Fundamentos Gerais Sobre Funções 2

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FUNDAMENTOS GERAIS SOBRE FUNÇÕES
Aula 1
FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
Funções afim e quadrática
Olá, estudante! Nesta videoaula você conhecerá os conceitos básicos envolvendo as funções, com destaque para as características
das funções afim e quadrática, que são parte da classe das funções polinomiais.
Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois o conceito de função pode ser empregado quando desejamos
descrever relações existentes entre variáveis, as quais podem estar presentes em múltiplos contextos.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!
Ponto de Partida
Estudante, desejamos a você boas-vindas! Vamos iniciar nossos estudos a respeito do conceito de função, o qual está presente em
diversas situações, especificamente quando podemos interpretá-las como um tipo de relação entre duas variáveis, considerando os
mais diversos contextos nos quais elas estão inseridas. Entre os diversos tipos de funções vamos destacar as funções afim e
quadrática, ambas do tipo polinomiais.
Para favorecer esse estudo, vamos analisar a seguinte problemática. Um grupo de empresários, proprietários de uma empresa de
transporte por aplicativo, está buscando uma parceria com empresas locadoras de veículos para seus associados. Em suas buscas,
eles localizaram duas possíveis parceiras: a AluCar e a LocMotors. Essas locadoras cobram suas tarifas da seguinte forma:
A tarifa mensal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela Alucar corresponde a um valor fixo de R$ 320,00
acrescido de R$ 0,30 por quilômetro rodado.
A tarifa mensal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela LocMotors é composta de um valor fixo de R$ 140,00
acrescido de R$ 0,45 por quilômetro rodado.
Em quais condições compensa escolher uma ou outra empresa para a locação de veículos?
Assim, para a resolução da situação apresentada, prossiga em seus estudos, tomando como referência as propriedades das
funções e selecionando a categoria de função mais adequada para a solução desse problema. 
Vamos Começar!
Em nosso cotidiano nos deparamos com várias situações nas quais devemos relacionar variáveis entre si, por exemplo, quando
comparamos as quantidades de combustível consumidas por um automóvel com as distâncias percorridas. Esse tipo de situação
pode ser estudada por meio do conceito de função, o qual permite associar duas variáveis entre si. Vejamos a seguir como podemos
definir uma função e quais as possíveis representações.
Introdução às funções
Uma função f corresponde a uma regra que associa cada elemento x , pertencente a um conjunto D , a um único elemento f ( )x ,
pertencente a um conjunto E . Nesse caso, podemos empregar a representação F:D→E . Para que seja definida uma função, cada
elemento do conjunto D deve estar relacionado somente a um elemento de E . Uma representação possível para uma função é o
diagrama de flechas, conforme Figura 1.
Figura 1 | Diagrama de flechas para uma função f
No diagrama de flechas da Figura 1 apresentamos os dois conjuntos, D e E empregados na construção da função, e as relações
existentes entre seus elementos por meio de flechas.
No estudo de uma função f :D→E , o conjunto D é chamado de domínio de função, no qual são indicados os possíveis valores
assumidos pela variável independente, a qual pode ser representada por x . O conjunto E , por sua vez, consiste no contradomínio da
função, no qual é estudada a variável dependente. Além disso, os possíveis valores de f (x) , obtidos ao variar x por todo o domínio,
pertencem a um subconjunto de E chamado de imagem de f . As funções, conforme a definição apresentada, podem ser chamadas
também de funções de uma variável, visto que temos a presença de uma única variável independente.
Além do diagrama de flechas, podemos representar as funções a partir de gráficos, os quais permitem analisar o comportamento da
função, observando como se relacionam as variáveis dependente e independente. O gráfico de uma função f :D→E corresponde a
um conjunto de pares ordenados ( )x,y em que y= f (x) , com x pertencente ao domínio da função. Esse conjunto pode ser descrito
como G= { }( )x,f ( )x ;x∈D . Desse modo, partindo do plano cartesiano, a construção de um gráfico envolve a identificação dos pares
ordenados envolvendo os valores do domínio com suas imagens correspondentes. Na Figura 2 podemos observar um exemplo de
gráfico, associado a uma função f, observando o domínio e a imagem correspondentes.
Figura 2 | Gráfico da função f :D→E
Nas representações gráficas, como é o caso da Figura 2, os pares ordenados sempre são identificados de modo que os elementos
do domínio sejam representados a partir do eixo das abscissas (horizontal), denominado eixo x , e a imagem seja descrita a partir do
eixo das ordenadas (vertical), descrito como eixo y . Também temos a possibilidade de estudar funções definidas a partir de uma
tabela de valores, ou ainda a partir de uma expressão matemática que a caracteriza. Um exemplo de função representada
algebricamente consiste em:
f :ℝ→ℝ
x↦x+1
Nesse caso, para cada x , número real, sua imagem é tal que f ( )x =x+1. A expressão f( )x =x+1 como a regra ou a lei de formação da
função, a qual deve ser apresentada em conjunto com domínio e contradomínio adequados. A representação gráfica para essa
função é apresentada na Figura 3.
Figura 3 | Representação gráfica para f , com f ( )x =x+1
Além disso, podemos construir uma tabela de valores associados à f , conforme a Tabela 1, de modo a estudar a função em certos
pontos de seu domínio.
Tabela 1 | Valores correspondente à função f , com f ( )x =x+1
Além dessas propriedades, de acordo com a lei de formação de uma função, podemos construir categorias específicas, das quais
podemos destacar as funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, entre outras.
Uma função polinomial consiste em uma função f :R→R cuja lei de formação é dada por 
f ( )x =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+an−1xn−1+anxn , sendo n um número inteiro não negativo e os números a0,a1,a2,…,an são constantes
denominadas coeficientes do polinômio. Desde que o coeficiente dominante an seja diferente de zero, então o grau do polinômio é
igual a n . No conjunto das funções polinomiais podemos destacar duas subcategorias importantes: o conjunto das funções
x f (x)
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
polinomiais de grau 1, chamadas de funções afim, e as funções polinomiais de grau 2, denominadas funções quadráticas, as quais
são apresentadas a seguir.
 
Siga em Frente...
Função afim
Uma função f :ℝ→ℝ cuja lei de formação é f ( )x =ax+b , com a e b números reais, é denominada função polinomial de 1º grau ou
função afim. A constante real a é denominada coeficiente angular e b é chamada de coeficiente linear. O gráfico que descreve uma
função dessa classe é representado por uma reta no plano cartesiano, o que permite o emprego desse tipo de função na
representação de fenômenos com característica linear, como é o caso do valor pago por uma quantidade específica de unidades de
um mesmo produto, por exemplo, considerando a ausência de descontos. Por exemplo, a função f :ℝ→ℝ com f ( )x =2x−1 é afim,
cujo gráfico é ilustrado na Figura 4.
Figura 4 | Gráfico da função real f com lei de formação f ( )x =2x−1
No conjunto das funções afim, podemos ainda destacar os seguintes casos particulares:
Função linear: apresenta lei de formação na forma f ( )x =ax , com a um número real.
Função constante: apresenta lei de formação como f ( )x =b , com b um número real.
