estatistica_-_exercicios_comen

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA 
Exercícios Comentados 
 
 
UNIDADE 1 
 
Tópico 3 
 
Exercício Comentado 1. 
A tabela a seguir mostra a matrícula inicial e a matrícula final da escola R de Canela/ RS em 2003. 
 
MATRÍCULAS DA ESCOLA EM CANELA/RS EM 2003 
Série MI MF 
1ª 45 66 
2ª 39 37 
3ª 32 27 
4ª 18 16 
Total 134 146 
FONTE: Secretaria da escola R. 2003 
 
a) Calcular a taxa de evasão por série. 
b) Calcular a taxa de evasão da escola. 
 
Solução: 
a) Calculam-se os coeficientes de evasão através de MI MFCE
MI
−
= para cada uma das séries: 
1ª série: 45 66 21CE 0,4667
45 45
− −
= = = − , ou seja, 46,67 de adesão. 
2ª série: 39 37 2CE 0,0513
39 39
−
= = = , ou seja, 5,13% de evasão. 
3ª série: 32 27 5CE 0,1562
32 32
−
= = = , ou seja, 15,62% de evasão. 
4ª série: 18 16 2CE 0,1111
18 18
−
= = = , ou seja, 11,11% de evasão. 
 
b) Para o coeficiente de evasão total da escola usam-se os totais: 
134 146 12CE 0, 0896
134 134
− −
= = = − , ou seja, 8,96% de adesão. 
 
UNIDADE 1 
 
Tópico 3 
 
Exercício Comentado 2. 
Uma frota de 25 caminhões, transportando, cada um, 14 toneladas, dirigindo-se a duas cidades A e B. 
Na cidade B foram descarregados 65% desses caminhões, por 7 homens, sendo que, 4 deles trabalharam 7 
horas cada um e os outros, 9 horas cada um. Os caminhões restantes seguem para a cidade A, onde 5 homens 
gastaram 7 horas cada um para o seu descarregamento. Calcule a produtividade de cada uma das equipes. 
 
Solução: 
 
Os 25 caminhões com 14 toneladas cada um transportam 350 toneladas. 
 
Na cidade B foram descarregados 65% dos caminhões, ou seja, 65% de 350 toneladas, que correspondem a 
227,5 toneladas. 
 
A equipe que trabalhou na cidade B era constituída de 7 homens, sendo que 4 deles trabalharam por 7 horas, 
ou seja, 28 horas de trabalho, enquanto que os outros 3 homens trabalharam 9 horas cada um, e assim temos 
27 horas de trabalho desses homens. Conclui-se que, na cidade B, os 7 homens levaram 55 horas para 
descarregar as 227,5 toneladas. 
Assim, a produtividade da equipe de trabalho da cidade B pode ser determinada por 
B
Trabalho 227,5TPR 4,14T / h
Tempo 55h
= = = , ou seja, 4,14 toneladas por hora. 
 
Chegando na cidade A, os caminhões tiveram os 35% das 350 toneladas (122,5 T restantes) descarregadas 
por 5 homens trabalhando 7 horas cada um, ou seja, foram 35 horas para descarregar essas 122,5 toneladas. 
Sua produtividade foi de 
A
Trabalho 122,5TPR 3,5T / h
Tempo 35h
= = = , ou seja, 3,5 toneladas por hora. 
 
Fazendo a comparação entre as produtividades das equipes percebe-se que a equipe da cidade B foi mais 
produtiva, pois descarregou maior quantidade no mesmo tempo (em horas). 
 
 
UNIDADE 1 
 
Tópico 4 
 
Exercício Comentado 1. 
Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em minutos, por 60 elementos de um clube de karting num 
circuito de 20 voltas, registrou-se o tempo gasto por 16 desses elementos. Os resultados foram os seguintes: 
14,1 13,5 15,0 16,2 17,6 18,7 13,1 15,4 
16,6 17,2 14,8 15,9 18,0 16,3 14,9 14,3 
 
a) Indique: qual a população e a amostra. 
b) Indique qual a variável estatística do estudo e classifique-a. 
 
