˜o Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3 Aˆngulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.5 Distaˆncia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 Estudo do Plano no Espac¸o 259
6.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2 Equac¸a˜o Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 266
6.3 Posic¸a˜o Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.5 Aˆngulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.6 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.7 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8 Distaˆncia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7 Mudanc¸a de Coordenadas 301
7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.1.1 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1.2 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.1.3 Rotac¸a˜o Composta com uma Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8 Coˆnicas 341
8.1 Coˆnicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
SUMA´RIO iii
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5 Aplicac¸a˜o da Rotac¸a˜o e da Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.7 Classificac¸a˜o das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Refereˆncias Bibliogra´ficas 419
iv SUMA´RIO
Petronio Pulino Geometria Anal´ıtica e Vetores
8
Coˆnicas
Suma´rio
8.1 Coˆnicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . 364
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5 Aplicac¸a˜o da Rotac¸a˜o e da Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 380
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.7 Classificac¸a˜o das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
341
342 Geometria Anal´ıtica e Vetores
8.1 Coˆnicas – Forma Reduzida
Considere o espac¸o de vetores V 2 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2 }, onde
~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) ,
e o sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, ~e1, ~e2 } para o plano IE2, onde o ponto
O = (0, 0) ∈ IE2 e´ a origem para o sistema ortogonal de coordenadas Σ, com o produto
escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 x2 + y1 y2
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (y1)2
para todo ~v = (x1 , y1) , ~w = (x2 , y2) ∈ V 2.
Sabemos que um ponto qualquer P = (x, y) ∈ IE2 e´ expresso no sistema de coordenadas
Σ da seguinte forma:
P = O + x~e1 + y ~e2 ⇐⇒ −−→OP = x~e1 + y ~e2 . (8.1)
E´ importante relembrar, que as coordenadas do ponto P ∈ IE2 relativamente ao sistema de
coordenadas Σ sa˜o as mesmas coordenadas do vetor
−−→
OP com relac¸a˜o a base canoˆnica β,
como estudamos na secc¸a˜o 3.8. Assim, a matriz de coordenadas do vetor
−−→
OP com relac¸a˜o
a base canoˆnica β e´ dada por:
[
−−→
OP ]β =
[
x
y
]
.
Na deduc¸a˜o das equac¸o˜es das coˆnicas na forma reduzida, utilizamos o conceito de distaˆncia
de ponto a ponto, que estudamos na secc¸a˜o 3.8. Assim, dados os pontos A, B ∈ IE2,
A = (x1, y1) e B = (x2, y2) ,
definimos a distaˆncia entre os pontos A e B da seguinte forma:
d(A,B) = ‖−→AB ‖ =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 , (8.2)
conforme a Definic¸a˜o 3.8.2, uma vez que o vetor
−→
AB e´ expresso da forma:
−→
AB = (x2 − x1)~e1 + (y2 − y1)~e2 .
Petronio Pulino 343
8.1.1 Elipse
Definic¸a˜o 8.1.1 Considere no plano IE2 dois pontos F1 e F2, tais que d(F1, F2) = 2c.
A elipse e´ o conjunto dos pontos P ∈ IE2 cuja soma das distaˆncias aos pontos F1 e F2,
denominados focos da elipse, permanece constante, isto e´,
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a com a > c . (8.3)
✲
✻
O
r
y
x
F2
s
F1
s.
...............
............
..........
.......
.........
..............
..........
.................
................
...........
.........
........
.......................
....................
..................
...............
.....................
.......................
.......................... ................................
................................. ................................. ................................ .......................... ....................... ..................... ............... ..................
....................
...................
....
........ ......... ...........
............
....
............
.....
..........
............
..
................
..........
..........
..
..........
.....
.
...........
....
..........
..
..........................
............
..
..........
............
.....
............
....
........... ......... ........
...................
....
.................... .................. ............... ..................... ....................... .......................... ................................ ................................. ................................. ................................
..........................
.......................
.....................
...............
..................
....................
.......................
........
.........
...........
................
.................
..........
..............
.........
.......
..........
............
...............
P
s
Figura 8.1: Ilustrac¸a˜o da Elipse definida pela condic¸a˜o (8.3)
Vamos deduzir a equac¸a˜o reduzida da elipse cujos focos esta˜o sobre o eixo coordenado OX
e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de coordenadas Σ, isto e´, quando
seus focos sa˜o os pontos F1 = (−c , 0) e F2 = (c , 0), em relac¸a˜o ao sistema ortogonal
de coordenadas Σ, uma vez que d(F1, F2) = 2c. A constante positiva 2c e´ denominada
distaˆncia focal.
Considerando um ponto gene´rico da elipse P = (x, y) e impondo a condic¸a˜o dada pela
equac¸a˜o (8.3), como ilustra a Figura 8.1, obtemos
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ⇐⇒
√
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a . (8.4)
Vamos reescrever a equac¸a˜o (8.4) da seguinte forma:√
(x+ c)2 + y2 = 2a −
√
(x− c)2 + y2 . (8.5)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.5), obtemos
c x − a2= −a
√
(x− c)2 + y2 . (8.6)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.6), obtemos
(a2 − c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2) . (8.7)
Chamando a2 − c2 = b2, uma vez que a2 − c2 > 0 pois a > c. Dividindo ambos
os membros da equac¸a˜o (8.7) pelo fator a2 b2, obtemos a equac¸a˜o reduzida da elipse, que e´
expressa da seguinte forma:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ⇐⇒ b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 . (8.8)
344 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Elementos da Elipse
Para analisar os elementos da elipse vamos considerar seus focos localizados nos pontos
F1 = (−c , 0) e F2 = (c , 0), em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ, uma vez
que d(F1, F2) = 2c. A constante positiva 2c e´ a distaˆncia focal. Nesse caso, a equac¸a˜o
reduzida da elipse fica expressa da seguinte forma:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ⇐⇒ b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 . (8.9)
Na Figura 8.2 ilustramos a elipse definida pela equac¸a˜o (8.9).
✲
✻
O
r
y
x
F2
r
F1
r
D
r
D′
r
C
r
C ′
r
A′rAr
rs
r
r
.
.............
...........
.........
.......
........
............
.........
................
...............
..............
...........
.....................
..................
................
..............
...................
.....................
....................... ............................. .............................. .............................. ............................. ....................... ..................... ................... .............. ................ ..................
...................
..
...........
.............
.
.............
..
............
....
.........
...........
.
........................
..........
.
..........
...
.
..........
...
..........
.
........................
...........
.
.........
............
....
.............
..
.............
.
...........
...................
..
.................. ................ .............. ................... ..................... ....................... ............................. .............................. .............................. .............................