O gráfico de uma função linear pode ser identificado como uma reta que passa pela origem, isto é, que contém o par ordenado ,
enquanto o gráfico de uma função constante corresponde a uma reta paralela ao eixo x.
O estudo do crescimento e decrescimento de funções afim pode ser realizado com base no coeficiente angular associado, de modo
que em uma função crescente o coeficiente angular é positivo ( )a >0 , e na função decrescente o coeficiente angular é negativo 
( )a <0 .
Além disso, independentemente do crescimento ou decrescimentoda função, um valor x∈ℝ, no domínio de uma função afim, é
chamado de raiz da função quando f ( )x =0, o qual é caracterizado, graficamente, como a interseção do gráfico da função com o
eixo x .
Além das funções afim, uma outra classe importante de funções polinomiais corresponde nas funções polinomiais de 2º grau ou
funções quadráticas.
Função quadrática
Uma função f :ℝ→ℝ cuja lei de formação é f ( )x =ax2+bx+c , com a , b e c números reais e a≠0, é denominada função polinomial de
2º grau ou função quadrática. O gráfico que descreve uma função dessa classe é representado por uma parábola no plano
cartesiano. Por exemplo, a função f :ℝ→ℝ com f ( )x =2x2+x−1 é uma função quadrática, cujo gráfico é ilustrado na Figura 5.
Figura 5 | Gráfico da função real f com lei de formação f ( )x =2x2+x−1
O coeficiente a , do termo de grau 2, é responsável por indicar o comportamento da parábola em relação à sua concavidade.
Quando a >0 a parábola que representa graficamente a função quadrática tem concavidade voltada para cima, enquanto a <0
 indica que a parábola terá concavidade voltada para baixo.
Também podemos estudar as raízes associadas a funções quadráticas considerando, de modo análogo às funções afim, que x∈ℝ
 no domínio da função f é uma raiz quando f ( )x =0. Sendo assim, x é uma raiz quando for solução da equação de 2º grau na forma 
x2+bx+c=0. Para estudar os tipos de raízes que uma função quadrática pode apresentar podemos estudar o discriminante 
( )Δ=b2−4 ⋅ a ⋅ c . A partir do discriminante podemos inferir que a função quadrática apresentará:
Duas raízes reais distintas quando o discriminante for positivo ( )Δ>0 .
Duas raízes reais e iguais, ou uma raiz de multiplicidade 2, quando o discriminante for nulo ( )Δ=0 .
Duas raízes complexas conjugadas quando o discriminante for negativo ( )Δ<0 .
As raízes podem ser obtidas a partir do estudo da equação de 2º grau associada, possibilitando o emprego da fórmula resolutiva
para equações do 2º grau na forma x= −b± Δ
2 ⋅ a
. Combinando as análises em relação à raízes e concavidade, podemos identificar
uma das seis possibilidades para o gráfico da função quadrática, conforme situações ilustradas na Figura 6.
Figura 6 | Estudo do sinal e das raízes de uma função quadrática
Além das propriedades já estudadas, outro elemento que se faz presente no gráfico de uma função quadrática é o vértice, o qual
consiste no ponto em que o gráfico altera entre os comportamentos de crescimento e decrescimento. O vértice corresponde a um
ponto de coordenadas ( )xv,yv em que xv=−
b
2 ⋅ a
 e y=− Δ
4 ⋅ a
. Note que o vértice pode corresponder a um valor mínimo, quando a
parábola tem concavidade voltada para cima, ou máximo, se a concavidade é voltada para baixo, dependendo da lei de formação e
do domínio da função.
O conhecimento do conceito de função e suas propriedades é essencial quando desejamos interpretar fenômenos por meio dos
recursos matemáticos, principalmente quando podemos identificar relações entre variáveis, sejam essas situações provenientes de
contextos matemáticos ou de outras áreas do conhecimento. 
Vamos Exercitar?
Para solucionar o problema apresentado, envolvendo as locadoras de veículos, vamos descrevê-las por meio de uma função. Nesse
caso, vamos utilizar a representação q para a quantidade de quilômetros rodados mensalmente no estudo de cada empresa.
Considerando a empresa Alucar, o cálculo da tarifa TA pode ser feito por meio de uma função afim, cuja lei de formação é 
TA ( )q =0,30q+320, sendo seu domínio dado por ℝ+= { }x∈ ℝ;x≥0 . Nesse sentido, temos a notação:
TA:ℝ+→ℝ
q↦0,30q+320
Por outro lado, no caso da empresa LocMotors, a tarifa TL pode ser calculada por TL ( )q =0,45q+140 , com o mesmo domínio da
anterior, e de tal modo que:
TL :ℝ+→ℝ
q↦0,45q+140
Observe que ambas as funções são afim, ou polinomiais de 1º grau. Construindo as representações para elas em um mesmo plano
cartesiano, podemos obter o gráfico conforme a Figura 7, em que o eixo das abscissas indica a quilometragem e o das ordenadas, o
custo.
Figura 7 | Comparações entre os planos para locação de veículos
A partir do gráfico da Figura 7, podemos observar que há uma interseção em q=1200, ou seja, para 1200 km percorridos, o preço
pago do aluguel é o mesmo, de modo que a LocMotors compensa para trajetos inferiores a 1200 km, e a Alucar, para trajetos
superiores a 1200 km. Isso também pode ser avaliado igualando as leis de formação de ambas as funções (mesma tarifa), ou
recorrendo a inequações, o que conclui a solução do problema. 
 
 
Saiba Mais
Um material bastante interessante para o estudo dos conceitos iniciais envolvendo as funções é o livro Pré-Cálculo de Sheldon
Axler. Nessa obra, consulte as seções 1.1 Funções e 1.2 O plano das coordenadas e os gráficos, nas páginas 39 e 65, em que você
poderá observar outras abordagens que complementam as discussões sobre o conceito de função, com outros exemplos, além de
um estudo mais aprofundado acerca dos gráficos.
As funções afins consistem em uma das principais categorias de funções e que podem ser associadas a fenômenos que possuem
comportamentos lineares. Para favorecer os estudos sobre esse tema, acesse a seção 3.7 Funções usuais, do livro Pré-Cálculo, de
Francisco M. Gomes. No trecho localizado entre as páginas 277 e 279 você encontrará definições e propriedades importantes, bem
como exemplos que podem auxiliar no estudo dessa categoria de funções.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521632153/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover]!/4/2/2%4051:39
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522127900/pageid/0
Outra sugestão de material complementar é o capítulo 5, intitulado Função quadrática, do livro Matemática básica para cursos
superiores, de autoria de Sebastião M. da Silva, Elio M. da Silva e Ermes M. da Silva. No trecho entre as páginas 81 a 86 você
estudará conceitos essenciais associados às funções quadráticas, com destaque para a construção dos gráficos considerando seus
elementos.
 
 
Referências Bibliográficas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2018. 
Aula 2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função exponencial
Olá, estudante! Nesta videoaula você conhecerá as propriedades das funções exponenciais, tendo em vista a definição formal de
função.
Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois esse tipo de função está presente em problemas que apresentam
crescimentos ou decrescimentos rápidos, sendo bastante empregados em fenômenos envolvendo a proliferação de bactérias, o
estudo de radiação, os problemas populacionais, entre outros contextos.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788597016659/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover]!/4/2/2%4051:39
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788597016659/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover]!/4/2/2%4051:39
Ponto de Partida
Desejamos a você boas-vindas! Nesta aula vamos investigar as características da função exponencial, tomando como referência o
estudo das potências e suas propriedades, visto que essa é a base do estudo de funções dessa natureza. Analisaremos, além da
definição, o comportamento gráfico dessas funções e as equações exponenciais.
Muitas são as aplicações das funções exponenciais em problemas reais, sendo uma das mais conhecidas o estudo da meia-vida de
uma substância. Por exemplo, quando precisamos fazer um tratamento para a saúde com um medicamento, as dosagens e os
intervalos de tempo para o consumo são calculadosem função do volume corporal e sanguíneo do paciente, bem como do
metabolismo e da velocidade de excreção dessa substância pelo corpo. Esse tipo de modelo também pode ser empregado em
outras circunstâncias, como no estudo de fósseis, decaimento radioativo, entre outros.
A meia-vida de uma substância corresponde ao tempo necessário para que a quantidade dessa substância seja reduzida à metade
da quantidade no instante anterior. Assim, se o tempo de meia-vida de um medicamento é de 8 horas, por exemplo, a cada 8 horas
a quantidade de medicamento no corpo do paciente é reduzida à metade.
Suponha que um paciente ingeriu um medicamento, em dose única, por meio de um comprimido cuja concentração é de 1 g. Se a
meia-vida desse medicamento é de 8 horas, e sabendo que esse comprimido é a única fonte desse medicamento no organismo do
paciente, em quanto tempo a quantidade desse medicamento no corpo do paciente será de 0,015625 g, ou 15,625 mg?
Prossiga em seus estudos e confira conceitos que podem auxiliá-lo na solução dessa situação. 
Vamos Começar!
Com base no estudo das potências, podemos investigar o conceito de função exponencial. Para isso, precisamos relembrar que
função corresponde a uma relação especial definida entre conjuntos, geralmente estabelecida por meio de uma regra, de modo que
cada elemento do domínio esteja associado de forma única a um elemento do contradomínio. Dessa forma, vejamos a seguir as
características de uma função exponencial.
Função exponencial
A função exponencial de base a é definida por f ( )x =ax , sendo a >0, a≠1 e x um número real qualquer. Nesse sentido, podemos
estruturar essa função da seguinte forma:
f :ℝ→ℝ
x↦ax, a >0 e a≠1
Observação: devemos exigir a >0 para garantir que a função esteja definida para todo x∈ℝ , pois lembre-se de que, por exemplo,
se x= 1
2
 então a
1
2 = a , o qual não está definido para a negativo. Além disso, devemos ter a diferente de 1 porque, caso contrário,
teríamos a função constante f ( )x =1x .
Note que x pode ser tanto racional quanto irracional, então são válidos todos os procedimentos envolvendo potências de expoente
natural, inteiro, racional, além das aproximações obtidas pela calculadora científica para os expoentes irracionais.
Considere, por exemplo, a função f :ℝ→ℝ definida por f ( )x =5x . Podemos calcular as imagens para os elementos do domínio de f
 por meio de sua lei de formação. Note que:
Assim, podemos calcular imagens para qualquer elemento do domínio, sendo ele um número racional ou irracional.
Vamos agora esboçar o gráfico da função f ( )x =5x. Para isso, podemos construir uma tabela e identificar alguns valores de em
conjunto com suas imagens pela função f . Confira essas informações na Tabela 1.
Dispondo os pontos da Tabela 1 em um plano cartesiano, podemos construir o gráfico, conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1 | Esboço para o gráfico de f ( )x =5x
Esse recurso da tabela pode ser utilizado na construção de gráficos de quaisquer categorias de funções, sendo interessante aliá-lo a
um conhecimento prévio a respeito do perfil gráfico das diferentes funções. Vejamos na sequência um estudo mais generalizado
acerca do gráfico de uma função exponencial.
f ( )5 =51=5
f ( )1,5 =51,5≈ 11,18
f ( )−3 =5−3=
1
53 =
1
125
f ( )3 =5 3≈16,24
x -3 -2 -1 0 1
f ( )x =5x 5−3=
1
125
=0,008 5−2=
1
25
=0,04 5−1=
1
5
=0,2 50=1 51=5
Para o gráfico da função exponencial, vamos analisar dois casos. Como a base a deve ser positiva e diferente de 1, vamos separar
em: 0<a <1 e a >1. Dessa forma, contemplamos todos os valores possíveis para a base a . Quando a >1, como é o caso de f ( )x =2x
, ilustrada na Figura 2(a), note que. à medida que o valor de x aumenta, a sua imagem f ( )x também aumenta, o que caracteriza a
função como crescente. Nesse caso, dizemos que a função tem um crescimento exponencial.
Figura 2 | Gráfico para a função exponencial
Por outro lado, no caso 0<a <1, como em g ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
, presente na Figura 2(b), perceba que quanto maior o valor de x , menor será a
sua imagem g ( )x , o que caracteriza essa função como decrescente. Assim, podemos afirmar que essa função possui decrescimento
exponencial. Para ambas as situações – seja 0<a <1 ou a >1 –, algumas características permanecem:
O gráfico da função exponencial é contínuo, isto é, um traçado único.
O domínio é o conjunto ℝ, enquanto o conjunto imagem é dado por ℝ+= ( )0,+∞ , basta observar que o gráfico se localiza
sempre acima do eixo das abscissas.
A interseção com o eixo y ocorre no ponto ( )0,1 , isto é, quando y=1, porém, não há interseções com o eixo x .
Vamos investigar as características da função f :ℝ→ℝ definida por f ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
x
. Ela corresponde a uma função decrescente, porque
sua base é um número entre 0 e 1. Podemos calcular imagens para elementos do domínio, como f ( )0 =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
0
=1 e 
f ( )−2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
−2
=
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
3
1
2
=9. Também podemos fazer investigações relacionadas, por exemplo, a reconhecer qual elemento do domínio
possui como imagem o número 81, o que exige o estudo de uma equação exponencial associada. Para esse caso, queremos
determinar x para o qual f ( )x =81, isto é,
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
x
=81 ⇒ ( )3−1 x
=34 ⇒ 3−x=34 ⇒ −x=4 ⇒ x=−4
Portanto, f ( )−4 =81.
Devido às suas características, muitos estudos envolvendo as funções exponenciais exigirão a resolução de equações
exponenciais, por isso é essencial conhecer as estratégias que podem ser empregadas nesses momentos. Vejamos adiante.
Siga em Frente...
Equações exponenciais
Quando em uma equação a incógnita corresponde ao expoente de uma potência, dizemos que essa é uma equação exponencial.
Por exemplo, 2x=16 corresponde a uma equação exponencial porque nela consta uma igualdade entre duas expressões e a
incógnita, x , corresponde ao expoente da potência de base 2.
