CALCULO diferencial e integral 3

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Cálculo Diferencial e Integral III
 
Prof.ª Sandra Regina Leme Forster 
 1
Sandra Regina Leme Forster 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
 
Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 APRESENTAÇÃO 4
 INTRODUÇÃO 5
1 A INTEGRAL: INTERPRETAÇÕES E O TEOREMA 
FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
6
1.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA (UMA ESTIMATIVA) 6
1.1.1 Exemplos 11
1.2 DISTÂNCIA PERCORRIDA E ÁREA ABAIXO DE UMA CURVA 
(VALOR COM PRECISÃO) 
12
1.2.1 Exemplo 19
1.3 A INTEGRAL DEFINIDA E A ÁREA ABAIXO DE UMA CURVA 21
1.3.1 Exemplo 23
1.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 27
1.4.1 Um Pouco de História 28
1.4.1.1 Exemplos 28
1.4.2 Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) 32
1.4.2.1 Exemplos 34
1.5 EXERCÍCIOS 36
2 PRIMITIVAS 40
2.1 EXEMPLOS 40
2.2 EXEMPLOS 41
2.3 DERIVADA E INTEGRAL DE ALGUMAS FUNÇÕES 
ELEMENTARES 
42
2.4 REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO 45
2.5 EXERCÍCIOS 45
3 ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 46
3.1 INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO 46
3.1.1 Exemplos 46
3.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 51
3.2.1 Exemplos 51
3.2.2 Exemplos 52
3.3 INTEGRAÇÃO POR PARTES 60
3.3.1 Exemplos 61
3.4 INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 70
3.4.1 Exemplos 70
3.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÃO RACIONAL 75
3.5.1 Exemplos 76
3.6 EXERCÍCIOS 82
4 FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 88
4.1 DEFINIÇÕES 88
4.1.1 Função de Duas Variáveis 88
4.1.2 Função de Várias Variáveis 89
4.2 APLICAÇÕES 90
4.3 DOMÍNIO E IMAGEM 91
4.3.1 Definição do Domínio e da Imagem de Uma Função de Duas 
Variáveis Independentes 
91
4.3.2 Definição do Domínio e da Imagem de uma Função de Várias 
Variáveis Independentes 
94
4.4 GRÁFICO 96
4.4.1 A Esfera 97
4.4.1.2 Traços de Superfície 98
4.4.2 O Plano 99
4.4.3 Superfícies Quádricas 101
4.4.3.1 Cone Elíptico 102
4.4.3.2 Parabolóide Elíptico 102
4.4.3.3 Parabolóide Hiperbólico 103
4.4.3.4 Elipsóide 104
4.4.3.5 Hiperbolóide de Uma Folha 104
4.4.3.6 Hiperbolóide de Duas Folhas 105
14.5 CURVAS DE NÍVEL 106
4.6 EXERCÍCIOS 108
 CONSIDERAÇÕES FINAIS 111
 REFERÊNCIAS 112
 ANEXO 113
 
 4
 
APRESENTAÇÃO 
 
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila 
de Cálculo Diferencial e Integral III, parte integrante de um conjunto de materiais de 
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância 
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação 
do conteúdo básico da disciplina. 
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por 
meio de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio 
e e-mail. 
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a 
Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as 
bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a 
redes de informação e documentação. 
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no 
seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado 
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo 
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. 
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em 
qualquer lugar! 
 
 
Unisa Digital 
 5
INTRODUÇÃO 
 
Esta apostila destina-se aos alunos do curso de Engenharia com a 
finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral III. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os 
conhecimentos e de auxiliar o aluno do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD). 
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, 
aplicações em forma de exercícios resolvidos que aparecem como exemplos e 
exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados. 
Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva para o 
aprendizado dos alunos, porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das 
atividades e interação no correio, fóruns de discussões e chats são fundamentais 
para o seu sucesso. 
Os tópicos apresentado são essenciais para entendermos o conceito, as 
técnicas e as aplicações das Integrais das funções de uma variável e, ainda, a 
introdução de conteúdos referentes às funções de duas ou mais variáveis. No 
capítulo 1, tem-se a Integral: Interpretações e o Teorema Fundamental do Cálculo 
(T.F.C.), ou seja, a integral é definida por meio de exemplos em que são usadas 
somas de áreas e com isso também definimos o T.F.C. No capítulo 2, são 
apresentadas as primitivas ou antiderivadas, a integral é apresentada como uma 
inversa da derivada e, a partir dessa “ideia”, são deduzidas as fórmulas de 
integração imediata, as quais serão utilizadas ao longo do desenvolvimento dessa 
disciplina. No capítulo 3, são apresentados quatro métodos de integração, o da 
decomposição, da substituição, integração por partes e a integração de funções 
racionais. No capítulo 4, estudaremos a introdução da função de duas ou mais 
variáveis. 
Caso discordem de algo apresentado nesta apostila, comunique ao 
professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o 
curso a cada trimestre. 
 
Sandra Regina Leme Forster 
 6
1 A INTEGRAL: INTERPRETAÇÕES E O TEOREMA FUNDAMENTAL 
DO CÁLCULO 
 
 No primeiro capítulo da apostila de Cálculo: Derivadas, foi apresentada a 
interpretação geométrica e física da derivada. Vimos que a derivada de uma função 
em um ponto apresenta a taxa de variação instantânea e um exemplo disso é a 
velocidade instantânea, ou seja, a velocidade que um móvel apresenta em um 
determinado instante. Na ocasião, estudamos a velocidade de um móvel com 
destino de São Paulo (Capital) ao município de Extrema (MG), os quais estão a 
aproximadamente 110 Km de distância. 
 Agora queremos fazer o processo inverso, faremos uma estimativa da 
distância percorrida, uma vez tendo como dados a velocidade e o tempo. 
 No ensino médio, no estudo da disciplina de Física, com certeza você 
resolveu diversos problemas sobre a velocidade. Então, deve estar lembrado que, se 
a velocidade for uma constante, podemos encontrar a distância usando a fórmula 
“Distância = Velocidade x Tempo”, mas retornando ao problema real, por exemplo, 
do móvel que está indo de São Paulo a Extrema por uma rodovia movimentada, que 
apresenta alguns trechos com curvas perigosas, alguns problemas no asfalto, 
pedágios, trechos que atravessam as zonas urbanas, etc, como fazer essa viagem 
com uma velocidade constante? É impossível! Correto? Nesse tópico, veremos 
como fazer uma estimativa da distância quando a velocidade não é uma constante. 
 Em um primeiro momento, não apresentaremos como exemplo a situação 
do móvel que se move de São Paulo a Extrema, mas apenas em um pequeno 
intervalo dessa viagem, pois, para a viagem toda, além de não considerarmos a 
velocidade como uma constante, deveríamos apresentá-la como crescente, 
decrescente e constante em diversos trechos, o que ocasionaria certa dificuldade no 
entendimento do que se deseja apresentar. 
 
1.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA (UMA ESTIMATIVA) 
 
Suponha que queremos determinar a distância percorrida em 1 minuto e 
que, nesse período, o carro tenha se movimentado com velocidade crescente. 
Web 
Estimativa 
Superior e Inferior 
 7
Inicialmente, vamos supor que a velocidade seja registrada a cada 10 segundos, 
como a tabela 1.1 apresenta. 
 
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 
Velocidade (km/h) 36 54,4 57,6 79,2 100,8 122,4 144 
Velocidade (m/s) 10 14 16 22 28 34 40 
Tab. 1.1 – Velocidade do carro a cada 10 segundosQual é a distância que o carro percorreu nesses 60 segundos? Como não 
sabemos a velocidade que o carro está a cada instante (sabemos apenas nos instantes 
apresentados na tabela acima), não podemos calcular a distância exatamente, mas 
podemos fazer uma estimativa. Como a velocidade é crescente, o carro percorre no 
mínimo 100 metros ao longo dos primeiros 10 segundos. Pois se percorre 10 metros 
em 1 segundo, como distância = velocidade x tempo, em 10 segundos percorrerá 
10m/s x 10s = 100 m. 
Calculando de modo análogo as distâncias nos demais pontos, o carro 
percorre no mínimo 140 metros (no período de 10 a 20 segundos), no mínimo 160 
metros (de 20 a 30 segundos), no mínimo 220 metros (de 30 a 40 segundos), no 
mínimo 280 metros (de 40 a 50 segundo), no mínimo 340 metros (de 50 a 60 
segundos). Dessa forma, em um período de 60 segundos (1 minuto), ele percorre, 
no mínimo: 
(10)(10) + (14)(10) + (16)(10) + (22)(10) + (28)(10) + (34)(10) = 1240 metros. 
 Assim, 1240 metros é uma estimativa inferior da distância total percorrida 
ao longo de 1 minuto. 
 Para obter a estimativa superior, faremos da seguinte maneira: ao longo 
dos 10 primeiros segundos, o carro percorre no máximo 140 metros, nos próximos 
10 segundos, ou seja, (10 a 20 segundos) percorre no máximo 160 metros, (de 20 a 
30 segundos) no máximo 220 metros, (de 30 a 40 segundos) no máximo 280 metros, 
(de 40 a 50 segundo) no máximo 340 metros e (de 50 a 60 segundos) no máximo 
400 metros. Dessa forma, em um período de 60 segundos (1 minuto), ele percorre, 
no máximo: 
140 + 160 + 220 + 280 + 340 + 400 = 1540 metros. 
 Assim, 1540 metros é uma estimativa superior da distância total 
percorrida ao longo de 1 minuto. 
 8
 Portanto, a distância total percorrida está entre 1240 metros a 1540 
metros: 
1240 metros ≤ Distância total percorrida ≤ 1540 metros. 
Existe uma diferença de 300 metros entre nossas estimativas superior e 
inferior. 
Podemos representar essas estimativas, superior e inferior em um gráfico 
da velocidade. Veja na figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1 – Representação gráfica da velocidade medida a cada 10 segundos 
 
Para esboçar este gráfico, usamos os dados da tabela 1.1 e traçamos 
uma curva suave por meio dos pontos plotados. A área do primeiro retângulo escuro 
(10)(10) = 100 é a estimativa inferior da distância percorrida durante os 10 primeiros 
segundos. A área do segundo retângulo escuro é igual a (14)(10) = 140, que é a 
estimativa inferior da distância percorrida no segundo intervalo de 10 segundos. 
Portanto, a área total dos retângulos escuros representa a estimativa inferior da 
distância total percorrida durante os 60 segundos. 
Considerando, conjuntamente, os retângulos escuros e os claros, então, a 
primeira área é igual a (14)(10) = 140, que é a estimativa superior para a distância 
percorrida durante os 10 primeiros segundos. Prosseguindo nesses cálculos, 
obtemos que a estimativa superior para a distância total percorrida é representada 
Estimativa superior 
(área dos 
retângulos escuros 
e claros) 
Estimativa inferior 
(área dos 
retângulos escuros) 
10 20 30 40 50 60 
 
10 
 
14 
 
16 
 
22 
 
28 
 
34 
 
40 
Velocidade 
Tempo 
Diferença entre 
as estimativas
 10 
30 = 40 - 10 
 9
pela área dos retângulos claros e dos retângulos escuros. Portanto, a área apenas 
dos retângulos claros representa a diferença entre as duas estimativas. 
Para representar a diferença entre as duas estimativas, observe a figura 
1.1 e imagine as partes claras que você pode visualizar dos retângulos deslocadas 
para a direita e empilhadas uma em cima da outra. Isso dá um retângulo de base 10 
e altura 30. Observe que a altura 30 é a diferença entre os valores inicial e final da 
velocidade, 30 = 40 – 10; e a base 10 é o intervalo de tempo entre as medidas das 
velocidades. 
 Vamos verificar o que ocorre se estudarmos essas distâncias observando 
registros de 5 em 5 segundos. Veja a tabela 1.2. 
 
Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 
Velocidade (m/s) 10 12 14 15 16 18 22 
Tempo (s) 35 40 45 50 55 60 
Velocidade (m/s) 26 28 32 34 39 40 
Tab. 1.2 – Velocidade do carro a cada 5 segundos 
 
 Como anteriormente, tomando a velocidade em cada intervalo de 5 
segundos, obtemos uma estimativa inferior para este grupo de 5 segundos. Durante 
os primeiros 5 segundos, a velocidade tem valor de no mínimo 10 m/s e, portanto, o 
carro percorre no mínimo, (10)(5) = 50 metros. Durante os próximos 5 segundos, o 
carro percorre, no mínimo (12)(5) = 60 metros, e assim por diante. Então, podemos 
agora dizer que a estimativa inferior será dada por: 
(10)(5) + (12)(5) + (14)(5) + (15)(5) + (16)(5) + (18)(5) + (22)(5) + (26)(5) + (28)(5) + 
(32)(5) + (34)(5) + (39)(5) = 50 + 60 + 70 + 75 + 80 + 90 + 110 + 130 + 140 + 160 + 
170 + 195 = 1330 m. 
 Observe que esse valor é maior do que a estimativa anterior de 1240 m. 
 Obtemos uma nova estimativa superior considerando a velocidade ao final 
de cada intervalo de 5 segundos. Durante o primeiro 5 segundos, a velocidade é de, 
no máximo 12 m/s e, portanto, o carro percorre, no máximo, (12)(5) = 60 metros; 
durante o próximo intervalo de 5 segundos, ou seja, de (5 a 10 segundos) ele 
percorre no máximo (14)(5) = 70 metros, e assim por diante. Portanto: 
 
 10
(12)(5) + (14)(5) + (15)(5) + (16)(5) + (18)(5) + (22)(5) + (26)(5) + (28)(5) + (32)(5) + 
(34)(5) + (39)(5) + (40)(5) = 60 + 70 + 75 + 80 + 90 + 110 + 130 + 140 + 160 + 170 + 
195 + 200 = 1480 m. 
 Este valor é menor do que a estimativa superior anterior de 1540 metros. 
Agora sabemos que: 
1330 metros ≤ Distância total percorrida ≤ 1480 metros. 
 Observe que a diferença entre as novas estimativas superior e inferior é, 
agora, de 150 m, metade do que era antes. Cortando pela metade o tamanho dos 
intervalos entre medidas, cortamos pela metade a diferença entre as estimativas 
inferior e superior. 
 Podemos observar essas estimativas, inferior e superior, em um novo 
gráfico da velocidade. 
 Os dados para a velocidade, medida a cada 5 segundos, estão na figura 
1.2. A área dos retângulos escuros representa, mais uma vez, a estimativa inferior e 
a área da união dos retângulos claros e escuros representa a estimativa superior. 
Como antes, a diferença entre as duas estimativas é representada pela área dos 
retângulos claros. Essa diferença pode ser calculada empilhando-se os retângulos 
claros verticalmente, 
Fig. 1.2 – Representação gráfica da velocidade medida a cada 5 segundos 
 
Tempo 10 20 30 40 50 60 
 
10 
 
14 
 
16 
 
22
 
28 
 
34 
 
40 
Velocidade 
15 25 35 45 55 5 
 
12 
 
18 
 
26 
 
32 
 
39 
 
15 
Estimativa superior 
(área dos 
retângulos escuros 
e claros) 
Estimativa inferior 
(área dos 
retângulos escuros) 
Diferença entre 
as estimativas
 
5 
30 = 40 -10 
 11
Obtendo, assim, um retângulo com mesma altura do anterior, mas com a metade da 
base. Portanto, sua área é a metade da anterior. Mais uma vez, sua altura é 30 = 40 
– 10, e sua base é o intervalo de tempo 5. 
 
1.1.1 Exemplos 
 
1) Qual seria a diferença entre as estimativas superior e inferior se a velocidade 
fosse dada a cada 2,5 segundos? E se fosse dada a cada segundo? E a cada 
décimo de segundo? 
 
Solução 
A cada 2,5 segundos: (40 – 10).(2,5) = 30.(2,5) = 75 metros. 
A cada segundo: (40 – 10).(1) = 30.(1) = 30 metros. 
A cada décimo de segundo: (40 – 10).(1/10) = 30.(1/10) = 3 metros.2) Com que frequência devemos marcar as velocidades de modo a estimar a 
distância total percorrida com uma precisão de 1 metro? 
 
Solução 
Agora queremos determinar a frequencia, ou seja, o intervalo de tempo, em que 
iremos anotar a velocidade do móvel. Se a distância total percorrida deverá ter uma 
precisão de 1 metro, significa a diferença entre as estimativas superior e inferior 
deverá ser menor de 1 metro. 
A diferença entre a velocidade no início e no final do intervalo de observação é 40 – 
10 = 30. e o intervalo de tempo entre as medidas é h, então a diferença entre as 
estimativas superior e inferior é (30).h. Queremos 
(30)h < 1, 
o que nos dá 
03,0h
30
1h ≅⇒< . 
Assim, se as medidas forem feitas a intervalos menores do que 0,03 segundo, a 
estimativa da distância terá precisão inferior a 1 metro. 
 
 12
1.2 DISTÂNCIA PERCORRIDA E ÁREA ABAIXO DE UMA CURVA (VALOR COM 
PRECISÃO) 
 
No tópico anterior, fizemos estimativas das distâncias 
percorridas por um móvel a partir da velocidade em determinados 
instantes. Agora, vamos ver como é que se determinam essas 
distâncias com precisão. Para isso, devemos obter uma expressão 
que apresentará essa distância percorrida. 
Vamos expressar a distância exata percorrida como um limite de 
estimativas, assim como expressamos a velocidade instantânea como um limite de 
velocidades médias, na apostila de Cálculo: Derivadas, onde vimos que 
t
slimV
0ttâneatanins Δ
Δ= →Δ 
 No exemplo do tópico anterior, apresentamos uma estimativa da distância 
percorrida por um mesmo móvel em duas situações: 
1ª) a partir dos registros das velocidades em cada 10 segundos; 
2ª) a partir dos registros das velocidades em cada 5 segundos. 
Nesses dois casos, as velocidades foram registradas em tempos 
igualmente espaçados, ou seja, de 10 em 10 segundos e de 5 em 5 segundos. O 
tempo inicial, o qual podemos denominar de t0 é de t0 = 0 e o tempo final, o qual 
podemos denominar de tn é de tn = 60. Em cada uma das situações, é possível 
determinar o número de intervalos estudados, pois temos o intervalo de tempo a ser 
estudado e os tempos inicial e final. Na 1ª situação, temos t0 = 0 e tn = 60, logo o 
tempo total de estudo é de tn - t0 = 60 – 0 = 60 segundos. Além disso, os registros 
foram realizados de 10 em 10 segundos, o que nos leva a concluir que foram feitos 6 
registros após o 1º registro no tempo inicial de 0 segundo, ou seja: 
 
6
10
60
10
060 ==− , ou seja, n
t
tt
tt
tt
...
tt
tt
tt
tt 0n
1nn
0n
12
0n
01
0n =Δ
−=−
−==−
−=−
−
−
 (fórmula I) 
(onde Δt representa a variação, ou incremento, em t) 
 
De forma análoga, podemos verificar o número “n” de intervalos na 2ª 
situação, ou seja, para os intervalos de tempo de 5 segundos. 
Web 
Valor exato e 
Soma de Riemann 
 13
 O que pôde ser notado no estudo do tópico 1.1 é que, à medida que são 
diminuídos os intervalos de tempo, ou seja, intervalos de 10 segundos, 5 segundos, 
2,5 segundos, 1 segundo, 0,1 segundo, a distância percorrida pelo móvel aproxima-
se de seu valor real, ou seja, para intervalos de tempo tão pequenos (próximos de 
zero) a distância aproxima-se do valor real. Para diminuirmos o tamanho dos 
intervalos estudados, é necessário aumentarmos o número de intervalos, ou seja, 
quanto menor o tamanho do intervalo, maior a quantidade de intervalos. 
 Agora vamos estudar uma situação generalizada. Suponha que 
queiramos saber a distância percorrida por um objeto ao longo do intervalo de tempo 
a ≤ t ≤ b. A velocidade no instante t é dada por v = f(t). Suponha também que 
tomemos medidas de f(t) em instantes igualmente espaçados, t0, t1, t2 ... tn. Como t0 
= a e tn = b. O intervalo de tempo entre duas medidas consecutivas é 
n
abt −=Δ (essa fórmula pode ser obtida por meio da fórmula I) 
Durante o primeiro intervalo de tempo, a velocidade pode ser aproximada 
por f(t0), de modo que a distância percorrida é de, aproximadamente, 
f(t0)Δt (pois vimos que distância = velocidade X tempo) 
 Durante o segundo intervalo de tempo, a velocidade está em torno de 
f(t1), de modo que a distância percorrida é cerca de 
f(t1)Δt. 
 Continuando desse modo e somando todas as estimativas, obtemos uma 
estimativa para a distância total. No último intervalo de tempo, a velocidade é, 
aproximadamente, f(tn-1). A estimativa para o último termo é, f(tn-1) Δt, de modo que 
Distância percorrida entre a e b ≅ f(t0)Δt + f(t1)Δt + f(t2)Δt + ... + f(tn-1) Δt. 
Esta expressão é chamada de soma à esquerda, pois usamos como valor 
da velocidade o da extremidade esquerda de cada intervalo de tempo. Ela pode ser 
representada pela soma das áreas dos retângulos da figura 1.3. Também podemos 
calcular a soma à direita usando como valor da velocidade o da extremidade direita 
de cada intervalo de tempo. Nesse caso, a estimativa para o primeiro intervalo de 
tempo é f(t1)Δt, para o segundo intervalo a estimativa é f(t2)Δt, e assim por diante. A 
estimativa para o último intervalo é, f(tn) Δt, de modo que 
Distância percorrida entre a e b ≅ f(t1)Δt + f(t2)Δt + f(t3)Δt + ... + f(tn) Δt. 
 