.......................
.....................
...................
..............
................
..................
.....................
...........
..............
...............
................
.........
............
........
.......
.........
...........
.............
Figura 8.2: Ilustrac¸a˜o da Elipse definida pela condic¸a˜o (8.8)
O centro de simetria da elipse e´ o ponto do plano com respeito ao qual os pontos da elipse
esta˜o situados em pares de pontos sime´tricos. Nesse caso, o centro de simetria e´ o ponto
O = (0, 0), que e´ a origem do sistema ortogonal de coordenadas Σ. Os eixos de simetria
da elipse sa˜o os eixos coordenados do sistema ortogonal de coordenadas Σ.
A maior corda que passa pelo centro da elipse e´ denominado de eixo maior, e a menor
corda que passa pelo centro da elipse e´ denominado eixo menor.
Os ve´rtices da elipse sa˜o os pontos nos quais a curva corta o eixo maior, que nesse caso,
sa˜o os pontos A = (−a, 0) e A′ = (a, 0), como ilustra a Figura 8.2.
A excentricidade da elipse, que denotamos por e, e´ o valor da raza˜o dada por:
e =
c
a
=
√
a2 − b2
a
< 1 . (8.10)
O conceito de excentricidade esta´ relacionado com a raza˜o entre a distaˆncia de um ponto
qualquer da coˆnica a um dos focos e a distaˆncia desse mesmo ponto a diretriz referente a
esse foco.
Petronio Pulino 345
E´ importante observar que na situac¸a˜o em que a = b = r a equac¸a˜o reduzida da elipse
fica expressa da forma:
x2 + y2 = r2 ,
que e´ a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de centro na origem O = (0, 0) e raio igual a
r = a = b. Nesse caso, a excentricidade da elipse e´ nula, dada pela relac¸a˜o (8.10), uma vez
que a = b. Assim, a circunfereˆncia e´ uma elipse de excentricidade nula.
A seguir determinamos as equac¸o˜es das duas diretrizes da elipse, uma vez que a elipse
possui dois focos. Vamos obter a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F2 = (c, 0). Para
isso, dividimos ambos os membros da equac¸a˜o (8.6) pela constante c, e organizando de forma
conveniente, obtemos
a
e
− x = 1
e
√
(x− c)2 + y2 ⇐⇒ d(P, r) = 1
e
d(P, F2) , (8.11)
onde d(P, r) e´ a distaˆncia do ponto P = (x, y), um ponto qualquer da elipse, a reta vertical
r definida pela equac¸a˜o
r : x =
a
e
, (8.12)
que e´ a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F2 = (c, 0), como ilustra a Figura 8.2.
Reescrevendo a equac¸a˜o (8.11) da seguinte forma:
d(P, F2)
d(P, r)
= e , (8.13)
obtemos uma propriedade das coˆnicas, onde a constante e e´ a excentricidade da elipse.
Vamos determinar a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F1 = (−c, 0). Para isso, vamos
reescrever a equac¸a˜o (8.4) da seguinte forma:
√
(x− c)2 + y2 = 2a −
√
(x+ c)2 + y2 . (8.14)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.14), obtemos
c x + a2 = a
√
(x+ c)2 + y2 . (8.15)
Dividindo ambos os membros da equac¸a˜o (8.15) pela constante c e organizando de forma
conveniente, obtemos
x +
a
e
=
1
e
√
(x+ c)2 + y2 ⇐⇒ d(P, s) = 1
e
d(P, F1) , (8.16)
onde d(P, s) e´ a distaˆncia do ponto P = (x, y), um ponto qualquer da elipse, a reta vertical
s definida pela equac¸a˜o
s : x = −a
e
, (8.17)
que e´ a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F1 = (−c, 0), como ilustra a Figura 8.2.
346 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Reescrevendo a equac¸a˜o (8.16) da seguinte forma:
d(P, F1)
d(P, s)
= e , (8.18)
obtemos uma propriedade das coˆnicas, onde a constante e e´ a excentricidade da elipse.
A corda que passa por um dos focos da elipse e seja perpendicular ao eixo maior e´ chamada
de corda focal mı´nima da elipse. Na Figura 8.2, os segmentos CC ′ e DD′ sa˜o as duas
cordas focais mı´nimas, cujo comprimento e´ dado por:
CC ′ = DD′ =
2 b2
a
. (8.19)
De fato, considerando os focos da elipse localizados nos pontos F = (± c, 0), e substituindo
o valor da sua abscissa x = ± c no equac¸a˜o (8.9), obtemos as ordenadas dos ponto C, C ′,
D e D′, que sa˜o dadas por:
y = ±
√
a2 b2 − b2 c2
a
= ±
√
b2( a2 − c2 )
a
= ±b
2
a
com a > c . (8.20)
Desse modo, os pontos C, C ′, D e D′ teˆm as seguintes coordenadas
C =
(
−c , −b
2
a
)
, C ′ =
(
−c , b
2
a
)
, D =
(
c , −b
2
a
)
e D′ =
(
c ,
b2
a
)
.
Portanto, o comprimento das cordas focais mı´nimas e´ dado por:
CC ′ = DD′ =
2 b2
a
. (8.21)
Exemplo 8.1.1 Determine os comprimentos dos semi–eixos, os focos, os ve´rtices, a
excentricidade, o comprimento da corda focal mı´nima e as equac¸o˜es das diretrizes
da elipse definida pela equac¸a˜o reduzida
4x + 5 y2 = 20 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 8.1.2 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma elipse degenerada
x2
a2
+
y2
b2
+ r2 = 0 para a > 0 e b > 0 , (8.22)
que representa um u´nico ponto no plano IE2 para r = 0, ou uma elipse imagina´ria para
r 6= 0. Neste caso, a equac¸a˜o na˜o determina nenhuma curva no plano IE2.
Petronio Pulino 347
8.1.2 Hipe´rbole
Definic¸a˜o 8.1.2 Considere no plano IE2 dois pontos F1 e F2, tais que d(F1, F2) = 2c.
A hipe´rbole e´ o conjunto dos pontos P ∈ IE2 cuja diferenc¸a das distaˆncias aos pontos F1
e F2, denominados focos da hipe´rbole, permanece constante, isto e´,
| d(P, F1) − d(P, F2) | = 2a com 0 < a < c . (8.23)
✲
✻
O
r
y
x
F2
s
F1
s
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
.................................
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
P
s
Figura 8.3: Ilustrac¸a˜o da Hipe´rbole definida pela condic¸a˜o (8.23)
Vamos deduzir a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole cujos focos esta˜o sobre o eixo coordenado
OX e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de coordenadas Σ, isto e´,
quando seus focos sa˜o os pontos F1 = (−c , 0) e F2 = (c , 0), em relac¸a˜o ao sistema
ortogonal de coordenadas Σ, uma vez que d(F1, F2) = 2c. Denominamos por distaˆncia
focal a constante positiva 2c.
Considerando um ponto gene´rico da hipe´rbole P = (x, y) e impondo a condic¸a˜o dada pela
equac¸a˜o (8.23), com d(P, F1) − d(P, F2) > 0, como ilustra a Figura 8.3, obtemos
d(P, F1) − d(P, F2) = 2a ⇐⇒
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = 2a . (8.24)
Vamos reescrever a equac¸a˜o (8.24) da seguinte forma:√
(x+ c)2 + y2 = 2a +
√
(x− c)2 + y2 . (8.25)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.25), obtemos
c x − a2 = a
√
(x− c)2 + y2 . (8.26)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.26), obtemos
(c2 − a2) x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2) . (8.27)
348 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Chamando c2 − a2 = b2, uma vez que c2 − a2 > 0 pois 0 < a < c. Dividindo ambos os
membros da equac¸a˜o (8.27) pelo fator a2 b2, obtemos a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole, que
e´ expressa da seguinte forma:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 . (8.28)
Impondo a condic¸a˜o dada pela equac¸a˜o (8.23), com d(P, F1) − d(P, F2) < 0, obtemos
d(P, F1) − d(P, F2) = −2a ⇐⇒
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = −2a . (8.29)
Vamos reescrever a equac¸a˜o (8.29) da seguinte forma:
√
(x+ c)2 + y2 = −2a +
√
(x− c)2 + y2 . (8.30)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.30), obtemos
c x − a2 = −a
√
(x− c)2 + y2 . (8.31)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.31), obtemos
(c2 − a2) x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2) . (8.32)
Chamando c2 − a2 = b2, uma vez que c2 − a2 > 0 pois 0 < a < c. Dividindo ambos os
membros da equac¸a˜o (8.32) pelo fator a2 b2, obtemos a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole, que
e´ expressa da seguinte forma:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 para a > 0 e b > 0 . (8.33)
✲
✻
O
r
y
x
F2
s
F1
s
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
P
s
Figura 8.4: Ilustrac¸a˜o da Hipe´rbole definida pela equac¸a˜o (8.33)
Petronio Pulino 349
Considerando os focos da hipe´rbole localizados nos pontos F1 = (0 , −c) e F2 = (0 , −c),
em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ, e impondo a condic¸a˜o dada pela equac¸a˜o