Para resolver uma equação exponencial, o procedimento que empregamos é a tentativa de representação dos dois membros da
equação por meio de uma potência de mesma base. Isso se deve pela propriedade de que se a >0 e a≠1, então am=an implica 
m=n . Por exemplo, no caso da equação 2x=16, sabemos que 16 pode ser escrito como 24 , então se 2x=24 podemos concluir que 
x=4.
Vejamos outros exemplos na Tabela 2 a seguir que destacam procedimentos para a solução de equações exponenciais por meio da
aplicação da propriedade apresentada.
Tabela 2 | Resolvendo equações exponenciais
Em todos os exemplos apresentados na Tabela 1, apesar das equações apresentarem padrões diferentes, o objetivo sempre foi a
busca pela representação de cada membro da igualdade como uma potência de mesma base, ou a mudança de variáveis para que,
ao final, fosse possível comparar potências de mesma base.
As equações exponenciais podem estar presentes durante o estudo de uma função exponencial. Por exemplo, considere a função 
f :ℝ→ℝ definida por f ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
4
x
. Observe que podemos escrever a lei de formação dessa função como f ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
4
x
, na forma 
f ( )x =4−x, ou ainda f ( )x = ( )0,25 x . Essas representações são possíveis a partir das diferentes representações para os números e das
definições e propriedades de potências. Queremos determinar o valor do domínio x para o qual f ( )x =256 , assim, o objetivo é a
resolução da equação exponencial ⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
4
x
=256. A fatoração pode ser utilizada nesse caso, com o intuito de identificar potências cujo
resultado é 256. Vejamos que 256=4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4=44. Como ⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
4
x
=256=44, então 4−x=44, logo, −x=4 ou x=−4. Portanto, f ( )−4 =256 .
A seguir, vejamos um estudo da função exponencial tomando como base o número e , bastante empregado em problemas das
ciências naturais.
Função exponencial de base e
O número e , chamado de número de Euler, corresponde a um número irracional cujo valor aproximado com cinco casas decimais é
2,71828. Geralmente as calculadoras científicastrazem um botão com a função ex , relacionada a esse número, que, no entanto,
pode ser definido por meio de um conceito conhecido como limite, por meio da expressão e= lim
n→∞
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1+
1
n
n
.
A partir do número e , podemos construir a função exponencial de base e dada por f ( )x =ex . Sendo e>1 , podemos concluir que essa
função é crescente, intersecta o eixo y em y=1 e não tem interseção com o eixo x . Veja na Figura 3.
Exemplo 1: 3x=1
Como 30=1, então 3x=30 e, assim, x=0.
Exemplo 2: 5x−1=125
Temos que 125=53, sendo assim, 5x−1=53, o que implica x−1=
.
Exemplo 3: ( )0,5 x=3 4
Note que 0,5= 1
2
=2−1 e que 4=22. Assim,
( )2−1 x
=3 22 ⇒ 2−x=2
2
3 ⇒ −x=
2
3
⇒ x=−
2
3
 
Exemplo 4: 2x+1+2x−1=5
Note inicialmente que essa equação pode ser reescrita como 2x
Adotando y=2x obtemos:
y ⋅ 21+y ⋅ 2−1=5 ⇒ y ⋅ 2+y ⋅ 1
2
=5
⇒
5
2
y=5 ⇒ y=2
E se y=2x, segue que 2=2x, ou 21=2x assim, x=1.
Figura 3 | Gráfico da função exponencial de base e
Em alguns contextos, a função exponencial de base também é apresentada como f ( )x =exp( )x . Pelas suas propriedades, a função
exponencial de base e é bastante empregada na construção de modelos matemáticos, facilitando inclusive o emprego de
procedimentos algébricos e numéricos.
Assim, de posse das propriedades das funções exponenciais, podemos estudar diversos fenômenos, desde que eles apresentem
características que se assemelham às da função exponencial, seja ela crescente ou decrescente. 
Vamos Exercitar?
Retornando ao problema do medicamento, temos que o tempo de meia-vida da substância é de 8 horas. Além disso, sua
concentração inicial é de 1 g. Veja na Tabela 3 uma análise sobre a evolução da quantidade dessa substância no corpo do paciente
após períodos de 8 horas, ou seja, após períodos de meia-vida.
Tabela 3 | Evolução da quantidade de medicamento no corpo do paciente
Podemos expressar a quantidade de substância ( )q em função da quantidade de períodos de meia-vida (x) a partir da função
exponencial:
q ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
A função q tem base 0< 1
2
<1, logo, corresponde a uma função decrescente. Queremos determinar x para o qual q ( )x =0,015625, isto
é,
0,015625=
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
⇒
1
64
=
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
⇒
1
26 =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
⇒
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
6
=
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x
⇒ x=6
Assim, após 6 períodos de meia-vida a quantidade dessa substância será 0,015625 g. Como 6 períodos de 8 horas correspondem a
48 horas, então após dois dias a quantidade de medicamento no organismo do paciente será de 0,015625 g. 
Saiba Mais
Como sugestão para aprofundamento dos estudos sobre funções exponenciais, consulte o livro Fundamentos de matemática para
engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo. Na seção 5.1, Função exponencial, localizada entre as
páginas 108 e 111, bem como na seção 5.4, Função exponencial com base e, entre as páginas 120 e 123, você encontrará
informações básicas sobre as funções exponenciais, inclusive as de base , com exemplos.
x 0 1 2 3
Quantidade da
substância (q )
1 1
2
( )
1
2
2
=
1
4
( )
1
4
2
=
1
8
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126705/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126705/pageid/0
Outro material que contempla o estudo das características das funções exponenciais é o livro Pré-Cálculo, de Thamara Petroli. Na
seção Função exponencial, entre as páginas 125 e 128, você encontrará detalhes sobre a função exponencial, principalmente em
relação às propriedades analisadas em conjunto com os gráficos correspondentes.
Outra referência no estudo das funções é o livro Cálculo – volume 1, de George B. Thomas, Maurice. D. Weir e Joel Hass. Nessa
obra, na seção 1.5, Funções exponenciais, localizada entre as páginas 32 e 36, você estudará as principais definições vinculadas a
essa categoria de funções, inclusive com aplicações delas na resolução de problemas diversos.
 
 
Referências Bibliográficas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.
BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2018.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.
PETROLI, T. Pré-cálculo. 1. ed. São Paulo: Contentus, 2020.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
Aula 3
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Função logarítmica
Olá, estudante! Nesta videoaula você conhecerá a função logarítmica e suas propriedades, tendo como referência o conceito de
logaritmo, a relação entre logaritmos e potências, bem como a função exponencial, já que podemos estabelecer uma relação
importante entre essas funções.
Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois além das aplicações específicas das funções logarítmicas, a sua
relação com as exponenciais permite ampliar a gama de problemas que podem ser estudados.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/184030/pdf/0?code=XT+nO/T3kM07GAJpQHbgNVtYbK67fMQ400zcW6G7q1MfqwdLvhnEAlJQvTizSLATdJ5bo9ni7opHmZye2YQR8A==
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/3376/pdf/0?code=Rk9cUenvB3+syhKc+ka/Z+BnNRrpAIDSUxEBo/4R/j54njbS4pmuOJRsLbKvI8qSXq03WJOQWggR+R/T6ZRBYA==
Ponto de Partida
Estudante, desejamos boas-vindas a você! Nesta aula vamos explorar as propriedades das funções logarítmicas, bem como sua
relação com as funções exponenciais, além de conhecer propriedades para a resolução de equações logarítmicas.