 14
 
A soma à direita é representada pela área dos retângulos da figura 1.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1.3 – Somas à esquerda Fig. 1.4 – Somas à direita 
 
Sendo f uma função crescente, a soma à esquerda será uma estimativa 
inferior para a distância total percorrida, já que para cada intervalo de tempo usamos 
a velocidade do início daquele intervalo para calcular a distância percorrida, 
enquanto que a velocidade continua a aumentar após aquela medida. Obtemos uma 
estimativa superior ao usar a velocidade do lado direito de cada intervalo de tempo. 
Os gráficos das figuras 1.3.e.1.4 podem ser representados em um único plano, como 
na figura 1.5. 
No gráfico da figura 1.6, observe que a curva é decrescente, ou seja, a 
função é decrescente. Veja que nessa situação, na soma à esquerda, teremos uma 
estimativa superior para a distância total percorrida e, na soma à direta, a estimativa 
inferior. 
Estudando a função crescente e a decrescente, podemos perceber que o 
valor exato da distância percorrida está em algum lugar entre as duas estimativas, 
ou seja, entre as estimativas superior e inferior. A precisão dessas estimativas 
depende da proximidade das duas somas. Tanto para a função crescente ou 
decrescente no intervalo [a,b]: 
| Diferença entre estimativa sup e inf | = |diferença entre f(a) e f(b)| x Δt = 
|f(b) – f(a)|. Δt 
Essa diferença é em módulo para torná-la não negativa. 
Tempo t1 .... 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Δt
f(t1) 
 
f(tn) 
tn = b Tempo t1 .... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Δt
f(t0) 
 
f(tn-1) 
 15
Tomando medidas suficientemente próximas, podemos tornar Δt tão 
pequeno quanto quisermos e, dessa forma, tornar as estimativas superior e inferior 
tão pequenas quanto quisermos. 
Para determinar a distância total exata percorrida entre os instantes a e b, 
tomamos os limites das somas, quando n, números de subdivisões do intervalo [a,b], 
tende para o infinito. A soma das áreas dos retângulos se aproxima da área abaixo 
da curva entre t = a e t = b, daí conclui-se que 
Distância percorrida entre a e b = )esquerdaàsoma(lim
n ∞→
 
]t)t(f...t)t(ft)t(f[lim 1n10n Δ++Δ+Δ −∞→ 
= Área abaixo da curva f(t) entre t = a e t = b 
e 
Distância percorrida entre a e b = )direitaàsoma(lim
n ∞→
 
]t)t(f...t)t(ft)t(f[lim n21n Δ++Δ+Δ∞→ 
= Área abaixo da curva f(t) entre t = a e t = b 
Fig.1.5 – Somas à esquerda e à direita para f cres. Fig.1.6 – Somas àdireita e a esquerda para f decres. 
 
 Assim, se n for suficientemente grande, as somas à esquerda e à direita 
são estimativas precisas para a distância percorrida. Esse método para calcular a 
distância, tomando-se o limite de uma soma, funciona mesmo que a velocidade não 
seja crescente ou decrescente ao longo do intervalo de tempo. 
 O texto acima apresenta uma situação em que a função estudada é a 
velocidade, porém isso é válido para qualquer função que seja contínua em a ≤ x ≤ 
b, com uma possível exceção de alguns pontos e limitada em todo o intervalo. Esse 
Tempo t1 .... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Δt
f(a) 
 
f(b) 
Tempo t1 .... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Δt
f(b) 
 
f(a) 
Δt 
f(b) – f(a) 
Diferença entre 
as estimativas 
 16
intervalo, da mesma forma que foi realizado para a função velocidade, pode ser 
dividido em n subintervalos iguais, denotados de Δx cada intervalo, como pode ser 
observado na figura 1.7. 
 
 
(a) 
4
abx −=Δ (b) 
8
abx −=Δ (c) 
n
abx −=Δ 
Fig. 1.7 – Divisões em subintervalos 
 
 Conforme ilustra a figura 1.8, notamos que a soma à esquerda de uma 
função crescente é dada pela área formada pela soma de retângulos de base Δx e a 
medida de sua altura igual ao valor funcional no ponto estudado, de forma que em 
cada retângulo essa altura é um segmento abaixo da curva, já a e soma à direita é 
dada pela área formada pela soma de retângulos de base Δx e a medida de sua 
altura igual ao valor funcional no ponto estudado, de forma que essa altura em cada 
retângulo é um segmento acima da curva. 
 Observe que as figuras 1.7 (c) e 1.8 evidenciam que quanto maior o 
número n de subintervalos, menor será cada intervalo, aumentará o número de 
retângulos, a área de cada retângulo será menor e, dessa forma, as faltas e os 
excessos na área total também serão menores (isso pode ser notado nas sobras e 
excessos das partes cinza claro de cada retângulo das figuras 1.7 (a) e (b)). Quanto 
maior o número de subintervalos, mais próximo da área real chegaremos. Fazer n 
tender a infinito é o mesmo que fazer a base de cada retângulo tender a zero, ou 
seja, é fazer cada retângulo aproximar-se de uma linha, tornando as diferenças das 
sobras e excessos praticamente insignificantes, ou seja, praticamente iguais a zero. 
Vamos escrever isso por meio de símbolos matemáticos (acompanhe isso após a 
figura 1.8). 
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x) 
x 
y 
a b
f(x)
f(b)
f(a) …..
x
y 
a b
f(x)f(b)
f(a) 
x
y
 17
 
Fig. 1.8 – Somas à esquerda e à direita 
 
Soma à Esquerda 
Atotal = A0 + A1 + A2 + A3 
 
Para um número finito de subintervalos (fig. 
1.7(a)). 
Atotal = A0 + A1 + A2 + ... + An-1 
 
Para um número infinito de subintervalos (fig. 
1.8). 
Atotal = i
1ni
0i
AΣ−== 
O simbolo Σ é um sigma maiúsculo, ou “S” 
grego, onde o Σ está informando que estamos 
somando os termos da forma Ai, começando em 
i = 0 e finalizando em i = n – 1. 
Atotal = t)t(f i
1ni
0i
ΔΣ−== 
 
Pois a área de cada retângulo é dada por f(ti)Δt. 
t)t(f...t)t(ft)t(ft)t(f 1n10i
1ni
0i
Δ++Δ+Δ=Δ −
−=
=Σ 
 
Desmembrando a soma do 1º ao n-ésimo menos 1 
termo das subdivisões. 
 t0= t1 t2 tn-1 = tn 
Este retângulo está por baixo 
do retângulo cinza escuro. 
Tem altura f(t1) e base Δt. 
Portanto, A1 = f(t1). Δt. 
Este retângulo está dentro 
do retângulo cinza claro. 
Tem altura f(t0) e base Δt. 
Portanto, A0 = f(t0). Δt. 
A0 A1 A2 
A1 
A4 An-1 An 
A soma inferior é a soma dos retângulos de cor cinza 
escuro. Inicia-se em A0 e finaliza-se em An-1. Essa 
soma apresenta uma aproximação para a área no 
intervalo [a,b] entre a curva e o eixo Ox. Todos esses 
retângulos estão abaixo da curva e, por isso, a soma 
dessas áreas resulta em uma área inferior. 
A1 
A0 
a b 
f(x)
f(b)
f(a)
x
y
 ... 
 18
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=Δ ΣΣ −==∞→
−=
=
t)t(flimt)t(f i
1ni
0in
i
1ni
0i
 
 
Usamos o limite, pois temos infinitos 
subintervalos, ou seja, n tendendo a um número 
infinito de subintrvalos. 
dt)t(ft)t(flimt)t(f
b
ai
1ni
0in
i
1ni
0i
∫ΣΣ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=Δ −=
=∞→
−=
=
 
A notação ∫ (de integral) é originária de um “S” 
antigo, que significa “soma”, da mesma forma 
que o Σ. O “dt” na integral vem do fator Δt. 
Observe que os limites do símbolo Σ são 0 e n – 
1, enquanto os limites para o símbolo ∫ são “a” 
e “b” 
 
 
Soma à direita 
Atotal = A1 + A2 + A3 + A4 
 
Para um número finito de subintervalos (fig. 
1.7(a)). 
Atotal = A0 + A1 + A2 + ... + An 
 
Para um número infinito de subintervalos (fig. 
1.8). 
Atotal = i
ni
1i
AΣ== 
O simbolo Σ é um sigma maiúsculo, ou “S” 
grego, onde o Σ está informando que estamos 
somando os termos da forma Ai, começando em 
i = 1 e finalizando em i = n. 
Atotal = t)t(f i
ni
1i
ΔΣ== 
 
Pois a área de cada retângulo é dada por f(ti)Δt. 
t)t(f...t)t(ft)t(ft)t(f n21i
ni
1i
Δ++Δ+Δ=ΔΣ== 
 
Desmembrando a soma do 1º ao n-ésimo menos 1 
termo das subdivisões. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=Δ ΣΣ ==∞→
=
=
t)t(flimt)t(f i
ni
1in
i
ni
1i
 
 
Usamos o limite, pois temos infinitos 
subintervalos, ou seja, n tendendo a um número 
infinito de intrvalos. 
dt)t(ft)t(flimt)t(f
b
ai
ni
0in
i
ni
1i
∫ΣΣ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=Δ =
=∞→
=
=
 
A notação ∫ (de integral) é originária de um “S” 
antigo, que significa “soma’, da mesma forma 
que o Σ. O “dt” na integral vem do fator Δt. 
Observe que os limites do símbolo Σ são 1 e n, 
enquanto os limites para o símbolo ∫ são “a” e 
“b” 
 
 
 19
Observação: ver fórmulas de somatórios na aula web citada à 
esquerda. 
Cada uma dessas somas é denominada se Soma de 
Riemann, a f é chamanda de integrando e “a” e “b” são chamados de 
limites de integração. 
 Quando os limites à esquerda e à direita, existem e são iguais para a 
soma com n tendendo ao infinito e com o integrando de uma função contínua em a ≤ 
x ≤ b, define a Integral definida como sendo o limite destas somas. 
 
Definição de Integral Definida: 
A integral definida da f, de “a” a “b”, denotada por ∫b
a
dt)t(f , é o limite das 
somas à esquerda ou à direita, com n subintervalos, quando n fica arbitrariamente 
grande. Ou seja, 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ== Σ∫ −==∞→∞→ t)t(flimesquerdaàsomalimdt)t(f i
1ni
0inn
b
a
 
e 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ== Σ∫ ==∞→∞→ t)t(flimdireitaàsomalimdt)t(f i
ni
1inn
b
a
 
 
1.2.1 Exemplo 
1) Determine as somas à esquerda e à direita com n = 4 e n = 10 para dt
t
15
1
∫ . Como 
fica a comparação dos valores destas somas com o valor verdadeiro da integral? 
Represente as somas por meio de um gráfico para n = 4 e para n = 10. 
 
Solução 
Tem-se que a = 1 e b = 5, de modo que para n = 4, 1
4
15t =−=Δ . Portanto, t0 = 1; t1 
= 2; t2 = 3; t3 = 4 e t4 = 5. 
Soma à esquerda = 
=Δ+Δ+Δ+Δ t)4(ft)3(ft)2(ft)1(f 
Web 
Somatório 
 20
083,2
12
25
12
346121.
4
11.
3
11.
2
11.
1
1
≅=
=+++=+++
 
 
Soma à direita = 
=Δ+Δ+Δ+Δ t)5(ft)4(ft)3(ft)2(f 
283,1
60
77
60
121520301.
5
11.
4
11.
3
11.
2
1
≅=
=+++=+++
 
A soma à esquerda é maior do que a área 
abaixo da curva e a soma à direita é 
menor, do que a área abaixo do gráfico de f(t) = 1/t, de t = 1 até t = 5, está entre 
1,283 e 2,083. Assim, .083,2dt
t
1283,1
5
1
≤≤ ∫ 
Quando n = 10, 4,0
10
15t =−=Δ . Portanto, t0 = 1; t1 = 1,4; t2 = 1,8; t3 = 2,2, t4 = 2,6,t5 
= 3; t6 = 3,4; t8 = 3,8; t8 = 4,2; t9 = 4,6, t10 = 5 
 
Soma à esquerda = 
t)6,4(ft)2,4(f...t)8,1(ft)4,1(ft)1(f Δ+Δ++Δ+Δ+Δ
 
76,1
4,0.
6,4
14,0.
2,4
1...4,0.
8,1
14,0.
4,1
14,0.
1
1
≅
≅+++++
 
 
Soma à direita = 
t)6,4(ft)2,4(f...t)8,1(ft)4,1(ft)1(f Δ+Δ++Δ+Δ+Δ
 
44,1
4,0.
5
14,0.
6,4
14,0.
2,4
1...4,0.
8,1
14,0.
4,1
1
≅
≅+++++
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−0.8
−0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
x
y
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−0.8
−0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
x
y
 21
A soma à esquerda é maior do que a área abaixo da curva e a soma à 
direita é menor, do que a área abaixo do gráfico de f(t) = 1/t, de t = 1 até t = 5, está 
entre 1,44 e 1,76. Assim, .76,1dt
t
144,1
5
1
≤≤ ∫ 
Obseve que as somas à esquerda e à direita limitam o valor verdadeiro da 
integral. À Medida que os subintervalos tornam-se menores, as somas à esquerda e 
à direita aproximam-se cada vez mais. 
 
1.3 A INTEGRAL DEFINIDA E A ÁREA ABAIXO DE UMA CURVA 
 
 Na apostila de Cálculo: Derivada, vimos que a notação de 
Leibniz, dy/dx, nos lembra que a derivada é o limite de uma razão 
incremental. Agora, vamos ver que a notação para a integral definida 
nos ajuda a lembrar do significado de integral. O símbolo ∫
b
a
dx)x(f , 
como vimos em “soma à esquerda” e “soma a direita”, é um limite de somas de 
termos da forma “f(x) vezes uma pequena diferença em x”. Formalmente, dx não é 
um objeto separado, mas sim uma parte do símbolo da integral. Assim, da mesma 
forma que consideramos df/dx , que significa “a derivada da função f em relação a x”, 
também consideramos ∫
b
a
dx)x(f um único símbolo que significa “a integral da função 
f em relação a x”. 
 No entanto, conforme pode-se ver na figura 1.8 e no texto sobre somas à 
esquerda e soma à direita, que antecede o exemplo 1.2.1, na ∫
b
a
dt)t(f , informalmente 
podemos considerar que dt representa uma variação de t, “infinitesimalmente” 
pequena que, nesse contexto, é multiplicado pelo valor de f(t). Esse enfoque é uma 
das interpretações dadas para a integral definida. Da mesma forma, podemos dar 
essa interpretação para ∫
b
a
dx)x(f . 
 
 
Web 
Integral definida 
determinada pelo 
cálculo de área 
 22
 
 
Fig. 1.9 – Integral definida .dx)x(f
b
a
∫ 
 
 A notação ∫
b
a
dx)x(f é lida integral definida de “a” a “b” da função f(x) dx. 
Pode ser considerada como uma soma de pequenas parcelas, fornecendo uma área 
total entre “a” e “b”, ver a sequência de gráficos da figura 1.9. 
Essa notação ajuda a determinar qual unidade deve ser usada no valor 
numérico da integral, já que os termos a serem somados são da forma f(x)dx, ou 
seja, “f(x) vezes uma pequena diferença em x”, a unidade de medida é o produto da 
unidade para x e da unidade para f(x). Assim, se f(x) e x são dimensões de um 
retângulo na unidade metro, então, ∫b
a
dx)x(f tem como unidade, metros x metros = 
m². Se f(x) fosse a velocidade de um móvel, dada em m/s e dx os intervalos de 
tempo em segundos, a unidade de medida da referiada integral definida seria “m/s x 
s = m”. 
 
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x)
x
y
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x)
x 
y 
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x)
x
y 
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x)
x 
y 
a b
f(x)
f(b)
f(a) A(x)
x
y 
 23
A Integral Definida como uma área 
 
Quando f(x) é positiva e a < b: 
Área abaixo do gráfico da f entre “a” e “b” é dada pela ∫b
a
dx)x(f 
 
Quando f(x) não é positiva e a < b: 
Área entre a curva da função f , o eixo x e o intervalo [a,b] é dado pelo oposto do 
valor numérico da ∫b
a
dx)x(f , ou seja, A = ∫− b
a
dx)x(f 
 
Quando f(x) é positiva para alguns valores de x e negativa para outros, 
e a < b: 
∫b
a
dx)x(f é a soma das áreas acima do eixo x, contadas positivamente, e das 
áreas abaixo do eixo x, contadas negativamente. 
 
1.3.1 Exemplo 
 
1) Considere a integral dxx4
2
2
2∫
−
− . Interprete a integral como uma área e determine 
seu valor exato. 
 
Solução 
Observe que a função integrando, ou seja, a f(x) = 2x4 − é a equação da semi-
circunferência. Veja que podemos reescrevê-la da seguinte forma: 2x4y −= , 
então, elevando os dois membros ao quadrado, vamos ter 
( ) ( ) 22222 x4yx4y −=⇒−= ⇒ 4yx 22 =+ . Daí, fica fácil notar que se trata de 
uma circunferência de centro (0,0) e raio = 2. Mas é importante observar que a 
função original vem de f(x) = 2x4 − . Como essa raiz quadrada assume apenas os 
 24
valores positivos, significa que temos como resposta apenas os valores positivos 
dessa circunferência e, dessa forma, teremos somente uma parte da circunferência, 
ou seja, a semicircunferência. 
 A integral é a área abaixo do gráfico de f(x) 
= 2x4 − , entre -2 e 2 e o eixo Ox, que é dada 
pela superfície do semicírculo de raio 2 e área 
π=π=π 2
2
4
2
r 2 . 
 
2) Considere a integral definida dx)1x(
1
1
2∫
−
− . 
a) Determine o valor dessa integral tendo como referência que 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ= Σ∫ ==∞→ x)x(flimdx)x(f i
ni
1in
b
a
. 
b) Qual é a relação entre a integral dx)1x(
1
1
2∫
−
− e a área da região limitada pela 
parábola y = x² -1 e o eixo x? 
 
Solução 
a) Vamos determinar a integral dx)1x(
1
1
2∫
−
− pelo processo da soma das áreas dos 
retângulos, conforme ilustra a 1ª figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−1 1
−1
x
y
... 
−1 1
−1
x
y
xi-1 xi 
f(xi-1) 
... 
Valores funcionais 
à esquerda
Δx 2Δx 3Δx 
Δx 
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
2.0
x
y
 25
Definimos, anteriormente, que a ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ= Σ∫ ==∞→ x)x(flimdx)x(f i
ni
1in
b
a
. Pelo desenho, podemos 
notar que os valores funcionais que estamos admitindo como os valores das alturas 
de cada retângulo são os valores à esquerda. Dessa forma, ao somarmos as áreas 
de todos os retângulos da figura, estaremos fazendo uma soma à esquerda. Cada 
retângulo apresenta a área dada por f(xi).Δx. Como o cálculo da integral definida da 
f, de “a” a “b” é o limite das somas à esquerda ou à direita, com n subintervalos, 
quando n fica arbitrariamente grande, tanto faz se iremos calcular essas somas à 
direita ou à esquerda. 
Observe que, se considerarmos a soma dos n-ésimos retângulos contidos no 
intervalo [0,1], vamos obter a dx)1x(
1
0
2∫ − . A figura mostra que o eixo Oy é um eixo 
se simetria do gráfico dessa função e, dessa forma, divide o gráfico em duas partes 
de mesma área, ou seja, dx)1x(
1
0
2∫ − dx)1x(
0
1
2∫
−
−= . Sendo assim, 
dx)1x(
1
1
2∫
−
− dx)1x(2
1
0
2∫ −= . 
Para determinar dx)1x(
1
0
2∫ − vamos dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada 
um com comprimento 
n
1
n
01x =−=Δ e vamos denotar o i-ésimo subintervalo de [xi-1, 
xi] 
 
 
 
 
Vamos ter: x0 = 0; x1 = Δx; x2 = 2Δx; x3 = 3Δx;...; xi-1 = (i-1)Δx; xi = iΔx e xn = 1. 
Estamos considerando as somas à esquerda, portanto 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=− −
=
=∞→ Σ∫ x)x(flimdx)1x( 1i
ni
1in
21
0
. 
Como xi-1 = (i-1)Δx e f(x) = x² -1, então f(xi-1) = [ [(i-1)Δx]²-1]. 
Logo, 
Δx 
x0=0 xn=1 x1=Δx x2=2Δx x(i-1)=(i-1)Δx xi=iΔx ... ... 
 26
[ ] [ ] ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ−Δ−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ−Δ−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ=− ΣΣΣ∫
=
=∞→
=
=∞→
−
=
=∞→
x1x)1i(limx1]x)1i[(limx)x(flimdx)1x( 22
ni
1in
2
ni
1in
1i
ni
1in
21
0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−Δ−= Σ==∞→ xx)1i(lim 32
ni
1in
. Mas 
n
1x =Δ , assim vamos ter: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− ΣΣ ==∞→
=
=∞→n
1
n
1)1i(lim
n
1
n
1)1i(lim 3
2
ni
1in
3
2
ni
1in
. 
 Por propriedade de somatório podemos escrever: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −− ΣΣ ==
=
=∞→
1
n
1)1i(
n
1lim
ni
1i
2
ni
1i
3n
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+− ΣΣ ==
=
=∞→
1
n
1)1i2i(
n
1lim
ni
1i
2
ni
1i
3n
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+− ΣΣΣΣ ==
=
=
=
=
=
=∞→
1
n
11i2i
n
1lim
ni
1i
ni
1i
ni
1i
2
ni
1i
3n
 
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−++∞→ n.n
1n
2
)1n(n22
6
)1n2)(1n(n.
n
1lim 3n (desenvolvendo as operações do numerador e 
transformando as frações em frações equivalentes, vamos ter) 
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−−++∞→ 16
n6n6n6nn3n2.
n
1lim
223
3n
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−∞→ 16
nn3n2.
n
1lim
23
3n
 
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
∞→ 16
)
n
1
n
32(n
.
n
1lim
2
3
3n
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
∞→ 16
)
n
1
n
32(
lim
2
n 3
2
3
311
3
11
6
2 −=−=−=− 
Logo, 
3
2dx)1x( 2
1
0
−=−∫ . 
Como dx)1x(
1
1
2∫
−
− dx)1x(2
1
0
2∫ −= dx)1x(
1
1
2∫
−
−⇒ 33,1
3
4
3
22 −≅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= . 
 
b) A relação entre a integral dx)1x(
1
1
2∫
−
− e a área da região 
limitada pela parábola y = x² -1 e o eixo x é que como essa 
parábola fica abaixo do eixo Ox, a dx)1x(
1
1
2∫
−
− é menos um 
vezes o valor da área sombreada. 
 
