Parte 2 - Dimensionamento

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Dimensionamento de Reforço em Fibras de 
Carbono segundo a Norma ACI 440.2R-17 
Exemplos de reforço a flexão e ao 
cisalhamento
PhD Gláucia Maria Dalfré
Universidade Federal de São Carlos 
(UFSCar)
Mestre em Engenharia de Estruturas
(SET/EESC/USP)
Doutora em Engenharia de Estruturas
(Universidade do Minho)
Membro do Comitê IBRACON/ABECE 303: Uso de Materiais não convencionais para Estruturas de
Concreto, Fibras e Concreto Reforçado com Fibras
Membro da diretoria regional Ibracon/São Carlos
Bolsista Produtividade em Pesquisa – PQ-2/CNPq (2016-2018)
O reforço com FRPs... Funciona?
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS 
EXPERIMENTAIS
Beber (2003)
Reforço a flexão de vigas – Técnica EBR
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Beber (2003)
Reforço a flexão de vigas – Técnica EBR
V2
Laminado
1 camada
V3
Laminado
1 camada
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Beber (2003)
200
0 1 5 6
0
40
80
F
o
rç
a
[k
N
]
2 3 4
Deslocamento a meio vão [cm]
V1V2
V3
V1
(Referência)
13%
120
160
39%
Escoamento da armadura
Descolamento do laminadoDescolamento do laminado
Fissuração excessiva - Descolamento
V4
Laminado
1 camada
V5
Laminado
6 camadas
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Beber (2003)
200
0 1 5 6
0
40
80
F
o
rç
a
[k
N
]
2 3 4
Deslocamento a meio vão [cm]
V1
27%120
160
72%
V4
V5
V2
V3
Fissuração excessiva - cobrimento
V7
Manta
4 camadas
V6
Manta
1 camada
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Beber (2003)
200
0 1 5 6
0
40
80
F
o
rç
a
[k
N
]
2 3 4
Deslocamento a meio vão [cm]
V1
120
160
14%
V6
V7 55%
Fissuração excessiva - cobrimentoDescolamento
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Fortes et. al (2002)
Reforço de vigas à flexão – Técnica NSM
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Fortes et. al (2002)
0 5
0
10
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
20
30
40
50
60
70
91%
80
90
100
10 15 20 25 30
V2
V2R2
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Khalifa (1999)
Reforço de vigas ao cisalhamento – Técnica EBR
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Khalifa (1999)
0 5
0
50
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
100
150
200
250
300
350
400
450
500
10 15 20 25
Referência
C-BT1 (Referência)
Uma camada contínua de manta 
de CFRP em forma de U com 
as fibras orientadas a 90º
C-BT2
C-BT3
Duas camadas contínuas de 
manta de CFRP: uma em 
forma de U com as fibras 
orientadas a 90º e
outra nas faces laterais da viga 
com as fibras orientadas a 0º
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Khalifa (1999)
0 5
0
50
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
100
150
200
250
300
350
400
450
500
10 15 20 25
Referência
C-BT1 (Referência)
C-BT6
Uma camada contínua de manta 
de CFRP em forma de U com as 
fibras orientadas a 90º tendo-se
considerado um sistema de 
ancoragem do reforço
Faixas de manta de CFRP em forma 
de U com as fibras orientadas a 90º, 
com 50 mm de largura e
espaçadas de 125 mm
C-BT4
C-BT5
Faixas de manta de CFRP 
coladas nas faces laterais da 
viga com as fibras orientadas 
a 90º, com 50
mm de largura e espaçadas 
de 125 mm
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dias (2008)
Reforço de vigas ao cisalhamento – Técnica NSM
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dias (2008)
0 5
0
20
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
40
10 15 20 25 30 35 40
60
80
100
120
140
160
180
A10_C (Referência, sem estribos)
