REVISÃO Cálculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 1
Introdução às integrais e suas aplicações
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1- Revisão da unidade
Vamos rever os conceitos de cálculos de áreas com as integrais.
IntegraisPrimeiramente, estudamos as integrais, vamos rever alguns conceitos
importantes. Seja função f (x) > 0 a integral pode ser interpretada como a área S abaixo
da curva f(x) entre e x = a e x = b, isto é,
Na Figura 1, há a área sombreada S. Para determinar essa área, devemos resolver a
integral:
Integrais
Para resolver a integral e determinar a área , há alguns métodos. Entretanto, de forma
eficiente e precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo é utilizado. Ele afirma que
onde F é qualquer primitiva de f(x), isto é, F é uma função tal que F'(x) = f(x).
Em outras palavras, a primitiva seria a função que, após ser derivada, originará f(x). 
Dessa forma, teremos que:Dessa forma, teremos que:
Veja que, após encontrar a primitiva na primeira linha, foi aplicado o Teorema
Fundamental do Cálculo, substituindo o limite de integração superior na primitiva “menos”
o limite de integração inferior substituído na primitiva. Portanto, a região sombreada S tem
área exata de 2 unidades quadradas. 
Ainda há o caso da área entre duas curvas. Nessa situação, fazemos a integração da
função f(x) que delimita a região superiormente menos a função g(x) que delimita
inferiormente a área, com os limites de integração adequados, isto é
Um exemplo está na Figura 2. 
Para determinar a área da imagem, devemos fazer:
Para determinar a área da imagem, devemos fazer:
Portanto, a área da região entre as duas curvas é de, aproximadamente, 5,8693 unidades
quadradas de área. Importante lembrar que, em cálculo de integrais trigonométricas,
devemos utilizar o ângulo medido em radianos. Além da aplicação das integrais para obter
áreas de curvas, estudamos também as integrais para resolver equações diferenciais. 
Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções que
aparecem na equação em forma de derivadas. As integrais são úteis para resolver
equações diferenciais, em especial, as do tipo separável (aquelas que podemos separar
em duas funções) e com valores iniciais.
Por exemplo, veja o seguinte problema de valor inicial:
Nesse problema, estamos procurando uma função y = f(x) que vale a igualdade acima.
Note que essa é uma equação separável, pois separamos a função de x e y. Agora,
precisamos deixar de um lado somente , e do outro lado somente y.
Integrando ambos os lados, teremos: Solando o y, teremos:
Então, a função que resolve a equação diferencial apresentada é 
Para determinar o valor da constante K, temos a condição inicial para x = 0 e y = 1.
Substituindo na solução, teremos:
Dessa forma, K = 1 e, portanto, pela condição inicial, temos
.
Dessa forma, estudante, chegamos ao fim da revisão. 
Espero que as integrais tenham despertado o seu interesse. 
Bons estudos!
Videoaula
Nesta videoaula, apresentamos as integrais, o conceito de soma de Riemann para
determinar a área abaixo de uma curva e relacionamos essa soma com as integrais. 
Além disso, apresentamos o importantíssimo Teorema Fundamental do Cálculo. Após
essa etapa, abordamos e exemplificamos regras para a integração de certas funções
2- Estudo de caso
Vamos relacionar os nossos conhecimentos com uma situação da nossa
realidade.
Apresentação
Olá, estudante! Buscando contextualizar o conteúdo trabalho na unidade e auxiliar sua
aprendizagem, comece imaginando que você é um engenheiro iniciante e recentemente
abriu uma empresa para prestar consultorias em uma região da sua cidade. 
Em um certo dia, um possível cliente, morador local e membro da associação de
moradores da região, acabou chegando à sua nova empresa à procura de ajuda. 
Após se apresentarem, o cliente lhe conta a seguinte história: no bairro, há uma praça
grande e bem conhecida da população. 
O urbanista que projetou essa parte do bairro, incluindo a praça, é um grande amante da
matemática e, em praticamente em todos seus projetos, fazia questão de fazer
referências aos diversos elementos matemáticos. Dessa forma, até a praça tem uma
história matemática por trás dela: o projeto dela se baseia em uma região limitada por
funções matemáticas (nesse momento, o cliente fez um desenho esboçando a praça e as
curvas matemáticas).
Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada
Fonte: elaborada pelo autor.
Após apresentar o esboço da praça, o cliente lhe faz o seguinte pedido: “Senhor
engenheiro, nós, da associação de moradores, desejamos urgentemente saber a área
dessa praça. Precisamos desse valor para poder apresentar uma reposta a um programa
da prefeitura. Você pode nos ajudar agora?”. 
Antes de você responder, o cliente acabou lembrando que as unidades de medidas
consideradas pelo urbanista são em centenas de metros. Após isso, ele pergunta
novamente se você pode ajudá-lo.