 
 
Web 
 Somatório 
−1 1
−1
x
y
 27
1.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
 Em Cálculo: Derivadas, estudamos que a derivada f’(x) ou 
dx
df de uma função f(x) é, em cada ponto, a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de f(x), ver figura 1.10 (a). Já, nesse capítulo, 
vimos que a área sob o gráfico de f(x) de “a” até um ponto “x” é a 
integral dx)x(f
x
a
∫ , conforme ilustra a figura 1.10(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em Cálculo: Derivadas, estudamos os métodos aproximativos para o 
cálculo da derivada (aproximação de pontos transformando a reta secante em uma aproximação 
da reta tangente a curva por um ponto) e, com isso, definimos a derivada e 
demonostramos algumas regras de derivação. Nesse capítulo, vimos os métodos 
aproximativos da integrais (por meio das somas das áreas de retângulos), 
entretanto, não dispomos ainda de um procedimento sistemático para o cálculo de 
integrais, uma vez que o processo direto, envolvendo somatórios, revela-se 
impraticável, a não ser para funções muito simples. 
 Até o presente momento, a derivada e a integral foram tratadas de forma 
independente e, embora a derivada tenha sido estudada antes da integral, 
historicamente, essa ordem foi inversa, pois o conceito de integral antecede em 
muitos séculos às derivadas. 
 
x 
y 
x 
y = f(x) 
y = ax + b 
 f’(x) = a 
Reta tangente à 
curva f = f(x) no 
ponto x. 
A curva f(x) tem infinitos pontos 
e cada ponto apresenta uma 
inclinação. Essa inclinação é 
definida pela derivada da 
função no ponto. 
x 
y 
a 
y = f(x) 
x 
dx)x(fA
x
a
∫=
Fig. 1.10 – Ilustração da Derivada e Integral 
(a) (b) 
Web 
Teorema 
Fundamental do 
Cálculo (Parte 1) 
 28
1.4.1 Um Pouco de História 
 
 As ideias do Cálculo Integral foram introduzidas na Antiguidade. Embora 
de maneira informal, é a forma de calcularmos áreas e volumes, pelo método de 
exaustão, ou seja, por somas de retângulos, como vimos nesse capítulo, ou por 
soma de fatias cilídricas, que estudaremos mais detalhadamento em Cálculo de 
duas variáveis. Já era usada por volta do ano 1800 a.C. 
Na Idade Média, por volta do ano 499, a noção de infinitesimal foi usada 
para expressar um problema de Astronomia na forma de uma equação diferencial e 
esse problema, no Séc. XII, ajudou no desenvolvimento de uma derivada prematura 
representada por uma mudança infinitesimal. 
Na Idade Moderna, descobertas independentes no Cálculo foram feitas. O 
método de exaustão foi expandido. Na Europa, na segunda metade do Séc. XVII, foi 
uma época de grandes invenções e o Cálculo abriu novas oportunidades na Física-
matemática de resolver problemas muito antigos. Muitos matemáticos contribuíram 
para essas descobertas. Coube a Gottfried Wilhelm Von Leibniz e a Isaac Newton 
recolher e juntar essas ideias em um corpo teórico, que viria a constituir o Cálculo. 
Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que 
Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico 
para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras 
distintas ao Teorema Fundamental do Cálculo. 
Newton e Leibniz perceberam de modo claro a relação essencial existente 
entre as noções de derivada e de integral, ou seja, perceberam em que medida se 
relacionam áreas e tangentes. Essa relação é que irá possibilitar um procedimento 
sistemático para o cálculo das integrais. O resultado que concretiza isso é o 
Teorema Fundamental do Cálculo. No próximo tópico, estudaremos alguns 
exemplos de situação que nos conduzirão a tal resultado. 
 
1.4.1.1 Exemplos 
 
1) Consideremos a função f(x) = 4. A área sob o gráfico de f(x) 
entre x = 0 e x = 3 é dada por A = 4.3 = 12. Vimos nesse 
0 3 
4 
x 
y 
f(x) = 4 
 29
capítulo e no exemplo 1.3.1(1) que isso também pode ser representado por 
12dx)x(fA
3
0
== ∫ 
 
2) Consideremos a função f(x) = 4. A área sob o gráfico de f(x) 
entre x = 0 e um ponto genérico x (x ≥ 0) é A(x) = 4x, ou seja, 
x4dx4dx)x(f)x(A
x
0
x
0
=== ∫∫ . Notamos que, quando x aumenta de 
uma unidade, A(x) aumenta de 4 unidades, ou seja, a taxa de variação A’(x) é igual 
a 4, que é o valor de f(x). 
 
3) Consideremos agora a função f(x) = 6 e calculemos a área 
sob o gráfico entre 3 e x (x ≥ 3). 
Temos: 18x6)3x(6dx6dx)x(f)x(A
x
3
x
3
−=−=== ∫∫ . Observe que 
A’(x) = 6 = f(x). Também nesse caso, a variação de A(x) por 
unidade a mais de x é a constante igual a 6, ou seja, A’(x) = f(x) = 6. 
A alteração do ponto inicial para o Cálculo de A(x) não interfere no valor de A’(x). (É 
possível compreender isso observando a figura e lembrando o significado de A’(x).) 
 
4) Se agora, f(x) = 2x entre 0 e x (x ≥ 0). Temos nesse caso, A(x) = x², ou seja: 
2
x
0
x
0
xxdx2dx)x(f)x(A === ∫∫ . Quando x aumenta de uma unidade, a variação de A(x) 
não é mais constante, passando a depender do x. 
No entanto, parece razoável esperar que a rapidez com que A(x) varia dependa, em 
cada ponto, do valor f(x). No caso temos, A’(x) = f(x) = 2x 
 
 
 
 
 
 
0 x 
4 
x 
y 
f(x) = 4 
x+1 
A(x) 4 
0 x 
6 
x 
y 
f(x) = 6 
x+1
A(x) 6 
3 
A(x)= área do triângulo de 
base = x e altura = 2x. Logo, 
2x
2
x2.x)x(A == 
0 x 
2(x+1) 
x 
y 
f(x) = 2x 
x+1
2x 
A(x) 
Este trapézio está ilustrando a 
variação da Área do triângulo 
quando x aumenta uma unidade. 
Cada ponto desse segmento 
inclinado depende de f(x) = 2x, ou 
seja, a variação da Área depende 
de f(x), logo A’(x) = f(x) = 2x 
 30
5) Sendo f(x) = 2x entre 3 e x (x ≥ 3), temos: 
9x)3x)(3x(
2
)3x)(3x(2
2
)3x)(6x2(xdx2dx)x(f)x(A 2
x
3
x
3
−=−+=−+=−+=== ∫∫ . 
Aqui também: A’(x) = 2x. Novamente notamos o fato de a alteração do ponto inicial 
(de 0 a 3) não influir no valor de A’(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nos 5 exemplos, determinamos a integral definida de um dado número 
até um valor desconhecido por meio do cálculo da área de superfícies de figuras 
geométricas conhecidas, pois nos casos apresentados as superfícies formadas entre 
o gráfico da função, o eixo x e o intervalo de valorespara x foram o retângulo e o 
trapézio. No exemplo 6, trataremos de uma situação em que a área da superfície 
formada entre o gráfico da função, o eixo Ox e o intervalo estabelecido não será 
uma figura da qual dispomos de uma fórmula conhecida para a determinação de sua 
área e, nesse caso, geometricamente iremos decompor a superfície em “n” 
retângulos e algebricamente partiremos da definição que a 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ= Σ∫ ==∞→ x)x(flimdx)x(f i
ni
1in
b
a
. 
6) Para f(x) = 3x², calculemos a área sob o gráfico entre 0 e x. 
(acompamnhe a ilutração da próxima página) 
Temos: 
A(x) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ== Σ∫∫ ==∞→ x)x(flimdxx3dx)x(f ii
ni
1in
x
0
2x
0
 
Observe na 2ª figura que: 
• o intervalo [0,x] foi dividido em n subintervalo, de forma que: 
 x0 = 0; x1 = Δx; x2 = 2Δx; x3 = 3Δx;...; xi = iΔx; e xn = x. 
• estamos considerando as somas à esquerda. 
Como xi = iΔx e f(x) = 3x² , então f(xi) = [ 3(iΔx)²]. 
A(x)= área do trapézio de 
base maior = 2x , base menor 
= f(3) = 6 e altura = x - 3. 
Logo, 
2
)3x)(6x2()x(A −+= 
3 x 
2(x+1) 
x 
y 
f(x) = 2x 
x+1
2x 
A(x) 
Este trapézio está ilustrando a 
variação da Área do triângulo 
quando x aumenta uma unidade. 
Cada ponto desse segmento 
inclinado depende de f(x) = 2x, ou 
seja, a variação da Área depende 
de f(x), logo A’(x) = f(x) = 2x 
 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
[ ]
[ ] ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ΔΔ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ΔΔ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ==
ΣΣ
ΣΣ∫
=
=∞→
=
=∞→
=
=∞→
=
=∞→
xi3limxxi3lim
x)xi(3limx)x(flimdxx3)x(A
32
ni
1in
222
ni
1in
2
ni
1in
i
ni
1in
2x
0
 
Mas 
n
xx =Δ , assim vamos ter: 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞→=∞→=∞→
∑∑ 6 )1n2)(1n(nnx3liminx3limnxi3lim
3
n
n
1i
2
3
n
n
1i
3
2
n
 
2x
2
1
n
nn3n2limx
2
1
n
)1n2)(nn(x
2
1lim
n
)1n2)(nn(x
6
3lim 33
23
n
3
3
2
3
n3
2
3
n
⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⋅= ∞→∞→∞→
 
⇒ A(x) = 3x
0
2x
0
xdxx3dx)x(f == ∫∫ 
Mais uma vez, podemos observar que a variação de A(x) por unidade a 
mais de x depende, em cada ponto, do valor do f(x). Logo, temos que A’(x) = f(x) = 
3x². 
 
Conclusão: 
Analisando a resolução de cada exemplo do tópico 1.4.1.1, conclui-se que: 
x
y
x
y
A(x) 
... ... 
f(x) = 3x² 
x0 x1 xi xi-1 x xn=x 
Δx 
 3x² 3x² 
Não dispomos de uma 
fórmula específica para 
calcular essa área. 
Retângulos acima da curva. 
Vamos calcular a soma 
superior. Cada retângulo 
tem base Δx e altura 
igual ao valor 
funcional. 
n
x
n
0xx =−=Δ
 32
Rasendo),X(Adx)x(Adx)x(f
x
a
'x
a
∈== ∫∫ 
 
1.4.2 Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) 
 
 Generalizando, sendo A(x) = ∫xa ,dx)x(f calculemos A’(x). Lembre-se que 
se A(x) é uma função e a A’(x) é a sua derivada. 
 Inicialmente raciocinaremos como se f(x) ≥ 0 e x ≥ a. Veja a figura 1.11. A 
outra situação poderá ser reduzida a esta, conforme veremos por meio de alguns 
exmplos. 
 
Fig. 1.11 
 
 Para calcular a derivada A’(x), lembraremos que por definição 
 
x
)x(A)xx(Alim)x('A
0x Δ
−Δ+= → , mas n
1x =Δ e se 0x →Δ , então o n → ∞. Dessa forma, 
 
podemos reescrever 
n
1
)x(A)n
1x(A
lim)x('A
n
−+= ∞→ . Logo 
n
1x +
x
y
A(x) 
x a 
y = f(x) 
x
y
A(x) 
x a 
y = f(x) 
)x(A
n
1xA −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
 0 0 
 33
( ) ( )[ ]xAn1xAnlim)x('A n −+⋅= ∞→ . 
Para n suficientemente grande, podemos aproximar a área da faixa 
( ) )x(An1xA −+ pela área do retângulo de base n1 e altura f(x): 
( ) n1).x(f)x(An1xA ≅−+ 
Em consequencia, para ( ) ( )[ ]xAn1xAnlim)x('A n −+⋅= ∞→ , vamos ter que: 
( )[ ] )x(fn1).x(fn)x(An1xAn)x('A =⋅≅−+⋅≅ , ou seja: )x(f)x('A = 
 
 Com isso, concluímos: )x(f)x('Aentão,dx)x(f)x(A
x
a
== ∫ 
 
Esse resultado apresenta a 1ª parte do Teorema Fundamental do 
Cálculo (T.F.C.). 
 O T.F.C. possibilita um procedimento sistemático para o cálculo da 
integral, dispensando-nos de recorrer a somatórios. Vamos ver como isso ocorre: 
 Queremos calcular dx)x(f
b
a∫ : 
 
 
Fig. 1.12 
 
 0 0 
x
y
 
b a 
y = f(x) 
x
y y = f(x) 
A(x) 
dx)x(f
b
a∫
a x b 
 34
Sabemos pela 1ª parte do T.F.C que, se dx)x(f)x(A
x
a∫= , então A’(x) = 
f(x). 
 Da obtenção de A(x) decorrerá que )b(Adx)x(f
b
a
=∫ . 
 Para obter A(x), procuramos uma função cuja derivada seja f(x). (Existem 
muitas destas funções, pois, se duas funções diferem apenas de um valor constante, 
ambas têm a mesma derivada). Encontrada uma dessas funções F(x) com F’(x) = 
f(x), não podemos concluir que F(x) = A(x), mas apenas que F(x) = A(x) + c (c 
constante). 
 Disso, no entanto, segue-se que: 
⎩⎨
⎧
+=
+=
c)b(A)b(F
c)a(A)a(F
 
 Veja na figura 1.12 que A(a) representa a área da figura no intervalo [a,a] 
e dessa forma A(a) = 0. 
 Subtraindo membro a membro, resulta: 
F(b) – F(a) = A(b) – A(a) +c – c ⇒ F(b) – F(a) = A(b) e como )b(Adx)x(fb
a
=∫ , 
então, vamos ter a 2ª parte do T.F.C.: 
)a(F)b(Fdx)x(f
b
a
−=∫ 
 
1.4.2.1 Exemplos 
 
1) Calcule a integral dxx
2
0
2∫ 
 
Solução 
Conforme o T.F.C, temos de achar qual é a uma das 
funções que derivada resulta em f(x) = x². 
Perceba que pode ser a função 
3
x)x(F
3
= , pois 
3
x.3)x('F
13−
= , então F’(x) = x². 
1 2 3
−1
1
2
3
4
x
y
A(x) 
Web 
T.F.C.: uma 
aplicação da 
integral definida 
(parte 2) 
 35
Com isso, determinamos a 
3
x)x(F
3
= . Daí, aplicado a 1ª parte do T.F.C chegamos 
em F’(x) = f(x). 
Com a 2ª parte do T.F.C., vamos ter que )0(F)2(Fdxx
2
0
2 −=∫ . Como 
3
x)x(F
3
= , faremos que 
3
8
3
0
3
2dxx
332
0
2 =−=∫ . 
2) Calcule a integral dx)2x3(
2
1∫ − e interprete o resultado. 
 
Solução 
Temos f(x) = 3x – 2. Uma função que derivada resulta em 3x – 2 
é a x2
2
x3)x(F
2
−= , pois 2x32
2
x.2.3)x(F
12
' −=−=
−
. 
Com isso, chegamos a 1ª parte do T.F.C., pois F’(x) = f(x). 
Logo, com a 2ª parte do T.F.C. vamos ter que 
)1(F)2(Fdx)2x3(
2
1
−=−∫ . Como x22x3)x(F
2
−= , faremos que 
dx)2x3(
2
1∫ − = F(2) – F(1) = 
2
2
346)1(2
2
)1(3)2(2
2
)2(3 22 +−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−− 
Então 
2
5
2
38
2
34dx)2x3(
2
1
=−=−=−∫ . 
 
3) Calcule a integral dx)x24(
4
2∫ − 
 
Solução 
Como f(x) = 4 – 2x a F(x) = 4x – x², pois F’(x) = 4 – 2x = f(x), 
conforme a 1ª parte do T.F.C. 
Já a 2ª parte do T.F.C. nos dá que )2(F)4(Fdx)x24(
4
2
−=−∫ , 
então .4481616]22.4[44.4dx)x24( 22
4
2
−=+−−=−−−=−∫ 
1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
A(x) 
−1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
A(x) 
 36
Interpretação: como no intervalo [2,4] a função f(x) = 4 – 2x a f(x) ≤ 0, a integral é um 
número negativo, que representa, em valor absoluto, a área entre o gráfico de f(x), 0 
eixo x e o intervalo [2,4]. 
 
1.5 EXERCÍCIOS 
 
1) Observe as tabelas e figuras 1.1.e.1.2 do capítulo 1 e responda: 
a) Qual seria a diferença entre as estimativas superior e inferior se a velocidade do 
exemplo fosse dada a cada 2 segundos? E se fosse dada a cada 0,5 segundo? E a 
cada centésimo de segundo? 
b) Conforme diminuimos o tempo de registro das velocidades do móvel, o que ocorre 
com as estimativas das distâncias percorridas? Explique sua resposta. 
c) Com que frequência devemos marcar as velocidades de modo a estimar a 
distância total percorrida com uma precisão de 0,5metro? E com 1 cm? 
 
2) Um caminhão consegue parar 5 segundos após acionar os freios. Observe na 
tabela o registo das velocidades 
Tempo desde que os freios foram acionados (s) 0 1 2 3 4 5 
Velocidade (m/s) 17 11 7 4 2 0 
 
a) Dê estimativas superior e inferior para a distância percorrida após os freios terem 
sido acionados. 
b) Em um esboço de gráfico da velocidade versus tempo, mostre as estimativas 
inferior e superior, assim como a diferença entre elas. 
c) Qual seria a diferença entre as estimativas superior e inferior se a velocidade 
fosse dada a cada 0,5 segundo? A cada décimo de segundo? A cada centésimo do 
milionésimo de segundo? 
d) O que ocorre com a diferença entre as estimativas superior e inferior da distância 
total percorrida ao fazermos as observações das velocidades em intervalos de 
tempo cada vez menores? Justifique. 
 37
e) Com que frequência devemos marcar as velocidades de modo a estimar a 
distância total percorrida com uma precisão de 17 cm? 
 
3) Carlos decide correr uma maratona oficial. Renato, primo de Carlos, segue-o de 
bicicleta e registra a velocidade de Carlos a cada 15 minutos. Após duas horas de 
corrida, é obrigado a abandonar a prova por estar exausto. Os dados registrados por 
Renato estão resumidos a seguir. 
 
Tempo de duração da corrida (min) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 
Velocidade (km/h) 20 19 18 17 15 15 14 13 0 
 
Supondo que a velocidade de Carlos está sempre diminuindo ou é constante entre 
dois intervalos, é possível afirmar que em duas horas Carlos: 
a) percorreu menos de 25% do percurso. 
b) percorreu entre 25% e 30%. 
c) percorreu entre 30% a 50%. 
d) percorreu entre 50% e 60%. 
e) percorreu entre 60% a 80%. 
 
4) (Hughes-Hallett – 1997). Gás de carvão é produzido em uma usina. Os poluentes 
no gás são retirados por removedores que, à medida que o tempo passa, se tornam 
cada vez menos eficientes. As medidas, feitas no início de cada mês, mostrando a 
taxa na qual os poluentes estão escapando no gás, são as seguintes: 
Tempo (meses) 0 1 2 3 4 5 6 
Taxa de escapamento dos poluentes (toneladas/meses) 5 7 8 10 13 16 20 
a) Faça uma estimativa superior e outra inferior da quantidade total de poluentes que 
escaparam durante o primeiro mês. 
b) Faça uma estimativa superior e outra inferior da quantidade total de poluentes que 
escaparam durante os primeiros 6 meses. 
c) Com que frequência as medidas teriam que ter sido feitas de modo a encontrar 
estimativas superior e inferior que estivessem a menos de uma tonelada da 
quantidade exata de poluentes que escaparam durante os primeiros 6 meses. 
 
 38
5) Explique: 
a) com suas palavras, o que é uma função contínua. 
b) formalmente, o que é uma função contínua. 
c) com suas palavras, o que é uma função limitada em todo o intervalo. 
d) formalmente, o que é uma função em todo o intervalo. 
e) por que é interessante dividir os intervalos Δt em subintervalos de iguais medidas? 
f) ao estudarmos uma função com curva decrescente, qual será o comportamento 
das somas à direita e à esquerda? Ilustre isso. 
 
6) Calcule em função de n as somas indicadas: 
a) ∑
=
n
1i
i2 b) ∑
=
n
1i
i
3
4 c) ∑
=
+
n
1i
)7i( d) ∑
=
−
n
1i
2 )i5i( e) ∑
=
n
1i
3i4 
Respostas 
a) n(n+1) b) )1n(n
3
2 + c) )15n(
2
n + d) 
6
)14n2)(1n(n −+ e) n4 + 2n³ + n² 
 
7) Calcule 
a) ∑
=
10
1i
i2 b) ∑
=
+
20
1i
)7i( c) ∑
=
−
6
1i
2 )i5i( Respostas: a) 110 b) 350 c) -14 
 
8) Mostre que 
30
)1n3n3)(1n2)(1n(ni
2n
1i
4 −+++=∑
=
. 
 
