P1 - Cálculo 1 - UNIFEI

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UNIFEI-UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Primeira Avaliação de Cálculo 1-2017
Aluno(a):
Professor:
1. (33 pontos) Para cada uma das funções a seguir determine o domínio, imagem e esboce o
gráfico de cada uma delas usando translações e dilatações.
(a) f(x) = 3− 2 cos(x− pi)
(b) g(x) =
√
x+ 1− 2
2. (34 pontos)
(a) Seja f(x) =

x2 + a, se x < −1
1
(x−1)2 , se − 1 ≤ x ≤ 12
x+ c, se x > 12 .
Determine os valores de a e c para que f seja contínua e esboce seu gráfico.
(b) Mostre que a equação cos(x)− x = 0, tem uma raiz no intervalo (0, pi2 ).
3. (33 pontos) Calcule o limite, ou mestre que ele não existe.
(a) lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
(b) lim
h→0
(1 + 2h)3 − 1
h
(c) lim
x→−∞ cos
(
2x2 − 1
x3 + 5x− 2x+ 1
)
UNIFEI-UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Primeira Avaliação de Cálculo 1-2017
Aluno(a):
Professor:
1. (33 pontos)
(a) Considere a função f(x) = x
2
2x+2−x +
cos(x)
x4+1
. Determine se f é par, ímpar ou nem par,
nem ímpar.
(b) A partir do gráfico de f(x) =
√
x, esboce o gráfico da função g(x) = |2√x− 1 + 3|,
indicando os pontos de intersecção da curva com os eixos coordenandos. Justifique os
passos do seu procedimento completo.
2. (33 Pontos) Encontre o valor de cada um dos limites, caso existam e justifique quando não
existir.
(a) lim
t→0
(√
1 + t2 −√1− t2
t
)
· sin
(
1
t
)
(b) lim
x→1
x− 1
|x3 − x2|
(c) lim
x→+∞ sin
(
7x2 − x+ 1
5x3 − 4x2 + 6
)
3. (34 pontos)
(a) Seja f(x) =

1
x2
+ a, se x < −1
x2 − 1, se − 1 ≤ x < 1
−2x+ c, se x ≥ 1.
Determine os valores de a e c para que f seja contínua e esboce seu gráfico.
(b) Mostre que a equação 2−2x + 2x = 0, tem uma solução para x > 0.
UNIFEI-UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Primeira Avaliação de Cálculo 1-2017
Aluno(a):
Professor:
1. (33 pontos)
(a) Considere a função f(x) = x3x−1 +
x
2 , para x 6= 0. Determine se f é par, ímpar ou
nenhuma delas.
(b) A partir do gráfico de f(x) =
√
x, esboce o gráfico da função g(x) = |2√x+ 1 − 4|,
indicando os pontos de intersecção da curva com os eixos coordenados. Justifique os
passos do seu procedimento completo.
2. (33 Pontos) Encontre o valor de cada um dos limites, caso existam e justifique quando não
existir.
(a) lim
t→0
√
1 + t−√1− t
t
(b) lim
h→0
(1 + h)3 − 1
h
(c) lim
x→+∞ ln
(
2x3 − 7x2 + x+ 1
5x3 − 4x2 + 6
)
3. (34 pontos)
(a) Seja f(x) =

x2 + a, se x < 1
1
(x−3)2 , se 1 ≤ x < 2
x+ b, se x ≥ 2.
Determine os valores de a e b para que f seja contínua e esboce seu gráfico.
(b) Encontre valores de m e n para que a função p(x) = x3 +mx2 + nx − 1, tenha pelo
menos uma raiz no intervalo aberto (0, 1). Justifique sua resposta.