Diagramas de Blocos e Funções de Transferência

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Diagramas de blocos
O diagrama de blocos de um sistema é representado pela figura abaixo.
G(s)
Y(s)U(s)
As setas indicam o sentido do fluxo dos sinais.
U(s) é o sinal de entrada;
Y (s) é o sinal de saída e
G(s) é a função de transferência.
A função de transferência G(s) é dada por
G(s) =
Y (s)
U(s)
∣∣∣∣
com condições iniciais nulas.
(1)
Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada
E(s)
realimentação
ouretroação
ou"feedback"
X(s)
+
-
R(s)
G(s)
H(s)
Y(s)
R(s) é o sinal de entrada desejado, referência ou “set-point”;
Y (s) é o sinal da saída real do sistema em malha fechada ;
E(s) é o sinal de erro, dado por:
E(s) = R(s)−X(s) = R(s)−H(s)Y (s) , (2)
sendo que os sinais R(s) e X(s) devem possuir a mesma unidade.
O bloco G(s) tem como entrada o sinal de erro E(s), que por sua vez depende da saída Y (s), caracterizando
assim, um sistema com realimentação, retroação ou “feedback”.
Normalmente, a saída Y (s) do sistema G(s) é uma grandeza física. Se Y (s) representar a temperatura em
graus Celsius de um sistema térmico, então é necessário utilizar um sensor H(s), que converta essa temperatura
de graus Celsius para, por exemplo, tensão elétrica em Volts. Desse modo, a saída do sensor H(s) pode então
ser comparada com a referência R(s) também em Volts, gerando assim o sinal de erro E(s).
Função de transferência de malha fechada
É a divisão da saída Y (s) da malha fechada pela entrada de referência R(s), ou seja, Y (s)/R(s).
Y (s) = G(s)E(s)
= G(s)(R(s)−X(s))
= G(s)[R(s)−H(s)Y (s)]
= G(s)R(s)−G(s)H(s)Y (s) .
Y (s) +G(s)H(s)Y (s) = G(s)R(s)
Y (s)[1 +G(s)H(s)] = G(s)R(s) .
Assim, a função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
. (3)
Quando H(s) = 1, diz-se que o sistema em malha fechada tem realimentação unitária.
Nesse caso, não há nenhum bloco no ramo de realimentação, conforme representado na figura abaixo.
E(s)
realimentaçãounitária
+
-
R(s)
G(s)
Y(s)
Para H(s) = 1, a função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)
. (4)
Função de transferência de malha aberta
É a função que se encontra em cascata, ao percorrer a malha de realimentação, sem considerar o somador.
Para obter essa função basta multiplicar os blocos que estiverem na malha de realimentação, ou seja:
Gma(s) = G(s)H(s) . (5)
Quando H(s) = 1
Gma(s) = G(s) . (6)
Gráfico de fluxo de sinais
É uma técnica para a representação de sistemas de controle semelhante à representação por meio de diagramas
de blocos.
Na representação por meio de diagramas de blocos, a função de transferência G(s) é indicada dentro de um
bloco e o sinal de entrada U(s) e saída Y (s) são indicados por setas entrando e saindo do bloco, respectivamente.
Já na representação por meio de gráficos de fluxo de sinais, a função de transferência G(s) é indicada por
uma seta nos ramos e os sinais de entrada U(s) e saída Y (s) são indicados por meio de nós somadores.
Diagrama de blocos Gráfico de fluxo de sinais
U(s)
U(s)
entrada
entrada saída
nóde nóde
saída
G(s)G(s)
Y(s)
Y(s)
Num gráfico de fluxo de sinal, um nó sempre soma os sinais de todos os ramos que chegam e transmite essa
soma para os ramos que saem. Assim, para subtrair um sinal de outro é necessário trocar o sinal na função de
transferência e não no nó somador.
2
Exemplos
Diagrama de blocos Gráfico de fluxo de sinais
1
1
1
1
1
R(s)
R(s)
E(s)
E(s)
E(s) A(s)
G(s)
G(s)
Y(s)
Y(s)
-H(s)
-H(s)
-H(s)
H(s)
H(s)
G(s) G(s)
G(s) G(s)
-H(s)
Y(s)
Y(s)
E(s)
E(s)
A(s) B(s)E(s)
N(s)
N(s)
R(s)
R(s)
R(s)
+
+
+ +
+
+
-
-
--
G(s)
G(s)
H(s)
H(s)
Y(s)
Y(s)
Y(s)
11
2
2
1
1 2
1 2
1
R(s) Y(s)
B(s)
Exercícios
1) Determine a função de transferência Y (s)/R(s) do sistema a seguir.
A(s)R(s) 2 5
s+1 s 1-
Y(s)
Solução
Aplicando a definição de função de transferência nos dois blocos tem-se que
A(s)
R(s)
=
2
s+ 1
=⇒ A(s) = 2
s+ 1
R(s) . (7)
Y (s)
A(s)
=
5
s− 1 =⇒ Y (s) =
5
s− 1A(s) . (8)
Substituindo a equação (7) na equação (8), obtém-se
Y (s) =
5
(s− 1)
2
(s+ 1)
R(s) =
10
s2 + s− s− 1 =
10
s2 − 1R(s) . (9)
Portanto
Y (s)
R(s)
=
10
s2 − 1 . (10)
Regra prática
Para obter a função de transferência de blocos ligados em série, basta multiplicar a função de transferência
de cada um dos blocos.
3
2) Desenhe o gráfico de fluxo de sinais e determine a função de transferência Y (s)/R(s) do sistema a seguir.