Após ouvir tudo o que lhe foi contado, você ficou admirado com a história de como o
urbanista acabou fazendo seu projeto. Nesse momento, você, como um profissional
qualificado, muito bem formado e com apreço ao cálculo diferencial e integral,
primeiramente, agradeceu o cliente pela procura e, em seguida, lhe disse que era muito
fácil ajudar. 
Ainda, comentou que poderia resolver o problema imediatamente, devido às condições
históricas da praça, sem nem mesmo precisar sair do escritório.
Mas, e agora, como você fará para responder ao cliente sobre a área da praça? 
Note que essa é uma pergunta muito interesse. Você não pode deixar esse momento
passar, é a hora de mostrar seus conhecimentos em cálculo diferencial e integral; além
disso, é o momento de mostrar serviço e fazer um cliente importante. 
Veja que, durante a unidade, exploraremos os conteúdos necessários para
a compreensão adequada desse assunto. 
Boa atividade! 
Reflita
Você já pensou como se calcula áreas de terremos com formatos “diferentes"? Isso
mesmo, diferentes! Áreas de formatos triangulares, retangulares, circulares, entre outras
formas conhecidas, podemos calcular utilizando fórmulas amplamente conhecidas, mas
áreas que saem desse padrão necessitam de outras ferramentas. 
Apesar de haver alguns tipos diferentes de métodos, as integrais são um dos métodos
mais utilizados e recorridos para determinar áreas com formas gerais. Você deve estar
pensando que são os softwares que calculam, e sim, são eles. Mas, é comum que, na
programação desses softwares, existam ferramentas de cálculos de áreas baseadas em
integrais, sendo que, em alguns casos, são utilizadas as funções e, em outras,
aproximações por somas.
Além dessas ideias de se obter áreas por meio de integrais, essa ferramenta matemática
está presente na resolução de diversos problemas. Em alguns, não diretamente e, em
outros, mais diretamente, porém é muito comum o uso de integrais para a resolução de
problemas, em especial, problemas oriundos de pesquisas. Dessa forma, você deve ter
concluído que a integral é, de fato, uma ferramenta muito importante. 
Resolução
É o momento de resolver o estudo de caso. Relembrando brevemente, você tem um
cliente que deseja saber a área de praça. Ele lhe contou uma história interessante sobre o
projeto da praça: ela tem um formato específico, que foi baseado em uma região
matemática compreendida entre duas curvas. 
Após isso, o cliente lhe apresentou o esboço desse esquema da praça, com as curvas
consideradas para a inspiração de seu formato. Por fim, pediu sua ajuda para calcular
a área dessa praça, sendo um pedido urgente. 
Então, você recebeu o pedido do cliente e lhe informou que é fácil de resolver o problema,
pois, dadas as funções, é prático calcular as áreas por elas. 
Veja novamente o esboço da praça, mostradoanteriormente na Figura 3. 
Colocaremos a mão na massa e resolveremos o problema. Relembrando o conteúdo
dessa unidade, é muito simples determinar a área. Nesse caso, temos uma região
delimitada por duas curvas e retas verticais. 
Logo nessa situação, fazemos a integração da função que delimita a região
superiormente subtraindo a função que está delimitando inferiormente a área, com os
limites de integração adequados das retas verticais. 
Levando em consideração o esboço da nossa praça, temos que a curva superior é 
a função que limita inferiormente é 
sendo que as retas verticais que delimitam a região são x = -1 e x = 1.
Portanto, utilizando integrais, a área da praça será dada pela expressão:
Agora, resolvendo a integral, teremos:
Logo, a área da praça é exatamente 6,8 unidades quadradas de área. No nosso caso,
o cliente informou que o urbanista utilizava centenas de metros para determinar seus
projetos. Então, devemos multiplicar 6,8 por 10.000, pois 100x100=10.000. Portanto, a
área da praça é de 68.000 m2. 
Dessa forma, caro estudante, por um método simples, conseguimos obter a área de uma
região somente conhecendo as curvas que a delimitam. Pode ser que, na prática, não
seja exatamente dessa forma, mas diversos softwares usam o conceito de integrais para
determinar áreas. Além disso, se for possível aproximar uma determinada região por
funções matemáticas, podemos determinar a área dela. Lembrando que o conceito de
área não fica restrito apenas às superfícies; ele também pode se aplicar em forças,
densidade, probabilidades, energia, entre outras. 
3- Síntese 
Vamos relembrar conceitos de gradiente e integrais duplas, e suas
aplicações aprendidos nessa unidade. 
Síntese da aula
Você pôde internalizar conceitos fundamentais sobre cálculo das áreas com as integrais. 
Além disso, aprendeu sobre esse processo por meio da prática. 
E para finalizar vamos organizar os conceitos acessando o inforgráfico abaixo.
4- Encerramento
Com o conteúdo exposto, esperamos que você tenha compreendido os conceitos e 
aplicações desta unidade e Incentivamos que você se aprofunde nessa temática. 
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. 
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso
em: 26 dez. 2022. 