(8.23), a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole fica expressa da seguinte forma:
x2
a2
− y
2
b2
= −1 para a > 0 e b > 0 , (8.34)
como ilustra a Figura 8.5.
✲
✻
O
r
y
x
F2s
F1s
.
...............
...............
..........
................
................
........
................
........
.................
....
.................
.
................
....................
..
.................... .................. ............... ......................... ....................... ..................... ..................... .......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
....................... ..................... ..................... ....................... ......................... ............... .................. ....................
....................
..
................
.................
.
.................
....
................
........
................
................
........
...............
...............
..........
Figura 8.5: Ilustrac¸a˜o da Hipe´rbole definida pela equac¸a˜o (8.34)
O centro de simetria da hipe´rbole e´ o ponto do plano com respeito ao qual os pontos da
hipe´rbole esta˜o situados em pares de pontos sime´tricos. Nesse caso, o centro de simetria e´
o ponto O = (0, 0), que e´ a origem do sistema ortogonal de coordenadas Σ. Os eixos de
simetria da hipe´rbole sa˜o os eixos coordenados do sistema ortogonal de coordenadas Σ.
De um modo geral, a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole com centro de simetria na origem do
sistema ortogonal de coordenadas Σ e focos localizados nos eixos coordenados, e sime´tricos
com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de coordenadas, e´ expressa da forma:
x2
a2
− y
2
b2
= ± 1 ⇐⇒ b2 x2 − a2 y2 = ± a2 b2 . (8.35)
E´ importante observar que consideramos o sinal positivo, no termo da direita da equac¸a˜o
(8.35), quando os focos estiverem localizados no eixo coordenado OX , e o sinal negativo
quando os focos estiverem localizados no eixo coordenado OY .
350 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 8.1.3 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma hipe´rbole degenerada
x2
a2
− y
2
b2
= 0 para a > 0 e b > 0 , (8.36)
que representa no plano IE2 duas retas concorrentes, r e s, definidas pelas equac¸o˜es
r : y =
ba
x e s : y = − b
a
x , (8.37)
como ilustra a Figura 8.6.
✲
✻
r
y
x
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟ r
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
❍s
Figura 8.6: Ilustrac¸a˜o da hipe´rbole degenerada definida no Exemplo 8.1.3
Exemplo 8.1.4 Determine os focos, a distaˆncia focal e apresente um esboc¸o da hipe´rbole
definida pela equac¸a˜o reduzida
3x2 − 5 y2 = −15 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Resoluc¸a˜o – A Resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 8.1.5 Determine os focos, a distaˆncia focal e apresente um esboc¸o da hipe´rbole
definida pela equac¸a˜o reduzida
4x2 − 9 y2 = 36 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Resoluc¸a˜o – A Resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 351
Elementos da Hipe´rbole
Para analisar os elementos da hipe´rbole vamos considerar seus focos localizados nos pontos
F1 = (−c , 0) e F2 = (c , 0), em relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ, uma vez
que d(F1, F2) = 2c. A constante positiva 2c e´ a distaˆncia focal. Nesse caso, a equac¸a˜o
reduzida da hipe´rbole fica expressa da seguinte forma:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ⇐⇒ b2 x2 − a2 y2 = a2 b2 . (8.38)
Na Figura 8.7 ilustramos a hipe´rbole definida pela equac¸a˜o (8.38).
✲
✻
r
y
x
F2
s
F1
s
A′
s
A
s
B′
s
B
s
r
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
s
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
Ds
D′
s
C s
C ′
s
r′s′
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
.
........................................
........................................
........................
.....................
..................
................
......................
....................
..................
...............
.........................
.......................
.....................
.....................
.......................
.........................
...............
..................
....................
......................
................
..................
.....................
........................
........................................
........................................
Figura 8.7: Ilustrac¸a˜o da Hipe´rbole definida pela equac¸a˜o (8.38)
O segmento AA′ e´ denominado de eixo transverso, e o seguimento BB′ e´ denominado
eixo conjugado. Nesse caso, temos os pontos
A = (−a, 0) , A′ = (a, 0) , B = (0,−b) e B′ = (0, b) ,
como ilustra a Figura 8.7.
Os ve´rtices da hipe´rbole sa˜o os pontos nos quais a curva corta o eixo transverso. Nesse
caso, sa˜o os pontos A = (−a, 0) e A′ = (a, 0), que corta o eixo coordenado OX , como
ilustra a Figura 8.7.
A excentricidade da hipe´rbole, que denotamos por e, e´ o valor da raza˜o dada por:
e =
c
a
=
√
a2 + b2
a
> 1 . (8.39)
O conceito de excentricidade esta´ relacionado com a raza˜o entre a distaˆncia de um ponto
qualquer da hipe´rbole a um dos focos e a distaˆncia desse mesmo ponto a diretriz referente a
esse foco.
352 Geometria Anal´ıtica e Vetores
A seguir determinamos as equac¸o˜es das duas diretrizes da hipe´rbole, uma vez que a
hipe´rbole possui dois focos. Vamos obter a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F2 = (c, 0).
Para isso, dividimos ambos os membros da equac¸a˜o (8.26) pela constante c, e organizando
de forma conveniente, obtemos
x − a
e
=
1
e
√
(x− c)2 + y2 ⇐⇒ d(P, r′) = 1
e
d(P, F2) , (8.40)
onde d(P, r′) e´ a distaˆncia do ponto P = (x, y), um ponto qualquer da hipe´rbole, a reta
vertical r′ definida pela equac¸a˜o
r′ : x =
a
e
, (8.41)
que e´ a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F2 = (c, 0), como ilustra a Figura 8.7.
Reescrevendo a equac¸a˜o (8.40) da seguinte forma:
d(P, F2)
d(P, r′)
= e , (8.42)
obtemos uma propriedade das coˆnicas, onde a constante e e´ a excentricidade da hipe´rbole.
Vamos determinar a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F1 = (−c, 0). Para isso, vamos
reescrever a equac¸a˜o (8.29) da seguinte forma:
√
(x− c)2 + y2 =
√
(x+ c)2 + y2 + 2a . (8.43)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equac¸a˜o (8.43), obtemos
−a2 − c x = a
√
(x+ c)2 + y2 . (8.44)
Dividindo ambos os membros da equac¸a˜o (8.44) pela constante c e organizando de forma
conveniente, obtemos
−a
e
− x = 1
e
√
(x+ c)2 + y2 ⇐⇒ d(P, s′) = 1
e
d(P, F1) , (8.45)
onde d(P, s′) e´ a distaˆncia do ponto P = (x, y), um ponto qualquer da hipe´rbole, a reta
vertical s′ definida pela equac¸a˜o
s′ : x = −a
e
, (8.46)
que e´ a equac¸a˜o da diretriz referente ao foco F1 = (−c, 0), como ilustra a Figura 8.7.
Reescrevendo a equac¸a˜o (8.45) da seguinte forma:
d(P, F1)
d(P, s′)
= e , (8.47)
obtemos uma propriedade das coˆnicas, onde a constante e e´ a excentricidade da hipe´rbole.
Petronio Pulino 353
Definic¸a˜o 8.1.3 Considere uma func¸a˜o f : IR −→ IR e uma reta r definida pela equac¸a˜o
r : y = mx + n .
Dizemos que a reta r e´ uma ass´ıntota para a func¸a˜o f se, e somente se,
lim
x→+∞
( f(x) − (mx + n) ) = 0 ou lim
x→−∞
( f(x) − (mx + n) ) = 0
Desse modo, os paraˆmetros m e n sa˜o calculados da seguinte forma:
m = lim
x→+∞
(
f(x)
x
)
ou m = lim
x→−∞
(
f(x)
x
)
n = lim
x→+∞
(f(x) − mx) ou n = lim
x→−∞
(f(x) − mx)
Ale´m disso, caso existam esses limites, para m 6= 0 a reta r e´ uma ass´ıntota obl´ıqua
para a func¸a˜o f , e para m = 0 a reta r e´ uma ass´ıntota horizontal para a func¸a˜o f .
As ass´ıntotas da hipe´rbole sa˜o as retas r e s definidas pelas seguintes equac¸o˜es
r : y =
b
a
x e s : y = − b
a
x , (8.48)
como ilustra a Figura 8.7.
De fato, da equac¸a˜o (8.38), vamos considerar a func¸a˜o f expressa da seguinte forma:
f(x) =
b
a
√
x2 − a2 ou f(x) = − b
a
√
x2 − a2 para | x | ≥ a .
Como a hipe´rbole e´ uma curva sime´trica em relac¸a˜o ao eixo coordenado OX , consideramos
somente uma dessas duas situac¸o˜es.
Assim, os paraˆmetros m e n sa˜o calculados da seguinte forma:
m = lim
x→+∞