É importante ressaltar que, assim como existem critérios para definir um logaritmo, também precisamos considerá-los no momento
de definir uma função logarítmica. Ainda, as propriedades dos logaritmos também estão presentes nessa categoria de função.
Para complementar os estudos acerca da temática apresentada, vamos analisar o seguinte problema. O decaimento radioativo da
substância césio-137 é dado, ao longo do tempo dado em anos, pela função:
Q ( )t =Q0 ⋅ e−0,023105t
em que Q0 representa a massa inicial e Q ( )t , a massa no instante t . De posse dessas informações, qual o tempo mínimo necessário
para que a quantidade de césio-137 seja reduzida à metade da quantidade inicial?
Prossiga em seus estudos e conheça as propriedades da função logarítmica e sua relação com a função exponencial. 
 
Vamos Começar!
Uma função é definida a partir de uma relação especial entre dois conjuntos, sendo geralmente representada pela sua lei de
formação, e em muitos casos apresentados em sua forma gráfica. Diante dessa definição, vejamos a seguir quais são as
especificidades da função logarítmica.
Função logarítmica
Uma função logarítmica de base a consiste em uma função f :ℝ
+
* →ℝ definida por
f ( )x = logax
com a >0 e a≠1. Sabemos que o logaritmando precisa ser um número positivo, por isso devemos restringir o domínio da função a 
ℝ
+
* , ou seja, ao conjunto formado pelos números reais positivos. Note que as restrições para a definição de logaritmo devem estar
presentes na definição da função logarítmica.
Por exemplo, f :ℝ
+
* →ℝ definida por f ( )x = log2x é uma função logarítmica construída a partir da base 2. Nesse caso,
f ( )2 =1, porque log22=1.
f ( )4 =2, porque log24=2.
f ( )128 =7, porque log2128=7, visto que 27=128.
Vamos analisar o comportamento gráfico da função logarítmica. Essa função tem seu gráfico descrito pela chamada curva
logarítmica. Além disso, como o domínio é dado apenas pelos números reais x positivos, seu gráfico está sempre à direita do eixo y.
E como loga1=0, há interseção do gráfico da função logarítmica f ( )x = logax com o eixo x no ponto ( )1,0 .
Para analisar os detalhes do gráfico da função logarítmica, principalmente em relação ao crescimento e decrescimento, sendo 
f ( )x = loga ( )x , como a >0 e a≠1, podemos fazer um estudo separado em duas categorias: 0<a <1 e a >1. Para o primeirocaso,
como em f ( )x = log 1
3
x , a função será decrescente, assumindo, portanto, um decrescimento logarítmico, conforme Figura 1(a). Por
outro lado, quando a >1, como em g ( )x = log3x , a função é crescente e, assim, seu comportamento é de crescimento logarítmico,
exibido na Figura 1(b).
Figura 1 | Gráfico para a função logarítmica
Observe que as funções f e g , da Figura 1, intersectam o eixo x no ponto de coordenadas ( )1,0 e tem seus gráficos definidos
apenas para valores positivos de x . Essas características podem ser observadas para qualquer função logarítmica na forma 
f ( )x = logax, desde que a >0, a≠1, e com x>0 pela definição do domínio.
Assim como definimos logaritmo decimal (base 10) e natural (base e ), também podemos definir as funções correspondentes. Na
Figura 2 você poderá observar os gráficos das duas funções, sendo f ( )x = logx a função construída a partir da base 10 e a função 
g ( )x = lnx, construída a partir da base e .
Figura 2 | Gráficos das funções logarítmicas decimal e natural
Considerando a Figura 2, observe que tanto f ( )x = logx quanto g ( )x = lnx são funções crescentes, visto que suas bases são números
maiores do que 1.
Podemos aplicar sobre os logaritmos uma propriedade de mudança de base. Para isso, suponha que precisamos efetuar o cálculo
de logab , com a >0, a≠1 e b>0. Porém, precisamos modificar a base do logaritmo para c , com c>0 e c≠1. Assim, a mudança de
base nos diz que:
logab=
logcb
logca
Essa propriedade é bastante utilizada principalmente quando precisamos realizar estudos com suporte da calculadora científica, a
qual só trabalha nas bases 10 e e . Por exemplo, utilizando uma calculadora científica, vamos calcular log312. Para isso, adotando a
base 10 e empregando a mudança de base, segue que:
log312=
log12
log3
≈
1,079
0,477
≈2,262
Esse tipo de propriedade pode ser empregado em conjunto com o estudo das funções logarítmicas, como no caso das imagens de
funções, por exemplo.
No tópico a seguir, vamos comparar as funções exponencial e logarítmica, observando as relações que podemos estabelecer entre
elas.
Relações entre função exponencial e logarítmica
As funções exponencial e logarítmica de mesma base podem ser associadas entre si, assim como percebido entre potências e
logaritmos. Para isso, vamos analisar o caso das funções f ( )x =2x e g ( )x = log2x , cujos gráficos são indicados na Figura 3.
Figura 3 | Gráficos das funções exponencial f e logarítmica g
No gráfico da Figura 3 também foi traçada uma reta, tracejada, que representa a função p ( )x =x . Observe que os gráficos das
funções f e g são simétricos em relação a essa reta. Esse fato é observado em outras comparações, mas desde que as duas
funções – exponencial e logarítmica – sejam construídas a partir da mesma base a , com a >0 e a≠1. Dessa forma, pelas
características dessas funções, podemos afirmar que elas são inversas uma da outra.
Analisando ainda a Figura 3, além da simetria, podemos identificar que a função f possui interseção com o eixo y, enquanto g tem
interseção com o eixo x , além de que ambas as funções são crescentes, porque a base é igual a 2, isto é, um número maior do que
1.
Os comparativos também poderiam ser feitos entre outros pares de funções, como m ( )x =
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
x
 e n ( )x = log1/3 (x) , por exemplo, mas
desde que as bases sejam iguais. Nesse caso, a única diferença entre as observações é que ambas as funções são decrescentes,
porque a base é um número entre 0 e 1.
Pelas relações estabelecidas entre as funções exponenciais e logarítmicas, e de posse de suas propriedades, podemos empregá-
las nos mais variados estudos, considerando sua aplicabilidade em contextos de diferentes áreas do conhecimento.
Durante o estudo das funções logarítmicas, podemos nos deparar com equações envolvendo esse tipo de termo, então, adiante,
vejamos como resolver esse tipo de equação.
Siga em Frente...
Resolvendo equações logarítmicas
Uma equação logarítmica corresponde a uma igualdade na qual a incógnita é apresentada no logaritmando ou na base de um
logaritmo, ou ainda, em ambos os termos. Por exemplo, log2 (x−1)=5 e logx3=1 são exemplos de equações logarítmicas. Outro
exemplo que podemos destacar é logx−2 (3x+1)=2, sendo que nesse caso a incógnita x está presente tanto na base quanto no
logaritmando.