PRADO, S. do; PRADO, S. T. G. do; OLIVEIRA, L. de. Uma proposta diferenciada para o 
estudo de aplicações de integrais. Anais do Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e 
Extensão, v. 9, n. 1, fev. 2020. Disponível em: 
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573. Acesso em: 26 
dez. 2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage 
Learning Brasil, 2021. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 
2022. 
ZILL, D. G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 10. Ed. São Paulo, 
SP: Cengage Learning Brasil, 2016. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/. Acesso em: 26 dez. 
2022.
Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 2
Regras avançadas de integração e coordenadas polares
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1. Revisão da unidade
A seguir, vamos rever técnicas de integração e coordenadas polares para cálculo de
volume de sólidos.
Introdução
Nesta unidade, trabalhamos com as regras de integração conhecidas como regra da
substituição de variáveis e integração por partes. Além disso, vimos o processo de
conversão entre sistemas de coordenadas, em particular, a conversão de um sistema
cartesiano bidimensional para um sistema de coordenadas polares.
Todas essas regras e técnicas são desenvolvidas com o intuito de resolver problemas da
matemática, das engenharias, da tecnologia, entre outras áreas. 
Volume por discos
Para o cálculo do volume de sólidos obtidos por rotações de funções em torno do eixo das
abcissas, estudamos o método chamado de volume por discos, que é descrito pela
equação: 
Para obter o volume de um sólido gerado pela rotação de uma função em torno do eixo
das ordenadas, é necessário conhecer o intervalo de integração para essa função. Dessa
maneira, desenvolvemos a expressão: 
Volume por arruelas
Em alguns casos, o sólido de revolução pode ser obtido pela rotação de uma área gerada
por mais do que uma função. A técnica que permite o cálculo do volume desse sólido é
chamada de volume por arruelas. Na nossa unidade, desenvolvemos a expressão que
permite esse cálculo tanto para a rotação em torno do eixo “x” como para a rotação em
torno do eixo “y”. A seguir, temos, respectivamente, ambas as expressões: 
1- 
2- 
Integração por substituição
Como todos esses processos envolvem a resolução de integrais, trabalhamos com
técnicas que permitem a substituição de variáveis ou a reescrita em partes da integral
original, para que obtenhamos uma integral mais simples para ser resolvida. Diante dessa
necessidade, aprendemos o processo de integração por substituição, que está descrito a
seguir.
Se u=g(x) for uma função diferenciável, cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em 
I então: 
Assim, temos estes passos:
Passo 1 Passo 3 Passo 5 Passo 7
+ + + + + + +
 Passo 2 Passo 4 Passo 6
Passo 1: identificar g(x) e comparar com u.
Passo 2 : derivar os dois lados dessa equação em relação a x.
Passo 3 : isolar dx.
Passo 4 : substituir na integral g(x) por u e dx pelo resultado encontrado no terceiro
passo.
Passo 5 : simplificar a função, de forma que reste apenas elementos da variável u.
Passo 6 : resolver a integral em relação a u.
Passo 7 : voltar esse resultado para a variável x.
Integração por partes
Também, demonstramos a aplicação da técnica chamada integração por partes, que pode
ser rapidamente descrita nos seguintes passos:
Passo 1 Passo 3 Passo 5 Passo 7
+ + + + + + +
 Passo 2 Passo 4 Passo 6
Passo 1: identificar g(x) e comparar com u.
Passo 2: ajustar os intervalos de integração de forma que, se:
então:
Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a x.
Passo 4: isolar dx (obs.: usamos a variável x como padrão, mas poderia ser
qualquer outra variável).
Passo 5: substituir na integral g(x) por u e dx pelo resultado encontrado no quarto
passo. Substituir também os novos intervalos de integração.
Passo 6: simplificar a função, de forma que reste apenas elementos da variável u.
Passo 7: resolver a integral em relação a u.
Conversão entre sistemas de coordenadas 
Por fim, identificamos que a conversão entre sistemas de coordenadas pode facilitar a 
resolução de algumas integrais, principalmente, quando se deseja integrar curvas, como 
circunferências, cardioides, entre outras. Isso pode ser observado na figura a seguir:
Fonte: elaborada pela autora.
Para essa última análise, aprendemos a converter funções escritas no sistema cartesiano 
para o sistema polar de coordenadas, em que teremos:
Vídeo 
Nesse vídeo, resolveremos exemplos que envolvem a mudança de coordenadas para o
sistema polar. Dentre esses exemplos, trabalharemos a obtenção de áreas e volumes
usando integrais, que poderão ser resolvidas através das técnicas descritas na unidade
ou de outras técnicas de integração já conhecidas. Portanto, temos como intuito a
recapitulação desses conceitos, permitindo, assim, uma melhor compreensão dos temas
abordados
2- Estudo de caso
Agora, vamos associar os nossos conhecimentos a elementos presentes na nossa
realidade. 
Apresentação
Para contextualizarsua aprendizagem, usaremos os conceitos aprendidos para resolver
uma importante questão relacionada a superfícies geradas pela rotação de funções em
torno de um eixo especificado. 
