Exercícios resolvidos - Limite Fundamental Trigonométrico (sen(x)/x = 1)

Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
1 
 
Usar o limite fundamental e alguns artifícios : 1lim
0
=
® x
senx
x
 
 
1. 
x
x
x sen
lim
0®
= ? à 
x
x
x sen
lim
0®
= 
0
0 , é uma indeterminação. 
x
x
x sen
lim
0®
= 
x
xx sen
1lim
0®
= 
x
x
x
senlim
1
0®
 = 1 logo 
x
x
x sen
lim
0®
= 1 
2. 
x
x
x
4senlim
0®
= ? à 
x
x
x
4senlim
0®
=
0
0 à 
x
x
x 4
4sen.4lim
0®
= 4.
y
y
y
senlim
0®
=4.1= 4 logo 
x
x
x
4senlim
0®
=4 
3. 
x
x
x 2
5senlim
0®
= ? à =
® x
x
x 5
5sen.
2
5lim
0
=
® y
y
y
sen
.
2
5lim
0 2
5 logo 
x
x
x 2
5senlim
0®
=
2
5 
4. 
nx
mx
x
senlim
0®
= ? à 
nx
mx
x
senlim
0®
=
mx
mx
n
m
x
sen.lim
0®
=
n
m .
y
y
y
senlim
0®
=
n
m .1=
n
m logo 
nx
mx
x
senlim
0®
=
n
m 
5. 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
= ? à 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
= =
®
x
x
x
x
x 2sen
3sen
lim
0
=
®
x
x
x
x
x
2
2sen.2
3
3sen.3
lim
0
.
2
3
2
2senlim
3
3senlim
0
0 =
®
®
x
x
x
x
x
x . 1.
2
3
senlim
senlim
0
0
=
®
®
t
t
y
y
t
y = 
2
3 logo 
x
x
x 2sen
3senlim
0®
=
2
3 
6. 
sennx
senmx
x 0
lim
®
= ? à 
nx
mx
x sen
senlim
0®
=
x
nx
x
mx
x sen
sen
lim
0®
= 
nx
nxn
mx
mxm
x sen.
sen.
lim
0®
=
nx
nx
mx
mx
n
m
x sen
sen
.lim
0®
=
n
m Logo 
sennx
senmx
x 0
lim
®
=
n
m 
7. =
® x
tgx
x 0
lim ? à =
® x
tgx
x 0
lim
0
0 à =
® x
tgx
x 0
lim =
® x
x
x
x
cos
sen
lim
0
 =
® xx
x
x
1.
cos
senlim
0
 
xx
x
x cos
1.senlim
0®
 = 
xx
x
xx cos
1lim.senlim
00 ®®
 = 1 Logo =
® x
tgx
x 0
lim 1 
8. ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
= ? à ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
= 
0
0 à Fazendo 
î
í
ì
®
®
-=
0
1
,12
t
x
at à ( )
t
ttg
t 0
lim
®
=1 
logo ( )
1
1lim 2
2
1 -
-
® a
atg
a
=1 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
2 
9. 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
= ? à 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
= 
0
0 à ( )
xx
xxxf
2sen
3sen
+
-
= = 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
xx
x
xx
5sen1.
3sen1.
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
x
xx
x
xx
.5
5sen.51.
.3
3sen.31.
= 
x
x
x
x
.5
5sen.51
.3
3sen.31
+
-
 à 
0
lim
®x
x
x
x
x
.5
5sen.51
.3
3sen.31
+
-
= 
51
31
+
- =
6
2- = 
3
1
- logo 
xx
xx
x 2sen
3senlim
0 +
-
®
=
3
1
- 
10. 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
= ? à 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
= 
xx
x
xx
x
x cos1
1.sen.
cos
1.senlim
2
2
0 +®
=
2
1 
( )
3
sen
x
xtgx
xf
-
= = 3
sen
cos
sen
x
x
x
x
-
=
3
cos
cos.sensen
x
x
xxx -
= ( )
xx
xx
cos.
cos1.sen
3
- =
x
x
xx
x
cos
cos1.1.sen 2
- =
x
x
x
x
xx
x
cos1
cos1.
cos
cos1.1.sen
2 +
+- =
xx
x
xx
x
cos1
1.cos1.
cos
1.sen 2
2
+
- =
xx
x
xx
x
cos1
1.sen.
cos
1.sen
2
2
+
 