Por exemplo, para equações semelhantes a log2x=3, basta aplicarmos a definição de logaritmo em sua resolução. Para esse caso,
log2x=3 ⇔ 23=x ⇔ x=8
Um procedimento semelhante se aplica quando tivermos uma equação como logx4=2.
logx4=2 ⇔ x2=4 ⇔ x=± 2 ⇔ x=±2
Como x representa a base, e não podemos ter base negativa, então a única solução para essa equação é x=2. Essa avaliação é
essencial para que sejam verificadas as condições de existência do logaritmo.
Os procedimentos anteriores decorrem diretamente da definição de logaritmo. Porém, podemos nos deparar com outras situações.
Os logaritmos possuem como uma de suas propriedades a injetividade, isto é, dado logax , com a >0 e a≠1, é válida a seguinte
propriedade: logax= logay equivale a x=y . Com isso, podemos construir estratégias que permitam a resolução de alguns tipos de
equações logarítmicas.
Por exemplo, para resolver a equação log2 ( )x−2 = log2 ( )3x+5 , como ambos os membros estão construídos a partir de logaritmos de
mesma base, basta igualarmos os logaritmandos:
log2 ( )x−2 = log2 ( )3x+5 ⇔ x−2=3x+5 ⇔ x−3x=5+2
⇔ −2x=7 ⇔ x=−
7
2
Outra possibilidade envolve uma propriedade que associa potências e logaritmos: a logax
=x . Como exemplo, vamos resolver 
log(2x+100)=3. Seguem os procedimentos:
log(2x+100)=3 ⇔ 10log(2x+100)=103 ⇔ 2x+100=1000 ⇔ 2x=900 ⇔ x=450
Logo, a solução é x=450.
Vejamos outro exemplo. Agora, para log2 ( )4x −log2 ( )12 =5.
log2 ( )4x −log2 ( )12 =5 ⇔ log2 ( )4x =5+log2 ( )12 ⇔ 2
log24x
=2
5+ log2( )12
⇔ 2
log24x
=25 ⋅ 2
log2( )12
⇔ 4x=32 ⋅ 12 ⇔ 4x=384 ⇔ x=
384
4
=96
Portanto, a solução é x=96.
Podemos ainda empregar o conceito de logaritmo para a resolução de equações exponenciais considerando a propriedade que
envolve a igualdade entre logaritmos de mesma base, ou seja, logax= logay⇔x=y , para a >0 e a≠1. Vejamos o caso da equação
exponencial 2x=3. Utilizando a propriedade citada, se essa igualdade é válida, então também será válido que loga2
x= loga3, com 
a >0 e a≠1. Se fossemos empregar a base 10 e a calculadora científica como suporte, a solução da equação exponencial seria
dada por:
2x=3 ⇔ log2x= log3 ⇔ x ⋅ log2= log3
Como log2 e log3 são números, a última equação obtida pode ser classificada como uma equação polinomial de 1º grau. Assim,
perceba que o emprego da propriedade dos logaritmos permite a conversão de uma equação exponencial em uma equação de 1º
grau, a qual pode ser resolvida isolando a incógnita em um dos membros da equação. Prosseguindo com a resolução, obtemos:
x ⋅ log2= log3 ⇔ x=
log3
log2
≈
0,477
0,301
≈1,58
Portanto, a solução de 2x=3 é, aproximadamente, x=1,58.
Vejamos um outro exemplo. Para resolver a equação 32x=8, recorrendo à base 3, teremos:
32x=8 ⇔ log332x= log38 ⇔ 2x= log38
Não conseguimos determinar o valor de log38 utilizando a calculadora científica. Por isso, apliquemos uma mudança de base:
log38=
log8
log3
≈
0,903
0,477
≈1,89
Substituindo esse resultado em 2x= log38 teremos:
2x=1,89⇔x=
1,89
2
=0,945
Logo, a solução aproximada para 32x=8 é x=0,945.
Note que cada equação possui suas especificidades, porém, existem muitos padrões que se repetem nas resoluções. Por isso, é
importante observar as características de cada equação, identificando as estratégias que podem ser utilizadas em cada caso, sem
esquecer que as condições de existência dos logaritmos precisam ser verificadas. 
Vamos Exercitar?
Retomando o problema apresentado, o decaimento radioativo do césio-137 é dado, ao longo do tempo t dado em anos, pela função
exponencial:
Q ( )t =Q0 ⋅ e−0,023105t
em que Q0 representa a massa inicial e Q ( )t , a massa no instante t .
Reescrevendo a função de tal forma arepresentar t em função de Q , obtemos:
Q
Q0
=e−0,023105t ⇒ ln
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Q
Q0
= ln( )e−0,023105t
⇒ −0,023105t= ln
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Q
Q0
⇒ t=−
ln⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
Q
Q 0
0,023105
Logo, temos a função inversa da função original, dada por t ( )Q =−
ln⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
Q
Q 0
0,023105
, a qual expressa agora o tempo em função da massa,
sendo do tipo logarítmica.
Queremos determinar o tempo mínimo para que a quantidade de césio-137 seja reduzida à metade da quantidade inicial, isto é,
determinar t para o qual Q=
Q0
2
, isto é,
t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Q0
2
=−
ln
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Q0
2
Q 0
0,023105
⇒ t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Q0
2
=−
ln( )
1
2
0,023105
⇒ t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Q0
2
≈30
Portanto, o tempo mínimo necessário é de 30 anos, o que conclui a solução do problema. 
Saiba Mais
Como sugestão para complementação dos estudos sobre funções logarítmicas, temos o livro Cálculo – volume 1, de James Stewart,
Daniel Clegg e Saleem Watson. Na seção 1.5 Funções inversas e logaritmos, no trecho entre as páginas 49 e 53, o qual inicia no
tópico Funções logarítmicas e vai até o tópico Gráfico e crescimento do logaritmo natural, podemos retomar conceitos importantes
como as propriedades e a mudança de base, bem como aprofundar os estudos na definição da função logarítmica e, mais
especificamente, do estudo do logaritmo natural.
Outra sugestão é o livro Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo.
Consulte a seção 7.3 Função logaritmica, entre as páginas 162 e 164, para explorar a definição de função logarítmica, bem como
aprofundar os estudos sobre os gráficos e suas características. Já na seção 7.4 Aplicações, entre as páginas 165 e 168, você
poderá consultar algumas aplicações importantes, como o emprego no estudo de pH de solução aquosa, terremotos, problemas de
meia-vida, entre outros.
Uma sugestão de material complementar a respeito de logaritmos é a obra Pré-Cálculo, de Fred Safier. Nesse material, é proposta
uma discussão sobre resoluções de equações exponenciais e logarítmicas, bem como retomada da mudança de base, inclusive
com exercícios resolvidos, no trecho entre as páginas 168 e 174, em seu capítulo 19 Equações exponenciais e logarítmicas.
 
 
Referências Bibliográficas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.
BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2018.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.
SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2011.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: Volume I. Tradução da 9. Ed. norte-americana. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2021. 
Aula 4
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126705/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577809271/pageid/0
Função trigonométrica
Olá, estudante! Nesta videoaula você conhecerá as principais funções trigonométricas, com suas propriedades, tendo como
referência os estudos de trigonometria desenvolvidos sobre o triângulo retângulo.
Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois podemos empregar as funções trigonométricas na modelagem de
problemas relativos a fenômenos periódicos, ajustando conforme as características de cada situação, como é o caso dos batimentos
cardíacos, variação das marés, entre outros.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!
Ponto de Partida
Nesta aula o objetivo é estudar as funções trigonométricas, tendo em vista a articulação entre o conceito de função, o ciclo ou o
círculo trigonométrico e o estudo das razões trigonométricas definidas no triângulo retângulo.
Nesse sentido, daremos início ao estudo do ciclo trigonométrico, a partir do qual podemos estudar as razões trigonométricas seno,
cosseno e tangente para qualquer ângulo. É importante ressaltar que nesse momento priorizaremos os ângulos medidos em
radianos. De posse desses conhecimentos, concluiremos nosso estudo investigando os comportamentos das funções seno,
cosseno e tangente, tendo em vista principalmente a sua aplicação na modelagem de fenômenos periódicos.
Diante desse tema, vamos refletir a respeito do seguinte problema. Considere que a quantidade de clientes que frequentam
diariamente um supermercado, aberto 24 horas por dia, apresenta um comportamento periódico em função do tempo. Fazendo um
levantamento da quantidade C de clientes no tempo x , em horas, suponha que foi possível construir o modelo:
C ( )x =1000−700 ⋅ sen
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
π ⋅ x
12
considere que t é um inteiro tal que 0≤x≤24.
Analisando esse modelo, em quais horários a quantidade de clientes assumiu seu valor máximo? E seu valor mínimo? Como
podemos solucionar esse problema? Confira a seguir os conceitos essenciais para esse estudo. 
Vamos Começar!
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser estudadas por meio de uma associação com os triângulos
retângulos e suas propriedades. No entanto, podemos adequar esse estudo com o objetivo de trabalhar com as medições dos
ângulos e das razões utilizando circunferências, bem como construir funções derivadas delas. Para isso, iniciemos com o estudo do
ciclo ou da circunferência trigonométrica no tópico a seguir, lembrando da correspondência π rad=180°, visto que precisaremos
trabalhar com os ângulos em radianos.
Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica
Para estudar os valores assumidos por seno, cosseno e tangente de diferentes ângulos, podemos utilizar o ciclo trigonométrico,
conhecido também por circunferência trigonométrica. Esse ciclo é construído, no plano cartesiano, a partir de uma circunferência
centrada na origem O ( )0,0 e de raio com medida igual a uma unidade, conforme a Figura 1. Os eixos coordenados dividem o círculo
em quatro quadrantes, sendo o 1º quadrante o que inclui os ângulos no intervalo 0°<α<90°, o 2º quadrante inclui os ângulos no
intervalo 90°<α<180°, o 3º quadrante inclui os ângulos no intervalo 180°<α<270° e o 4º quadrante inclui os ângulos no intervalo 
270°<α<360°, finalizando novamente no ponto A ( )1,0 , como na Figura 1(b).
Figura 1 | Ciclo trigonométrico
Percorremos o ciclo no sentido anti-horário, partindo do eixo x , mais especificamente do ponto de coordenadas A ( )1,0 , de acordo
com a Figura 1(a), por meio da construção de arcos centrados na origem. Para um arco AOB , como o exemplo ilustrado na Figura
1(a), o valor do seno do ângulo central associado é dado pela distância entre o centro O da circunferência e a projeção do ponto B
 sobre o eixo y (vertical), enquanto o cosseno é dado pela distância entre O e a projeção do ponto B sobre o eixo x (horizontal), isto
é, os valores de seno são avaliados sobre o eixo y e os de cosseno sobre o eixo x, de modo que em ambos os casos os valores
variam de -1 a 1, limitados pela circunferência cujo raio tem medida uma unidade. A tangente é avaliada em uma reta tangente à
circunferência, que contém o ponto A ( )1,0 e é perpendicular ao eixo x . Assim, para o ângulo destacado na Figura 1(a), a tangente
consiste na distância do ponto A até o ponto de interseção entre a reta tangente e a reta que contém os pontos O e B .
No estudo do ciclo trigonométrico, podemos destacar alguns ângulos, chamados ângulos notáveis: π
6
, π
4
 e π
3
 radianos. Além
deles, podemos definir os ângulos correspondentes a 0, π
2
, π , 3π
2
 e 2π radianos. Podemos ainda identificar os simétricos a eles
em relação aos eixos x e y , conforme ângulos destacados na Figura 1(b), o que permite comparar os valores de seno, cosseno e
tangente dos simétricos por meio da identificação dos sinais associados a cada quadrante. Veja na Tabela 1 os valores de seno,
cosseno e tangente para os ângulos citados.
Tabela 1 | Valoresdas razões trigonométricas para ângulos notáveis. Fonte: Gomes (2018, p. 466).
Veja que tg ( )90° e tg ( )270° não estão definidas (∄). Basta lembrar que tg ( )α =
sen (α )
cos ( )α
 e que, para os dois ângulos citados, o cosseno é
nulo, o que impossibilita efetuar a divisão por zero para cálculo da tangente.
Com base nas razões apresentadas, e a estrutura do ciclo trigonométrico, podemos construir as funções seno, cosseno e tangente,
cujos detalhes serão apresentados no que segue.
Siga em Frente...
Funções trigonométricas
A função f :ℝ→ℝ chamada de função seno é dada por f ( )x = sen( )x . Seu gráfico é descrito por uma curva do tipo senoide e é dada
conforme a Figura 2(a). A função seno é periódica de período 2π , basta observar que o comportamento de seu gráfico se repete a
cada intervalo de comprimento 2π. Além disso, a função tem sua imagem limitada e descrita pelo intervalo Im ( )f = ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦−1,1 . Isso se
deve ao fato de que os valores de seno no ciclo trigonométrico variam de -1 a 1. O gráfico pode ser analisado com base nos dados
da Tabela 1.
Figura 2 | Gráficos das funções trigonométricas
Por outro lado, a função cosseno é dada por g:ℝ→ℝ em que g ( )x =cos ( )x , cujo gráfico é dado na Figura 2(b). Essa função é também
periódica de período 2π, apresentando também limitação em sua imagem com Im ( )g = ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦−1,1 . Veja a associação entre o gráfico e os
Ângulos
0° ou
0 rad
30° ou
 π
6
rad
45° ou
 π
4
rad
60° ou
 π
3
rad
90° ou
 π
2
rad
180° ou 
π rad
270° ou
 3π
2
rad
360° ou
 2πrad
Seno 0
1
2
2
2
3
2
1 0 −1 0
Cosseno 1 3
2
2
2
1
2
0 −1 0 1
Tangente 1 3
3
1 3 ∄ 0 ∄ 0
dados da Tabela 1.
As funções seno e cosseno são usualmente aplicadas no estudo de problemas que envolvem periodicidade. No entanto, em muitos
casos precisamos fazer modificações no gráfico original para atender às propriedades do problema em estudo. Vejamos a seguir de
que forma essas modificações influenciam nas características dessas funções, tomando como referência a função seno, mas
sabendo que a cosseno apresenta comportamento semelhante.