Um exemplo nesse sentido é a superfície gerada pela rotação de uma parábola
em um intervalo conhecido I, em torno do eixo das ordenadas. Essa estrutura é chamada
de paraboloide elíptico ou paraboloide de revolução e pode ser vista a seguir.
Paraboloide elíptico
 
Fonte: https://www.geogebra.org/3d/key3q8zf. Acesso em: 28 dez. 2022.
Já vimos o cálculo do volume para esse tipo de sólido de revolução. Contudo, neste
estudo de caso, queremos descobrir a área dessa superfície de revolução.
Isso se dá, pois superfícies com essa característica são extremamente aplicadas em
diversos contextos práticos. Por exemplo, antenas parabólicas possuem esse formato,
porque uma das propriedades da parábola é a de fazer convergir qualquer onda recebida
para seu ponto focal, ampliando, assim, o sinal da onda recebida. 
Um paraboloide elíptico nada mais é do que uma reunião de uma infinidade de parábolas,
ou como definimos, a rotação de uma parábola em torno de um eixo conhecido.
Os telescópios refletores usados atualmente nos mais importantes observatórios do
mundo são construídos a partir de uma ideia de Issac Newton (1643-1727), aplicando o
princípio de reflexão de ondas, e possuem o formato de um espelho curvo (paraboloide).
O telescópio espacial Hubble também é um dos exemplos de utilização de lentes e
espelhos no formato de paraboloides. 
Além disso, alguns paraboloides podem ser observados na natureza, como é o caso de
alguns fungos.
Fungos - Fonte: Shutterstock
Telescópio Hubble - Fonte: Wikimedia Commons. 
De acordo com Lima (2012), as aplicações desse tipo de superfície remontam à
Antiguidade, tendo Arquimedes como um dos nomes relacionados a esse estudo.
Diante dessas informações, queremos desenvolver uma expressão (fórmula matemática)
para o cálculo da área de uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma
parábola em torno do eixo das ordenadas.
Sendo assim, precisamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da função 
em torno do eixo 
para 
Com essas informações, calcule a superfície de revolução descrita. 
Para calcular a área de superfícies discretizadas, podemos usar conceitos já aprendidos,
como área lateral de cilindros, cones e troncos de cones. Reflita sobre a possibilidade de
uso dessas expressões para gerar a expressão que permite o cálculo de superfícies de
revolução
 
Será possível aproveitar cálculos já realizados nas aulas desta unidade, por exemplo, a
expressão do comprimento de arco, para desenvolvermos a expressão para a área de
superfícies de revolução?
Essa é outra reflexão que apontamos para construir a resolução deste estudo de caso. 
Resolução
Queremos calcular a área da superfície de um sólido de revolução gerado pela rotação da
função 
em torno do eixo das ordenadas no intervalo para “y” entre 0 e 4.
Sabemos que a área da superfície de um cilindro circular reto é calculada por
sendo “r” o raio da base desse cilindro e “h” a altura do cilindro. 
Partindo dessa analogia, verificamos que, ao rotacionar uma função em torno de um eixo
das abscissas, a área da superfície de revolução será o somatório de uma infinidade de
áreas de cilindros geradas pela discretização do domínio 
em intervalos 
com 
com tamanho infinitesimal e, portanto, com “n” tendendo a zero 
Superfície de revolução
Fonte: Stewart (2017, p. 498).
Assim, sabendo que o comprimento de um arco é calculado por
e este será a altura de cada um desses cilindros e, ainda, que o raio de cada arco é dado
por “f (x)”, podemos escrever que a área da superfície de cada arco será
 para 
Portanto, para 
Aplicando o mesmo conceito usado na soma de Riemann, escrevemos:
Logo,
Adaptando essa expressão para a rotação da função “g(y)” em torno do eixo “y”, no 
intervalo para “y” entre “c” e “d”, teremos: 
Com isso, e tendo a função
escrevemos 
no intervalo 
Simplificando essa expressão:
E, portanto:
Aplicando a regra da substituição de variáveis para integrais, teremos
 logo 
que nos leva a: 
Ainda, quando y=0; u=1 e quando y=4; u=17. Assim: 
 
 
 
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais, teremos:
Logo, a área da superfície de revolução será: 
Video
Assista agora à resolução do estudo de caso apresentado e reforce seu aprendizado!
3- Síntese
A seguir, vamos destacar os principais aprendizados desta unidade de uma forma prática.
Nesta unidade, você pôde aprender técnicas matemáticas de integração e coordenadas
polares, a fim de se encontrar soluções para cálculo de volume de sólidos. Além disso,
reforçou este conteúdo por meio de um estudo de caso. 
A seguir, para finalizar, confira um infográfico com dicas para resolver integrais de funções
potência trigonométricas, o qual condensa os nossos aprendizados.
4- Encerramento
Com as leituras e vídeos desta unidade, esperamos que você tenha compreendido os
conceitos tratados e suas aplicações. Incentivamos que você busque cada vez mais
conhecimentos.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014.