b
a
√
x2 − a2
x

 = b
a
ou
m = lim
x→−∞


b
a
√
x2 − a2
x

 = − b
a
n = lim
x→+∞
(
b
a
√
x2 − a2 − b
a
x
)
= 0 ou
n = lim
x→−∞
(
b
a
√
x2 − a2 + b
a
x
)
= 0
Portanto, as ass´ıntotas da hipe´rbole sa˜o as retas r e s definidas pelas equac¸o˜es (8.48).
354 Geometria Anal´ıtica e Vetores
A corda que passa por um dos focos da hipe´rbole e seja perpendicular ao eixo transverso e´
chamada de corda focal mı´nima da hipe´rbole. Na Figura 8.7, os segmentos CC ′ e DD′
sa˜o as duas cordas focais mı´nimas, cujo comprimento e´ dado por:
CC ′ = DD′ =
2 b2
a
. (8.49)
De fato, tomando os focos da hipe´rbole localizados nos pontos F = (± c, 0), e substituindo
o valor da sua abscissa x = ± c no equac¸a˜o (8.38), obtemos as ordenadas dos ponto C, C ′,
D e D′, que sa˜o dadas por:
y = ±
√
b2 c2 − a2 b2
a
= ±
√
b2( c2 − a2 )
a
= ±b
2
a
com 0 < a < c . (8.50)
Desse modo, os pontos C, C ′,D e D′ teˆm as seguintes coordenadas
C =
(
−c , −b
2
a
)
, C ′ =
(
−c , b
2
a
)
, D =
(
c , −b
2
a
)
e D′ =
(
c ,
b2
a
)
.
Portanto, o comprimento das cordas focais mı´nimas e´ dado por:
CC ′ = DD′ =
2 b2
a
. (8.51)
Petronio Pulino 355
8.1.3 Para´bola
Definic¸a˜o 8.1.4 Considere no plano IE2 uma reta r e um ponto F , com F /∈ r. A
para´bola e´ o conjunto dos pontos P ∈ IE2 que distam igualmente do foco F e da diretriz,
definida pela reta r, isto e´,
d(P, F ) = d(P, r) . (8.52)
Vamos deduzir a equac¸a˜o reduzida da para´bola quando seu foco esta´ localizado no ponto
F = (0 , p) e sua diretriz e´ a reta horizontal r definida pela equac¸a˜o
r : y = −p ,
com p um escalar positivo, como ilustra a Figura 8.8. Neste caso, o ve´rtice da para´bola
e´ a origem do sistema de coordenadas Σ = {O , ~e1, ~e2 } e seu eixo de simetria e´ o eixo
coordenado OY .
✲
✻
O
r
y
x
F
r rr
C C ′
r
.
...........
...........
...........
...........
........
...........
...........
...........
...........
.....
...........
...........
...........
...........
.
............
............
............
......
............
............
............
...
............
............
............
............
............
........
.............
.............
....
...............
..............
..................
..........
......................
.....
.......................... ......................... ........................ ........................ .........................
..........................
...........................
............................
.............................
..............................
................................
....................................
.......................................
..........................................
.............................................
.................................................
....................................................
Q
r
Pr
Figura 8.8: Ilustrac¸a˜o da Para´bola definida pela equac¸a˜o (8.52)
Considerando um ponto gene´rico da para´bola P = (x, y) e o ponto Q = (x,−p) ∈ r, e
impondo a condic¸a˜o dada pela equac¸a˜o (8.52), obtemos
d(P, F ) =
√
x2 + (y − p)2 = d(P, r) =
√
(y + p)2 . (8.53)
Para verificar a igualdade entre d(P, F ) e d(P, r), basta verificar que seus quadrados sa˜o
iguais, uma vez que distaˆncia e´ sempre um nu´mero positivo. Assim, tomando o quadrado
das distaˆncias, obtemos a equac¸a˜o
x2 + (y − p)2 = (y + p)2
x2 + y2 − 2 p y + p2 = y2 + 2 p y + p2
1
4p
x2 − y = 0
Portanto, a equac¸a˜o reduzida da para´bola, definida acima, e´ dada por:
1
4p
x2 − y = 0 . (8.54)
356 Geometria Anal´ıtica e Vetores
E´ importante ressaltar que a para´bola definida pela equac¸a˜o (8.54) na˜o possui centro de
simetria, isto e´, na˜o existe nenhum ponto no plano IE2 que satisfaz a condic¸a˜o de centro
de simetria, como podemos observar na Figura 8.8.
A corda que passa pelo foco da para´bola e seja perpendicular ao eixo de simetria e´ chamada
de corda focal mı´nima da para´bola. Na Figura 8.8, o segmento CC ′ e´ a corda focal
mı´nimas, cujo comprimento e´ dado por:
CC ′ = 4p . (8.55)
De fato, da equac¸a˜o (8.54) obtemos as coordenadas dos ponto C e C ′, que sa˜o dadas por:
C = (−2p , p) e C ′ = (2p , p) .
Assim, o comprimento da corda focal mı´nima da para´bola e´ CC ′ = 4p.
A excentricidade da para´bola, que denotamos por e, e´ o valor da raza˜o dada por:
e =
d(P, F )
d(P, r)
= 1 , (8.56)
onde P e´ um ponto qualquer da para´bola, como ilustra a Figura 8.8.
Portanto, como mostramos para cada uma das coˆnicas (elipse, hipe´rbole e para´bola), o
conceito de excentricidade esta´ relacionado com a raza˜o entre a distaˆncia de um ponto
qualquer da coˆnica a um dos focos e a distaˆncia desse mesmo ponto a diretriz referente a
esse foco.
Petronio Pulino 357
Exemplo 8.1.6 Dado o escalar positivo p ∈ IR, mostre que a equac¸a˜o reduzida da para´bola
cujo foco e´ o ponto
F = (p, 0)
e cuja diretriz e´ a reta vertical x = −p, e´ expressa da forma:
4p x − y2 = 0 , (8.57)
e determine o comprimento da corda focal mı´nima. Na Figura 8.9 ilustramos o gra´fico da
para´bola.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
✲
✻
O
r
y
x
F
r
r
.
.................................................
..............................................
...........................................
........................................
.....................................
..................................
...............................
.............................
............................
...........................
..........................
.........................
........................
.......................
.......................
........................
.........................
..........................
...........................
............................
.............................
...............................
..................................
.....................................
........................................
...........................................
..............................................
.................................................
Figura 8.9: Ilustrac¸a˜o da Para´bola definida no Exemplo 8.1.6
Exemplo 8.1.7 Dado o escalar positivo p ∈ IR, mostre que a equac¸a˜o reduzida da para´bola
cujo foco e´ o ponto
F = (−p, 0)
e cuja diretriz e´ a reta vertical x = p, e´ expressa da forma:
4p x + y2 = 0 , (8.58)
e determine o comprimento da corda focal mı´nima. Na Figura 8.10 ilustramos o gra´fico da
para´bola.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
358 Geometria Anal´ıtica e Vetores
✲
✻
O
r
y
x
F
r
r
.
................................................
.............................................
..........................................
.......................................
....................................
.................................
..............................
............................
...........................
..........................
.........................
........................
.......................
......................
......................
.......................
........................
.........................
..........................
...........................
............................
..............................
.................................
....................................
.......................................
..........................................
.............................................
................................................
Figura 8.10: Ilustrac¸a˜o da Para´bola definida no Exemplo 8.1.7
Exemplo 8.1.8 Dado o escalar positivo p ∈ IR, mostre que a equac¸a˜o reduzida da para´bola
cujo foco e´ o ponto
F = (0, −p)
e cuja diretriz e´ a reta horizontal y = p, e´ expressa da forma:
1
4p
x2 + y = 0 , (8.59)
e determine o comprimento da corda focal mı´nima. Na Figura 8.11 ilustramos o gra´fico da
para´bola.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
✲
✻
O
r
y
x
F
r
r
.
.................................................
..............................................
...........................................
........................................
.....................................
..................................
...............................
.............................
............................
.....................................................
.........................
........................ ....................... ....................... ........................ .........................
......................
....
..................
.........
...............
.............
..............
..............
.
.............
.............
.....
............
............
..........
............
............
............
.
............
............
............
....
............
...........
............
........
...........
...........
...........
...........
..
...........
...........
...........
...........
.....
Figura 8.11: Ilustrac¸a˜o da Para´bola definida no Exemplo 8.1.8
Petronio Pulino 359
Exemplo 8.1.9 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma para´bola degenerada
a x2 − b = 0 para a > 0 e b > 0 , (8.60)
que representa no plano IE2 duas retas verticais paralelas, r e s, definidas pelas equac¸o˜es
r : x =
√
b
a
e s : x = −
√
b
a
, (8.61)
como ilustra a Figura 8.12.
✲
✻
O
r
y
x
r
√
b
a
r
s
−
√
b
a
r
Figura 8.12: Ilustrac¸a˜o da para´bola degenerada definida no Exemplo 8.1.9
E´ importante ressaltar que a para´bola degenerada definida pela equac¸a˜o (8.60), que e´ a
reunia˜o de duas retas verticais no plano IE2, possui infinitos centros de simetria, isto e´,
qualquer ponto no eixo coordenado OY satisfaz a condic¸a˜o de centro de simetria, como
podemos observar na Figura 8.12.
Exemplo 8.1.10 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma para´bola degenerada
a x2 + b = 0 para a > 0 e b ≥ 0 , (8.62)