Solução: 
a) A população estudada envolve os 60 elementos de um clube de karting, de ondo foi tirada uma amostra de 
16 elementos. 
b) A variável estudada (medida) foi a quantidade de voltas dadas por minutos por cada elemento do clube. 
Essa variável é classificada como uma variável quantitativa contínua. 
 
 
UNIDADE 1 
 
Tópico 4 
 
Exercícios Comentado 2. 
Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da população de estudantes 
da Instituição “A”. Estas características (parâmetros) são especialmente: idade média, renda per capita, local 
de origem, etc. Utilizando a tabela a seguir, com dados referentes a 2006, qual deve ser o tamanho mínimo 
de uma amostra aleatória simples, tal que, possamos admitir com alta confiança, que os erros amostrais não 
ultrapassem a 4%? 
 
Solução: 
Primeiramente devemos calcular o número de elementos da população, ou seja, o total de alunos da 
Instituição “A”. Para isto, basta somar o número de alunos de cada curso. Assim N = 3746 representa a 
população a ser estudada. 
 
Para determinar o tamanho da amostra devemos seguir as 4 etapas descritas no caderno. 
 
1a Etapa: Cálculo da Amostra Ideal. 
Como o erro amostral não deve ultrapassar 4%, devemos usar E0 = 4% = 0,04. 
 
0 2 2
0
1 1 1
n 625
0,0016(E ) (0,04)= = = = 
 
2a Etapa: Cálculo da Amostra Mínima. 
 
Usando os valores da população e da amostra ideal calculamos o tamanho da amostra mínima: 
 
0
0
N n 3746 625 2341250
n 536
N n 3746 625 4371
⋅ ⋅
= = = =
+ +
 
 
3a Etapa: Cálculo do Estimador da Amostra. 
 
Nesta etapa usamos a regra de três simples para determinar o estimador da amostra: 
 
 
N 100% N 100
xN 100n
n xn x
100n
x
N
100 536 53600
x 14,31
3746 3746
↔
⇒ = ⇒ =
↔
=
⋅
= = =
 
E assim, o estimador da amostra é 14,31%. 
 
4a Etapa: Aplicação do Estimador aos Estratos. 
 
Agora, multiplicamos o estimador por cada um dos estratos, ou melhor, do número de alunos de cada curso 
da instituição: 
 
 
 
 
 
 
Tabela 11: Matrículas dos cursos de graduação da Instituição A em 2006 
Curso Alunos Amostra 
CEX 287 287 · 14,31% = 41 
CON 266 266 · 14,31% = 38 
DIR 555 555 · 14,31% = 79 
FIN 245 245 · 14,31% = 35 
INF 329 329 · 14,31% = 47 
MDA 340 340 · 14,31% = 49 
MKT 423 423 · 14,31% = 61 
NEF 270 270 · 14,31% = 39 
PEP 370 370 · 14,31% = 53 
REH 357 357 · 14,31% = 51 
REP 110 110 · 14,31% = 16 
TUR 194 194 · 14,31% = 28 
TOTAL 3746 537 
 
 
 
UNIDADE 2 
 
Tópico 1 
 
Exercício Comentado 1. 
Os dados a seguir são referentes a vendas de ventiladores, durante três meses do ano, em uma grande rede de 
lojas. 
 
19 10 9 15 12 19 11 10 12 14 
12 16 10 13 12 15 11 12 12 13 
14 11 12 12 14 15 14 12 15 12 
12 12 14 15 11 14 14 15 13 12 
14 6 16 14 12 12 15 15 14 11 
14 14 12 11 15 12 15 17 11 14 
12 13 11 14 12 11 14 10 11 13 
11 10 13 13 14 13 14 11 11 11 
9 17 18 13 12 16 10 12 9 9 
 
De acordo com os dados apresentados na grade acima, faça o que se pede a seguir: 
a) Os dados apresentados são dados brutos. Organize-os em rol. 
b) Faça uma distribuição de freqüência simples. 
c) Organize uma distribuição de freqüência com intervalos de classes, obedecendo à regra de Sturges para 
determinar o número de classes. 
 