Disponível em: https://rb.gy/upf1n6. Acesso em: 25 out. 2022.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN,
2018. Disponível em: https://rb.gy/v595de. Acesso em: 6 out. 2022.
LIMA, E. L. A matemática do ensino médio – volume 2. 10. ed. Rio de Janeiro, RJ: SBM
2012.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A,
2018. Disponível em: https://rb.gy/v3utaj. Acesso em: 29 out. 2022. 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017.
Disponível em: https://rb.gy/jxuuqj. Acesso em: 25 out. 2022.
Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 3
Funções de várias variáveis e derivadas parciais 
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1- Revisão da unidade
Vamos rever os conceitos de cálculos de áreas com as integrais
Função de duas váriaveisEm um primeiro momento, discutimos sobre função de duas
variáveis. Lembre-se de que uma função é uma relação entre variáveis e, no caso da
função de duas variáveis, temos uma relação entre todo par ordenado (x,y) pertencente
ao conjunto (D) , denominado de domínio, a um único elemento f (x,y)=z pertencente ao
conjunto (E) , denominado de contradomínio. No que se refere ao domínio, é importante
que você se atente ao fato de que não existe divisão por zero, não existe raiz de índice
par de número negativo e não existe logaritmo de número negativo ou zero. 
+ INFO> Assim, quando você for analisar o domínio de funções de duas ou mais
variáveis, você deve excluir os pares, ou termos ordenados que se originam de uma
dessas situações. Já a imagem de uma função são todos os valores possíveis que a
função pode assumir quando substituímos valores arbitrários do domínio em sua lei de
formação. Uma forma de avaliarmos a imagem de uma função de duas variáveis é por
meio do seu gráfico, que é definido como o conjunto de todos os pontos (x,y,z em x³, tal
que z=f (x,y) e (x,y) e D.
Derivadas parciais de uma função de duas variáveisEm um segundo momento,
discutimos sobre as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Quando você
estiver calculando a derivada parcial, deve-se atentar ao fato de que, quando derivamos
em relação a uma variável, a outra consideramos como sendo constante. Assim, se
estiver calculando a derivada parcial em relação a “x”, isto é “fx”, você mantém constante
a variável y e varia x . Analogamente, se estiver calculando a derivada parcial em relação
a y, isto é, fy, você mantém constante a variável x e varia y . Para o cálculo das derivadas
parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis, istoé fx, e fy, você pode
utilizar todas as regras de derivação de função de uma variável, visto que, quando
mantemos uma das variáveis constante, transformamos a função de duas variáveis em
apenas uma variável. 
+ INFO> Quando necessário, você pode calcular as derivadas parciais de segunda ordem
de uma função de duas variáveis e, para isso, deve calcular as derivadas parciais
considerando as derivadas de primeira ordem. Quando fazemos isso, podemos ter as
seguintes derivadas de segunda ordem:
Por fim, discutimos sobre as derivadas direcionais, que são utilizadas para calcular taxas 
de variação de uma função em relação a qualquer direção. Portanto, se que
delimita inferiormente a área, com os limites de integração adequados, isto é 
possui derivada em 
 
 
e se 
 é um vetor unitário, então a derivada direcional 
 será dada por
 
Assim, encerramos o 
nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade. Espero que você tenha 
gostado! 
2- Estudo de caso
Vamos relacionar os nossos conhecimentos com uma situação da nossa realidade.
Apresentação
Olá, estudante! 
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você faça parte de um grupo
formado por jovens profissionais de diferentes áreas, de uma startup relacionada à
indústria 4.0, utilizando seus conhecimentos de engenharia, programação e matemática.
Essa startup tem como objetivo desenvolver softwares que permitam realizar um estudo
quantitativo sobre a produção de uma indústria considerando a quantidade de trabalho,
isto é, a quantidade total de horas trabalhadas. 
Após um intenso estudo, você encontrou uma função que modela a produção, a saber, a
função de produção de Cobb-Douglas. Essa função foi desenvolvida em 1928 por Charles
Cobb e Paul Douglas e foi baseada em uma visão mais simplificada da economia,
considerando que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho
envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem outras variáveis que
afetam o desenvolvimento da economia, esse modelo se mostra bastante preciso, por
isso, você decidiu utilizá-lo na construção do seu software.
Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada 
Fonte: elaborada pelo autor. 
A função Cobb-Douglas se baseia na produção total (valor monetário dos bens produzidos
no ano), na quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um 
ano) e na quantidade de capital investido (valor monetário de máquinas, equipamentos e 
prédios). Matematicamente, a função é expressa por
em que P é produção total,L a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital 
investido e são parâmetros fixos. 
Após a implementação dessa função, você decidiu realizar estudos teóricos.
Sua primeira tarefa é encontrar o domínio dessa função, visto que, se esse não for
considerado corretamente no momento da implementação da função, teremos problemas 
no software. Depois, considerando que “b=1,456 e “a=0,60”, calcule a produção total em
um ano quando a quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00 e a quantidade de
trabalho é 2.200 horas. 