que representa uma reta no plano IE2 para b = 0, ou um conjunto vazio para b 6= 0. Neste
caso, a equac¸a˜o na˜o representa nenhuma curva no plano IE2.
Exemplo 8.1.11 Dado o escalar positivo p ∈ IR, mostre que a equac¸a˜o reduzida da para´bola
cujo foco e´ o ponto
F =
(
0 ,
1
4p
)
e cuja diretriz e´ a reta horizontal y = − 1
4p
, e´ expressa da forma:
p x2 − y = 0 ,
e determine o comprimento da corda focal mı´nima.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
360 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 8.1.12 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma para´bola degenerada
a y2 − b = 0 para a > 0 e b > 0 , (8.63)
que representa no plano IE2 duas retas horizontais paralelas, r e s, definidas pelas equac¸o˜es
r : y =
√
b
a
e s : y = −
√
b
a
, (8.64)
como ilustra a Figura 8.13.
✲
✻
O
r
y
x
r
√
b
a
r
s
−
√
b
a
r
Figura 8.13: Ilustrac¸a˜o da para´bola degenerada definida no Exemplo 8.1.12
E´ importante ressaltar que a para´bola degenerada definida pela equac¸a˜o (8.63), que e´ a
reunia˜o de duas retas horizontais no plano IE2, possui infinitos centros de simetria, isto
e´, qualquer ponto no eixo coordenado OX satisfaz a condic¸a˜o de centro de simetria, como
podemos observar na Figura 8.13.
Exemplo 8.1.13 Na equac¸a˜o abaixo temos o caso de uma para´bola degenerada
a y2 + b = 0 para a > 0 e b ≥ 0 , (8.65)
que representa uma reta no plano IE2 para b = 0, ou um conjunto vazio para b 6= 0. Neste
caso, a equac¸a˜o na˜o representa nenhuma curva no plano IE2.
Exemplo 8.1.14 Determine a equac¸a˜o da para´bola, utilizando a Definic¸a˜o 8.1.4, cujo foco
e´ o ponto F = (2, 4) e a diretriz e´ a reta horizontal r definida pela equac¸a˜o
r : y + 2 = 0 . (8.66)
Determine tambe´m o ve´rtice, o eixo de simetria e o comprimento da corda focal
mı´nima da para´bola.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 361
8.2 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 8.2.1 Determine os comprimentos dos semi–eixos, os focos, os ve´rtices, a
excentricidade, o comprimento da corda focal mı´nima e as equac¸o˜es das diretrizes
da elipse definida pela equac¸a˜o reduzida
4x + 9 y2 = 36 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Exerc´ıcio 8.2.2 Determine os comprimentos dos semi–eixos, os focos, os ve´rtices, a
excentricidade, o comprimento da corda focal mı´nima e as equac¸o˜es das diretrizes
da elipse definida pela equac¸a˜o reduzida
5x + 9 y2 = 45 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Exerc´ıcio 8.2.3 Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse com centro na origem do sistema
ortogonal de coordenadas Σ, cujos focos esta˜o localizados no eixo coordenado OX , e sabendo
que a distaˆncia entre seus focos e´ igual a 2c = 8 e sua excentricidade e´ igual a e =
4
5
.
Exerc´ıcio 8.2.4 Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse com centro na origem do sistema
ortogonal de coordenadas Σ, cujo um dos focos e´ o ponto F2 = (3, 0) , sua excentricidade e´
igual a e =
1
2
e a equac¸a˜o da diretriz, referente a esse foco, e´ dada por:
x = 12 .
Exerc´ıcio 8.2.5 Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse com centro na origem do sistema
ortogonal de coordenadas Σ, cujos focos esta˜o localizados no eixo coordenado OX , e sabendo
que o comprimento do eixo maior e´ igual a 8 e que a distaˆncia entre as diretrizes e´ igual a
16.
Exerc´ıcio 8.2.6 Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse com centro na origem do sistema
ortogonal de coordenadas Σ, cujos focos esta˜o localizados no eixo coordenado OX , e sabendo
que o ponto P =
(
2 ,
5
3
)
pertence a elipse e que sua excentricidade e´ igual a e =
2
3
.
Exerc´ıcio 8.2.7 Determine a distaˆncia do foco F2 = (c, 0) da elipse definida pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ, a diretriz referente a esse foco.
362 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 8.2.8 Determine os focos, os ve´rtices, a excentricidade, o comprimento
da corda focal mı´nima, as equac¸o˜es das diretrizes e as equac¸o˜es das ass´ıntotas da
hipe´rbole definida pela equac¸a˜o reduzida
4x2 − 9 y2 = 36 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Exerc´ıcio 8.2.9 Determine a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole cujos focos esta˜o localizados
no eixo coordenado OX e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de
coordenadas Σ, e sabendo que distaˆncia focal e´ igual a 2c = 20 e as equac¸o˜es de sua
ass´ıntotas sa˜o dadas por:
y = ± 4
3
x.
Exerc´ıcio 8.2.10 Considere a hipe´rbole definida pela equac¸a˜o reduzida
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ. Mostre que a distaˆncia de cada um dos
focos a suas ass´ıntotas e igual a b.
Exerc´ıcio 8.2.11 Determine a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole cujos focos esta˜o localizados
no eixo coordenado OX e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de
coordenadas Σ, e sabendo que as equac¸o˜es de suas ass´ıntotas e de suas diretrizes sa˜o
y = ± 4
3
x e y = ± 16
5
,
respectivamente.
Exerc´ıcio 8.2.12 Determine a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole cujos focos esta˜o localizados
no eixo coordenado OX e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de
coordenadas Σ, e sabendo que as equac¸o˜es de suas ass´ıntotas sa˜o dadas por:
y = ± 2
3
x ,
e que o ponto P =
(
9
2
, −1
)
pertence a hipe´rbole.
Exerc´ıcio 8.2.13 Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos focos esta˜o localizados no eixo
coordenado OX e sa˜o sime´tricos com relac¸a˜o a origem do sistema ortogonal de coordenadas
Σ, e sabendo que o ponto P = (5, 3) pertence a hipe´rbole e que sua excentricidade e´ igual
a e =
√
2.
Exerc´ıcio 8.2.14 Considere a hipe´rbole definida pela equac¸a˜o reduzida
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ. Dizemos que a hipe´rbole e´ equila´tera
quando a = b. Determine a excentricidade e as equac¸o˜es das ass´ıntotas de uma hipe´rbole
equila´tera.
Petronio Pulino 363
Exerc´ıcio 8.2.15 Dado o escalar positivo p ∈ IR, determine a equac¸a˜o da para´bolacujo
foco e´ o ponto
F = (p, p)
e cuja diretriz e´ a reta r definida pela equac¸a˜o x + y = −2p.
Podemos verificar facilmente que o ve´rtice da para´bola e´ a origem do sistema de coordenadas
Σ = {O , ~e1, ~e2 } e seu eixo de simetria e´ a reta s definida pela equac¸a˜o x − y = 0.
Note que o eixo de simetria e a diretriz sa˜o retas perpendiculares.
Exerc´ıcio 8.2.16 Determine a equac¸a˜o da para´bola cujo foco e´ o ponto
F = (0, 4)
e cuja diretriz e´ a reta horizontal definida pela equac¸a˜o y = −4.
Exerc´ıcio 8.2.17 Determine a equac¸a˜o da para´bola cujo foco e´ o ponto
F = (4, 4)
e cuja diretriz e´ a reta horizontal definida pela equac¸a˜o y = −4.
Exerc´ıcio 8.2.18 Determine a equac¸a˜o reduzida da para´bola cujo ve´rtice e´ a origem do
sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O , ~e1, ~e2 } e cuja diretriz e´ a reta horizontal
definida pela equac¸a˜o y = 2.
Exerc´ıcio 8.2.19 Determine o foco, o ve´rtice, a diretriz, o comprimento da corda focal
mı´nima e o eixo de simetria da para´bola definida pela equac¸a˜o reduzida
16x + y2 = 0 ,
com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Exerc´ıcio 8.2.20 Determine o foco F e a equac¸a˜o da diretriz da para´bola definida pela
equac¸a˜o y2 = 24x, com relac¸a˜o ao sistema ortogonal de coordenadas Σ.
Exerc´ıcio 8.2.21 Determine a equac¸a˜o reduzida da para´bola cujo ve´rtice e´ a origem do
sistema ortogonal de coordenadas Σ, o foco e´ o ponto F = (0,−4) e seu eixo de simetria
e´ o eixo coordenado OY .
Exerc´ıcio 8.2.22 Determine a equac¸a˜o da para´bola, utilizando a Definic¸a˜o 8.1.4, cujo foco
e´ o ponto F = (4, 2) e a diretriz e´ a reta vertical r definida pela equac¸a˜o
r : x + 2 = 0 .
Determine tambe´m o ve´rtice, o eixo de simetria e o comprimento da corda focal
mı´nima da para´bola.
364 Geometria Anal´ıtica e Vetores
8.3 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas
Considere o espac¸o de vetores V 2 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2 }, onde
~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) ,
e o sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, ~e1, ~e2 } para o plano IE2, onde o ponto
O = (0, 0) ∈ IE2 e´ a origem para o sistema ortogonal de coordenadas Σ, com o produto
escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 x2 + y1 y2
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =
√
〈 ~u, ~u 〉 =
√
(x1)2 + (y1)2
para todo ~u = (x1 , y1) , ~v = (x2 , y2) ∈ V 2.
Sabemos que qualquer vetor ~v = (x, y) ∈ V 2 e´ expresso de modo u´nico da forma:
~v = x~e1 + y ~e2 ,
e denotamos sua matriz de coordenadas com relac¸a˜o a base canoˆnica β = {~e1, ~e2 } da
seguinte forma:
[~v]β =
[
x
y
]
β
.
Considere o espac¸o de vetores V 2 e uma transformac¸a˜o linear T : V 2 −→ V 2. O conceito
de transformac¸a˜o linear foi apresentado na secc¸a˜o 3.1 na Definic¸a˜o 3.1.2.
Vamos fazer a seguinte colocac¸a˜o:
Problema 8.1 Encontrar os vetores na˜o–nulos no espac¸o de vetores V 2 que sa˜o levados
pela transformac¸a˜o linear T em um mu´ltiplo de si mesmo, isto e´, estamos procurando vetores
~v ∈ V 2, na˜o–nulos, e escalares λ ∈ IR tais que T (~v) = λ~v.
Para os objetivos do texto, consideramos, sem uma argumentac¸a˜o mais formal, que toda
transformac¸a˜o linear:
T : V 2 −→ V 2
~v −→ ~u = T (~v)
(8.67)
tem uma representac¸a˜o matricial da seguinte forma:
[T (~v)]β = A [~v]β ,
para uma determinada matriz A de ordem 2 × 2. No decorrer dessa secc¸a˜o respondemos
as questo˜es colocadas no Problema 8.1 e apresentamos va´rios exemplos, sempre com foco no
resultado de diagonalizac¸a˜o de uma matriz sime´trica.
Petronio Pulino 365
Exemplo 8.3.1 Considere o espac¸o de vetores V 2 e a transformac¸a˜o linear
T : V 2 −→ V 2
~v = (x, y) −→ T (x, y) = (x+ 2y , −y) ,
que matricialmente pode ser expressa da seguinte forma:
[T (v)]β =