E(s) KE(s)
Controlador Processo
Sensor
Saída
R(s)
Referência Erro
+
-
Y(s)1
s
s+1
K
Solução
Gráfico de fluxo de sinais
E(s)
-s
U(s)K1 1
1
s+1
R(s)
Y(s)
Y(s)
Definindo
G(s) = K
1
s+ 1
(11)
e
H(s) = s . (12)
a função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
=
K
s+1
1 + Ks+1s
=
K
s+1
s+1+Ks
s+1
=
K
(1 +K)s+ 1
. (13)
3) Determine a função de transferência Y (s)/R(s) do sistema a seguir.
R(s) +
+
Y(s)A(s)
G (s)
G (s)
1
2
B(s)
1
5
s+1
Solução
A saída do somador é dada por
Y (s) = A(s) +B(s) . (14)
Como A(s) = G1(s)R(s) e B(s) = G2(s)R(s), então
Y (s) = G1(s)R(s) +G2(s)R(s) = [G1(s) +G2(s)]R(s) . (15)
Portanto
Y (s)
R(s)
= G1(s) +G2(s) =
1
s+ 1
+ 5 =
1 + 5(s+ 1)
s+ 1
=
5s+ 6
s+ 1
. (16)
4
4) Determine a função de transferência Y (s)/R(s) do sistema a seguir.
H s( )1
H s( )2
G s( )1
Y s( )R s( ) E( )s
- -
+ +
Solução
A função de transferência da malha fechada interna é dada por
G2(s) =
Y (s)
E(s)
=
G1(s)
1 +G1(s)H1(s)
. (17)
O diagrama simplificado apenas com a realimentação externa está representado na figura abaixo.
H s( )2
G s( )2
Y s( )R s( ) E( )s
-
+
Aplicando a fórmula da função de transferência de malha fechada novamente obtém-se
Y (s)
R(s)
=
G2(s)
1 +G2(s)H2(s)
=
G1(s)
1+G1(s)H1(s)
1 + G1(s)1+G1(s)H1(s)H2(s)
=
G1(s)
1+G1(s)H1(s)
1+G1(s)H1(s)+G1(s)H2(s)
1+G1(s)H1(s)
=
G1(s)
1 +G1(s)H1(s) +G1(s)H2(s)
.
Classificação dos sistemas
Os sistemas podem ser classificados quanto ao número de entradas e saídas como:
SISO (Single Input Single Output): Sistema com uma entrada e uma saída.
SIMO (Single Input Multiple Output): Sistema com uma entrada e múltiplas saídas.
MISO (Multiple Input Single Output): Sistema com múltiplas entradas e uma saída.
MIMO (Multiple Input Multiple Output): Sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas.
5
5) Classifique o sistema quanto ao número de entradas e saídas e determine a saída Y (s) em função das
entradas de referência R(s) e de distúrbio D(s).
E(s)
1 2
D(s)
R(s) + +
+
-
G(s) G(s)
H(s)
Y(s)
Solução
O sistema possui 1 saída, representada por Y (s) e 2 entradas: a referência R(s) e o distúrbio D(s).
Como o sistema possui 2 entradas e 1 saída, o diagrama de blocos representa um sistema MISO.
Para obter a saída Y (s), deve-se analisar o sistema em função de cada uma das entradas, separadamente, e
depois somar os efeitos. Supondo D(s) = 0, o sistema passa a ter apenas a entrada de referência R(s).
No diagrama de blocos a seguir, YR(s) representa a saída devida apenas à referência R(s).
E(s)
1 2
RR(s) +
-
G(s) G(s)
H(s)
Y (s)
A saída YR(s) é dada por
YR(s) =
G1(s)G2(s)
1 +G1(s)G2(s)H(s)
R(s) . (18)
Supondo R(s) = 0, o sistema passa a ter apenas a entrada de distúrbio D(s).
No diagrama de blocos a seguir, YD(s) representa a saída devida apenas ao distúrbio D(s).
E(s)
1 2
D(s)
+
+
-
G(s) G(s)
H(s)
DY (s)
A saída YD(s) é dada por
YD(s) = G2(s) [ D(s)−G1(s)H(s)YD(s)] = G2(s)D(s)−G1(s)G2(s)H(s)YD(s) . (19)
Isolando a saída YD(s), obtém-se
YD(s) =
G2(s)
1 +G1(s)G2(s)H(s)
D(s) . (20)
A saída Y (s) do sistema original é dada pela soma de YR(s) com YD(s), ou seja,
Y (s) = YR(s) + YD(s) =
G1(s)G2(s)
1 +G1(s)G2(s)H(s)
R(s) +
G2(s)
1 +G1(s)G2(s)H(s)
D(s) . (21)
6
6) Determine a função de transferência Y (s)/R(s) do sistema a seguir.
H s( )1
H s( )
2
G s( )
Y s( )R s( ) E( )s X( )s
-
+ +
+
Solução
Do diagrama tem-se que o sinal de saída Y (s) é dado por
Y (s) = X(s) +H1(s)E(s) . (22)
Substituindo o sinal X(s) = G(s)E(s), então
Y (s) = G(s)E(s) +H1(s)E(s) = [ G(s) +H1(s) ] E(s) . (23)
O sinal de erro E(s) é dado por
E(s) = R(s)−H2(s)X(s) = R(s)−H2G(s)E(s) . (24)
Isolando E(s) obtém-se
E(s) [ 1 +G(s)H2(s) ] = R(s) =⇒ E(s) = R(s)1 +G(s)H2(s) . (25)
Substituindo E(s) na Equação (23) obtém-se
Y (s) = [ G(s) +H1(s) ]
R(s)
1 +G(s)H2(s)
. (26)
Portanto, a função de transferência Y (s)/R(s) resulta como
Y (s)
R(s)
=
G(s) +H1(s)
1 +G(s)H2(s)
. (27)
7