Sua segunda tarefa é avaliar a produção marginal em relação à quantidade de trabalho e
em relação à quantidade de capital investido. Depois, encontrar essa produção quando a
quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200
horas. Para isso, considere que “b=1,456 e “a=0,60”.
Por fim, você deve avaliar a produção marginal quando a quantidade de capital investido
é de R$ 50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na
direção do vetor 
Nesse momento, considere também que “b=1,456 e “a=0,60”. 
Como você executaria cada tarefa? Quais são os principais conceitos envolvidos nesse 
estudo teórico?
Reflita
A função de produção de Cobb-Douglas é amplamente utilizada na Economia, pois
descreve a forma como os fatores produtivos são combinados. Essa função considera
uma visão simplificada desses fatores, considerando apenas o fator capital e o fator
trabalho. 
Ao analisarmos a produção marginal em relação ao trabalho, estamos calculando a taxa
de variação da produção em relação ao trabalho, ou ainda a produtividade marginal do
trabalho. Analogamente, quando estamos avaliando a produção marginal em relação ao
trabalho, estamos encontrando a taxa de variação da produção em relação ao capital, ou
ainda a produtividade marginal do capital. 
Com base nesse contexto, nossas reflexões para iniciar a solução do nosso problema
são: com base no que estudamos nessa unidade, quais conceitos você pode utilizar para
realizar cada uma das tarefas propostas? Podemos utilizar as derivadas parciais? Se sim,
quais regras de derivação utilizaremos? Como podemos calcular a taxa de variação em
direção a um determinado vetor? O que é necessário para realizar esse cálculo?
Resolução
Antes de iniciarmos a solução do problema, retomaremos suas tarefas. A primeira delas é 
encontrar o domínio da função de produção de Cobb-Douglas e calcular o seu valor 
quando k= 50000 L= 2200 horas. Sua segunda tarefa é analisar a produção marginal e, 
depois, calcular essa produção quando K= 50000 L=2200 horas. Sua terceira e última 
tarefa é avaliar a produção marginal quando K=50000 L=2200 horas e essa variação está 
na direção do vetor 
Agora que você já relembrou quais são suas tarefas, vamos colocar a mão na massa e 
resolvê-las. 
Primeira tarefa: para encontrarmos o domínio da função, você deve se lembrar de que o 
domínio são todos os valores que as variáveis L e K podem assumir. Sabemos que a 
função de produção de Cobb-Douglas é dada por 
 
, e que b e a são parâmetros fixos, o domínio dessa função seriam todos os pares 
ordenados 
Porém, essa função modela uma situação relacionada à economia, assim, além dessa
análise matemática, é importante que você considere o significado dessas variáveis.
refere-se à quantidade de trabalho ao final de um ano. Essa quantidade pode ser
negativa? refere-se ao capital investido. Esse capital pode ser um valor negativo? Em
ambos os casos, as variáveis não podem assumir valores negativos, mas podem ser zero,
o que acarretaria uma produção nula. Assim, o domínio dessa função são todos os pares
ordenados 
Para calcularmos a produção quando K=50000 L=2200, devemos considerar que b=1.456
e a=0,60. Realizando as substituições necessárias na função
Logo, a produção total é de 
Segunda tarefa: nessa tarefa, você deve analisar a produção marginal, isto é, a derivada 
da função produção em relação a cada uma das variáveis. Considerando que e são 
parâmetros fixos, temos que a derivada parcial da função P em relação a L será dada 
por:
Analogamente, a derivada parcial em relação a K será dada por:
Assim, a produtividade marginal do trabalho será dada por 
e a produtividade marginal do capital será dada por
Agora, temos que calcular essa produtividade marginal do trabalho considerando b= 
1,456 a= 0,60 K=50000 e L=2200.
Analogamente, teremos a produtividade marginal do capital:
Portanto, a produtividade marginal do trabalho é de, aproximadamente, 3,05 , e a
produtividade marginal do capital é de, aproximadamente 0,09.
Terceira tarefa: nessa tarefa, você deve encontrar a derivada direcional da função dada
quando a variação está na direção do vetor
Para o cálculo da derivada direcional, o primeiro passo é encontrar as derivadas parciais
de primeira ordem no ponto dado. Já realizamos esse passo na tarefa anterior. O segundo
passo é verificar se o vetor dado é unitário, o que é o nosso caso. Agora, podemos
calcular a derivada direcional: 
Portanto, essa é a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R$
50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na direção do 
vetor
3- Síntese
Vamos relembrar conceitos de gradiente e integrais duplas, e suas aplicações aprendidosnessa unidade.
Síntese da aula
Você pôde internalizar conceitos fundamentais sobre cálculo das áreas com as integrais. 
Além disso, aprendeu sobre esse processo por meio da prática. 
E para finalizar vamos organizar os conceitos acessando o inforgráfico abaixo.