1 2
0 −1



x
y


β
=

x + 2y
−y


β
.
Encontre os vetores ~v ∈ V 2, na˜o–nulos, e escalares λ ∈ IR tais que T (~v) = λ~v.
Resoluc¸a˜o – Podemos verificar facilmente que
T (x,−x) = (−x , x) = −1(x , −x) ⇐⇒ T (~v) = −1~v para ~v = (x,−x) .
Desse modo, as condic¸o˜es do Problema 8.1 sa˜o verificadas para λ1 = −1 e para todo vetor
v = (x,−x) ∈ V 2, na˜o–nulos.
Note que, verificamos tambe´m
T (−x, x) = (−x , x) = 1(−x , x) ⇐⇒ T (~v) = 1~v para ~v = (−x, x) .
Desse modo, as condic¸o˜es do Problema 8.1 sa˜o tambe´m verificadas para λ2 = 1 e para
todo vetor v = (−x, x) ∈ V 2, na˜o–nulos.
Exemplo 8.3.2 Considere o espac¸o de vetores V 2 e a transformac¸a˜o linear
T : V 2 −→ V 2
~v = (x, y) −→ T (x, y) = (−x , −y) ,
que matricialmente pode ser expressa da seguinte forma:
[T (v)]β =

−1 0
0 −1



x
y


β
=

−x
−y


β
,
que presenta uma reflexa˜o em torno da origem do sistema ortogonal de coordenadas Σ, que
e´ o ponto O = (0, 0).
Encontre os vetores ~v ∈ V 2, na˜o–nulos, e escalares λ ∈ IR tais que T (~v) = λ~v.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
366 Geometria Anal´ıtica e Vetores
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Definic¸a˜o 8.3.1 Seja A uma matriz de ordem 2×2. Definimos com sendo um autovalor
da matriz A um escalar λ ∈ IR tal que a matriz (A − λ I2) seja singular.
Desse modo, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio
p(λ) = det(A − λ I2 ) , (8.68)
denominado polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A. De fato, como a matriz (A − λ I2)
deve ser singular, o escalar λ deve satisfazer a equac¸a˜o caracter´ıstica
p(λ) = det(A − λ I2 ) = 0 . (8.69)
Podemos verificar facilmente que o polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz A de ordem
2× 2 e´ um polinoˆmio do segundo grau. De fato, podemos escrever o polinoˆmio expresso em
(8.68) da seguinte forma:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
∣∣∣∣∣ = ( a11 − λ ) ( a22 − λ ) − a12 a21 .
E´ importante observar que um polinoˆmio do segundo grau possui duas ra´ızes, que podem
ser reais ou complexas conjugadas. No caso em que as ra´ızes sejam complexas conjugadas,
dizemos que a matriz A na˜o possui autovalores. Essas considerac¸o˜es sera˜o estudadas com
mais profundidade numa disciplina de A´lgebra Linear.
Exemplo 8.3.3 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 1 −1
−4 1

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
1 − λ −1
−4 1 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) − 4 = λ2 − 2λ − 3 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 2λ − 3 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = −1 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possui duas ra´ızes reais, dizemos
que os escalares λ1 = 3 e λ2 = −1 sa˜o os autovalores da matriz A.
Petronio Pulino 367
Exemplo 8.3.4 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

