Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student


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DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT



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A distribuição T de Student possui diversas aplicações na estatística.

A distribuição t de Student é uma das distribuições mais importantes na análise estatística, possuindo diversas aplicações que vão desde teste de hipóteses a modelagem estatística.


Definição

Considere uma variável aleatória contínua expressa por ?X , ela irá possuir uma distribuição t de Student com ?ν graus de liberdade se, e somente se, sua Função Densidade de Probabilidade (?FDP) for dada por:


?f(x)=dfracΓ(dfracν+12)}νπΓ(dfracν2)}(1+dfracx2ν)(dfracν+12)}parax(,)


Em que ?Γ(x) é a chamada função gama e possui a seguinte expressão:


?Γ(x)=0xt1exdx


Caso o argumento da função gama for pertencente ao grupo dos número inteiros (?x), sua expressão é simplificada para:


?Γ(x+1)=x!ouΓ(x)=(x1)!


Quando a variável possui a distribuição t de Student é utilizada a seguinte notação ?Xtν.


Propriedades da distribuição t de Student

  • A Função Densidade de Probabilidade (?FDP) da distribuição t de Student possui o mesmo formato semelhante a um “sino” que a distribuição Normal, no entanto, ela reflete de forma mais significativa a variabilidade (com curvas mais ampliadas) .

  • Com o aumento do grau de liberdade a Distribuição t de Student tende a se aproximar da distribuição Normal.

Abaixo temos um gráfico que ilustra ?FDP da distribuição t de Student para diferentes valores de ?ν (graus de liberdade).



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Na figura é ilustrado a ?FDP para diferentes valores de ?ν


Função geradora de momentos

A função geradora de momentos da distribuição t de Student, infelizmente, não é definida para todos os valores de graus de liberdade (?ν), no entanto é possível encontrar os momentos estatísticos da distribuição para alguns valores de ?ν.

Considere ?Xtν, desta forma a sua função geradora de momentos é definida por:


?𝔼(Xk)=cases0se0klt;νe k é ímpar;dfrac1πΓ(dfracν2)}[Γ)Γ(dfracνk2)νk/2]se0kνe k é par;hspace3.6cmhspace3.6cmse kν e k é parhspace2.7cmIndefinidohspace2.8cmse kν e k é ímpar.



Valor Esperado

O valor esperado da distribuição t de Student:

  • É igual a zero se ?ν> 1;

  • Caso ?ν1 seu valor não está definido.

  • Basta analisarmos a função geradora de momentos e notarmos que ?𝔼(X)=𝔼(X1), ou seja, avaliando a formula notamos que ?k é ímpar, desta maneira, ele está definido apenas se ?ν 1.


Variância

Utilizando a expressão da Função Geradora de momentos podemos calcular o segundo momento estatístico de ?X da seguinte maneira:


?𝔼(X2)=casesdfracνν2hspace2cmseν gt; 2hspace2.3cmse0lt;ν2.


No entanto, além das condições mencionadas acima, outra é necessária para que variância esteja definida:

  • ?ν>1 , pois caso contrário, o valor ?𝔼2(X) não estará definida.

Desta maneira, podemos definir a variância como sendo:


?Var(X)=casesdfracνν2hspace2cm se νgt;2hspace2.5cmse 1lt;ν2.