9) Estude o exemplo (2a) do tópico 1.3.1 e calcule a área da superfície formada 
entre a curva f(x) = 4x², o eixo Ox e o intervalo de x = 0 a x = 3. (observação: calcular 
essa área é o mesmo que calcular dxx4
3
0
2∫ ). 
Resposta: 36 
10) Pelo mesmo procedimento do exercício (9), calcule a integral definida dxx
2
0
3∫ . 
Resposta: 4 
 
11) Usando o T.F.C. (partes 1 e 2), mostre que: 
 39
a) 243dxx
9
0
2 =∫ b) 7128dxx
2
0
6 =∫ c) 0dxx11 3 =∫− d) 8dxx402 −=∫− 
e) 
4
225dxx
4
1
3 =∫ f) 728dxx631 5 =∫− g) 239dx)9x5(
2
1
−=−∫− h) 0dx)xx(22 5 =+∫− 
12) Desenhe o gráfico que representa o valor numérico da dx)2xx(
4
3
2∫− −− . 
13) Calcule e interprete o resultado de dxx
2
2
2∫− . 
14) Responda: 
a) Qual é a uma das funções F(x) que ao ser derivada transforma-se em f(x) = 
cos(x)? 
b) Qual é a uma das funções F(x) que ao ser derivada transforma-se em f(x) = 
sen(x)? 
 
15) Dada a função f definida por f(x) = cos(x): 
a) Esboce o gráfico da função f. b) Usando o T.F.C. mostre que 
b1) dx)x(f2
0∫π =1 b2) 0dx)x(f0 =∫π b3) 2dx)x(f232 −=∫
π
π 
 b4) 1dx)x(f
2
2
3
=∫ ππ b5) 0dx)x(f20 =∫ π 
c) Interprete os resultados dos itens b2, b3 e b5. (Sugestão: observe o gráfico da função). 
 
16) Dada a função f definida por f(x) = ex. 
a) Esboce o gráfico dessa função. 
b) Desenhe no mesmo plano do gráfico do item (a) a superfície que será formada 
entre a função f, o eixo ox e o intervalo de x = -1 a x = 1 
c) Usando o T.F.C. , mostre que 
e
1edxe
1
1
x −=∫− 
 
17) Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x² + 2x + 5x entre x = 0 e x = 2. Resp.: 
(50/3) 
18) Sabendo-se que a área de um círculo de raio 1 é igual a π, mostre que 
4dxx1
1
0
2 π=−∫ . 
 
 40
2 PRIMITIVAS 
 
 Dizemos que uma função F é primitiva de uma outra função f se a f é a 
derivada da F, ou seja F’ = f. 
 
2.1 EXEMPLOS 
 
 Estude abaixo alguns exemplos de primitivas: 
 x² é a primitiva de 2x, pois (x²)’ = 2x, 
 x³ é a primitiva de 3x², pois (x³)’ = 3x², 
 x7 é a primitiva de 7x6, pois (x7)’ = 7x6, 
 sen(x) é a primitiva de cos(x), pois [sen(x)]’ = cos(x), 
 ex é a primitiva de ex, pois (ex)’ = ex, 
 arc cotg(x) é a primitiva de 2x1
1
+− , pois [arc cotg(x)]’ = 2x1
1
+− , 
 x10 + 5x² - 5x é a primitiva de 10x9 + 10x – 5, pois (x10 + 5x² - 5x)’ =10x9 + 10x – 
5, 
 
2
)4x3( 2+ é a primitiva de 3(3x+4), pois 
'2
2
)4x3( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + = 3(3x+4) 
Sugestão: resolva as duas últimas derivas dos exemplos. Observe que a última função é uma função 
composta e para derivá-la use a regra da cadeia. 
 
Agora vamos ver o seguinte: 
 x² + 1 é a primitiva de 2x, pois (x² + 1)’ = 2x, 
 x² - 28 é a primitiva de 2x, pois (x² - 28)’ = 2x, 
 x² + ½ é a primitiva de 2x, pois (x² + ½ )’ = 2x, 
 x² + 5 é a primitiva de 2x, pois (x² + 5 )’ = 2x 
 
 41
 Como a derivada de uma função constante é sempre zero, se F é a 
primitiva de f, então F + c (com “c” constante) também é, e isso pode ser observado 
acima, ou seja, 
[ ] )x(f0)x(fc)]x(F[c)x(F ''' =+=+=+ 
 A primitiva de uma função é também conhecida como a antiderivada da 
função. 
A primitiva de f(x), ou seja, a F(x) é representada por ∫ dx)x(f . Assim, 
sendo F’(x) = f(x), podemos escrever: 
 
 
 
Definição 
Uma função F é uma primitiva (antiderivada) de uma função f se, para todo x no 
domínio de f, temos F’(x) = f(x) 
 
Notação de integral para Primitivas (antiderivadas) 
 
 
 
 
 
onde “c” é uma constante arbitrária, significa que F é uma antiderivada de f. 
Isto é, F’(x) = f(x) no domínio de f. 
 
 Observação: A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração. Ou 
seja, o símbolo ∫ dx)x(f denota a “antiderivada de f em relação a x” da mesma forma que o símbolo 
f’(x) ou dy/dx a “derivada da função f em relação ax ou a derivada de y em relação a x”. 
A ∫ dx)x(f também é chamada de integral indefinida e representa uma 
família de primitivas de f(x). 
 
2.2 EXEMPLOS 
 
∫= dx)x(f)x(F
c)x(Fdx)x(f +=∫
Sinal de Integral 
Integrando Primitiva (antiderivada) 
Diferencial 
 42
 Observe abaixo a notação de integral sendo usada para representar 
primitivas: 
cx3dx3 +=∫ ; cxdxx7 76 +=∫ ; c)x(sendx)xcos( +=∫ 
 A partir das regras de derivação conhecidas, podemos determinar 
primitivas, ou seja, antiderivadas, para as funções mais frequentes e, dessa forma, 
construir as tabelas de integração. Vamos apresentar os exemplos simples, os quais 
chamaremos de integrais de funções elementares e que nos fornecerá a tabela de 
integração básica. 
 
2.3 DERIVADA E INTEGRAL DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
Linha Função f(x) Derivada: f’(x) Primitiva: ∫ dx)x(f 
A 0 0 c 
B 1 0 x + c 
C c 0 c.x + c1 
D x 1 c
2
x2 + 
E xn nxn-1 c
1n
x 1n ++
+
, (n ≠ -1) 
F 
 
 ln|x| x
1 (**) Não é imedita 
G 
x
1
(é o mesmo de x-1) 2x
1−
(é o mesmo de -1x-2) ln|x| 
H ex ex ex 
I ax (0 < a ≠ 1) axln(a) c
)aln(
ax + 
J sen(x) cos(x) - cos(x) + c 
K cos(x) -sen(x) sen(x) + c 
L tag(x) sec2(x) Não é imedita 
M cotg(x) cossec2(x) Não é imedita 
N sec(x) sec(x)tag(x) Não é imedita 
(*) 
 43
O cosec(x) -cosec(x)cotag(x) Não é imedita 
P arc sen(x) 2x1
1
−
 Não é imedita 
Q arc cos(x) 2x1
1
−
− Não é imedita 
R arc tag(x) 2x1
1
+ Não é imedita 
S arc cotag(x) 2x1
1
+− Não é imedita 
T sec²(x) (derivada de função composta) tag(x) + c 
U cossec2(x) (derivada de função composta) cotg(x) + c 
V sec(x)tag(x) (derivada do produto de duas funções 
elementares) sec(x) + c 
w cosec(x)cotag(x) (derivada do produto de duas funções 
elementares) - cosec(x) + c 
x 2x1
1
−
 (derivada de função composta) ⎩⎨
⎧
+−
+=
c)xcos(arc
ou,c)x(senarc
 
y 2x1
1
+ 
(derivada do quociente de funções 
elementares) ⎩⎨
⎧
+−
+=
c)x(gcotarc
ou,c)x(tagarc
 
z 
A função derivada em cada uma 
das linhas dessa coluna já foi 
estudada em Cálculo: Derivada e 
demosntrada por meio da 
definição de derivada. 
A função primitiva de cada uma 
das linhas dessa coluna tem 
como característica o estudado 
anteriormente, ou seja, se a 
primitiva for denominada de 
F(x) a F’(x) = f(x). Isso significa 
que ao derivar cada uma das 
funções dessa coluna irá obter 
a correspondete na 1ª coluna. 
 
(*)A função ln|x| não é elementar, pois a função |x| dada por 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xse,x
0xse,x
|x| não é elementar. Esta 
função foi colocada na tabela, pois ela resume duas funções elementares, correspondentes aos 
valores de x > 0 e x < 0 de seus domínios, respectivamente. Assim: 
⎩⎨
⎧
<−
>=
0xse),x(
0xse),xln(
)xln( . 
 
(**) Integração não é imedita – trata-se de primitivas que não apresentam a derivada na tabela de 
funções elementares. 
 
Analisando a Tabela Acima 
 44
Vamos ver o que significa, por exemplo, o texto da 3ª coluna da linha Z. 
Observe as linhas F e G da tabela. Note que na linha G temos a informação de a 
primitiva de 
x
1 é a função ln|x|, já na linha F temos que a derivada da função ln|x| é a 
função 
x
1 . Em outros termos: 
[ ]
x
1'c|x|lnc|x|lndx
x
1 =+⇒+=∫ 
 
usando outra simbologia, podemos escrever: 
[ ]
x
1c|x|ln
dx
dc|x|lndx
x
1 =+⇒+=∫ (Notação de Leibniz para derivada) 
 
 Agora, vamos estudar o que ocorre na linha I. A função que iremos 
estudar é a função exponencial de base “0 < a ≠ 1”. Na 3ª coluna dessa tabela, 
temos a informação que a primitiva de “ax” é dada por c
)aln(
ax + . Logo, vamos ter que 
a derivada da função c
)aln(
ax + é a função “ax”. Em simbologia: 
x
xx
x ac
)aln(
a
dx
dc
)aln(
adxa =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⇒+=∫ Será? Vamos verificar. 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + c
)aln(
a
dx
d x = 
 
[ ] 'c'
)aln(
ax +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
= 
A derivada da soma é a soma das derivadas. 
 
( ) ( ) [ ] 'c
)a(ln
'))a.(ln(a)aln('.a
2
xx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − =
Aplicar a Regra do quociente para derivações. 
 
( ) ( ) 0
)a(ln
0.a)aln().aln(a
2
xx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − = 
Derivada ax está na linha I da tabela. Note que ln(a) é uma 
constante, portanto sua derivada é zero. 
 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
)a(ln
)a(lna
2
2x
= xa 
Resolver as multiplicações, adições e simplificar. 
 
 45
Como podemos perceber, esse relacionamento entre integração e 
diferenciação permite obtermos fórmulas de integração diretamente a partir de 
fórmulas de diferenciação. Segue no próximo tópico as Regras de integração que 
correspondem a algumas regras de derivação, demonstradas em Cálculo:Derivadas. 
 
2.4 REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
I. ∫ += cKxKdx (onde K é uma constante) Regra da constante 
II. ∫ ∫= dx)x(fKdx)x(Kf Regra do Mútiplo Constante 
III. dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ ∫∫ ∫ +=+ Regra da Soma 
IV. dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ ∫∫ ∫ −=− Regra da Diferença 
 
As tabelas dos tópicos 2.3 e 2.4 nos serão úteis para a resolução de integrais pelos 
métodos de integração, dos quais, alguns serão apresentados no próximo capítulo. 
 
2.5 EXERCÍCIOS 
 
1) Determine as primitivas F(x) das funções f(x): 
a) f(x) = 4x³ - 3x² + 1 b) 
1x2
3)x(f −= c) 
3
1x)x(f −= d) f(x) = (4x – 3)2 
e) f(x) = ex + 5x4 + 6 f) f(x) = )xcos(x11
x
1 10 −+ g) 2)x65(6)x(f −−= 
 
2) Tendo como referência a 2ª coluna da tabela do tópico 2.3 e as regras de 
derivação estudadas anteriormente, derive cada função da 3ª coluna dessa mesma 
tabela para mostrar que a derivada de cada uma delas é a função correspondente 
apresentada na 1ª coluna, ou seja, mostre que F’(x) = f(x), onde F(x) é a primitiva. 
 
 
 
 46
3 ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 Há várias formas para escrever uma integral de modo que ela se ajuste a 
uma ou mais fórmulas básicas, das quais vimos na 3ª coluna da tabela do tópico 2.3 
dessa apostila. Nesse capítulo, estudaremos essas técnicas. 
 
3.1 INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO 
 
 Para resolvermos integrais pelo método da decomposição, 
usaremos as fórmulas de integração imediatas constantes na tabela do tópico 2.3; 
além disso, usaremos a propriedade que afirma que se f(x) e g(x) são funções 
contínuas em um intervalo I, sendo a e b constantes reais, então, a função dada por 
“af(x) ± bg(x)” é também integrável em I e ainda vale a fórmula: 
 
[ ]∫ ∫ ∫±=± dx)x(gbdx)x(fadx)x(bg)x(af 
 
 Note que o que é apresentado acima é a utilização das regras (II) e (III) e 
(IV) da tabela do toópico 2.4. 
 
3.1.1 Exemplos 
 
 Resolva as integrais: 
a) ∫ + dx)x5( 
 
Solução 
∫ + dx)x5( = 
∫∫ + xdxdx5 = A integral da soma é a soma das integrais (Regra III). 
∫∫ + xdxdx5 = Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
Web 
Integração por 
Decomposição 
Parte 1 e Parte 2 
 47
2
2
1 c2
xcx5 +++ = Integrar. Fórmulas (B) e (D). 
c
2
xx5
2
++ c1 + c2 = c. 
 
Observação: as indicações Regra II, Regra III, Fórmulas (B) e (C) são apenas 
referências para o entendimento do que foi feito na resolução do exercício. Quando 
você for resolver as integrais na lista de exercícios ou em atividades, não é 
necessário fazer uso disso. 
 
b) ∫ dxx9 
 
Solução 
∫ dxx9 = c19x
19
++
+
= c
10
x10 + Integrar. Fórmula (E). 
 
c) dxx5 3∫ 
 
Solução 
dxx5 3∫ = 
dxx 5
3∫ = Toda raiz pode ser escrita em forma de potência de expoente fracionário. 
c
1
5
3
x
1
5
3
+
+
+
 = c
5
53
x 5
53
++
+
= c
5
8
x 5
8
+ 
Integrar. Fórmula (E). 
cx
8
5 5
8
+ 
 
Foi resolvidaa divisão das frações 
8
5
5
8
1 = . Já está 
integrado, mas iremos continuar! 
cx
8
5 5 8 + Voltamos a função para o radical, já que a função original 
estava em um radical. 
cx.x
8
5 5 35 + = cxx
8
5 5 3 + Propriedade de potência e simplificação. 
 48
d) ∫ 5 2x
dx 
 
Solução 
∫ 5 2x
dx = 
dx
x
1
5
2∫ = Toda raiz pode ser escrita em forma de potência de 
expoente fracionário. 
dxx 5
2∫ − Propriedade de potência (potência de expoente negativo). 
c
1
5
2
x
1
5
2
+
+−
+−
 = c
5
52
x 5
52
++−
+−
= c
5
3
x 5
3
+ 
Integrar. Fórmula (E). 
cx
3
5 5
3
+ 
 
Foi resolvida a divisão das frações 
3
5
5
3
1 = . Já está 
integrado, mas iremos continuar! 
cx
3
5 5 3 + Voltamos a função para o radical, já que a função original 
estava em um radical. 
 
e) ∫ −+− dx)2x8x4x3( 34 
 
Solução 
∫ −+− dx)2x8x4x3( 34 = 
∫∫∫∫ −+− dx2xdx8dxx4dxx3 34 = A integral da soma e da diferença é a soma e a diferença das integrais (Regras III e IV). 
∫∫∫∫ −+− dx2xdx8dxx4dxx3 34 = Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
43
2
2
4
1
5
cx2c
2
x8c
4
x4c
5
x3 +−+++−+ = Integrar. Fórmulas (E) e (C). 
E E E C 
 
cx2x4x
5
x3 24
5
+−+− Simplificar e usar c1 + c2 + c3 + c4 = c. 
 
 
 49
f) ∫ − xdx2)x3x2( 2 
Solução 
∫ − xdx2)x3x2( 2 = 
Observe que a função dada pelo produto de duas funções não 
tem uma integral imediata, mas podemos escrever essa função 
como a soma de duas funções. 
∫ − dx)x6x4( 32 Aplicar a distributiva para obter uma função que pode ser decomposta em soma ou diferença das integrais. 
∫∫ − dxx6dxx4 32 = A integral da diferença é a diferença das integrais (Regra IV). 
∫∫ − dxx6dxx4 32 = Regra do Múltiplo Constante (Regra II). 
2
4
1
3
c
4
x6c
3
x4 +−+ = Integrar. Fórmulas (E). 
cx
2
3x
3
4 43 +− Simplificar e fazer c1 + c2 = c. 
 
g) ∫ + dx3 2x 
Solução 
∫ + dx3 2x 
Observe que a integral da função do tipo ax+n não tem integral imediata. 
Podemos reescrevê-la com o objetivo de obter uma função do tipo ax, a 
qual tem integral imediata. 
 
∫ dx3.3 2x Propriedade de potência (produto de mesma base, permanece a base e soma os expoentes). 
∫ dx3.9 x = Resolver a potência. 
∫ dx39 x = Regra do Multiplo Constante (Regra II.) 
c
3ln
3.9
x
+ Integrar. Fórmula (I). 
 
h) ∫ + dx)xsecx(cos 2 
Solução 
∫ + dx)xsecx(cos 2 
∫ ∫+ dxxsecxdxcos 2 A integral da soma é a soma das integrais (Regra IV). 
senx + tagx + c Integrar. Fórmula (K) e (T). 
 50
i) ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
++ dxx1
6
1x
4
22
 
 
Solução 
∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
++ dxx1
6
1x
4
22
 
Procure na tabela primitivas que tenham 
denominadores (x² + 1) e 2x1− . Se existir, prepare 
o integrando com o objetivo de usar a tabela de 
integração imedita. 
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + dx1x
4
2 + ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
dx
x1
6
2
= A integral da soma é a soma das integrais (Regra III). 
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + dx1x
14 2 + ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
dx
x1
16
2
= Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
4 arc tag(x) + c1 +6 arc sen(c) + c2 Integrar. Fórmula (Y) e (X). 
4 arctag(x) + 6 arc sen(c) + c Fazer c1 + c2 = c. 
 
j) ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dxx
3 
 
Solução 
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dxx
3 
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dxx
13 = Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
 
Se reescrevermos a função 
x
1 como x-1, vamos ter ∫ − dxx3 1 . Observe o que ocorrerá 
se aplicarmos a fórmula (E), ou seja, a regra da potência. 
c
11
x.3dxx3
11
1 ++−=
+−
−∫ , o que é um absurdo! Então, atenção!!! Na ∫ − dxx 1 não se 
aplica a regra da potência. Observe que na tabela, linha (G) a primitiva de 
x
1 é o ln|x| 
+ c, ou seja c|x|lndx
x
1dxx 1 +== ∫∫ − . Agora, voltaremos a resolução do exemplo, 
 
 51
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dxx
13 = 
3.ln|x| + c Integrar. Fórmula (G). 
 
3.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
 
 Com esta técnica, escolhemos parte do integrando como “u” 
e escrevemos todo o integrando em torno de u. 
 
3.2.1 Exemplos 
 
a) Com a substituição , calcule a integral indefinida . 
 
Solução 
Com a substituição u = x + 6, vamos determinar 1
dx
du = , logo du = dx. 
Substituindo em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na variável u, 
obtemos: 
=∫ duu5 Substituir x e dx por u e du. 
c
6
u6 + Integrar em função de “u”. 
c
6
)6x( 6 ++ Substituir o “u” pela função em “x”. 
 
 
b) Com a substituição , calcule a integral indefinida . 
 
Solução 
Com a substituição u = x + 3, vamos determinar 1
dx
du = , logo du = dx e x = u – 3 
 
Web 
Integração por 
Substituição 
Parte 1 e Parte 2 
6xu += dx)6x( 5∫ +
3xu += dx
3x
x∫ +
 52
Substituindo em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na variável u, 
obtemos: 
∫ =+ dx3x x 
 
∫ =− duu 3u 
Substituir (x+3) por u x por (u-3);e dx por du. 
∫ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − duu
3
u
u 
Escrever como frações separadas. 
∫ ∫ =− duu3duuu 
Aplicar a regra da integral da diferença é a diferença das integrais. 
∫ ∫ =− duu13du 
Simplificar e aplicar a regra do multiplo constante. 
u – 3ln|u| + c Integrar em função de “u”usando as fórmulas (B) e (F). 
(x+3) – 3ln|x+3| + c Substituir o “u” pela função em “x”. 
 
Diretrizes para a Integração por Substituição 
1. Fazer “u” função de “x” (em geral parte do integrando). 
2. Resolver em relação a “x” e “dx” em termos de “u” e “du”. 
3. Escrever todo o integrando em função da variável “u” e procurar adaptá-la a 
uma ou mais fórmulas das integrações imediatas. Se nenhuma se ajustar, 
tentar outra substituição. 
4. Após efetuar a integração, escrever a primitiva como função de “x”. 
 
