Sumário dos testes de convergência ou divergência para séries infinitas

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Sumário dos testes de convergência ou divergência para séries infinitas
Saber distinguir qual teste usar para a verificação da convergência ou 
divergência de uma série depende de uma prática considerável. Assim, para amenizar esta 
realidade, a seguir é apresentado um algoritmo para a determinação ou não da convergência 
das séries infinitas.
É importante dizer que, deve-se testar cada passo na ordem indicada e, se 
um determinado passo não for aplicável, então deve-se tentar o passo seguinte. Em alguns 
casos, mais de um passo (ou teste) pode ser aplicável. Assim, deve-se escolher o mais 
eficiente.
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Algoritmo
Passo 1) Calcule nn ulim+ ∞→ . Se 0ulim nn ≠+ ∞→ , então a série diverge. Se 0ulim nn =+ ∞→ , então 
nenhuma conclusão pode ser tirada do teste.
Passo 2) Examine a série para ver se ela faz parte de algum dos tipos especiais:
i) Série Geométrica:
∑+∞
=
−
1n
1nar : a série converge para a soma 
r1
a
−
 se |r|<1. A série diverge se |r| ≥ 1.
ii) Série p ou Hiper-harmônica:
∑+ ∞
=1n
pn
1
, onde p é uma constante: A série converge se p>1 e diverge se p ≤ 1.
iii) Série Harmônica:
∑+ ∞
=1n n
1
: é uma série divergente.
iv) Série Alternada:
∑+ ∞
=
+
−
1n
n
1n a)1( ou ∑+ ∞
=
−
1n
n
n a)1( : aplique o teorema para séries alternadas. Se 
oa n > e n1n aa <+ , para todo n inteiro positivo, e 0alim nn =+ ∞→ , então a série alternada 
é convergente.
Passo 3) Tente o teste da razão: Seja ∑+ ∞
=1n
nu uma série infinita dada, para a qual todo nu é 
não-nulo. Então:
i) Se 1Lu
u
lim
n
1n
n
<=+
+ ∞→
, então a série é absolutamente convergente.
ii) Se 1Lu
u
lim
n
1n
n
>=+
+ ∞→
 ou ∞+=+
+ ∞→
n
1n
n u
u
lim , então a série é divergente.
iii) Se 1u
u
lim
n
1n
n
=
+
+ ∞→
, então nada podemos concluir.
Passo 4) Tente o teste da Raiz: Seja ∑+ ∞
=1n
nu uma série infinita dada, para a qual todo nu é 
não-nulo. Então:
i) Se 1Lulim n nn <=+ ∞→ , então a série é absolutamente convergente.
ii) Se 1Lulim n nn >=+ ∞→ ou ∞+=+ ∞→
n
nn
ulim , então a série é divergente.
iii) Se 1ulim n nn =+ ∞→ , nada podemos concluir.
Passo 5) Tente o Teste da integral: Seja f uma função contínua, decrescente e com valores 
positivos para 1x ≥∀ . Então, a série infinita:
∑+∞
=
+++++=
1n
...)n(f...)3(f)2(f)1(f)n(f será convergente se a integral imprópria 
∫+∞
1
dx)x(f
existir, e será divergente se
∫ ∞+=+ ∞→
b
1
b
dx)x(flim
Passo 6) Tente o Teste de Comparação: Seja ∑+ ∞
=1n
nu uma SITP:
i) Se ∑+ ∞
=1n
nv for uma série convergente de termos positivos já conhecida e 
nn vu ≤ para *Nn∈∀ , então ∑
+ ∞
=1n
nu será convergente.
ii) Se ∑+ ∞
=1n
nw for uma série divergente de termos positivos já conhecida e 
nn wu ≥ para *Nn∈∀ , então ∑
+ ∞
=1n
nu será divergente.
ou
Tente o Teste de Comparação com Limite (Forma Limite do Teste da Comparação): Sejam 
∑+ ∞
=1n
nu e ∑+ ∞
=1n
nv duas SITP's:
i) Se 0cv
u
lim
n
n
n
>=
+ ∞→
, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
ii) 0v
u
lim
n
n
n
=
+ ∞→
 e se ∑+ ∞
=1n
nv converge, então ∑+ ∞
=1n
nu converge.
iii) Se ∞+=
+ ∞→
n
n
n v
u
lim e se ∑+ ∞
=1n
nv diverge, então ∑+ ∞
=1n
nu diverge.