Logo 30
senlim
x
xtgx
x
-
®
=
2
1 
11. 30
sen11
lim
x
xtgx
x
+-+
®
=? à 
xtgxx
xtgx
x sen11
1.senlim 30 +++
-
®
= 
xtgxxx
x
xx
x
x sen11
1.
cos1
1.sen.
cos
1.senlim 2
2
0 ++++®
=
2
1.
2
1.
1
1.
1
1.1 =
4
1 
( )
3
11
x
senxtgx
xf
+-+
= =
xtgxx
xtgx
sen11
1.sen11 3 +++
--+ =
xtgxx
xtgx
sen11
1.sen3 +++
- 
30
sen11
lim
x
xtgx
x
+-+
®
=
4
1 
12. 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = ? à 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
®
2
.2
2
cos.
2
sen2
lim
ax
axax
ax
= 
1
2
cos.
.
2
.2
)
2
sen(2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
®
ax
ax
ax
ax
= acos Logo 
ax
ax
ax -
-
®
sensenlim = cosa 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
3 
13. ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
= ? à ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
= 
1
2
cos.
.
2
.2
2
sen2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ ++
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -+
®
xax
ax
xax
aa
= 
1
2
2cos.
.
2
.2
2
sen2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
®
ax
a
a
aa
= xcos Logo ( )
a
xax
a
sensenlim
0
-+
®
=cosx 
14. ( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
= ? à ( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
= 
a
xaxxax
a
÷
ø
ö
ç
è
æ --
÷
ø
ö
ç
è
æ ++-
®
2
sen.
2
sen2
lim
0
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
2
.2
2
sen.
2
2sen.2
lim
0 a
aax
a
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
2
2
sen
.
2
2senlim
0 a
a
ax
a
= xsen- Logo 
( )
a
xax
a
coscoslim
0
-+
®
=-senx 
15. 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = ? à 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = 
ax
ax
ax -
-
®
cos
1
cos
1
lim = 
ax
ax
xa
ax -
-
®
cos.cos
coscos
lim = 
( ) axax
xa
ax cos.cos.
coscoslim
-
-
®
= ( ) axax
xaxa
ax cos.cos.
2
sen.
2
sen.2
lim
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
= 
axxa
xaxa
ax cos.cos
1.
2
.2
2
sen
.
1
2
sen.2
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ --
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
®
= 
axxa
xaxa
ax cos.cos
1.
2
2
sen
.
1
2
sen
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ +
®
= 
aa
a
cos.cos
1.1.
1
sen = 
aa
a
cos
1.
cos
sen = atga sec. Logo 
ax
ax
ax -
-
®
secseclim = atga sec. 
16. 
x
x
x sec1
lim
2
0 -®
= ? à 
x
x
x sec1
lim
2
0 -®
= 
( )xxx
xx
cos1
1.
cos
1.sen
1lim
2
20
+
-
®
= 2- 
( )
x
xxf
cos
11
2
-
= =
x
x
x
cos
1cos
2
-
= ( )x
xx
cos1.1
cos.2
--
= ( ) ( )
( )x
x
xx
x
cos1
cos1.
cos
1.cos1
1
2 +
+-
-
 = 
( )xxx
x
cos1
1.
cos
1.cos1
1
2
2
+
-
-
= 
( )xxx
x
cos1
1.
cos
1.sen
1
2
2
+
-
 
Limites Trigonométricos Resolvidos 
Sete páginas e 34 limites resolvidos 
 
 
4 
17. 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1
lim
4
p
= ? à 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1lim
4
p
= 
tgx
tgx
x -
-
® 1
11
lim
4
p
 =
tgx
tgx
tgx
x -
-
® 1
1
lim
4
p
= 
tgx
tgx
tgx
x -
--
® 1
)1.(1
lim
4
p
=
tgxx
1lim
4
-
®
p
= 1- Logo 
tgx
gx
x -
-
® 1
cot1
lim
4
p
= -1 
18. 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
= ? à 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
= ( )( )
x
xxx
x 2
2
0 cos1
coscos1.cos1lim
-
++-
®
= 
( )( )
( )( )xx
xxx
x cos1.cos1
coscos1.cos1lim
2
0 +-
++-
®
=
x
xx
x cos1
coscos1lim
2
0 +
++
®
=
2
3 Logo 
x
x
x 2
3
0 sen
cos1lim -
®
=
2
3