Solução: 
a) Para organizar um rol devemos colocamos os dados em ordem (nesse caso optamos por) crescente: 
 
6 10 11 12 12 12 13 14 15 15 
9 10 11 12 12 13 14 14 15 16 
9 11 11 12 12 13 14 14 15 16 
9 11 11 12 12 13 14 14 15 16 
9 11 11 12 12 13 14 14 15 17 
10 11 11 12 12 13 14 14 15 17 
10 11 11 12 12 13 14 14 15 18 
10 11 12 12 12 13 14 14 15 19 
10 11 12 12 12 13 14 14 15 19 
 
b) Para a Distribuição de Freqüência Simples contamos quantas vezes (quanto dias) cada valor (número de 
ventiladores vendidos) aparece no rol: 
 
i N º Ventiladores Vendidos Nº. dias 
1 6 1 
2 9 4 
3 10 6 
4 11 14 
5 12 21 
6 13 9 
7 14 17 
8 15 10 
9 16 3 
10 17 2 
11 18 1 
12 19 2 
Σ - 90 
 
c) Para fazer a Distribuição de Frequências por Classes devemos usar a Regra de Sturges para definir quantas 
classes terá a distribuição: 
i = 1 + 3,3 · log n 
i = 1 + 3,3 · log 90 
i = 1 + 3,3 · 1,9542425 
i = 1 + 6,449 
i = 7,449 
E assim, teremos 7 classes. 
 
Agora devemos definir o intervalo de cada classe, ou seja, o limite inferior e o limite superior de cada classe 
usando 
i
AAh
i
= 
 Para isso, necessitamos da amplitude amostral (AA = maior valor – menor valor da amostra = 19 – 6 = 13) eda quantidade de classes (i = 7). Assim, 
i
13h 1,85
7
= ≅ 
Arredondando o valor encontrado, temos um intervalo de dois ventiladores vendidos em cada classe. 
 
A Distribuição de Freqüência por Classes das vendas de ventiladores fica assim definida: 
 
i N º Ventiladores Vendidos Nº. dias 
1 06 ├ 08 1 
2 08 ├ 10 4 
3 10 ├ 12 20 
4 12 ├ 14 30 
5 14 ├ 16 27 
6 16 ├ 18 5 
7 18 ├ 20 3 
Σ - 90 
 
 
 
 
UNIDADE 2 
 
Tópico 3 
 
Exercício Comentado 1. 
Calcule a média, a moda e a mediana do seguinte agrupamento em classes: 
 
Tabela 45: Usuários cadastrados na UNIMED 
por faixa etária – 2005 
i Faixa Etária fi 
1 39 ├ 50 400 
2 50 ├ 61 500 
3 61 ├ 72 550 
4 72 ├ 83 625 
5 83 ├ 94 200 
Σ - 2275 
FONTE: Dados Hipotéticos (Fictícios) 
 
 
Solução: 
Para determinar os valores solicitados devemos calcular os pontos médios das classes (xi) e as frequencias 
acumuladas (fai). 
Os pontos médios são obtidos fazendo o limite inferior da classe mais o limite superior, e dividindo esse 
resultado por 2. Na 1ª classe, por exemplo, temos 39 50 44,5
2
+
= . 
As frequencias acumuladas são obtidas somando a frequencia da classe anterior com a frequencia da classe 
considerada. Por exemplo, na 1ª classe a frequencia acumulada é 400. Na 2ª classe, a frequencia acumulada é 
900, calculada por 400 (da 1ª classe) + 500 (da 2ª classe). Na 3ª classe soma-se a esse valor a frequencia 
absoluta dessa classe, e assim, tem-se 900 + 550 = 1450. E assim por diante. 
 