1 −1
6 1

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
1 − λ −1
6 1 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) + 6 = λ2 − 2λ + 5 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 2λ + 5 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
2 ± √4 − 20
2
=
2 ± 4i
2
⇐⇒ λ1 = 1 + 2i e λ2 = 1 − 2i .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possuis ra´ızes complexas conjugadas,
dizemos que a matriz A na˜o possui autovalores.
Exemplo 8.3.5 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

2 1
0 3

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovaloresda matriz A.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Note que A e´ uma matriz triangular superior. Observe quem sa˜o seus autovalores.
Exemplo 8.3.6 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

2 4
1 2

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Note que A e´ uma matriz singular. Observe o que ocorre com seus autovalores.
368 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 8.3.7 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 1 −5
−5 1

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
1 − λ −5
−5 1 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) − 25 = λ2 − 2λ − 24 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 2λ − 24 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
2 ± √4 + 96
2
=
2 ± 10
2
⇐⇒ λ1 = 6 e λ2 = −4 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possui duas ra´ızes reais, dizemos
que os escalares λ1 = 6 e λ2 = −4 sa˜o os autovalores da matriz A.
Exemplo 8.3.8 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 4 −2
−2 7

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
4 − λ −2
−2 7 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 4 − λ ) ( 7 − λ ) − 4 = λ2 − 11λ + 24 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 11λ + 24 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
11 ± √121 − 96
2
=
11 ± 5
2
⇐⇒ λ1 = 8 e λ2 = 3 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possui duas ra´ızes reais, dizemos
que os escalares λ1 = 8 e λ2 = 3 sa˜o os autovalores da matriz A.
Petronio Pulino 369
Exemplo 8.3.9 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

16 12
12 9

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 8.3.10 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

1 2
2 −1

 .
Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Note que tanto no Exemplo 8.3.7 quanto no Exemplo 8.3.8 trabalhamos com matrizes
sime´tricas, e que seus autovalores sa˜o todos reais. Na verdade, queremos mostrar com esses
dois exemplos um resultado muito importante para matriz sime´trica, que sera´ assunto para
uma disciplina de A´lgebra Linear.
Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o seus autovalores sa˜o todos reais.
No momento, para os nossos objetivos, precisamos somente trabalhar com os conceitos e
com os procedimentos para determinar os autovalores e os autovetores de matrizes de ordem
2× 2. Desse modo, apresentamos alguns resultados importantes para matriz sime´trica, que
sa˜o necessa´rios para a classificac¸a˜o de coˆnicas. E´ importante ressaltar que os conceitos e os
resultados apresentados ate´ o momento sa˜o va´lidos para matrizes de ordem n × n, com as
devidas adequac¸o˜es.
Agora comec¸amos a formalizar as respostas das questo˜es apresentadas no Problema 8.1.
Definic¸a˜o 8.3.2 Considere o espac¸o de vetores V 2 e uma transformac¸a˜o linear
T : V 2 −→ V 2
~v −→ T (~v) .
Se existirem vetores ~v ∈ V 2, na˜o–nulos, e escalares λ ∈ IR tais que T (~v) = λ~v, enta˜o
o escalar λ ∈ IR e´ denominado um autovalor de T e o vetor ~v e´ denominado um
autovetor de T associado ao autovalor λ.
Portanto, os escalares e os vetores procurados no Problema 8.1 sa˜o, respectivamente, os
autovalores da transformac¸a˜o linear T e os autovetores associados a esses autovalores. Note
que, se o vetor ~v e´ um autovetor da transformac¸a˜o linear T , enta˜o o vetor T (~v) tem a
mesma direc¸a˜o do vetor ~v, isto e´, os vetores ~v e T (~v) esta˜o na mesma reta suporte.
370 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Teorema 8.3.1 Considere o espac¸o de vetores V 2 e a transformac¸a˜o linear
T : V 2 −→ V 2
~v −→ T (~v) .
Seja ~v ∈ V 2 um autovetor de T associado ao autovalor λ. Enta˜o, qualquer vetor ~w = α~v,
com α ∈ IR na˜o–nulo, tambe´m e´ um autovetor de T associado ao autovalor λ.
Demonstrac¸a˜o – Como T (~v) = λ~v e ~w = α~v, tem–se
T (~w) = T (α~v) = αT (~v) = α (λ~v) = λ (α~v) = λ ~w .
Portanto, o vetor ~w = α~v, com α ∈ IR na˜o–nulo, e´ tambe´m um autovetor de T associado
ao autovalor λ. �
Dada uma matriz A ∈ IM2(IR), definimos a transformac¸a˜o linear TA : V 2 −→ V 2, associada
a matriz A, da seguinte forma:
[TA(~v)]β = A [~v]β para todo ~v ∈ V 2 .
Desse modo, se o escalar λ ∈ IR e´ um autovalor da transformac¸a˜o linear TA e o vetor
~v ∈ V 2 o autovetor associado ao autovalor λ, isto e´,
TA(~v) = λ~v ,
obtemos
[TA(~v)]β = λ [~v]β ⇐⇒ A [~v]β = λ [~v]β .
Assim, podemos apresentar o conceito de autovalor e de autovetor de uma matriz, como
segue abaixo.
Definic¸a˜o 8.3.3 Seja A uma matriz de ordem 2×2. Se existirem elementos X ∈ IM2×1(IR),
na˜o–nulos, e escalares λ ∈ IR tais que AX = λX, enta˜o o escalar λ ∈ IR e´ denominado
um autovalor da matriz A e o elemento X ∈ IM2×1(IR) e´ denominado um autovetor
da matriz A associado ao autovalor λ.
Equivalentemente, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico,
p(λ) = det(A − λ I2) ,
de acordo com a Definic¸a˜o 8.3.1. De fato, como o sistema linear AX = λX deve admitir
soluc¸o˜es na˜o triviais, a matriz A − λ I2 deve ser singular. Equivalentemente, devemos impor
a condic¸a˜o que o escalar λ satisfac¸a a equac¸a˜o caracter´ıstica
p(λ) = det(A − λ I2) = 0 .
Os autovetores da matriz A sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo
(A − λ I2)X = O2×1 ,
onde O2×1 e´ a matriz nula de ordem 2× 1.
Petronio Pulino 371
Portanto, o conceito de autovalores e de autovetores de uma matriz A esta´ relacionado com
o conceito de autovalores e de autovetores da transformac¸a˜o linear TA associada a matriz A.
Finalmente, considerando uma transformac¸a˜o linear TA associada a matriz A. Se o escalar
λ ∈ IR e o elemento X ∈ IM2×1(IR) sa˜o, respectivamente, um autovalor da matriz A e
um autovetor associado ao autovalor λ, enta˜o o vetor ~v ∈ V 2, cuja matriz de coordenadas
em relac¸a˜o a base canoˆnica β e´ dada por [~v]β = X, e´ um autovetor da transformac¸a˜o linear
TA associado ao autovalor λ, isto e´, TA(~v) = λ~v.
Exemplo 8.3.11 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 1 −1
−4 1

 .
Determine os autovalores e os autovetores da matriz A .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
1 − λ −1
−4 1 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) − 4 = λ2 − 2λ − 3 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 2λ − 3 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = −1 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possui duas ra´ızes reais, dizemos
que os escalares λ1 = 3 e λ2 = −1 sa˜o os autovalores da matriz sime´trica A. Logo,
os escalares λ1 e λ2 sa˜o tambe´m os autovalores da transformac¸a˜o linear TA associada a
matriz A, que e´ expressa da seguinte forma:
T : V 2 −→ V 2
~v = (x, y) −→ T (x, y) = (x− y , −4x+ y) .
Vamos calcular os autovetores da matriz A associados ao autovalor λ1 = 3, que denotamos
por X ∈ IM2×1(IR), que sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
1− 3 −1
−4 1− 3
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ 2x + y = 0 .
Assim, os autovetores da matriz A associadosao autovalor λ1 = 3 sa˜o expressos da forma:
X =
[
x
−2x
]
.
372 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Considerando o resultado do Teorema 8.3.1, podemos escolher um representante como sendo
o elemento X1 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X1 =
[
1
−2
]
.
Vamos calcular os autovetores da matriz A associados ao autovalor λ2 = −1, que denotamos
por X ∈ IM2×1(IR), que sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
1 + 1 −1
−4 1 + 1
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ 2x − y = 0 .
Assim, os autovetores da matriz A associados ao autovalor λ2 = −1 sa˜o da forma:
X =
[
x
2x
]
.
Considerando o resultado do Teorema 8.3.1, podemos escolher um representante como sendo
o elemento X2 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X2 =
[
1
2
]
.
Considerando a transformac¸a˜o linear TA associada a matriz A, sabemos que os escalares
λ1 = 3 e λ2 = −1 sa˜o seus autovalores, com ~v1 = (1,−2) e ~v2 = (1, 2) seus autovetores
associados aos autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1, respectivamente.
E´ importante observar que considerando o resultado do Teorema 8.3.1, podemos sempre
escolher um u´nico representante para o autovetor.
Exemplo 8.3.12 Considere a matriz A de ordem 2× 2 dada por:
A =