3.2.2 Exemplos 
 
 Use o metodo de integração por substituição para resolver as integrais: 
a) dx2 4
3x
∫
+
 
 
Solução 
Com a finalidade de usarmos a integral imediata c
)aln(
adxa
x
x +=∫ , iniciaremos com 
a substituição 
 53
 ⇒ )3x(
4
1u += ⇒ )'3x(
4
1
dx
du += ⇒ [ ])'3()'x(
4
1
dx
du += ⇒ 
4
1
dx
du = , logo 
 
 
Substituindo u e du em dx2 4
3x
∫
+
, teremos: 
 du42u∫ 
=∫ du24 u Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
c
)2ln(
2.4 u + Integrar. Fórmula (L) 
Então: 
dx2 4
3x
∫
+
= c
)2ln(
2.4 4
3x
+
+
 Substituir u 
 
b) dx)4x5(sen∫ + 
 
Solução 
Com a finalidade de usarmos a integral imediata c)xcos(dx)x(sen +−=∫ , 
iniciaremos com a substituição 
 ⇒ )'4x5(
dx
du += ⇒ [ ])'4()'x5(
dx
du += ⇒ 5
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
=+∫ dx)4x5(sen 
=∫ 5du)u(sen Substituir (5x + 4) por u e dx por du/5. 
=∫ du)u(sen51 Regra do Múltiplo Constante (Regra II). 
- 
5
1 cos(u) + c Integrar. Fórmula (J) 
u
4
3x =+
du4dx =
u4x5 =+
5
dudx =
 54
Então: 
=+∫ dx)4x5(sen - 51 cos (5x + 4) + c Substituir u 
 
c) dx)x5(tag)x5sec(∫ 
 
Solução 
Com a finalidade de usarmos a integral imediata c)xsec(dx)x(tag)xsec( +=∫ , 
iniciaremos com a substituição 
 ⇒ )'x5(
dx
du = ⇒ 5
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
dx)x5(tag)x5sec(∫ 
5
du)u(tag)usec(∫ Substituir (5x) por u e dx por du/5. 
du)u(tag)usec(
5
1 ∫ Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
c)usec(
5
1 + Integrar. Fórmula (V) 
Então: 
dx)x5(tag)x5sec(∫ = c)x5sec(51 + Substituir u 
 
d) ∫ − 2x91
dx 
 
 
 
 
Solução 
ux5 =
5
dudx =
 55
Note que 22 )x3(1x91 −=− e que, nesse caso,podemos usar a integral imediata 
do tipo c)x(senarcdx
x1
dx
2
+=
−∫ , então faremos: 
 
 ⇒ )'x3(
dx
du = ⇒ 3
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
∫ − 2x91
dx = dx
)x3(1
1
2∫ − Reescrever a função para “enchergar” a integral imediata. 
=
−∫ 3
du
)u(1
1
2
 Substituir (3x) por u e dx por du/3. 
=
−∫ du)u(1
1
3
1
2
 Regra do Multiplo Constante (Regra II). 
3
1 arc sen(u) + c Integrar. Fórmula (X) 
Então: 
∫ − 2x91
dx = 
3
1 arc sen(3x) + c Substituir u 
 
e) ( ) dx3e
e
2x
x∫ + 
 
Solução 
Note que se 
 
 ⇒ )'3e(
dx
du x += ⇒ )'3()'e(
dx
du x += ⇒ xe
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
ux3 =
3
dudx =
u3ex =+ dudxex =
 56
( ) =+∫ dx3e
e
2x
x
 
( ) =∫ duu
1
2 Substituir (ex+3) por u e exdx por du . 
=∫ − duu 2 Reescrevendo a potência (isso ajudará a visualizar a fórmula de integração imediata a ser usada). 
c
1
u 1 +−
−
 Integrar. Fórmula (E). 
c
u
1 +− Organizando a potência. 
Então: 
( ) =+∫ dx3e
e
2x
x
c
3e
1
x ++− Substituir u 
 
f) dxx41x 2∫ + 
 
Solução 
Podemos reescrever xdxx41 2∫ + 
 
Note que se 
 
 ⇒ )'x41(
dx
du 2+= ⇒ )'x4()'1(
dx
du 2+= ⇒ x8
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
dxx41x 2∫ + = xdxx41 2∫ + 
8
duu∫ Substituir (1+4x²) por u e xdx por du/8 . 
duu
8
1 21∫ 
Escrever a raiz como uma potência de 
expoente fracionário e usar a regra do múltiplo 
constante (Regra II). 
ux41 2 =+
8
duxdx =
 57
c
2
21
u
8
1 2
21
++
+
= c
2
3
u
8
1 2
3
+ Integrar. Fórmula (E). 
cu
3
2
8
1 2
3
+⋅ Organizando a fração (divisão de frações). 
cu
12
1 3 + Voltamos para o radical, já que o integrando 
tinha o radical. 
cu.u
12
1 2 + Aplicar propriedade de potência (produto de 
mesma base) 
cu.u
12
1 + Simplificar 
Então: 
dxx41x 2∫ + = cx41)x41(121 22 +++ Substituir u 
 
g) dxxcosxsen6∫ 
 
Solução 
Como a derivada de sen(x) é cos(x), o qual é dos fatores do integrando, efetuamos: 
 ⇒ )'senx(
dx
du = ⇒ )xcos(
dx
du = , logo 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
dxxcosxsen6∫ 
duu6∫ Substituir (senx) por u e cos(x)dx por du . 
c
7
u7 + Integrar. Fórmula (E). 
Então: 
dxxcosxsen6∫ = c7 xsen
7
+ Substituir u 
 
 
u)x(sen = dudx)xcos( =
 58
h) dx
x
)xln(∫ 
 
Solução 
Podemos reescrever como dx
x
1)xln(∫ . Note que a derivada de ln(x) é x1 , a qual é o 
fator do integrando, então faremos: 
 ⇒ ))'x(ln(
dx
du = ⇒ 
x
1
dx
du = , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
dx
x
)xln(∫ = dxx1)xln(∫ 
∫udu Substituir (ln(x)) por u e (1/x)dx por du . 
c
2
u2 + Integrar. Fórmula (E). 
Então: 
dx
x
)xln(∫ = c2 xln
2
+ Substituir u 
 
i) dx3.)43( x
8x∫ + 
 
Solução 
A derivada de (3x + 4) é 3xln(3), a qual a menos do fator ln(3), aparece no integrando 
como um dos fatores. Então, podemos fazer: 
 ⇒ )'43(
dx
du x += ⇒ )3ln(3
dx
du x= , logo 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas 
adequadas na variável u, teremos: 
 
dx3.)43( x
8x∫ + 
u)x(lx =
dudx
x
1 =
u43x =+
)3ln(
dudx3x =
 59
∫ )3ln(duu8 Substituir (3x+4) por u e 3xdx por du . 
duu
)3ln(
1 8∫ Usar a regra do múltiplo constante (Regra II). 
c
9
u.
)3ln(
1 9 + Integrar. Fórmula (E). 
Então: 
dx3.)43( x
8x∫ + = c)3ln(9 )43(
9x
++ Substituir u 
 
j) dx
xx5
2x20
2∫ ++ 
 
Solução 
Podemos reescrever a integral como =++∫ dx)2x20(xx5 12 dx)1x10(2xx5 12∫ +⋅⋅+ . 
Note que a derivada de (5x² + x) é 10x + 1, a qual é um dos fatores do integrando. 
Então, podemos fazer: 
 ⇒ )'xx5(
dx
du 2 += ⇒ 1x10
dx
du += , logo 
 
Substituindo u e du em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na 
variável u, teremos: 
 
dx
xx5
2x20
2∫ ++ = dx)1x10(2xx5 12∫ +⋅⋅+ 
∫ ⋅ du2u1 Substituir (5x2+x ) por u e (10x+1)dx por du . 
du
u
12∫ Usar a regra do múltiplo constante (Regra II). 
2.ln|u| + c Integrar. Fórmula (G). 
Então: 
dx
xx5
2x20
2∫ ++ = 2.ln|5x2+x| + c Substituir u. 
uxx5 2 =+ dudx)1x10( =+
 60
dx
xx5
2x20
2∫ ++ = ln(5x2+x)2 + c Propriedade de Logaritmo. 
 
3.3 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
A integração por partes é uma técnica útil para integrandos que 
envolvem produtos de funções algébricas e exponenciais ou 
logarítmicas, tais como 
∫ ∫ xdxlnx e dxex x2 
 
Como nos referimos a um produto e já vimos que podemos “pensar” na integral 
como a operação inversa da derivada, vamos partir da derivada de um produto. 
 
[ ] '' vuuvvu
dx
d +=⋅ 
 
Regra do produto 
 
∫∫ += dxvudxuvuv '' 
 
Integrando os 2 membros 
 
∫∫ += vduudvuv 
 
Escrevendo em forma diferencial 
 
∫∫ −= vduuvudv 
 
Fórmula da integração por partes 
 
Para realizar uma integração pelo Método de Integração por Partes, 
agrupe convenientemente o integrando num produto formal do tipo udv; derivando e 
integrando para obter du e v, respectivamente e finalmente, aplicando a fórmula 
∫udv=uv-∫vdu, substituir o produto vdu na segunda integral. 
A um agrupamento do integrando, do tipo mencionado, em u e dv 
chamaremos de uma escolha, e esta deve ser tal que a integral v=∫dv seja elementar 
e que o integrando de ∫vdu resulte mais simples (isto é, que tenha um 
encaminhamento mais fácil ou direto) do que a de ∫udv. Para as escolhas não há 
Web 
Integração Por 
Partes 
 61
regras gerais. No entanto, se para uma escolha ∫udv do primeiro membro resultar 
uma integral ∫vdu, no segundo membro da fórmula da integração por partes, mais 
complicada do que ∫udv, então, tal escolha deve ser abandonada em prol de outra 
tentativa com uma nova escolha. Só a prática nos indicará mais seguramente uma 
boa escolha para solucionar o problema com o menor grau de dificuldade a integral 
proposta. 
Às vezes, diversas escolhas podem servir para solucionar uma integral; 
no entanto, uma pode ser melhor que a outra, no sentido de conseguir maiores 
simplificações na integral ∫vdu e, consequentemente, calcular mais rapidamente a 
integral proposta. 
 
Diretrizes para a Integração por Partes 
 
1) dv deve ser a parte mais complicada do integrando que se ajuste a uma fórmula 
básica de integração. u é o fator restante. 
 
2) u deve ser a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que 
a própria u. dv é o fator restante. 
 
3.3.1 Exemplos 
 
A seguir faremos a resolução de exercícios por escolhas diferentes de udv 
e vdu, para que possam comparar quais escolhas são mais fáceis. 
 
Calcule as integrais: 
 
a) ∫ ∫∫ == vduuvudvxdxln 
 
Resolução 
Se escrevermos que u=lnx, então, o dv=1dx e para aplicar a fórmula em 
questão temos que determinar du e v. 
 62
 
O du é a derivada da função lnx, ou seja, se 
 
como ∫= dvv ⇒ ∫ ⇒= dx1v O v é a integral do dv, ou seja, se 
 
Substituindo todos esses valores em 
temos que 
 
 
 
 
 
∫ xdxln ∫ ⋅−+= dxx1xcx.xln 1 Cópia da linha acima. 
 ∫−+= dx1cxlnx 1 Organizar os produtos e simplificar. 
 21 cxcxlnx +−+= Resolver a Integral xdx1 =∫ . 
 ( ) c1xlnx+−= Simplificar (colocando o x em evidência) e fazer c1 + c2 = c. 
 
Observação: Não é necessário incluir a constante de integração ao 
resolver v=∫dx e o mesmo ocorrerá com os demais exemplos de integração por 
partes, pois considerar ou não essa constante nos levará a um mesmo resultado em 
∫udv=uv-∫vdu. 
 
Verifique essa afirmação nos demais exemplos que serão apresentados. 
 
b) Calcule a ∫ dxxex 
 
Solução 
 Para aplicar a integração por partes, devemos escrever a integral original 
na forma ∫udv; para isso, vamos decompor xexdx em dois fatores – uma parte 
representando o u e outra parte representando o dv. Há várias maneiras de fazê-lo, 
acompanhe: 
xlnu = dx
x
1du =
dx1dv = 1cxv +=
∫ ∫ ⋅−+⋅= dxx1xcxxlnxdxln 1
∫ ∫−= vduuvxdxln
 63
 
 
 
de acordo com a diretrizes, se escolhermos a 1ª opção, seremos melhor sucedidos, 
pois a derivada de u = x é mais simples do que a função u = x e a exdx é a parte mais 
complicada do integrando que se ajusta a uma fórmula básica de integração. Vamos 
iniciar: 
 
 
 
∫∫ −= vduuvdxxex (1) 
 
Veja que, por enquanto, temos apenas u e precisamos de v e du para 
substituirmos na fórmula acima. 
Com u determinaremos o du, e com dv determinaremos v. 
 
 
 (2) ⇒ ⇒= 1
dx
du (3) 
 
(4) ⇒=⇒ ∫ ∫ dxedv x (5) 
 
Substituindo (2), (3) e (5) em (1), temos: 
 
∫ dxxex ∫−= dxexe xx 
 cexe xx +−= Resolver a Integral xx edxe =∫ . Fórmula (H) 
 ( ) c1xex +−= Simplificar (colocando o ex em evidência). 
 
c) ∫ xdxlnx2 
 
Solução 
∫ dxxex
u dv 
∫ dxxex
u dv 
∫ xdxex
u dv 
∫ dxxe1 x
u dv 
∫ dxxex
u dv 
xu = dxdu =
dxedv x= xev =
 64
Nesta integral x2 é integrada mais facilmente do que lnx. Perceba também que a 
derivada do lnx é mais simples que lnx. Então, faremos 
 
(1) 
 
 
Com u determinaremos du e com dv determinaremos v, ou seja, 
Para 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (2), (3) e (5), temos: 
 
∫ dxx xln 2 dxx13xxln3x
33
⋅−= ∫ 
 ∫−= dxx31xln3x 2
3
 Resolver o produto do integrando e simplificar. 
 c
3
x
3
1
xln
3
x 33 +⋅−= Resolver a Integral .dxx2∫ Fórmula (E). 
 cx
9
1
xln
3
x
 3
3
+−= Simplificar. 
 
 
d) ∫ xdxcos2 
 
Solução 
Podemos reescrevê-la como ∫ ⋅ xdxcosxcos 
Note que cosx pode ser facilmente derivado e sua derivada trata-se de 
uma função de grau de dificuldade similar a função cosx. Observe ainda que a 
integral de cosxdx resultará em uma integral imediata, então, 
u dv 
∫∫ −= vduuvdxx xln 2
dx
x
1du
x
1
dx
duxlnu =⇒=⇒= (2) (3) 
dxxdv 2= (4) (5) c
3
xvdxxdv
3
2 +=⇒=⇒ ∫ ∫
 65
 
 
 u dv 
 
Como 
 
 
 
 
 
Substituindo (2), (3) e (5) em (1), temos que: 
 
∫ xdxcos2 ( )dxsenxsenxsenxxcos ∫ −−⋅= 
 dxxsensenxxcos 2∫+⋅= Multiplicar (o -1 que antecede o símbolo de integral com o (-sen(x)) 
 ( )∫ −+⋅= dxxcos1senxxcos 2 Podemos usar a regra da identidade 
xcos1xsen1xcosxsen 2222 −=⇒=+ 
 ∫∫ −+⋅= xdxcosdx1senxxcos 2 A integral da diferença é a diferença das integrais. (Regra IV) 
cxsenxxcosxdxcosxdxcos 22 ++⋅=+ ∫∫ 
 
Queremos determinar ∫cos2xdx,então, 
passaremos o (-∫cos2xdx) para o 1º 
membro da igualdade. 
 
cxsenxxcosxdxcos2 2 ++⋅=∫ Somar as duas integrais de mesmo integrando. 
( ) cxsenxxcos
2
1
xdxcos2 ++⋅=∫ Dividir o 2º membro pelo 2 que está multiplicando a integral. 
 
e) dxx1 2∫ − 
 
Solução 
Podemos escrever a integral original na forma ∫udv. Para isso, vamos decompor 
dxx1 2− em dois fatores, em que uma parte represente u e a outra dv. 
Poderíamos pensar em duas possibilidades, acompanhe: 
∫∫ −=⋅ vduuvxdxcosxcos (1) 
senxdxdusenx
dx
duxcosu −=⇒−=⇒= (2) (3) 
(4) (5) ∫ =⇒=⇒= senxvxdxcosvxdxcosdv
 66
 
 
 
 u dv u dv 
 
Note que a segunda possibilidade não nos ajuda em nada, pois, ao 
derivarmos u=1, obteríamos du=0dx e ainda continuaríamos sem saída para 
determinar v, pois v=∫dv e, nesse caso, seria dxx1 2∫ − . 
Teríamos voltado ao mesmo problema; com isso, já sabemos que 
devemos iniciar com a seguinte escolha: 
 
 
 u dv 
Note que 2x1 − pode ser derivado, com muito cuidado, é claro, pois se 
trata de uma função composta e dx será integrado, com o uso da tabela de integrais 
imediatas. Vamos ao trabalho: 
 
∫∫ =− vduuvdxx1 2 (1) 
 
Como 
 
(2) (reescrevendo) 
 
 
(regra da cadeia) 
 
( ) ( )'212 x2x1
2
1
dx
du −⋅−= − (simplificando) (3) 
 
 
 
Substituindo (2), (3) e (5) em (1), temos: 
 
dxx1 2∫ − dxx11 2∫ −
dxx1 2∫ −
2x1u −= ( )212x1u −=
( ) ( )'21212 x1x1
2
1
dx
du −⋅−= −
dx
x1
xdu
2−−=
dxdv = xv =⇒=⇒ ∫∫ dxdv4 5 
 67
dx
x1
x
xxx1dxx1
2
22 ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−⋅−⋅−=−
 
 dx
x1
xx1x
2
2
2 ∫ −+−= (6) 
Resolver os produtos de fora da integral 
e do integrando. 
 
Aparentemente, integrar essa função da segunda parcela é um problema, 
mas, antes de pensarmos em integrá-la pelo Método da Integração por Partes, 
devemos verificar se ao arrumá-la podemos obter uma nova integral que pode ser 
resolvida utilizando a tabela de integração básica. 
Observe na tabela de integração básica se existe a integral de alguma 
função que apresente 2x1 − como denominador. Veja que 
 
c)x(senarcdx
x1
1
2
+=
−∫ (Ver fórmula X) 
 
Isso quer dizer que se fizermos aparecer este “1” no numerador, 
poderemos usar essa regra fórmula. 
 
Voltando ao integrando da (6), fazer que 
2
2
2
2
x1
11x
x1
x
−
+−=− (7), 
pois ao somarmos e subtrairmos “1” não alteramos a função. Vamos voltar para a 
integral, com o objetivo de substituir (7) em (6). 
 
dx
x1
11xx1xdxx1
2
2
22 ∫∫ −
+−+−=− 
dx
x1
1
x1
1xx1xdxx1
22
2
22 ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+−
−+−=− 
Separar as parcelas de forma 
conveniente, ou seja, quem favoreça o 
aparecimento de integrandos com 
integrais imediatas. 
 ∫∫ −+−
−+−= dx
x1
1dx
x1
1xx1x
22
2
2 (8) 
*A integral da soma é a soma das 
integrais. 
arcsenxdx
x1
1xx1xdxx1
2
2
22 ∫∫ +−
−+−=− Resolver a última integral. Fórmula (X). 
 68
veja que ( )
2
2
2
2
x1
x1
x1
1x
−
−−=−
− e racionalizando o denominador 
 
( ) ( )( )2
22
22
22
x1
x1x1
x1x1
x1x1
−
−⋅−−=−⋅−
−⋅−−= 
 
2x1−−= (9) 
 
Voltando para a integral e substituindo (9) em (8), temos 
 
arcsenxx1x1xdxx1 222 +−−−=− ∫∫ Observe que esta é a integral que queremos determinar, por isso, vamos 
escrevê-la no 1º membro 
arcsenxx1xdxx1dxx1 222 +−=−+−∫ ∫ Escrever a integral ∫ −− 2x1 no 1º 
membro. 
arcsenxx1xdxx12 22 +−=−∫ Somar as integrais de mesmo integrando. 
( ) carcsenxx1x
2
1dxx1 22 ++−=−∫ Dividir o 2º membro por 2, o qual está multiplicando o 1º membro. 
 
f) dxex x2∫ 
 
Solução 
Algumas possibilidades que temos de escrever a integral original na forma ∫udv, são: 
 
 
 
 u dv u dv u dv u dv 
 
 
Note que ao escolhermos a 1ª integral, a derivada de x2 fica mais simples, 
o que não ocorre com a ex. Ainda temos que a integral de exdx está na tabela de 
integral básica. 
 
∫ dxex x2 ∫ dxe xx x ∫ dxxe 2x ∫ dxex x2
 69
∫∫ −= vduuvdxex x2 (1) 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (2), (3) e (5) em (1), temos 
 
∫∫ ⋅−= xdx2eexdxex xx2x2 
∫∫ ⋅−= xdxe2exdxexxx2x2 Múltiplo constante. 
 ∫−= dxxe2ex xx2 (6) Organizar o produto. 
 
A integral que está no 2º membro será resolvida, novamente, pelo método 
de integração por partes, porém, observe que já fizemos esta resolução no exemplo 
“a”, do tópico (3.1.1), então substituiremos o resultado do exemplo “a” em (6). 
 
( )xxx2x2 exe2exdxex −−=∫ A )exe(dxxe xxx −=∫ , conforme 
resolução do exemplo “a”. 
 xxx2 e2xe2ex +−= Aplicar a distributiva. 
 ( ) c2x2xe 2x ++−= Simplificar. 
 