Para adintar os calculos também é necessário determinar os produtos dos pontos médios pelas frequencias 
absolutas de cada classe. 
Na 1ª classe, faz-se 44,5 · 400 = 17800, por exemplo. 
 
i Faixa Etária fi xi fai xi · fi 
1 39 ├ 50 400 44,5 400 17800 
2 50 ├ 61 500 55,5 900 27750 
3 61 ├ 72 550 66,5 1450 36575 
4 72 ├ 83 625 77,5 2075 48437,5 
5 83 ├ 94 200 88,5 2275 17700 
Σ - 2275 - - 148262,5 
 
Agora podemos determinar a média da distribuição, que é dada pela soma dos valores da coluna xi · fi, 
dividido pela soma das frequencias absolutas (fi). Assim: 
i i
i
x f 148262,5
x 65,17
2275f
⋅
= ≅ =
∑
∑
 
Ou seja, a média de idade dos usuários da UNIMED é de, aproximadamente, 65 anos. 
 
Para a moda deve-se verificar qual a classe modal, ou seja, que apresenta a maior frequencia absoluta, no 
caso a 4ª classe (i = 4). 
Identifica-se o limite inferior da classe modal, dado por li = 72; 
Identifica-se a diferença entre a frequencia da classe modal e da classe anterior, dado por d1 = 625 – 550 = 
75; 
Identifica-se a diferença entre a frequencia da classe modal e da classe posterior, dado por d2 = 625 – 200 = 
425; 
Identifica-se o valor do intervalo da classe modal, dado por h = 83 – 72 = 11. 
E com esses valores, calculamos a moda através da fórmula 
65,7365,172M
500
82572M
11
42575
7572M
h
dd
dlM
o
o
o
i
21
1
io
=+=
+=
⋅
+
+=
⋅
+
+=
 
E assim, a moda da distribuição é de, aproximadamente 74 anos. 
 
Para a mediana deve-se verificar qual a classe contém a mediana da distribuição, calculando a metade da 
frequencia total da distribuição: 
if 2275 1137,5
2 2
= =
∑
 
Procurando na coluna de frequencias acumuladas o valor 1137,5 fica na 3ª classe da distribuição, ou seja, a 
classe que contém a mediana é i = 3. 
O cálculo da mediana é feito através da fórmula 
i
i i
i
i
f
Fa (anterior) .h
2
Md l
f
 
− 
  
= +
∑
 
Para isso, 
Identifica-se qual o limite inferior da classe da mediana, dado por li = 61; 
Já foi calculado o valor da expressão i
f
2
∑
, dado por 1137,5; 
Identifica-se a frequencia acumulada na classe anterior, dada por fa2 = 900; 
Identifica-se a frequencia absoluta da classe da mediana, dada por f3 = 550; 
Identifica-se o intervalo da classe da mediana, que é o mesmo calculado anteriormente, h = 11. 
Substituindo esses valores na fórmula tem-se: 
[ ]
75,6575,461Md
550
5,261261Md
11
550
5,23761Md
11
550
9005,113761Md
=+=
+=
⋅+=
⋅
−
+=
 
 
Assim, a mediana da distribuição é de, aproximadamente, 66 anos, o que siginifica dizer que 50% dos 
usuários da UNIMED possuem idade superior a 66 anos. 
UNIDADE 3 
 
Tópico 1 
 
Exercício Comentado 1. 
Os tempos de reação de um indivíduo a determinados estímulos foram medidos por um psicólogo, 
com sendo: 0,53 – 0,46 – 0,50 – 0,49 – 0,52 – 0,44 – 0,55 segundos. 
Determinar o tempo médio e o desvio-padrão de reação do indivíduo a esses estímulos. 
 