4 0
3 2

 .
Determine os autovalores e os autovetores da matriz A .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Podemos verificar facilmente que se A e´ uma matriz triangular superior, ou triangular
inferior, seus autovalores sa˜o exatamente os elementos da diagonal principal.
Petronio Pulino 373
Exemplo 8.3.13 Considere a matriz sime´trica A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 4 −2
−2 7

 .
Determine os autovalores e os autovetores da matriz sime´trica A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz sime´trica A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
4 − λ −2
−2 7 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 4 − λ ) ( 7 − λ ) − 4 = λ2 − 11λ + 24 .
Assim, os autovalores da matriz sime´trica A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 11λ + 24 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
11 ± √121 − 96
2
=
11 ± 5
2
⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = 8 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz sime´trica A possui duas ra´ızes reais,
dizemos que os escalares λ1 = 3 e λ2 = 8 sa˜o os autovalores da matriz A. Logo,
os escalares λ1 e λ2 sa˜o tambe´m os autovalores da transformac¸a˜o linear TA associada a
matriz sime´trica A, que e´ expressa da seguinte forma:
T : V 2 −→ V 2
~v = (x, y) −→ T (x, y) = (4x− 2y , −2x+ 7y) .
Os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ1 = 3, que denotamos por
X ∈ IM2×1(IR), sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
4− 3 −2
−2 7− 3
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ x − 2y = 0 .
Assim, os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ1 = 3 sa˜o da forma:
X =
[
2y
y
]
.
Escolhemos um representante como sendo o elemento X1 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X1 =
[
2
1
]
.
Os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ2 = 8, que denotamos por
X ∈ IM2×1(IR), sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
4− 8 −2
−2 7− 8
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ 2x + y = 0 .
374 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Assim, os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ2 = 8 sa˜o da forma:
X =
[
x
−2x
]
.
Escolhemos um representante como sendo o elemento X2 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X2 =
[
1
−2
]
.
Considerando a transformac¸a˜o linear TA associada a matriz sime´trica A, sabemos que os
escalares λ1 = 3 e λ2 = 8 sa˜o seus autovalores, com ~v1 = (2, 1) e ~v2 = (1,−2) seus
autovetores associados aos autovalores λ1 = 8 e λ2 = 3, respectivamente.
Podemos observar que os autovetores ~v1 = (2, 1) e ~v2 = (1,−2) sa˜o ortogonais. Assim,
podemos obter uma base ortonormal γ = { ~q1 , ~q2 } para o espac¸o de vetores V 3 da forma:
~q1 =
~v1
‖~v1 ‖ =
√
5
5
(2, 1) e ~q2 =
~v2
‖~v2 ‖ =
√
5
5
(1,−2) .
Vamos construir uma matriz ortogonal Q ∈ IM2(IR), que denotamos por Q = [ [~q1]β [~q2]β ],
da seguinte forma:
Q =
√
5
5
[
2 1
1 −2
]
. (8.70)
Podemos verificar que a matriz sime´trica A pode ser decomposta da seguinte forma:
A = QDQt , (8.71)
com D ∈ IM2(IR) uma matriz diagonal, onde os elementos da diagonal principal sa˜o os
autovalores da matriz sime´trica A. De fato, fazendo as devidas substituic¸o˜es, obtemos[
4 −2
−2 7
]
=
1
5
[
2 1
1 −2
][
3 0
0 8
][
2 1
1 −2
]
. (8.72)
Equivalentemente, obtemos da decomposic¸a˜o da matriz sime´trica A dada pela relac¸a˜o (8.71),
a diagonalizac¸a˜o da matriz sime´trica A, que e´ expressa da seguinte forma:
QtAQ = D . (8.73)
De fato, fazendo as devidas substituic¸o˜es, obtemos
1
5
[
2 1
1 −2
][
4 −2
−2 7
][
2 1
1 −2
]
=
[
3 0
0 8
]
. (8.74)
Petronio Pulino 375
Exemplo 8.3.14 Considere a matriz sime´trica A de ordem 2× 2 dada por:
A =

 1 −5
−5 1

 .
Determine os autovalores e os autovetores da matriz sime´trica A.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz sime´trica A e´ dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣
1 − λ −5
−5 1 − λ
∣∣∣∣∣ = ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) − 25 = λ2 − 2λ − 24 .
Assim, os autovalores da matriz A sa˜o as ra´ızes reais do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = λ2 − 2λ − 24 .
Sabemos que as ra´ızes do polinoˆmio do segundo grau sa˜o calculadas da forma:
λ =
2 ± √4 + 96
2
=
2 ± 10
2
⇐⇒ λ1 = −4 e λ2 = 6 .
Portanto, como o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A possui duas ra´ızes reais, dizemos que
os escalares λ1 = −4 e λ2 = 6 sa˜o os autovalores da matriz A. Logo, os escalares λ1 e
λ2 sa˜o tambe´m os autovalores da transformac¸a˜o linear TA associada a matriz sime´trica A,
que e´ expressa da seguinte forma:
T : V 2 −→ V 2
~v = (x, y) −→ T (x, y) = (x− 5y , −5x+ y) .
Os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ1 = −4, que denotamos
por X ∈ IM2×1(IR), sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
1 + 4 −5
−5 1 + 4
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ x − y = 0 .
Assim, os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ1 = −4 sa˜o da
forma:
X =
[
x
x
]
.
Escolhemos um representante como sendo o elemento X1 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X1 =
[
1
1
]
.
Os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ2 = 6, que denotamos por
X ∈ IM2×1(IR), sa˜o as soluc¸o˜es na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo[
1− 6 −5
−5 1− 6
][
x
y
]
=
[
0
0
]
⇐⇒ x + y = 0 .
376 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Assim, os autovetores da matriz sime´trica A associados ao autovalor λ2 = 6 sa˜o da forma:
X =
[
x
−x
]
.
Escolhemos um representante como sendo o elemento X2 ∈ IM2×1(IR) dado por:
X2 =
[−1
1
]
.
Considerando a transformac¸a˜o linear TA associada a matriz sime´trica A, sabemos que os
escalares λ1 = −4 e λ2 = 6 sa˜o seus autovalores, com ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (−1, 1) seus
autovetores associados aos autovalores λ1 = −4 e λ2 = 6, respectivamente.
Podemos observar que os autovetores ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (−1, 1) sa˜o ortogonais. Assim,
podemos obter uma base ortonormal γ = { ~q1 , ~q2 } para o espac¸o de vetores V 3 da forma:
~q1 =
~v1
‖~v1 ‖ =
√
2
2
(1, 1) e ~q2 =
~v2
‖~v2 ‖ =
√
2
2
(−1, 1) .
Vamos construir uma matriz ortogonal Q ∈ IM2(IR), que denotamos por Q = [ [~q1]β [~q2]β ],
da seguinte forma:
Q =
√
2
2
[
1 −1
1 1
]
. (8.75)
Podemos verificar que a matriz sime´trica A pode ser decomposta da seguinte forma:
A = QDQt , (8.76)
com D ∈ IM2(IR) uma matriz diagonal, onde os elementos da diagonal principal sa˜o os
autovalores da matriz