4- Encerramento
Com o conteúdo exposto, esperamos que você tenha compreendido os conceitos e
aplicações desta unidade e Incentivamos que você se aprofunde nessa temática.
REFERÊNCIAS
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.
Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 4
Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1- Resumo da unidade
Vamos rever os conceitos de gradiente e integrais duplas e suas aplicações
Vetor gradiente
O vetor gradiente é, basicamente, um vetor que traz a coleção de todas as derivadas de 
ordem 1 de uma função “n” de variáveis, isto é, seja 
 
uma função “n” de variáveis, então, define-se matematicamente o vetor gradiente pela n-
upla ordenada descrita por:
que é um vetor multidimensional.
Integral dupla
As integrais duplas podem ser definidas em diversas regiões, e o foco nessa unidade é 
trabalhar com esse conceito em três regiões: retangulares, não retangulares (ou gerais), e
polares. 
A seguir, vamos resumir, rapidamente, cada uma dessas regiões.
1. Região retangular
Pode ser definida matematicamente como: 
dada uma função “f” de duas variáveis, uma região é considerada retangular se a função 
for definida em retângulo fechado dado pela seguinte expressão:
2. Região não retangular (ou geral)
Pode ser definida matematicamente como: 
dada uma função “f” de duas variáveis, uma região é considerada não retangular se a
função for definida em uma região D dada pela seguinte expressão:
Essa região D é conhecida como região não retangular do tipo I, em que y varia de acordo
com funções contínuas de x. A região D do tipo II tem como única diferença o fato de que,
em vez de y variar de acordo com funções contínuas de x, é o x que varia de acordo com
funções contínuas de y.
3. Região polar
Pode ser definida matematicamente, como: 
dada uma função “f” de duas variáveis, uma região é considerada polar se a função for
limitada por círculos e for definida em uma região R dada pela seguinte expressão:
Neste caso, precisamos trabalhar com as coordenadas polares para resolver a nossa
integral. Tais coordenadas são:
Sabendo quais são as principais regiões, precisamos entender como resolver as integrais
duplas nessas regiões. 
Neste caso, podemos simplificar os cálculos trabalhando com o Teorema de Fubini, que
traz o conceito de integral parcial que é completamente análogo ao conceito de derivada
parcial utilizado no vetor gradiente.
Assim, em cada caso, as integrais são calculadas como:
Região retangular
Região geral (tipo I)
Região polar
VÍDEO
Nesta revisão, o objetivo é entender quais são os principais conceitos matemáticos
abordados na Unidade. 
No primeiro momento, então, introduzimos com o conceito de vetor gradiente. Em um
segundo momento, trazemos o conceito de integral dupla nas principais regiões que
podemos encontrar na prática. 
Lembre-se: este é apenas um resumo, e é importante que você veja os detalhes em cada
aula dessa unidade!
2- Estudo de caso
Vamos relacionar os nossos conhecimentos com uma situação da nossa realidade.
Apresentação
Muitos fenômenos têm a propriedade de sua observação, repetida sob um conjunto
especificado de condições, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. 
Por exemplo, se deixarmos cair uma bola, inicialmente em repouso, de uma altura de d
metros através de vácuo, ela atingirá o solo invariavelmente
em segundos.
No entanto, existem outros fenômenos cuja observação, repetida sob um conjunto
especificado de condições, não conduz sempre ao mesmo resultado. 
Por exemplo, considere o lançamento de uma moeda. Se uma moeda é lançada mil
vezes, as ocorrências de caras e coroas se alternam de uma forma aparentemente
irregular e imprevisível. 
Com base nas definições apresentadas, à primeira vista pode parecer impossível fazer
qualquer afirmação válida a respeito dos experimentos aleatórios. No entanto, na teoria
estatística existe uma medida que exprime a incerteza presente em cada um desses tipos
de experimentos, conhecida por probabilidade. 
A probabilidade tem diversas aplicações na engenharia em si. Uma delas, por exemplo, é
considerar um par de variáveis aleatórias X e Y como tempo de vida de dois componentes
de uma máquina industrial projetada por um engenheiro mecânico. 
+ SAIBA MAIS> Historicamente, acredita-se os primeiros cálculos da teoria da
probabilidade foram realizados por estudiosos italianos dos séculos XV e XVI, dentre os
quais podemos destacar Frei Luca Pacioli (1445-1517), Niccolo Fontana, mais conhecido
como Tartaglia (1499-1557), e Girolamo Cardano (1501-1576). Eles realizaram estudos
nos quais compararam as frequências dos eventos e estimaram as chances de se ganhar
nos jogos de azar, mas não apresentaram teoremas que se baseassem em alguma teoria.
Desafio
Então, para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você vai projetar uma
máquina industrial com dois componentes X e Y, e deseja saber a probabilidade de esses
componentes falharem caso a máquina sofra algum processo de deterioração. 