Observação: ao aplicar iteradamente a integração por partes, devemos ter cuidado 
em não permutar as substituições nas aplicações sucessivas. Assim é que, no 
exemplo “f”, as primeiras substituições foram dv = ex e u = x². Se na segunda 
aplicação, tivéssemos feito dv = 2xdx e u = ex, teríamos invertido a ordem anterior e 
voltaríamos a integral original: 
 
( ) dxexdxexexexdxex x2x2x2x2x2 ∫∫∫ =−−= 
∫ ∫ =⇒=⇒= xxx evdxedvdxedv
xdx2dux2
dx
duxu 2 =⇒=⇒= (2) (3) 
(4) (5) 
 70
3.4 INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Nesse tópico estudaremos algumas integrais em que o integrando está 
formado por funções trigonométricas. 
Das identidades trigonométricas devemos lembrar que: 
 
i. ⎩⎨
⎧
−=
−=⇒=+
)x(cos1)x(sen
)x(sen1)x(cos1)x(cos)x(sen
22
22
22 
ii. ⎩⎨
⎧
−=
+=⇒=−
1)x(sec)x(tag
)x(tag1)x(sec1)x(tag)x(sec
22
22
22 
iii. ⎩⎨
⎧
−=
+=⇒=−
1)x(eccos)x(agcot
)x(agcot1)x(eccos1)x(agcot)x(eccos
22
22
22 
iv. [ ]x)ba(senx)ba(sen
2
1)bxcos()ax(sen −++= 
v. [ ]x)ba(senx)bacos(
2
1)bx(sen)ax(sen −−+−= 
vi. [ ]x)ba(senx)bacos(
2
1)bxcos()axcos( −++= 
vii. 
2
)x2cos(1xcos2 += 
viii. 
2
)x2cos(1xsen2 −= 
 
3.4.1 Exemplos 
 
a) ∫ dx)x6cos()x5(sen 
 
Solução 
∫ dx)x6cos()x5(sen = 
[ ]∫ −++ dx)x6x5(sen)x6x5(sen21 = Identidade trigonométrica (iv) 
Web 
Integração de 
Funções 
Trigonométricas 
 71
[ ]∫ −++ dx)x6x5(sen)x6x5(sen21 = Regra do Múltiplo Constante (Regra II). 
[ ]∫ −+ dx)x(sen)x11(sen21 = Resolução da Soma e diferença nos argumentos. 
∫∫ −+ dx)x(sen21dx)x11(sen21 = (1) Aplicar a regra da integral da soma é a soma das integrais. 
 
Agora resolvemos pelo método da substituição cada uma das integrais acima: 
 
∫ dx)x11(sen 
 com a substituição u = 11x, vamos determinar 11
dx
du = , logo dx
11
du = 
 
∫ dx)x11(sen = 
∫ 11du)u(sen = Substituir 11x por u e dx por du/11. 
∫ du)u(sen111 = Regra do Múltiplo Constante. 
( ))ucos(
11
1 − = Integrar em função de “u” usando a fórmula (J). 
)ucos(
11
1− = 
)x11cos(
11
1− = (2) Substituir u por 11x. 
 
∫ − dx)x(sen 
com a substituição u = -x, vamos determinar 1
dx
du −= , logo dxdu =− 
 
∫ − dx)x(sen = 
∫ − )du)(u(sen = Substituir -x por u e dx por –du. 
∫− du)u(sen = Regra do Múltiplo Constante. 
( ))ucos(−− = Integrar em função de “u” usando a fórmula (J). 
)ucos(+ = 
)xcos(−+ = (3) Substituir u por –x. 
 72
 
∫∫ −+ dx)x(sen21dx)x11(sen21 Voltando para o (1). 
c)xcos(
2
1)x11cos(
11
1
2
1 +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− = Substituindo (2) e (3) em (1). 
 
Então: 
∫ dx)x6cos()x5(sen = c)xcos(21)x11cos(221 +−+− 
 
 
b) ∫ xdxcosxsen 23 
 
Solução 
 
∫ xdxcosxsen 23 = 
∫ xdxcos.senx.xsen 22 = Para integrar o produto de xcosxsen nm com “m” 
ímpar, reescreva senmx = senx. senm-1x. 
∫ − xdxcos.senx).xcos1( 22 = Identidade trigonométrica (i). 
∫ − senxdx.xcos).xcos1( 22 (1) Reescreva a função integranda, pois a ordem dos fatores não altera o produto. 
 
Agora resolvemos pelo método da substituição faremos u = cosx (2) 
vamos determinar senx
dx
du −= , logo sendxdu =− (3) 
 
∫ − senxdx.xcos).xcos1( 22 Voltando para (1). 
∫ −− )du(u).u1( 22 Substituindo (2) e (3) em (1). 
∫ −− du).uu( 42 Regra do Múltiplo Constante e Distributiva. 
c
5
u
3
u 53 +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −− Integrar. Fórmula (E) 
Então: 
∫ xdxcosxsen 23 = c5 xcos3 xcos
53
++− Substituir “u” por “cosx” e aplicar a distributiva 
 
 
 73
Observação: para integrais da forma ∫ xdxcosxsen nm é importante seguir as 
orientações: 
(a) 
Se m é ímpar, reescreva a integral como ∫ − senxdx.xcosxsen n1m . Note que 
“m-1” é par, então “m-1” é da forma 2p. Desta forma pode-se escrever 
∫ senxdx.xcosxsen np2 = ∫ senxdx.xcos)xsen( np2 . Agora substitua o “sen²(x)” 
pela identidade trigonométrica “1 – cos²(x)”. ∫ − senxdx.xcos)xcos1( np2 . 
Chame “u” de cos(x) e “du” de 
-sen(x)dx, ou seja –du = sen(x)dx. 
b) 
Se n é ímpar, reescreva a integral como ∫ − xdxcos.xcosxsen 1nm . Note que 
“n-1” é par, então “n-1” é da forma 2p. Desta forma pode-se escrever 
∫ xdxcos.xcosxsen p2m = ∫ xdxcos.)x(cosxsen p2m . Agora substitua o 
“cos²(x)” pela identidade trigonométrica “1 – sen²(x)”. 
∫ − dx.xcos)xsen1(xsen p2m . Chame “u” de sen(x) e “du” de cos(x)dx, ou seja 
du = cos(x)dx. 
c) 
Se m e n são pares, então pode-se afirmar que m é da forma 2p e n é da 
forma 2q. A integral pode ser reescrita por ∫ xdxcosxsen q2p2 , e ainda por 
∫ dx)x(cos)xsen( q2p2 . Com as identidades trigonométricas (vii) e (viii) será 
obtido ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − dx
2
)x2cos(1
2
)x2cos(1 qp . Note que isso reduz a potência de 
sen(x) e cos(x) e ainda favorece o aparecimento de uma única função 
trigonométrica. 
 
c) ∫ xdxtag4 
 
Solução 
 
∫ xdxtag4 = 
∫ xdxtag.xtag 22 = Para integrar funções do tipo tagnx, reescreva-a na forma tag²x. tagn-2x 
 74
∫ − xdxtag).1x(sec 22 = Identidade trigonométrica (ii). 
∫ − dx)xtagxxtag(sec 222 = Aplicar a distributiva 
∫∫ − xdxtagxdxxtagsec 222 = Aplicar a regra da integral da soma é a soma das integrais. 
∫∫ −− dx)1x(secxdxxtagsec 222 = Identidade trigonométrica (ii). 
∫ ∫∫ +− dx1xdxsecxdxxtagsec 222 = 
Aplicar a regra da integral da soma é a soma das 
integrais. Aplicar a distributiva (-1) multiplica o 
integrando. 
cxtagxxdxxtagsec 22 ++−∫ (1) Integrar. Fórmulas (T) e (B) 
 (Resolver por subst.) T B 
 
Agora resolvemos pelo método da substituição a ∫ xdxxtagsec 22 (2). 
Faça u = tagx (3) 
vamos determinar xsec
dx
du 2= , logo xdxsecdu 2= (4) 
 
Daí vem que: 
∫ xdxxtagsec 22 = Voltando para a (2) 
∫ xdxsecxtag 22 = A ordem dos fatores não altera o produto. 
∫ duu2 = Substituindo (3) e (4) em (2). 
c
3
u3 + Integrar. Fórmula (E) 
Portanto: 
xtag
3
1xdxxtagsec 322 =∫ (5) Substituir “u” por “tagx”. Não é necessário colocar a constate, pois ela aparecerá no final. 
Para finalizar, temos: 
cxtagxxdxxtagsec 22 ++−∫ Voltando para (1). 
cxtagxxtag
3
1 3 ++− Substituindo (5) em (1). 
Então: 
∫ xdxtag4 = cxtagxxtag31 3 ++− 
 
 75
Observação: para integrais da forma ∫ xdxtagn e ∫ xdxagcot n é importante seguir as 
orientações: 
(a) 
No caso de ∫ xdxtagn , reescreva-a como ∫ − xdxtag.xtag 2n2 . Substitua tag²x 
pela identidade trigonométrica “sec²x-1”, obtendo ∫ −− xdxtag).1x(sec 2n2 . 
Aplique a distributiva no integrando e separe a integral em duas. 
∫∫ −− − xdxtagxdxxtagsec 2n2n2 . Para resolver o primeiro termo dessa integral 
chame “u” de tagx e “du” de sec²xdx. Para resolver o segundo termo dessa 
integral, se “n-2” for par essa resolução recairá em uma integral do produto de 
fatores tag²x, ou seja, no produto de (sec²x-1), mas se “n-2” for ímpar , essa 
resolução recairá em uma integral do produto tagpx.(sec²x-1), com “p” ímpar. 
Ao chegar na integral da tagx, substituir a tagx por 
xcos
senx . 
b) 
No caso de ∫ xdxagcot n , reescreva-a como ∫ − xdxagcot.xagcot 2n2 . Substitua 
cotag²x pela identidade trigonométrica “cosec²x-1”, obtendo∫ −− xdxagcot).1xec(cos 2n2 . Aplique a distributiva no integrando e separe a 
integral em duas. ∫∫ −− − xdxagcotxdxagcotxeccos 2n2n2 . Para resolver o 
primeiro termo dessa integral chame “u” de cotagx e “du” de cosec²xdx. Para 
resolver o segundo termo dessa integral, se “n-2” for par essa resolução 
recairá em uma integral do produto de fatores cotag²x, ou seja, no produto de 
(cosec²x-1), mas se “n-2” for ímpar , essa resolução recairá em uma integral 
do produto cotagpx.(cosec²x-1), com “p” ímpar. Ao chegar na integral da 
cotagx, substituir a tagx por 
senx
xcos . 
 
3.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÃO RACIONAL 
 
 Uma função racional é aquela escrita na forma de um quociente de dois 
polinômios, ou seja: 
)x(Q
)x(P)x(R = , com P e Q sendo funções polinomiais. 
 76
 A função racional será regular se o grau do numerador for menor que o 
grau do denominador, um exemplo de função racional regular é: 
6xx
1x2)x(R 21 −−
+= , veja que o grau do numerador é 1 e o grau do denominador é 2. 
 A função racional será irregular se o grau do numerador fora maior ou 
igual ao grau do denominador, um exemplo de função racional irregular é: 
x2x
1x2xx)x(R 2
34
2 −
++−= , veja que o grau do numerador é 4 e o grau do denominador 
é 2. 
 
3.5.1 Exemplos 
 
a) ∫ −− + dx6xx 1x22 (1) 
 
Solução 
 Note tratar-se da integração de uma função em que o integrando é uma 
função racional regular. 
 Antes de integrar a função, ela deverá ser reescrita em forma de soma de 
frações parciais. Essas frações parciais são frações elementares, o que nos levará a 
integrais que podem ser resolvidas facilmente com o uso da tabela das funções 
elementares. 
 Para escrever essas frações é necessário escrever o denominador na 
forma fatorada, ou seja, em forma de produto. Para tanto, determinaremos as raízes 
do denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2xe3x
2
51
1.2
)6).(1.(4)1()1(x06xx 21
2
2 −==⇒±=−−−±−−=⇒=−−
c.a.4bΔ 2 −=
a2
Δbx ±−=
Denominador foi igualado a zero para a determinação 
das raízes, pois as raízes são os zeros da função.
Fórmula de Bhaskara para a 
resolução da equação do 2º grau 
Web 
Integração de 
Funções 
Racionais 
 77
 O polinômio do denominador tem duas raízes reais e diferentes, logo são 
raízes de multiplicidade 1. Agora já é possível escrever a função integrando como 
soma de frações elementares. 
 
 
 
 
 
 O próximo passo é determinar os valores de A e B. Para isso reduzimos 
os denominadores (x-3) e (x+2) ao mesmo denominador, o qual é (x-3)(x+2) e 
transformamos as frações 
2x
B
3x
A
++− em frações equivalentes. Vamos lembrar 
como é que se faz isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso quer dizer que: 
 
 
 
 
2x
B
3x
A
)2x)(3x(
1x2
6xx
1x2
2 ++−=+−
+=−−
+
Forma fatorada de um polinômio do 2º grau é dada por 
“a(x-x1)(x-x2)”. Neste caso o polinômio é x² -x-6; o “a=1” e 
as raízes são x1 = 3 e x2 = -2. 
)2x)(3x(
???)2x(A
)2x)(3x(
??????
2x
B
3x
A
+−
++=+−
+=++−
Dividido por (x-3) 
resulta em (x+2) 
 (x+2) vezes A 
)2x)(3x(
)3x(B)2x(A
)2x)(3x(
???)2x(A
)2x)(3x(
??????
2x
B
3x
A
+−
−++=+−
++=+−
+=++−
Dividido por (x+2) 
resulta em (x-3) 
 (x-3) vezes B 
)2x)(3x(
)3x(B)2x(A
6xx
1x2
2 +−
−++=−−
+
 78
Como os denominadores são iguais, para manter a igualdade os numeradores 
também devem ser iguais, para isso será utilizado o método dos coeficientes 
indeterminados: 
 
2x + 1 = A(x+2)+B(x-3) ⇒ 2x + 1 = Ax + 2A + Bx – 3B ⇒ 2x + 1 = (A+B)x +(2A - 
3B) 
 
 
 
 
 
 
Note que obtemos: 2x + 1 = (A+B)x +(2A - 3B) 
 
 
 
Com isso obtemos o sistema de equações lineares: ⎩⎨
⎧
=−
=+
1B3A2
2BA
 
 
⎩⎨
⎧
−=−
−=⇔⎩⎨
⎧
=−−
−=⇔⎩⎨
⎧
=−−
−=⇔⎩⎨
⎧
=−
=+
41B5
B2A
1B3B24
B2A
1B3)B2(2
B2A
1B3A2
2BA
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
⇔⎩⎨
⎧
−=−
−=⇔⎩⎨
⎧
−=−
−=⇔
5
3B
B2A
3B5
B2A
41B5
B2A
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔
=
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔
=
−=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
⇒
5
3B
5
7A
5
3B
5
310A
5
3B
5
32A
5
3B
B2A
 
 
Portanto 
 
 
 (2) 
 
Distributiva
Reagrupamento dos 
coeficientes de 
variáveis iguais 
A+B=2
2A-3B=1
2x
5
3
3x
5
7
2x
B
3x
A
)2x)(3x(
1x2
6xx
1x2
2 ++−=++−=+−
+=−−
+
 79
Bom, tudo isso foi feito para resolvermos a ∫ −− + dx6xx 1x22 , logo: 
 
=−−
+∫ dx6xx 1x22 
 
Voltamos a questão inicial. (1) 
=++−∫ dx2x 5
3
3x
5
7
 
 
Substituir (2) em (1) 
=++− ∫∫ dx2x 153dx3x 157 (3) 
 
Usar a regra do múltiplo constante e da 
soma das integrais. 
 
Agora resolvemos pelo método da substituição cada uma das integrais acima: 
 
=−∫ dx3x 1 
 com a substituição u = x-3, vamos determinar 1
dx
du = , logo dxdu = 
 
=−∫ dx3x 1 
=∫ dxu1 Substituir x-3 por u e dx por du. 
ln|u|+c= 
Integrar em função de “u” usando a fórmula 
(G). 
ln|x-3|+c= (4) Substituir u por x-3. 
 
=+∫ dx2x 1 
 com a substituição u = x+2, vamos determinar 1
dx
du = , logo dxdu = 
 
=+∫ dx2x 1 
=∫ dxu1 Substituir x+2 por u e dx por du. 
ln|u|+c= 
Integrar em função de “u” usando a fórmula 
(G). 
ln|x+2|+c= (5) Substituir u por x+2. 
 80
 
=++− ∫∫ dx2x 153dx3x 157 Voltando para o (3). 
=+++− c|2x|ln
5
3|3x|ln
5
7 Substituindo (4) e (5) em (3). 
 
=+++− c|2x|ln|3x|ln 5
3
5
7
 Propriedade de logaritmo. 
Então: 
=−−
+∫ dx6xx 1x22 =+++− c|2x|ln|3x|ln 5
3
5
7
 
 
 
b) dx
x2x
1x2xx
2
34∫ − ++− (1) 
 
Solução 
 Note tratar-se da integração de uma função em que o integrando é uma 
função racional irregular. 
 Antes de integrar a função, ela deverá ser reescrita em forma de soma de 
frações parciais. 
 Para escrever essas frações é necessário escrever o denominador na 
forma fatorada, ou seja, em forma de produto. Para tanto, determinaremos as raízes 
do denominador, mas antes disso, devemos dividir o polinômio do numerador pelo 
polinômio do denominador, uma vez que o polinômio do numerador é de grau maior. 
 
 x4 - x3 + 2x + 1 x² - 2x 
-x4+2x³ x² + x + 2 
 x³ +2x + 1 
-x³ +2x² 
 2x² +2x + 1 
-2x² + 2x 
 4x + 1 
 
 Daqui resulta que a representação da função racional irregular como 
soma de um polinômio e uma função racional regular é: 
 81
x2x
1x42xx
x2x
1x2xx
2
2
2
34
−
++++=−
++− 
 Portanto: 
 
 
 
 
Agora vamos resolver ∫ −+ dxx2x 1x42 (3) 
pelo mesmo processo do exemplo (a). 
 
)2x(x
A2x)BA(
)2x(x
BxA2Ax
)2x(x
Bx)2x(A
2x
B
x
A
)2x(x
1x4
x2x
1x4
2 −
−+=−
+−=−
+−=−+=−
+=−
+ 
 
Isso quer dizer que: 
 
)2x(x
A2x)BA(
x2x
1x4
2 −
−+=−
+ 
 
Como os denominadores são iguais, para manter a igualdade os numeradores 
também devem ser iguais, para isso será utilizado o método dos coeficientes 
indeterminados: 
 
4x + 1 = (A+B)x – 2A 
 
Com isso obtemos o sistema de equações lineares: ⎩⎨
⎧
=−
=+
1A2
4BA
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔
−=
+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔
−=
=+−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=+
⇔
⎩⎨
⎧
=−
=+
2
1A
2
9
2
18B
2
1A
2
14B
2
1A
4B
2
1
2
1A
4BA
1A2
4BA
 
Portanto: 
∫∫∫∫∫∫ −++++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −
++++=−
++− dx
x2x
1x4dx2xdxdxxdx
x2x
1x42xxdx
x2x
1x2xx
2
2
2
2
2
34
Integraisimediatas 
Função 
Racional 
(2) 
 82
2x
2
9
x
2
1
2x
B
x
A
)2x(x
1x4
x2x
1x4
2 −+
−
=−+=−
+=−
+ (4) 
 
Substituindo (4) em (3), vamos ter: 
∫ −+ dxx2x 1x42 = dx2x 2
9
x
2
1
∫ −+
−
= dx
x
1
2
1 ∫− dx2x 129 ∫ −+ = |x|ln21− c|2x|ln29 +−+ (5) 
Substituindo (5) em (2), vamos ter: 
 
∫∫∫∫∫∫ −++++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −
++++=−
++− dx
x2x
1x4dx2xdxdxxdx
x2x
1x42xxdx
x2x
1x2xx
2
2
2
2
2
34
 
 
 
 c|2x|ln
2
9x2
2
x
3
x 23 +−+++= 
 
3.6 EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as integrais pelo método da decomposição e use a tabela de integração 
imediata para mostrar que as igualdades são verdadeiras: 
a) cax5x
3
2dxax5 +=∫ 
b) cx3x4x2dx)3x8x6( 232 +++=++∫ 
c) dx)3x9( 2∫ − 
d) cxxxdxxx +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=−∫ 735777
)( 765232 
e) c
7
xq
2
pqxxpdx)qxp(
724
223 +++=+∫ 
f) cxcos5edx)senx5e( 3x3x +−=+ ++∫ 
 83
g) cx2xx
3
2xx
5
2dx)2xx)(1x( 2 +++=+−+∫ 
h) c
)3ln(
3dx3
x
x +=∫ 
i) c)x(arctag5x5dx
1x
x5
2
2
+−=+∫ 
 