Nesse sentido, seja a função original f ( )x = sen( )x e g ( )x =a+b ⋅ sen( )c ⋅ x+d , sendo domínio e contradomínio reais para ambas.
Analisemos o papel de cada um dos parâmetros a,b,c,d∈ℝ e as interferências no gráfico da função quando comparado à função
original f .
O parâmetro a é responsável pelo deslocamento vertical do gráfico da função, de modo que a movimentação é feita para cima
quando a >0 e para baixo se a <0. Veja o exemplo da Figura 3(a), em que o gráfico azul ilustra g ( )x =2+sen( )x e o verde, 
g ( )x =−2+sen( )x .
O parâmetro b corresponde à alteração na amplitude do gráfico, podendo “encolher” o gráfico, se 




b >1 ou “esticar” o gráfico
se 





a <1. Ainda, se a <0, ocorre uma reflexão do gráfico em relação ao eixo x . Observe a Figura 3(b), em que o gráfico azul
ilustra g ( )x =2sen( )x , o verde representa g ( )x =
1
2
sen ( )x e o roxo, g ( )x =−sen( )x .
O parâmetro c está associado ao período da função. Para g ( )x = sen( )cx o período é dado por p= 2π
c
. Veja na Figura 3(c) o
exemplo da função g ( )x = sen( )2x , indicado em azul, e o da função g ( )x = sen
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
x , descrito em verde.
O parâmetro d corresponde ao deslocamento horizontal da função. A curva é deslocada em d
c
 unidades para a esquerda
quando a razão foi positiva, e em d
c
unidades para a direita quando a razão for negativa. Observe a Figura 3(d), na qual estão
indicadas as funções g ( )x = sen( )x+π em azul e g ( )x = sen
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
x− π
3
 em verde.
Figura 3 | Comparação entre as funções f e g
Uma outra função que podemos definir é a tangente. A função tangente é definida por h:D→ℝ, tal que h ( )x = tg ( )x , em que o domínio
é dado pelo conjunto D=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎫
⎮
⎮
⎬
⎮
⎮
⎭
x∈ℝ;x≠ π
2
+kπ, com k∈ℤ . Note a necessidade de restrição do domínio, visto que a tangente não está
definida para x=90°= π
2
 e para x=270°=
3π
2
, bem como os ângulos correspondentes das demais voltas. O gráfico dessa função é
apresentado na Figura 4. Comparando os gráficos das funções seno e cosseno com o da tangente percebemos várias diferenças,
porém, os três representam funções periódicas, mas sendo a tangente de período π .
Figura 4 | Gráfico da função trigonométrica tangente
A aplicabilidade das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente está vinculada a problemas que manifestam algum tipo de
periodicidade, como é o caso das marés, cargas estruturais e superfícies em obras arquitetônicas, pressão sanguínea, a música e
as ondas sonoras, entre outros.
Conhecendo as características básicas das funções trigonométricas, poderemos construir modelos a partir delas com o intuito de
representar fenômenos reais e, por meio de sua interpretação, obter as soluções adequadas aos problemas reais associados. 
Vamos Exercitar?
Retornemos o problema do supermercado 24 horas. O modelo que foi construído para representar a quantidade de clientes em
função do tempo é C ( )x =1000−700 ⋅ sen
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
π ⋅ x
12
.
Queremos estudar os valores máximo e mínimo dessa função, para isso, precisamos investigar as características da função seno.
Avaliando f ( )x = sen( )x , sabemos que ela tem seus valores variando no intervalo ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦−1,1 , então -1 é o valor mínimo e 1 é o valor
máximo da função. Sendo assim, f admite o valor máximo 1 quando x=90°= π
2
 rad ou qualquer ângulo das demais voltas que, no
ciclo trigonométrico, coincidam com esse ângulo. Logo, o valor 1 é atingido para qualquer ângulo na forma π
2
+2π ⋅ k, com k∈ℤ. Por
outro lado, o valor mínimo -1 é atingido para x=270°=
3π
2
 rad, ou em qualquer ângulo das demais voltas que coincidam com esse
ponto. Logo, o valor -1 é atingido para 3π
2
+2π ⋅ n , com n∈ℤ.
Considerando o valor máximo do seno, e tomando a função C , então podemos afirmar que o valor máximo de C será atingido
quando sen
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
π ⋅ x
12
=−1 porque, nesse caso, teremos C ( )x =1000−700 ⋅ ( )−1 =1000+700=1700. Assim, devemos ter:
π ⋅ x
12
=
3π
2
+2π ⋅ n ⇒
x
12
=
3
2
+2n ⇒ x=18+24n
Como x varia de 0 até 24, então admitindo n=0 teremos que a maior quantidade de clientes é verificada às 18:00. De modo
análogo, o menor valor de C será atingido quando sen
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
π ⋅ x
12
=1, pois teremos C ( )x =1000−700 ⋅ 1=1000−700=300. Dessa forma,
π ⋅ x
12
=
π
2
+2π ⋅ k ⇒
x
12
=
1
2
+2k ⇒ x=6+24k
Como x varia de 0 até 24, então admitindo k=0 teremos que a menor quantidade de clientes é verificada às 6:00. Observe na
Figura 5 o gráfico para essa função, confirmando essas análises.
Figura 5 | Gráfico para a função C ( )x =1000−700 ⋅ sen
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
π ⋅ x
12
Com isso, concluímos a resolução desse problema, identificando que a quantidade máxima de clientes é 1700 e a mínima 300,
sendo a variação no número de clientes dada por 1700−300=1400. 
Saiba Mais
O livro Pré-Calculo, de Francisco M. Gomes, é uma sugestão interessante para o estudo dos gráficos de seno e cosseno, e gráficos
das demais funções trigonométricas, apresentando de forma aprofundada suas características, em conjunto com exemplos. Para
isso, estude as seções 6.4 Gráficos do seno e do cosseno e 6.5 Gráficos das demais funções trigonométricas, entre as páginas 478
e 494.
Como referência para o estudo das funções trigonométricas, sugerimos o livro Fundamentos de matemática para engenharias e
tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo. Nas seções 8.5 Função seno, 8.6 Função cosseno e 8.7 Outras funções
trigonométricas, no trecho entre as páginas 189 e 199, você terá acesso a um panorama geral sobre as funções trigonométricas,
com exemplos.
Uma terceira sugestão é a obra Matemática com aplicações tecnológicas: matemática básica, de Seizen Yamashiro e Suzana A. de
O. Souza. A partir da seção 10.7 Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica até o tópico 10.10.3 Domínio, conjunto
imagem e período, entre as páginas185 e 193, você poderá conferir algumas discussões acerca do ciclo trigonométrico e das
características das funções trigonométricas.
 
 
Referências Bibliográficas
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2018.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: Volume I. Tradução da 9. ed. norte-americana. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2021.
YAMASHIRO, S.; SOUZA, S. A. de O. Matemática com aplicações tecnológicas: matemática básica. Volume 1. São Paulo:
Editora Blucher, 2014.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522127900/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126705/pageid/0
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521207801/pageid/0