Estribos de aço
A10_S (Estribos)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dias (2008)
0 5
0
20
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
40
10 15 20 25 30 35 40
60
80
100
120
140
160
180
A10_C (Referência, sem estribos)
A10_M (Manta)
Mantas de CFRP (EBR)
A10_S (Estribos)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dias (2008)
0 5
0
20
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
40
10 15 20 25 30 35 40
60
80
100
120
140
160
180
A10_C (Referência)
Laminados de CFRP (NSM)
A10_VL (Laminado)
A10_S (Estribos)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dias (2008)
0 5
0
20
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
40
10 15 20 25 30 35 40
60
80
100
120
140
160
180
A10_C (Referência)
Laminados de CFRP (NSM)
A10_IL (Laminado)
A10_S (Estribos)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Ferreira (2000)
Reforço de pilares – Técnica NSM
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Ferreira (2010)
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
40
50
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento [mm]
Referência 
Reforçado 
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dalfré et. al (2017)
Reforço de pilares – Técnica EBR
Dimensões e configuração do reforço dos pilares curtos de 
concreto (Medidas em milímetros)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Dalfré et. al (2017)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Oliveira (2019)
Reforço de pilares – Técnica EBR
Dimensões e configuração do reforço dos pilares curtos de 
concreto (Medidas em milímetros)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Oliveira (2019)
Reforço de pilares – Técnica EBR
Configuração do reforço dos pilares curtos
de concreto
20 10 0 -10 -20 -30 -40
0
20
40
60
80
100
-0,5 -1,0 -1,5
0
10
20
G30_LAB_6M_2
G30_LAB_6M_1
G30_LAB_6M_0
 D.P.
Te
ns
ão
 (M
P a
)
Deformação no GFRP (‰) Deformação axial (‰)
0,6*σc0
0,4*σc0
0,2*σc0
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Bonaldo (2008)
Reforço a flexão de
faixas de laje
Técnica NSM
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Bonaldo (2008)
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Bonaldo (2008)
0 10
0
10
F
o
rç
a
[k
N
]
Deslocamento a meio vão [mm]
SL1
SL2
20
30
40
50
60
70
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
148%
SL1
SL2
CONFIGURAÇÃO DE ENSAIO - Faixas de laje com dois vãos e dimensões de 120×375×5850 mm3
2800
1400 1400
2800
5850
S1
S1'
S2
S2'
125
As'
As
S1
S1'
F522 F123
125
120
Vista Lateral
Região de momento positivo
Região de momento negativo
Região de momento positivo
14001400
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Bonaldo (2008) e Dalfré (2013)
Reforço a flexão de faixas de laje - Técnica NSM
Região de momento negativo
CONFIGURAÇÕES DE REFORÇO
Região de momento negativo
Região de momento positivo Região de momento positivo
SÉRIE H Laminados de CFRP 
aplicados na região de 
momentos negativos 
SÉRIE HS
Laminados de CFRP aplicados 
na região de momentos 
negativos/positivos
(Bonaldo, 2008)
SL15-H
SL15s25-H
SL15s50-H
SL30-H
SL30s25-H
SL30s50-H
SL45-H
SL45s25-H
SL45s50-H
SL15-HS
SL15s25-HS
SL30-HS
SL30s25-HS
SL30s50-HS
SL45-HS
SL45s25-HS
SL45s50-HS(Dalfré, 2013)
REFORÇO
Reforço na região de momento negativo
Laminados de CFRP
+
 2
5
%
 i
n
c
re
m
e
n
tod
a
C
a
p
a
c
id
a
d
e
 d
e
 c
a
rg
a
SL15s25-H
SL30s25-H
SL45s25-H
1 2
0 2
6
26
375
125 12562.5 62.5
12
0 2
6
26
375
18794 94
12
0 2
6
26
375
187.5 187.5
+
 5
0
%
 d
e
 i
n
c
re
m
e
n
to
 d
a
 c
a
p
a
c
id
a
d
e
 