2) Usando o método da substituição, mostre que: 
a) ( ) ( ) c1x
4
1
dx1xx2
4
232 ++=+∫ 
 
b) ∫ += cedxe6 x6x6 
 
c) c3x5lndx
3x5
5 ++=+∫ 
 
d) ( ) ( ) c6x
6
1
dx6x
6
5 +−=−∫ 
 
e) ( ) cz9
2
dz
9z
2
2
+−=−∫ 
 
f) ( ) cy1y1
3
2
dyy1 +++=+∫ 
 
g) ( ) cxx3lndx
xx3
2x12 22
2
++=+
+∫ 
 
h) ( ) cxx7lndx
xx7
3x42 32
2
++=+
+∫ 
 
i) c|2x7|lndx
2x7
1 7
1
++=+∫ 
 
j) ( ) ( ) c2x312
1
dx
2x3
1
45
+−−=−∫ 
 
k) ( ) ( ) c8x945
1
dx
8x9
1
56
++−=+∫ 
 
 84
l) ( ) c1x2dx
1x
1
2
1 ++=+∫ 
 
m) c8x3
3
2
dx
8x3
1 +−=−∫ 
 
n) ce1ln
3
1dx
e1
e x3
x3
x3
+−−=−∫ 
 
o) ce1ln
7
1
dx
e1
e x7
x7
x7
+−−=−∫ 
 
p) ( ) ( ) c1xln1x2
2
1x
dx
1x
x 22 +−+−+−=−∫ 
 
q) ( ) c4x
3
1
dx4xx
322 ++=+∫ 
 
r) ( ) ( ) ( ) cx1
5
1
x1
6
1
dxx1x 564 +−−−=−∫ 
 
s) ( ) ( ) ( ) cxxdxxx +−+−−=−∫ 876 28327623 
 
t) cxsen2
x
dx
xcos +=∫ 
 
u) c)
2
x(arctag2xdx
4x
x
2
2
+−=+∫ 
 
v) ( ) ( ) c9x7sen
7
1
dx9x7cos +−=−∫ 
 
x) ( ) ( ) c7x6sen
6
1
dx7x6cos +−=−∫ 
 
3) Usando o Método de Integração por Partes, mostre que: (*exercícios de LARSON, 
1998. p. 329) 
a) ce
9
1xe
3
1dxxe x3x3x3 +−=∫ * 
 
b) ce2xe2exdxex xxx2x2 +−−−= −−−−∫ * 
 
 85
c) cxx2lnxxdx2ln +−=∫ * 
 
d) ce
2
1dxxe
22 xx +=∫ * 
 
e) ( ) ( ) c
4
xxln
2
xxln
2
xdxxlnx
22
2
2
2 ++−=∫ * 
 
f) ( ) ( ) ce2xe2e1xdxe1x xxx2x2 ++−−=−∫ * 
 
g) cx4xlnx2dx
x
xln +−=∫ 
 
h) ce6xe6ex3exdxex xxx2x3x3 +−+−=∫ * 
 
i) ( ) cx2cosx2xsen2
4
1dx x2cosx ++=∫ 
 
j) ( ) cxcosx3cos3xsenx3sen
8
1dxcosx x3sen ++=∫ 
 
l) cxcosxsenxdx xcosx ++=∫ 
 
m) cxx
9
4xlnxx
3
2dx xlnx +−=∫ 
 
n) c
e
1xdxxe x
x ++−=∫ − * 
 
5) Mostre que as igualdades nas integrais trigonométricas são verdadeiras 
 
a) csenx
2
1)x7(sen
14
1dx)x4(sen)x(sen ++−=∫ 
b) csenx
3
x)x(sen
2
1dx)
3
x(sen)
3
x2(sen ++−=∫ 
c) c2xsen
2
1)x10(sen
20
1dx)1x5cos()1x5cos( ++=−+∫ 
d) cxcosxcos
3
1xdxcosxsen 343 ++= −−∫ 
e) cxcos
9
1xcos
7
2xcos
5
1xdxcosxsen 97545 +−+−=∫ 
f) cxsen
5
1xsen
3
1xdxcosxsen 5332 +−=∫ 
 86
g) c)x4(sen
32
1x
8
1xdxcosxsen 22 +−=∫ 
h) c)x4(sen
32
1)x2(sen
4
1x
8
3xdxsen4 ++−=∫ 
i) cxsec
5
1xsec
7
1xdxsecxtag 5753 +−=∫ (Dica: antes de integrar coloque o integrando 
 em função do seno e do cosseno) 
j) cxsec
3
1xeccos
5
1xdxseccosxagcot 3533 ++−=∫ (Dica: idem a anterior) 
k) c|xcos|lnxtag
2
1xtag
4
1xdxtag 245 +−−=∫ 
l) cxtagxxtag
3
1xtag
5
1xdxtag 356 +−+−=∫ 
m) cxagxcotxagcot
3
1xdxagcot 34 +++−=∫ 
n) cxagxcotxdxagcot 2 +−−=∫ 
 
6) Mostre que as igualdades nas integrais de funções racionais são verdadeiras. 
a) c
3x
4xln
12x7x
dx
2 +−
−=+−∫ 
b) c|2x|ln2|x|ln3|1x|lndx
x2x3x
6x9x4
23
2
+++++−=++
++∫ 
c) c|)x2x)(1x(|ln
2
1dx
)x2x)(1x(
1xx3x2 22
22
23
++−=+−
−−+∫ 
d) c
1x
1
x
1|1x|ln|x|ln2dx
)]1x(x[
1x4x3x
2
23
+++−+−=+
+++∫ 
e) c
1x
4|x|ln|1x|ln3dx
xx2x
1x9x4
23
2
+−++−=+−
+−∫ 
f) c|3x|ln
4
41|1x|ln
4
5x4xdx
3x2x
2x5x2 2
2
3
+−++−+=−−
+−∫ 
 
7) No capítulo 1 desta apostila, no exercício 11, foi solicitado a utilização do T.F.C. 
(partes 1 e 2) para mostrar que os resultados das integrais abaixo estavam corretos. 
Agora, faça o mesmo, usando o cálculo da integral definida. 
a) 243dxx
9
0
2 =∫ b) 7128dxx
2
0
6 =∫ c) 0dxx11 3 =∫− d) 8dxx402 −=∫− 
 
 87
e) 
4
225dxx
4
1
3 =∫ f) 728dxx631 5 =∫− g) 269dx)9x5(
2
1
=−∫− h) 0dx)xx(22 5 =+∫− 
 
8) Calcule a integral definida de alguns exercícios desse capítulo. 
 
Do exercício 1) 
 
b) [1,3] f) [0, π] h) [-2, 0] 
 
Do exercício 2) 
 
d) [1,6] p) [2, 3] t) [0, π²] 
 
Do exercício 3) 
 
e) [0, e] i) [0, π] m) [0,4] 
 
 
9) No exercícos abaixo, determine a área da região delimitada pelo gráfico das 
equações. 
 
a) y = 2xx +− e y = 0 
 
Resp.: 2
15
16 
 
10) No anexo há uma lista de exercícios sobre diversas aplicações da integral. 
A referida lista não apresenta respostas. Alguns desses exercícios serão 
resolvidos em aula ao vivo. 
 
 
 
 
−2 −1 1 2
−1
1
x
y
 88
4 FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 
Até o presente momento do curso, estudamos funções de 
uma única variável independente. Muitas grandezas na Ciência, 
Administração, Engenharia, etc, entretanto, são funções não apenas 
de uma, mas de duas ou mais variáveis independentes. 
O conceito de função de duas ou várias variáveis reais é 
análogo ao de função de uma variável real. Por exemplo, as equações z = 3 – x – y 
e 
22 yx4z −−= , exprimem z como uma função de x e y. Nos dois casos, o z é 
uma variável dependente e x e y são variáveis independentes. Observe que no 
primeiro exemplo, para qualquer x e y real, obtém-se z real. Já, no segundo 
exemplo, tem-se que para z existir no campo dos números reais, é necessário que 4 
– x² - y² seja um número positivo ou nulo, ou seja, 0yx4
22 ≥−− . Em outras 
palavras, ao se trabalhar com uma função de duas ou mais variáveis, é importante 
descrever o domínio “D” de cada uma delas. 
 
4.1 DEFINIÇÕES 
 
4.1.1 Função de Duas Variáveis 
 
Se a cada par ordenado (x,y) de um conjunto domínio D corresponde um único 
número real z = f(x,y), então dizemos que f é uma função de x e y. O conjunto de 
valores de z é a imagem de f. 
 
Uma das formas de representar o domínio D dessa definição é por meio 
de pontos no plano-xy e o contradomínio por pontos de uma reta real, o qual será 
representado pelo eixo z, conforme a figura 4.1 Setas associam pares ordenados em 
D aos números correspondentes no contradomínio. 
Web 
Sistema 
Tridimensional de 
Coordenadas e a 
Função de Duas ou 
mais variáveis.
 89
 
 
 
 
 
Fig. 4.1 – Uma representação gráfica para a função de duas variáveis 
 
Uma outra forma de representar uma função de duas variáveis 
independentes é esboçar o gráfico no sistema tridimensional de coordenadas, 
conforme ilustra a figura 4.2. Para tanto, o eixo z é perpendicularaos eixos x e y. 
Essa forma de representação é a que utilizaremos nessa disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.2 – Representação no sistema tridimensional de coordenadas para a função de duas 
variáveis 
 
4.1.2 Função de Várias Variáveis 
 
Para ampliar o conceito de função a funções de um número qualquer de 
variável, é necessário considerar pontos em um espaço numérico n-dimensional. Da 
mesma forma que denotamos um ponto em R por um número real x, um ponto em 
f(x0,y0) 
 
 
f(x1,y1) 
 
 f(x2,y2) 
 
0
Z 
 (x0,y0) 
 
 (x1,y1) 
 
 (x2,y2) 
D 
y 
x 
f(x0,y0) 
 
 
f(x1,y1) 
 
f(x2,y2) 
 
 0
Z 
 (x0,y0) 
 
 (x1,y1) 
 
 (x2,y2) 
D 
y 
x 
f(x0,y0, z0) 
f(x1,y1, z1) 
f(x2,y2, z2) 
 90
R² por uma par ordenado de números reais (x,y), conforme pode ser visto na 
definição 4.1.1, e um ponto em R³ por uma tripla ordenada de números reais (x, y, z), 
um ponto no espaço numérico n-dimensional, Rn, é representado por uma n-upla de 
números reais, sendo comumente denotado por P = (x1,x2, x3,..., xn). Em particular, 
se n = 1, P = x, se n = 2, P = (x, y), se n = 3, P = (x, y, z), se n = 5, P = (x1,x2, x3, x4, 
x5). 
 
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional )RA( n⊆ , isto é, os elementos de A 
são n-uplas ordenadas (x1,x2, x3,..., xn) de números reais. Se a cada ponto P do 
conjunto A associamos um único elemento z ∈ R, temos uma função 
RRA:f n →⊆ . Essa é chamada de função de n-variáveis e denota-se por: 
Z = f(p) ou z = f(x1,x2, x3,..., xn). O conjunto A é o domínio da função z = f(p). 
 
Observe que se n = 3, o domínio da função será formado por triplas 
ordenadas e, dessa forma, cada uma dessas triplas será representada no sistema 
tridimensional de coordenadas, ou seja, cada elemento do domínio está no espaço. 
Então pergunta-se: onde é que a imagem será representada? 
 
4.2 APLICAÇÕES 
 
Neste tópico, serão apresentadas algumas aplicações de funções de duas 
ou mais variáveis reais, com o objetivo de evidenciar as inúmeras aplicações do 
cálculo de funções de duas ou mais variáveis. No momento, nenhum dos exemplos 
será resolvido e, mais adiante, resolveremos os exemplos referentes às funções de 
duas variáveis. 
a) O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e altura e é 
dado por V = πr²h; 
b) O volume de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo 
depende do comprimento x, altura y e largura z, ou seja, V = xyz; 
 91
c) De acordo com a lei do gás ideal, o volume ocupado por um gás 
confinado é diretamente proporcional à sua temperatura e 
inversamente proporcional à sua pressão (V = nRT / P); 
d) O custo C de um produto pode depender do custo do trabalho Ct, preço 
de materiais Pm e despesas gerais Dg (C = Ct + Pm + Dg) 
e) A quantidade de poluente emitida por uma chaminé de h metros de 
altura, a x quilômetros da origem da emissão e y metros do chão, terá a 
concentração aproximada de poluente representada pela fórmula: 
( ) .)hy(
x
b)y,x(ke)hy(
x
b)y,x(honde,ee
x
a)y,x(P 22
2
2
)y,x(k)y,x(h
2 +−=−−=+=
 
onde a e b são constantes que dependem das condições atmosféricas 
e da taxa de emissão do poluente. 
 
4.3 DOMÍNIO E IMAGEM 
 
De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e 
Imagem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias 
variáveis. 
 
4.3.1 Definição do Domínio e da Imagem de Uma Função de Duas Variáveis 
Independentes 
 
Seja f : A ⊆ R² → R uma função. 
i) O conjunto de todas as variáveis independentes u ⊆ R² tais que f(u) 
existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f). 
ii) O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem 
de f e é denotado por Im(f). 
 
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do 
problema. 
 92
Exemplos 
 
Determine o domínio e a imagem das funções: 
 
a) z = 3 – x – y 
 
Solução 
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica, 
como, por exemplo, em Administração ou Engenharia), supõe-se que o domínio seja 
o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. 
Note que, para qualquer valor real de x e y, o z também é um valor real. Logo, o 
domínio dessa função é o conjunto de pontos (x,y) tal que (x,y) pertença a R². Isso 
poderá ser respondido, resumidamente: 
D(f) = ∀(x,y) ∈ R², ou seja D(f) = R² 
A imagem da função z = 3 – x – y é formada por todos os valores 
possíveis de z. Nesse exemplo, z pode assumir qualquer valor real, logo: 
Im(f) = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 22 yx4z −−= 
 
Solução 
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação 
específica), supõe-se que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os 
x
y
z
(0,0,3)
(0,3,0)
(3,0,0)
Domínio 
R² 
x 
y z 
I 
m
a 
g 
e
m 
0 
Não faremos esse tipo de 
representação, mas trata-se 
de uma forma para facilitar o 
entendimento. 
Em cinza está o 
plano representado 
pelos pontos (x,y,z), 
ou seja, a imagem 
da função. O 
domínio são todos 
os pontos (x,y) do 
plano xy. 
 93
quais a equação definidora tenha sentido. Note que 4 – x² - y² está sobre um radical 
de índice par e, por isso, essa expressão deverá ser não negativa: 
4yx4yx0yx4 222222 ≤+⇒−≥−−⇒≥−− 
Então: 
D(f) = {(x,y) ∈ R² / 4yx 22 ≤+ } 
Assim, o domínio dessa função são todos os pontos pertencentes à 
circunferência x² + y² = 4 ou ao seu interior, ou seja, do círculo de raio 2 e cento na 
origem. 
A imagem da função 22 yx4z −−= é formada por todos os valores 
possíveis de z, com .2z0 ≤≤ 
Im(f) = { z ∈ R / 2z0 ≤≤ } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x,y) = ln(x-y) 
 
Solução 
Como não há restrições, supõe-se que o domínio seja o conjunto de todos 
os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Sabe-se que ln(x-y) é 
um número real quando: 
x – y > 0 ⇒ x > y, 
Domínio 
R² 
z 
I 
m
a 
g 
e
m 
0 
x 
y 
2 -2 
-2 
2 2 
Em cinza está a 
superfície que 
representa todos os 
pontos (x,y,z). 
x
y
z
2 
-2 
-2 
2
2
 94
Dessa forma, o domínio de função f é representado por: 
D(f) = {(x,y) ∈ R / x > y} 
A imagem da função z = ln(x-y) é formada por todos os valores possíveis 
de z, com z real. 
Im(f) = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Um modelo que representa o tempo médio gasto em filas por um cliente é dado 
pela função 
yx
1)y,x(w −= , onde y é a taxa média de chegada e x a taxa média de 
atendimento (x e y são dados em números de clientes por hora). Quais valores de x 
e y são aceitos para que o modelo exista? 
 
Solução 
Como se trata de um problema de aplicação, note que existem restrições. 
O x e o y são taxas e a soma dessas taxas é um valor positivo. Com isso, temos que 
o denominador dessa função será um número positivo, ou seja, x – y > 0, portanto x 
> y. 
D(f) = {(x,y) ∈ R / x > y} 
 
4.3.2 Definição do Domínio e da Imagem de Uma Função de Várias Variáveis 
Independentes 
 
Seja f : A ⊆ Rn → R uma função. 
Domínio 
z 
I 
m
a 
g 
e
m 
0 
x 
y 
x
y
z Em cinza está a 
superfície que 
representa todos os 
pontos (x,y,z). 
 95
1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) 
existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f). 
2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem 
de f e é denotado por Im(f). 
 
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do 
problema, conforme pode ser visto no exemplo 4.3.1.1(d).Exemplos 
 
Determine o domínio das funções: 
a) f(x, y,z) = 222 zyx4 −−− 
 
Solução 
 Para que 222 zyx4 −−− seja um 
número real, devemos ter: 
⇒−≥−−−⇒≥−−− 4zyx0zyx4 222222 
4xyx 222 ≤++ . Assim, 
D(f) = {(x,y) ∈ R² / 4zyx 222 ≤++ }. 
Esse domínio representa uma região esférica no R3. 
 
b) 
4321 xxxx
2T +++= 
 
Solução 
Trata-se de uma função de 4 variáveis independentes. As variáveis 
independentes apresentam uma soma pertencente ao denominador da função. Por 
esse motivo, essa soma deve ser diferente de zero. Logo, temos T ∈ R, se x1 + x2 + 
x3 + x4 ≠ 0. 
Portanto: 
x
y
z
2 
 96
D(T) = { (x1, x2, x3, x4) ∈R4 / x1 + x2 + x3 + x4 ≠ 0} 
Esse domínio não tem uma representação gráfica, pois é um subconjunto 
do espaço R4. 
 
c) Imagine um circuito com 4 resistores. A corrente desse circuito é função das 
resistências Ri (i = 1, ..., 4). Essa corrente pode ser determinada por meio do modelo 
4321 RRRR
EI +++= . Qual é o valor de Ri (i = 1, ..., 4) para que essa corrente 
exista? 
 
Solução 
Trata-se de uma aplicação e devemos ficar atentos às restrições. As 
resistências não assumem valores negativos, dessa forma Ri ≥0 (i = 1, ..., 4). Como 
o denominador tem de ser diferente de zero e nesse caso a soma das resistências é 
um valor positivo, ou seja: 
D(T) = { (x1, x2, x3, x4) ∈R4+* / x1 + x2 + x3 + x4 > 0} 
 
4.4 GRÁFICO 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), como pode ser 
observado nos exemplos do tópico 1.3.1.1, é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) ∈ 
R3, tais que (x,y) ∈ D(f) e z = f(x,y). Esse conjunto de pontos forma uma superfície no 
espaço. 
Nem toda superfície no espaço representa o gráfico de uma função z = 
f(x,y). Se f é uma função, cada ponto de seu domínio pode ter somente uma 
imagem, por esse motivo a superfície S representará o gráfico de uma função z = 
f(x,y) se qualquer reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto, 
conforme ilustra a figura 4.3. 
 
Web 
Gráfico 
 97
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.3 – Identificando o gráfico de uma função 
 
4.4.1 A Esfera 
 
Uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é o conjunto de todos os pontos 
(x, y, z), tais que a distância entre (x, y, z) e (xc, yc, zc) é constante e igual a r. 
A equação padrão de uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é: 
.r)zz()yy()xx( 22c
2
c
2
c =−+−+− 
 
Se a esfera tiver centro na origem, ou seja, se (xc, yc, zc) = (0, 0, 0), a 
equação será dada por: 
.rzyx 2222 =++ 
 
Exemplo 
 
Determine a equação padrão da esfera de centro (3, 3, 4) e raio 4. Essa 
esfera intercepta o plano xy? 
 
Solução 
Como vimos, 22c
2
c
2
c r)zz()yy()xx( =−+−+− é a equação padrão da 
esfera. O problema apresenta o centro e o raio da esfera e esses valores devem ser 
substituídos na fórmula. Dessa forma, a equação será: 
Z 
y 
x 
a) Função 
Z 
y 
x 
b) Não é Função 
 98
2222 4)4z()3y()3x( =−+−+− 
A coordenada z do centro da esfera está 
a 4 unidades e o raio também é de 4 unidades. 
Como o raio tem 4 unidades, sabemos que a 
distância do centro a qualquer ponto da superfície 
esfera é de 4 unidades. A distância do centro ao 
plano xy também é de 4 unidades, uma vez que a 
coordenada z do centro é de 4 unidades. Como a 
distância do centro ao plano xy é igual ao raio, 
podemos afirmar que essa esfera toca o plano xy no ponto (3, 3, 0). 
 
4.4.1.2 Traços de Superfície 
 
Traço é a determinação da intersecção de uma superfície 
com um dos três planos coordenados ou com o plano paralelo a um 
deles. Um dos objetivos para desenharmos o traço de uma superfície é 
que esse auxilia na visualização do gráfico e, em alguns casos, nos 
orienta em como esboçá-los. 
O traço xy de uma superfície é formado por todos os pontos comuns à 
superfície estudada e ao plano xy. Analogamente, o traço xz de uma superfície 
consiste em todos os pontos comuns à superfície e ao plano xz. 
Embora, nesta apostila, este tópico esteja como um subtópico da esfera, é 
importante lembrar que podemos determinar o traço de qualquer tipo de superfície. 
 
Exemplo 
 
Determine a equação do traço da esfera 2222 4)4z()3y()3x( =−+−+− 
com o plano xz. 
 
Solução 
Z 
y 
x 
(3, 3, 0) 
(3, 3, 4) 
r = 4
Web 
Traços de uma 
superfície 
 99
Para determinar o traço xz dessa superfície, lembre-se de que todo o 
ponto do plano xz tem coordenada y = 0. Assim, fazendo y = 0 na equação dada, a 
equação resultante representará a intersecção da superfície com o plano xz. 
 
2222 4)4z()3y()3x( =−+−+− Equação da esfera. 
2222 4)4z()30()3x( =−+−+− Fazer y = 0 para determinar 
o traço xz. 
16)4z(3)3x( 222 =−++− 
916)4z()3x( 22 −=−+− 
222 )7()4()3( =−+− zx Equação da circunferência (Essa equação representa o 
traço). 
 
4.4.2 O Plano 
 
A equação geral de um plano no espaço é dada por: 
ax + by + cz = d 
 
Os traços das intersecções do plano representado por essa equação com 
cada um dos três planos coordenados são linhas retas. Os pontos em que o plano 
intercepta os três eixos coordenados x, y e z são os interceptos x, y e z do plano. 
Com a união desses três pontos, formamos uma região triangular que facilita a 
visualização desse plano no espaço, conforme pode ser observado na figura 1.4. 
 
 
 
 
 
Z 
y 
x 
(3, 3, 0) 
(3, 3, 4) 
r = 4
 100
 
 
Fig. 4.4 - Determinação de uma região plana por seus traços 
 
Nem sempre o plano no espaço tem os três interceptos. Isso ocorre 
quando ao menos um dos coeficientes da equação ax + by + cz = d são iguais a 
zero. Observe na figura 4.5 duas situações em que isso ocorre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.4.5 – Região plana com menos de três interceptos 
 
Exemplo 
 
Esboce o gráfico da região plana dada por 4x + 2y + 6z = 12. 
 
