Distribuição Exponencial

A Distribuição Exponencial se caracteriza é a única com a propriedade de possuir uma função de taxa de falha constante. Ela possui uma expressão simples e tem sido utilizada com frequência como um modelo para o tempo de vida para produtos e materiais, como por exemplo: óleos isolantes e dielétricos.

Definição

É dito que a variável aleatória ?$X$ possui uma Distribuição Exponencial com parâmetro ?$\lambda$, se e somente se, sua Função Densidade de Probabilidade (?$FDP$) for expressa por:

?$f\left(x\right)=\{\mathrm{aligned}\lambda e^{-\lambda x}sex\ge 00sexlt;0$

em que ?$\lambda$ é o parâmetro que representa a taxa da distribuição e deve ser sempre positivo ?$(\lambda \>0)$ . Portanto, uma interpretação para esse distribuição seria que ?$\lambda$ é o tempo médio de vida e ?$x$ o tempo de falha. Para o correto uso desta interpretação é importante que ?$\lambda$ e ?$x$ tenham a mesma unidade. Desta forma, se ?$x$ é medido em minutos, ?$\lambda$ também deve ser medido em minutos.

A seguir, a ?$FDP$ da Distruibuição Exponecial é ilustrada para diferentes valores de ?$\lambda$:

Neste gráfico é mostrado a ?$FDP$ para diferentes valores de ?$\lambda$.

Dada a expressão da ?$FDP$ é possível encontrar a sua Função de Distribuição Acumulada (?$FDA$), através da seguinte integral:

?$F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(s\right)ds$

Desta forma encontramos a ?$FDA$ como sendo:

?$F\left(x\right)=\{\mathrm{aligned}1{-e}^{-\lambda x}sex\ge 00sexlt;0$

Uma variável que segue a distribuição exponencial possui, geralmente, a seguinte notação ?$X\sim Exp\left(\lambda \right)$.

Neste gráfico é mostrado a ?$FDA$ para diferentes valores de ?$\lambda$.

É possível utilizar outra parametrização para expressar a ?$FDP$ da Distribuição Exponencial, considere a seguinte parametrização:

?$f\left(x\right)=\{\mathrm{aligned}\mathrm{dfrac}1\beta e^{-\mathrm{dfrac}x\beta }sex\ge 00sexlt;0$

Desta forma, ?$\beta$ é o novo parâmetro de escala da distribuição e por sua definição ele é o inverso do parâmetro taxa ?$\lambda$, deste modo, podemos escrever que:

?$\beta =\mathrm{dfrac}1\lambda e\beta \>0$

Nesta parametrização, a variável aleatória ?$X$ pode ser considerada como a duração de tempo em que um sistema mecânico ou biológico sobrevive.

Relação com a Função Gama

É possível notar que a Distribuição Exponencial é um caso particular da Distribuição Gama, pois dado uma variável aleatória ?$Y$ que possui uma distribuição ?$\Gamma \left(\alpha ,\beta \right)$ , sua FDP será dada por:

?$f\left(y\right)=\{\mathrm{aligned}\mathrm{dfrac}\beta y^{\alpha -1}{e}^{-\beta y}\Gamma \left(\alpha \right)\mathrm{hspace}1cmsey\ge 00\mathrm{hspace}3cmseylt;0$

portanto,podemos observar que:

?$para\mathrm{hspace}1cmX\sim Exp\left(\lambda \right)\mathrm{hspace}1cmtemos\mathrm{hspace}1cmX\sim Gama\left(1,\lambda \right)$

Função Geradora de Momentos

Seja ?$X$ um variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro ?$\lambda$. Então sua função geradora de momentos é dada por:

?$M_X\left(t\right)=𝔼\left(e^{tX}\right)={\int }_0^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx={\int }_0^{\infty }\lambda e^{(t-\lambda )x}=\mathrm{dfrac}\lambda \lambda -t$

Primeiro e Segundo Momento

Com a expressão da função geradora de momentos podemos encontrar o valor do primeiro e segundo momentos facilmente.

Primeiro Momento

O primeiro momento, também conhecido como valor esperado ou média, pode ser encontrado como:

?$M_X(t=0)\&\#x27;=𝔼\left(X\right)=\mathrm{dfrac}\lambda (\lambda -t{)}^{2}r{|}_{t=0}=\mathrm{dfrac}1\lambda$

Segundo Momento

De forma similar, o segundo momento, também conhecido como variância, pode ser encontrado como:

?$M_X(t=0)\&\#x27;\&\#x27;=𝔼\left(X^2\right)=\mathrm{dfrac}2\lambda (\lambda -t{)}^{3}r{|}_{t=0}=\mathrm{dfrac}2{\lambda }^2$