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Distribuição Exponencial

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Distribuição Exponencial

A Distribuição Exponencial se caracteriza é a única com a propriedade de possuir uma função de taxa de falha constante. Ela possui uma expressão simples e tem sido utilizada com frequência como um modelo para o tempo de vida para produtos e materiais, como por exemplo: óleos isolantes e dielétricos.


Definição

É dito que a variável aleatória ?X possui uma Distribuição Exponencial com parâmetro ?λ, se e somente se, sua Função Densidade de Probabilidade (?FDP) for expressa por:


?f(x)={alignedλeλx se x00 se xlt;0


em que ?λ é o parâmetro que representa a taxa da distribuição e deve ser sempre positivo ?(λ>0) . Portanto, uma interpretação para esse distribuição seria que ?λ é o tempo médio de vida e ?x o tempo de falha. Para o correto uso desta interpretação é importante que ?λ e ?x tenham a mesma unidade. Desta forma, se ?x é medido em minutos, ?λ também deve ser medido em minutos.

A seguir, a ?FDP da Distruibuição Exponecial é ilustrada para diferentes valores de ?λ:



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Neste gráfico é mostrado a ?FDP para diferentes valores de ?λ.

Dada a expressão da ?FDP é possível encontrar a sua Função de Distribuição Acumulada (?FDA), através da seguinte integral:


?F(x)=0xf(s)ds


Desta forma encontramos a ?FDA como sendo:


?F(x)={aligned1eλx se x00se xlt;0


Uma variável que segue a distribuição exponencial possui, geralmente, a seguinte notação ?X Exp(λ).



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Neste gráfico é mostrado a ?FDA para diferentes valores de ?λ.

É possível utilizar outra parametrização para expressar a ?FDP da Distribuição Exponencial, considere a seguinte parametrização:


?f(x)={aligneddfrac1βedfracxβ se x00 se xlt; 0


Desta forma, ?β é o novo parâmetro de escala da distribuição e por sua definição ele é o inverso do parâmetro taxa ?λ, deste modo, podemos escrever que:


?β=dfrac1λeβ>0


Nesta parametrização, a variável aleatória ?X pode ser considerada como a duração de tempo em que um sistema mecânico ou biológico sobrevive.


Relação com a Função Gama

É possível notar que a Distribuição Exponencial é um caso particular da Distribuição Gama, pois dado uma variável aleatória ?Y que possui uma distribuição ?Γ(α,β) , sua FDP será dada por:


?f(y)={aligneddfracβyα1eβyΓ(α) hspace1cmse y00 hspace3cm se ylt;0


portanto,podemos observar que:


?parahspace1cmX Exp(λ)hspace1cmtemoshspace1cmX Gama(1,λ)



Função Geradora de Momentos

Seja ?X um variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro ?λ. Então sua função geradora de momentos é dada por:


?MX(t)=𝔼(etX)=0λeλxdx=0λe(tλ)x=dfracλλt



Primeiro e Segundo Momento

Com a expressão da função geradora de momentos podemos encontrar o valor do primeiro e segundo momentos facilmente.


Primeiro Momento

O primeiro momento, também conhecido como valor esperado ou média, pode ser encontrado como:


?MX(t=0)'=𝔼(X)=dfracλ(λt)2r|t=0=dfrac1λ



Segundo Momento

De forma similar, o segundo momento, também conhecido como variância, pode ser encontrado como:


?MX(t=0)''=𝔼(X2)=dfrac2λ(λt)3r|t=0=dfrac2λ2