Solução 
 
Para esboçar o gráfico dessa região plana, primeiramente 
determinaremos os interceptos x, y e z, pois com eles desenharemos a região 
triangular que nos dará a possibilidade de facilmente traçarmos o plano desejado. 
Para determinarmos o intercepto x, façamos y = z = 0, daí teremos: 
Z 
y 
Traço xy: ax + by = d 
Traço yz: by + cz = d 
Traço xz: ax + cz = d 
Plano: by + cz = d é 
paralelo 
x 
Plano: ax = d é paralelo 
ao plano yz 
y
z
x
y 
z
x 
 101
4x + 2.0 + 6.0 = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3. 
Assim, o intercepto x é (3, 0, 0). 
Para determinarmos o intercepto y, façamos x = z = 0, daí teremos: 
4.0 + 2.y + 6.0 = 12 ⇒ 2y = 12 ⇒ y = 6. 
Assim, o intercepto y é (0, 6, 0). 
Para determinarmos o intercepto z, façamos x = y = 0, daí teremos: 
4.0 + 2.0 + 6.z = 12 ⇒ 6z = 12 ⇒ x = 2. 
Assim, o intercepto x é (0, 0, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.3 Superfícies Quádricas 
 
 
Segue, a seguir, um resumo sobre os seis tipos básicos de 
superfícies quádricas. 
 
 
 
Toda superfície quádrica (em um sistema de eixos retangulares) tem uma 
equação da forma Ax² + By² + Cz² +Dx + Ey + Fz + G = 0 
 
Z 
y 
x 
6 
2 
3 
Z 
y 
x 
6 
2 
3 
Paralelo ao traço yz 
Paralelo ao traço xz 
Paralelo ao traço xz 
Plano : 4x + 2y + 6z = 12 
Paralelo ao traço yz 
Web 
Superfícies 
Quádricas 
 102
4.4.3.1 Cone Elíptico 
A equação do cone elíptico tem a forma: 0
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.6 – Cone Elíptico 
 
O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os 
traços nos planos coordenados paralelos a esteeixo são retas que se interceptam. 
 
4.4.3.2 Parabolóide Elíptico 
 
A equação do Parabolóide elíptico tem a forma: 2
2
2
2
b
y
a
xz += 
 
 O eixo do parabolóide elíptico corresponde à variável elevada à primeira 
potência. 
Observe a figura 4.7. 
 
 
 
 
 
 Traço: Hipérboles 
paralelas ao plano yz 
x y
z
x y
z
Traço: Elipses 
paralelas ao 
plano xy 
 Traço: Hipérboles 
paralelas ao plano xz 
Eixo do cone 
Traço -yz
Traço -xz
Traço –xy 
(um ponto)
 103
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.7 – Parabolóide Elíptico 
 
4.4.3.3 Parabolóide Hiperbólico 
 
A equação do Parabolóide hiperbólico tem a forma: 2
2
2
2
a
x
b
yz −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.8 – Parabolóide Hiperbólico 
 
Traço: Parábolas 
paralelas ao plano xz 
x y
z
x y
z
Traço: Parábolas 
paralelas ao plano yz
Traço:Elipses 
paralelas ao 
plano xy 
Eixo da Parabiol[óide
Traço -yz
Traço -xz
Traço –xy 
(um ponto)
 
 
 
x y
z
x y
z
Traço: Parábolas 
paralelas ao plano xz 
Traço: Parábolas 
paralelas ao plano yz
Traço:Hipérboles 
paralelas ao 
plano xy 
Traço:Hipérboles
paralelas ao 
plano xy 
Eixo da Parabiol[óide
Traço –xy
Traço -yz
Traço -xz 
 104
O eixo desse parabolóide corresponde à variável elevada à primeira 
potência. 
 
4.4.3.4 Elipsóide 
 
A equação da elipsóide tem a forma: 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.9 – Elipsóide 
 
A superfície de uma elipsóide será uma esfera se os coeficientes a, b, e c 
forem iguais e diferentes de zero. 
 
4.4.3.5 Hiperbolóide de Uma Folha 
 
A equação da Hiperbolóide de uma folha tem a forma: 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+ 
 
x y
z
x y
z
Traço: Elipses 
paralelas ao plano yz 
Traço: Elipses 
paralelas ao plano xz
Traço: Elipses 
paralelas ao plano xy
Traço –xy
Traço –yz
Traço –xz
 105
O eixo do hiperbolóide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. 
Observe o gráfico dessa equação na figura 4.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.10 – Hiperbolóide de uma folha 
 
4.4.3.6 Hiperbolóide de Duas Folhas 
 
A equação da Hiperbolóide de duas folhas tem a forma: 1
b
y
a
x
c
z
2
2
2
2
2
2
=−− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.11 – Hiperbolóide de duas folhas 
 
x y
z
x y
z
Traço: Elipses 
paralelas ao plano xy
Traço: Hipérboles 
paralelas ao plano yz
Traço: Hipérboles 
paralelos ao plano xz 
Traço –xz
Traço –yz 
Traço –xy
x y
z
Traço –xz
Traço: Hipérboles 
paralelos ao plano xz
 
x y
z
Traço: Elipses 
paralelas ao plano xy
Traço: Hipérboles 
paralelas ao plano yz 
Traço: Hipérboles 
paralelos ao plano xz
Traço –yz 
Não há 
Traço –xy
 106
O eixo do hiperbolóide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. 
Não há traço no plano coordenado perpendicular a esse eixo. 
 
4.5 CURVAS DE NÍVEL 
 
As curvas de nível são subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e,
portanto, são traçadas no plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, 
sobre o plano xy, da intersecção do gráfico de f com o plano horizontal z = k. 
 
Para obtermos uma visualização do gráfico, podemos 
traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas 
curvas deslocadas para a altura z = k correspondente. 
 
Exemplo 
 
Determine as curvas de nível para z = k, esboce o gráfico e exiba os 
traços no planos para k = 0, 1, 2, 3 e 4, para z = 4 – x² - y². 
 
 Solução 
Primeiro deve-se determinar o domínio da função. O domínio D pode ser 
representado por todos os pontos da circunferência x² + y² = 4 e todos os pontos do 
seu interior, no plano xy. O gráfico de f é formado por todos os pontos z = f(x,y), para 
D = {(x,y) / }4yx 22 ≤+ . 
Em um exercício desse tipo, podemos esboçar o gráfico da função, em 
seguida exibir os traços nos planos solicitados e projetá-los no plano xy para a 
obtenção das curvas de nível, ou podemos determinar as curvas de nível e, a partir 
delas, o gráfico da função. 
Para determinarmos as curvas de nível, faremos: 
 
Curva 1 (c1) – para z = 0 ⇒ c1: 0 = 4 – x² - y² ⇒ c1: x² + y² = 4 c1: x² + y² = 2² 
Logo, c1 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 2 
Web 
Curvas de 
 Nível 
 107
Curva 2 (c2) – para z = 1 ⇒ c2: 1 = 4 – x² - y² ⇒ c2: x² + y² = 3 c2: x² + y² = ( )23 
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 3 
Curva 3 (c3) – para z = 2 ⇒ c3: 2 = 4 – x² - y² ⇒ c3: x² + y² = 2 c3: x² + y² = ( )22 
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 2 
 
Curva 4 (c4) – para z = 3 ⇒ c4: 3 = 4 – x² - y² ⇒ c4: x² + y² = 1 c4: x² + y² = 21 
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 1 
 
Curva 5 (c5) – para z = 4 ⇒ c5: 4 = 4 – x² - y² ⇒ c5: x² + y² = 0 
Logo, não existe uma curva para z = 0 e sim um ponto P(0,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f é uma função de duas variáveis e esboçamos as curvas de nível f 
(x,y) = k para valores equiespaçados de k, como k = 0, 1, 2, 3 e 4, então a 
proximidade de curvas sucessivas nos dá a informação sobre a aclividade do gráfico 
de f. Na figura acima, as curvas de nível correspondentes a k = 0 e k = 1 estão mais 
y 
x 
z 
−2 −1 1 2
x
y
z = 1 
z = 2 
z = 3 
z = 4 
z = 0 
k = 1 
k = 2 
k = 3 
k = 4 
k = 0 
 √3 
 √2 
 108
próximas uma da outra do que as correspondentes a k = 1 e k = 3, o que indica que 
a aclividade dessa superfície é maior nas proximidades do plano xy. 
 
4.6 EXERCÍCIOS 
 
Nos exercícios 1 a 3, descreva o domínio de f e determine os valores 
funcionais indicados. 
1) f(x,y) = 2x – y²; f(-2, 5); f(5, -2); f(0, -2) 
2) ;
y2x
xy)y,x(f −= f(2, 3); f(-1, 4); f(0, 1) 
3) f(x,y,z) = ;zyx25 222 −−− f(1, -2, 2), f(-3, 0, 2) 
 
Nos exercícios 4 a 10, determine o domínio e o conjunto imagem das 
funções. 
4) z = 5 – x – y 5) f(x,y) = 1 + x² + y² 
6) )yx(9z 22 +−= 7) f(x,y) = 2x + 5y – 4 
8) z = x² + y² - 2 9) f(x,y) = 2x² + 5y 
10) z = 4 + x² + y² 
 
 Nos exercícios 11 a 14 , determine o domínio e esboce o gráfico. 
11) ;yx1z 22 −−= 
12) f(x,y) = - 1 + x² + y² ; 
13) f(x,y) = 6 – 2x – 3y; 
14) ;yx416z 22 +−−= 
 
Nos exercícios 15 e 16, determine as coordenadas do ponto médio do 
segmento de reta que une os dois pontos dados. 
15) (6, -9, 1), (-2, -1, 5) 
16) (-5, -2, 5), (6, 3, -7) 
 
 
 109
Nos exercícios 17 e 18, determine (x, y, z). 
17) 18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 19 a 22, escreva a equação da esfera em sua forma 
padrão. 
19) 20) 
 
 
 
 
21) Centro: (1, 1, 5); raio: 3 22) Extremidades de um diâmetro (2, 0, 0) e (0, 6, 0) 
 
Nos exercícios 23 a 25, determine o centro e o raio da esfera. 
23) x² + y² + z² - 2x + 6y + 8z + 1 = 0 
24) x² + y² + z² - 8y = 0 25) 9x² + 9y² + 9z² - 6x + 18y + 1 = 0 
 
26) Esboce o traço xy da esfera (x-1)² + (y – 3)² + (z – 2)² = 25 
27) Esboce o traço da intersecção dos planos x = 2, e y = 3 com a esfera 
 x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0 
 
Nos exercícios 28 a 31, determine os interceptos e faça um esboço do 
gráfico do plano. 
Z 
y 
x 
(-2,1,1)(2,-1,3) 
Ponto Médio 
(x,y,z) 
Z 
y 
x 
(2,0,3) 
(3/2, 1,2) 
Centro 
(x,y,z) 
x 
(0,2,2) 
(2, 1, 3) 
(1, 3, -1) y 
z 
x 
y 
z 
(1,2,3) 
 110
28) 3x + 3y + 5z = 15 29) z = 3 30) x – y + 3z = 8 31) 2y – 5z = 5 
 
32) Descreva o traço da superfície x² - y – z² = 0 no plano xy, y = 1 e no plano yz. 
 
Nos exercícios 33 a 37, identifique a superfície quádrica. 
33) 1z
4
yx 2
2
2 =++ 34) 25x² + 25y² - z² = 5 35) 4x² – y² + 4z = -16 
36) 2x² + 2y² + 2z² - 3x + 4z = 10 37) z² = 9x² + y² 
 
Nos exercícios 38 a 40, descreva as curvas de nível da função e esboce-
as para os valores de k = 0, 1, 2, 3 e 4. 
38) z = x + y 39) 22 yx16z −−= 40) f(x,y) = xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 111
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Esta apostila é o ponto de partida para seu estudo do Cálculo Integral da 
função de uma variável e da Função Real de Duas Variáveis. 
Ela é necessária e também suficiente para o seu bom desempenho na 
disciplina “Cálculo Diferencial e Integral III”, mas deverá ser complementada para a 
sua formação de engenheiro. 
A lista oferecida nas Referências traz obras com abordagens voltadas 
para o estudo desse assunto no ensino superior, e é importante conhecer ao menos 
algumas destas referências. 
Toda a leitura poderá ser orientada, usando a ferramenta Correios, 
disponível em nosso portal e também discutida com os colegas, ou simplesmente 
comentada como contribuição ao bom desempenho de todos, usando os Fóruns 
outra ferramenta do portal UNISA. 
Complemente esta leitura também com as aulas WEB, que visam trazer 
um pouco da discussão em outra abordagem, incluindo exemplos resolvidos. 
Esteja presente às aulas-satélite, anotando apenas suas dúvidas, uma 
vez que as projeções de aula serão disponibilizadas no Material de Apoio. 
Um bom aproveitamento conceitual dos temas aqui abordados o 
capacitará a futuros aprofundamentos e aplicações em diversas áreas. 
 
 
 
 
 
 
 
 112
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Cálculo Diferencial e Integral I. Brasília: Editora universidade de 
Brasília,1978. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e integral. Vol 1. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1999. 
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson Education, 2006. 
GONÇALVES, M. e FLEMMING, D. Cálculo B. São Paulo: Makron Books, 1999. 
HUGHES-HALLETT, D. Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
HUGLES, D. et al. Cálculo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
IEZZI, G.; MURAKAMI C.; MACHADO N.J. Fundamentos de matemática 
elementar. São Paulo: Atual, 2005. V. 8. 
LARSON, R.; HOSTETLER, R.; EDWARDS, B. Cálculo com aplicações. 4ª ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 1998 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Trad. Cyro de Carvalho 
Patarra. 3.ed.São Paulo: Harbra, 1994. 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol 2. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 
1994. 
MACHADO, N. J. Noções de Cálculo. Coleção Matemática por assunto. São Paulo: 
Scipione, 1988. 
SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 
1987. 
SWOKOWISKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. Trad. Alfredo Alves 
de Farias. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. 
THOMAS, G. B. Cálculo. V.1. São Paulo: Addison Wesley, 2002. 
 
 113
ENEXO - CÁLCULO INTEGRAL 
Esse anexo foi extraído das referências: 
THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002 
 LARSON, Roland E. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1998 
 
 
Modelagem Matemática 
 
De acordo com Thomas (2002, p321). 
O desenvolvimento de um modelo matemático geralmente tem quatro passos: 
primeiro observamos alguma coisa no mundo real (por exemplo, uma esfera de 
metal maciça caindo a partir do repouso, ou a traquéia contraindo durante a tosse) e 
construímos um sistema de variáveis e relações matemáticas que imitam algumas 
de suas características importantes. Construímos uma metáfora matemática para 
aquilo que vemos. Em seguida, aplicamos matemática às variáveis e relações para 
resolver o modelo e tirar conclusões sobre as variáveis. Depois disso, traduzimos as 
conclusões matemáticas para informações sobre o sistema de estudo. Por fim, 
comparamos as informações com as observações para ver se o modelo tem valor de 
previsão. Também investigamos a possibilidade de que o modelo seja aplicável a 
outros sistemas. Os modelos realmente bons são aqueles que levam a conclusões 
consistentes com as observações, que tem valor de previsão e ampla aplicação e 
que não são muito difíceis de usar. 
 
 
O ciclo natural de imitação, dedução, 
interpretação e confirmação matemáticas 
é mostrado no diagrama da queda livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os exercícios 1 e 2 dão a velocidade v=ds/dt e a posição inicial de um corpo que se 
desloca ao longo de um eixo coordenado. Determine a posição do corpo no instante 
t. 
 
1- 10s(0) ,58,9 =+=v 2- 1)s( ,2cos2 2 == πππ
tv 
 
 
 114
Os exercícios 3 e 4 dão a aceleração a=d2s/dt2, a velocidade inicial e a posição inicial 
de um corpo que se desloca em um eixo coordenado. Determine a posição do corpo 
no instante t. 
 
3- 5s(0) 20, v(0);32 ===a 4- -3s(0) 2, v(0);24 ==−= rsena 
 
Os exercícios 5 e 6 mostram curvas solução para equações diferenciais. Em cada 
exercício, determine uma equação para a curva que passa através do ponto 
marcado. 
 
5- 6- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de 20 
m/s2. Qual será sua velocidade 1 minuto depois? 
 
8- Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração 
a=d2s/dt2= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
t
t 315 , desde que ds/dt=4 e s=0 quando t=1. Determine 
 
a) a velocidade v=ds/dt em termos de t 
b) a posição s em termos de t 
 
Nos exercícios 9 ao 13, resolva os problemas de valor inicial. 
 
9- ( ) 3s(1) ,1312 32 =−= tt
dt
ds 10- ( ) 0y(0) ,84 312 =+= −xx
dx
dy 
 
11- ( ) 0y(ln2) ,2 =−= tt esene
dt
dy 12- 0)0(y e 1y(0) ,2 ,2
2
=== −xe
dx
yd 
 
13- 0y(0) ,
1
1
2
=−= xdx
dy 14- -2y(1) ,1 2 =+= xx
dx
dy 
 
Nos exercícios 15 e 16, determine a área total da região entre a curva e o eixo x. 
 115
 
15- 2x3- ,22 ≤≤−−= xxy 16- 2x2- ,43 ≤≤−−= xxy 
 
17- O custo marginal da impressão de um pôster quando x pôsteres são impressos é 
 
xdx
dc
2
1= 
 
dólares. Determine 
 
a) c(100)-c(1), o custo para imprimir os pôsteres 2-100 
b) c(400)-c(100), o custo para imprimir os pôsteres 101-400 
 
18- Suponha que o rendimento marginal de uma empresa pela fabricação e venda 
de batedeiras seja 
 
( )21
22 +−= xdx
dr 
 
Onde r é medido em milhares de dólares e x em milhares de unidades. Quanto 
dinheiro a companhia deve esperar de uma produção de x=3 mil batedeiras? Para 
descobrir integre o rendimento marginal de x=0 a x=3. 
 
 
19- Suponha que f seja a função derivável mostrada no gráfico a seguir e que a 
posição no instante t (segundos) de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 
das coordenadas seja 
∫= t dxxfts 0 )()( 
metros. Use o gráfico para responder às perguntas a seguir. Justifique suas 
respostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual a velocidade da partícula no instante t=5? 
b) A aceleração da partícula no instante t=5 é positiva ou negativa? 
c) Qual é a posição da partícula no instante t=3? 
d) Em que instante, durante os primeiros 9s, tem o maior valor? 
 116
e) Aproximadamentequando a aceleração é zero? 
f) Quando a partícula está se deslocando para a origem? E afastando-se da 
origem? 
 
Nos exercícios 20 e 21, esboce o gráfico da função no intervalo dado. Depois 
 
a) integre a função no intervalo 
b) determine a área da região entre o gráfico e o eixo x. 
 
20- [ ]0,3 ,862 +−= xxy 21- [ ]0,3 ,2 2xxy −= 
 
Nos exercícios 22 a 26, determine as áreas das regiões compreendidas entre as 
retas e curvas. 
 
22- 2y e 22 =−= xy 23- xy e 22 =−−= xxy 24- 4xy e 22 +−== xxy 
25- 4y e 27 22 +=−= xxy 26- 4
2
xy e 4
2
2 +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−= xy 
27- Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y=x e 
x=2, a curva y=1/x2 e o eixo x. 
 
28- Determine a área da região entre a curva y=3-x2 e a reta y=-1 
 
Nos exercícios 29 e 30, ache a função custo correspondente ao custo marginal e ao 
custo fixo. 
 
 Custo marginal Custo fixo (x=0) 
 
29- 85=
dx
dC $ 5.500 
 
30- 4
20
1 +=
xdx
dC $ 750 
 
Nos exercícios 31 e 32, ache as funções receita e demanda para a receita marginal 
dada. (leve em conta que R=0 quando x=0) 
 
31- x
dx
dR 3225−= 32- 226100 xx
dx
dR −−= 
 
Nos exercícios 33 e 34, ache a função lucro para o lucro marginal e a condição 
inicial de dados. 
 
 Lucro marginal Condição inicial 
 
33- 650.118 +−= x
dx
dP P(15) = $ 22.725 
 
 117
34- 25040 +−= x
dx
dP P(5) = $ 650 
 
 
35- A taxa de crescimento da população de uma cidade tem como modelo 
 
06,1500t
dt
dP = 
 
onde t é o tempo em anos. A população da cidade é, no momento, de 50.000 
habitantes. Qual será a população daqui a 10 anos? 
 
36- O consumo S (em quadrilhões de Btu) de gás natural aumentou 
consideravelmente entre 1986 e 1992. A taxa de aumento admite como modelo 
 
6t0 ,81,04,0175,0 2 ≤≤++−= tt
dt
dS 
 
Onde t=0 representa 1986. Em 1986, o consumo foi de 16,7 quadrilhões de Btu. 
Estabeleça um modelo para o consumo de 1986 a 1992 e determine o consumo em 
1992. (Fonte: U.S. Energy Information Administration) 
 
Nos exercícios 37 e 38, dão se duas famílias de gráficos; cada uma delas é solução 
da equação diferencial dada. Ache a solução particular que passa pelo ponto 
indicado. 
 
37- 38- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 39 e 40, ache a função f que satisfaça as condições dadas. 
 
39- f’’(x)=2, f’(2)=5, f(2)=10 40- f’’(x)=x2, f’(0)=6, f(0)=3 
 
41- Uma companhia adquire uma nova maquina para a qual a taxa de depreciação 
tem como modelo 
 
 118
( ) 5t0 ,6000.10 ≤≤−= t
dt
dV 
 
onde v é o valor da máquina após t anos. Estabeleça e calcule a integral definida 
que dá a perda total de valor da máquina durante os 3 primeiros anos. 
 
42- A taxa de variação da receita da indústria de computadores e processamento de 
dados nos Estados Unidos, de 1985 a 1990, admite como modelo 
 
5t0 ,40,0972,6 2 ≤≤−= tt
dt
dR 
 
onde R é a receita (em bilhões de dólares) e t=0 representa 1985. Em 1985 a receita 
foi de $ 45,2 bilhões. (Fonte: U.S.Bureau of Census) 
a) Estabeleça um modelo para a receita como função de t 
b) Qual foi a receita média de 1985 a 1990. 
 
43- Utilize o valor ∫ =20 2 38dxx para calcular a integral definida. Explique seu 
raciocínio. 
 
a) ∫−02 2dxx b) ∫−02 2dxx c) ∫ −20 2dxx