Particularmente, você deseja saber a probabilidade de o primeiro componente sobreviver
sete horas ou menos, e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais, pois, por
condições do gestor da indústria, é necessário que o primeiro componente tenha um
tempo de falha maior do que o segundo. Sabendo que a função densidade de
probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes é descrita por:
Tal que 
, como calculamos essa probabilidade?
Isto é, como calculamos a probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou
menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais com base nos conceitos
aprendidos nessa unidade, particularmente, utilizando o conceito de integral dupla? 
Reflita
Nos dias atuais, a teoria de probabilidade se tornou o ramo da estatística que é
relacionado com fenômenos aleatórios (ou casuais), sendo a peça-chave para o
desenvolvimento de modelos. Nas últimas décadas, muitos pesquisadores têm se
dedicado ao seu estudo devido ao seu interesse intrínseco, bem como as muitas
aplicações bem-sucedidas em muitas áreas das ciências físicas, biológicas e sociais, na
engenharia e no mundo dos negócios. 
Com base nessa teoria, então, trouxemos uma aplicação relacionada aos projetos de
engenharia. 
Então, nossa reflexão, para iniciar a solução de problema, é: com base no conceito de
integral aprendido nesta unidade, existe a possibilidade de resolver o problema de outra
forma, por exemplo, com o uso de coordenadas polares, uma vez que estamos pensando
em tempos de falha? Mais especificamente, com qual tipo de região estamos lindando,
retangular, polar ou geral? Qual método de integração dupla devemos utilizar?
Resolução
Antes de iniciar a solução do problema, vamos retorná-lo. Então, queremos a
probabilidade de o primeiro componente da máquina projetada sobreviver sete horas ou
menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais de acordo com função
densidade de probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes:
Tal que
 
Se há, então, um processo de deterioração nessa máquina, saber dessa probabilidade
pode nos ajudar a reduzir o custo de produção, por exemplo. 
Observando a função dada, podemos notar que ela representa necessariamente uma
função de duas variáveis. Então, podemos trabalhar com o conceito de integral dupla
nesse caso.
1. Precisamos identificar com qual tipo região estamos lidando para saber com qualtipo
de integral dupla vamos trabalhar.
Neste caso, perceba que há restrições entre x e y que nos induz a seguinte região R:
que é uma região do tipo cartesiana e retangular, já que R define um retângulo fechado.
2. Então, para calcular a probabilidade em questão, devemos encontrar o volume da 
superfície com equação z=f (x,y). que está acima da região definida pelo retângulo “R” e 
e abaixo da curva de “f”. Sendo S essa superfície, podemos definir S pela equação:
Para encontrar esse volume, podemos dividir a região R em n sub-retângulos. 
Neste caso, precisamos dividir o intervalo [ 0,10 ] do nosso retângulo em m subintervalos
de mesmo comprimento 8x=10/m e, também, dividir o intervalo [ 0,10 ] do nosso retângulo
em n subintervalos 
 
de mesmo comprimento 
Assim, obtemos retângulos com área
No entanto, para ter uma melhor aproximação da probabilidade em questão,
precisaríamos de um número grande de retângulos, que pode gerar um cálculo complexo.
Então, como resolvemos nosso problema? 
3. Neste caso podemos trabalhar com o conceito de integral iterada, que é uma das
propriedades mais importantes fornecida pelo Teorema Fundamental do Cálculo. 
Assim, para entender essa propriedade, suponha então que é uma função de duas
variáveis integrável no retângulo R= [a,b] x [c,d]. Então, considere a integral
que indica que x é mantido fixo e a função f(x,y) é integrada em 
relação a y de c até d. 
Essa integral é conhecida com integral parcial em relação a y, e é análoga ao conceito de 
derivada parcial.
Com base nesse conceito, definimos o teorema de Fubini, que matematicamente pode ser
escrito como: se f é uma função contínua no retângulo
então:
Assim, a partir do teorema de Fubini, a probabilidade desejada é descrita por:
Isto é, existe uma probabilidade de 57,87% de que o primeiro componente da máquina
projetada por você sobreviva sete horas ou menos, e de que o segundo componente
sobreviva duas horas ou mais.
3- Síntese
Vamos relembrar conceitos de gradiente e integrais duplas, e suas aplicações aprendidos
nessa unidade
O uso do Teorema de Fubini
Região retangular Região não retangular Região polar
Definir um retângulo fechado
tal que os limites de 
integração sejam as 
coordendas desse retângulo.
Definir um retângulo fechado
tal que os limites de 
integração sejam as 
coordendas desse 
retângulo.uma região que 
tenha uma parte retangular e
outra limitada por duas 
funções contínuas (em x ou 
y). Os limites de integração 
dependem dessas funções.
Definir as coordenadas 
polares, uma vez que as 
regiões agora são limitadas 
por círculos de tal forma que
as coordenadas cartesianas 
não podem ser utilizadas.
4- Encerramento
Com o conteúdo exposto, esperamos que você tenha compreendido os conceitos e
aplicações desta unidade e Incentivamos que você se aprofunde nessa temática.
Referências
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.