Solução: 
a) Para determinar o tempo médio de reação somamos os valores medidos e dividimos pela quantidade de 
valores, ou seja, 
 
0,53 0, 46 0,50 0, 49 0,52 0, 44 0,55 3, 49
x 0,50
7 7
+ + + + + +
= = ≅ 
Assim, a média dos tempos de reação foi de, aproximadamente, 0,50 segundos. 
 
b) Por tratar-se de apenas um indivíduo onde foram medidos todos os tempos de reação aos estimulos 
devemos calcular o Desvio Padrão Populacional, dado por 
( )2i i
i
x x f
f
 
− ⋅  σ =
∑
∑
 
 
Começamos calculando os desvios ( )2i ix x f− ⋅ , usando fi =1. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2
4 4
2 2
5 5
2 2
6 6
2 2
7 7
x x f 0,53 0,50 1 0,0009
x x f 0, 46 0,50 1 0, 0016
x x f 0,50 0,50 1 0
x x f 0, 49 0,50 1 0, 0001
x x f 0,52 0,50 1 0, 0004
x x f 0, 44 0,50 1 0, 0036
x x f 0,55 0,50 1 0,0025
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ =
 
 
Somando os desvios temos 0,0091. E substituindo na fórmula: 
( )2i i
i
x x f 0,0091 0,0013 0,036
7f
 
− ⋅  σ = = = ≅
∑
∑
 
 
E assim, o devio-padrão é de 0,036 segundos, aproximadamente. 
 
 
APÊNDICE A 
 
Exercício Comentado 1. 
Considere o resultado de dois testes obtidos por um grupo de internautas: 
 
xi 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37 
yi 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25 
 
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre os testes obtidos. 
b) Determinar a função de regressão linear. 
c) Estimar y para x = 50. 
 
Solução: 
Para calcular o que é solicitado deve-se organizar um quadro, conforme a seguir: 
 
n xi yi xi . yi xi2 yi2 
1 11 13 143 121 169 
2 14 14 196 196 196 
3 19 18 342 361 324 
4 19 15 285 361 225 
5 22 22 484 484 484 
6 28 17 476 784 289 
7 30 24 720 900 576 
8 31 22 682 961 484 
9 34 24 816 1156 576 
10 37 25 925 1369 625 
 ΣΣΣΣ 245 194 5069 6693 3948 
 
a) Para determinar o coeficiente de correlação usamos 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
i i i i
2 22 2
i i i i
n x y x y
r
n x x n y y
⋅ −
=
   
− ⋅ −
      
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
, e substituindo os valores calculados no quadro, temos: 
 
[ ] [ ]
( ) ( )
2 2
10 5069 245 194
r
10 6693 245 10 3948 194
50690 47530
r
66930 60025 39480 37636
3160
r
6905 1844
3160
r
12732820
3160
r 0,8856
3568,3077
⋅ − ⋅
=
   
⋅ − ⋅ ⋅ −   
−
=
− ⋅ −
=
⋅
=
≅ ≅
 
 
Assim, o coeficiente de correlação de Pearson entre os dois testes é de 0,8856, aproximadamente. 
 
 
b) A regressão linear é dada pela função Y = aX + b onde 
i i i i
2 2
i i
n x y x y
a
n x ( x )
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
 e b y ax= − 
Para o cálculo do coeficiente a substituimos os valores calculados no quadro anteiriormente na fórmula dada: 
 
2
10 5069 245 194
a
10 6693 245
50690 47530
a
66930 60025
3160
a
6905
a 0, 4576
⋅ − ⋅
=
⋅ −
−
=
−
=
=
 
 
Para o cálculo do coeficiente b precisamos determinar as médias de xi e yi: 
i
11 14 19 19 22 28 30 31 34 37 245
x 24,5
10 10
+ + + + + + + + +
= = = 
i
13 14 18 15 22 17 24 22 24 25194y 19, 4
10 10
+ + + + + + + + +
= = = 
Substituindo esses valores na fórmula, temos: 
 
b y ax
b 19, 4 0, 4576 24,5
b 19, 4 11, 2112
b 8,1888
= −
= − ⋅
= −
=
 
 
E assim, temos a função deregressão linear, dada por Y = 0,4576·X + 8,1888. 
 
c) Agora podemos estimar o valor de y para x= 50, substituindo na função de regressão linear 
�
�
�
Y 0, 4576 X 8,1888
Y 0, 4576 50 8,1888
Y 22,88 8,1888 31, 0688
= ⋅ +
= ⋅ +
= + =
 
E assim, para um X estimado igual a 50, temos que o valor de Y é aproximadamente, 31.