d
e
 c
a
rg
a
SL15s50-H
SL30s50-H
SL45s50-H
26.7 (6x53.6) 26.7
12
0 2
6
26
375
37.5 37.5
12
0 2
6
26
375
(4x75)
375
12
0 2
6
26
62.562.5 125 125
SÉRIE H
REFORÇO
Reforço na região de momento negativo
Laminados de CFRP
SÉRIE HS
+
 2
5
%
 i
n
c
re
m
e
n
to
 d
a
C
a
p
a
c
id
a
d
e
 d
e
 c
a
rg
a
SL15s25-HS
SL30s25-HS
SL45s25-HS
12
0 2
6
26
375
46.8 46.8(3x93.8)
12
0 2
6
26
375
18794 94
375
12
0 2
6
26
18794 94
+
 5
0
%
 d
e
 i
n
c
re
m
e
n
to
 d
a
 
C
a
p
a
c
id
a
d
e
 d
e
 c
a
rg
a
SL30s50-HS
SL45s50-HS
62.5 125 62.5125
12
0 2
6
26
375
18794 94
375
12
0 2
6
26
REFORÇO Laminados de CFRP
SÉRIE HS
Reforço na região de momento positivo Reforço na região de momento positivo
+
 2
5
%
 i
n
c
re
m
e
n
to
 d
a
C
a
p
a
c
id
a
d
e
 d
e
 c
a
rg
a
SL15s25-HS
SL30s25-HS
SL45s25-HS
+
 5
0
%
 d
e
 i
n
c
re
m
e
n
to
 d
a
 
C
a
p
a
c
id
a
d
e
 d
e
 c
a
rg
a
SL30s50-HS
SL45s50-HS
12
0 2
6
26
375
75 112.5 112.5 75
12
0 2
6
26
375
62.592.864.492.862.5
12
0 2
6
2626
18794 94
12
0 2
6
26
375
28.9 (57.7x2) (57.7x2)(43.2x2) 28.9
12
0 2
6
2626
3131 (5x62.6)
PROGRAMA EXPERIMENTAL – ENSAIO DAS FAIXAS DE LAJE
Padrão de fissuração (SL30s25-HS)
Ruptura – Região de momentos 
negativos (SL30s25-HS)
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS EXPERIMENTAIS – SÉRIE SL45
Laje
Esmagamento do betão na região 
de momentos negativos (εc = -3.5 ‰)
Esmagamento do betão na região 
de momentos positivos (εc = -3.5 ‰)
Fy
(kN)
Fy/Fy,ref
(%)
η
(%)
Fy
(kN)
Fy/Fy,ref
(%)
η
(%)
SL45-H 50.89 ----- 46.12 51.31 ----- 43.25
SL45s25-H 52.35 2.87 36.59 53.38 4.03 35.68
SL45s50-H 55.21 8.49 23.21 55.77 8.69 22.45
SL45-HS 43.52 ----- 34.17 50.24 ----- 39.21
SL45s25-HS 52.48 20.59 38.18 62.51 24.42 41.69
SL45s50-HS 65.18 49.77 42.89 68.95 37.24 44.10
0 10 20 30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1ª fase 
 SL45 - H 
 
 
Deslocamento vertical (mm)
 
 SL45s25 - H
 
 
F
or
ç a
 m
é d
ia
, F
 (k
N
)
 
0 10 20 30 40 50 60 70
0
20
40
60
80
F
(522)
F
(123)
82803 60541 82804 19906 18897 3468
 SL45s50 - H
 
0 10 20 30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1ª fase 2ª fase
 SL45 - HS
 
 
Deslocamento vertical (mm)
 
F
(522)
F
(123)
82803 60541 82804 19906 18897 3468
 SL45s25 - HS 
 
F
o r
ça
 m
éd
ia
, F
 (k
N
)
 
0 10 20 30 40 50 60 70
0
20
40
60
80
 SL45s50 - HS
 
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Coelho et. al (2011)
Estudo comparativo de diferentes técnicas no reforço à flexão de vigas
de concreto armado com uso de CFRP’s
Referência
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Coelho et. al (2011)
Estudo comparativo de diferentes técnicas no reforço à flexão de vigas
de concreto armado com uso de CFRP’s
EBR NSMMF-EBR
120
NSM
90
Coelho et. al (2011)
Ensaio monotônico
150
EBR
0 5 25 30
0
30
60
REF 
EBR
MF-EBR 
NSM
F
o
rç
a
[k
N
]
10 15 20
Deslocamento a meio vão [mm]
MF-EBR
RESULTADOS OBTIDOS EM PROGRAMAS EXPERIMENTAIS
Coelho et. al (2011)
Coelho et. al (2011)
Ensaio cíclico
Coelho et. al (2011)
Ensaio cíclico
Recomendações técnicas
“Guidelines”
Recomendações técnicas
A
C
I 
4
4
0
440.1R-15: Guide for the Design and Construction of Structural Concrete
Reinforced with Fiber-Reinforced Polymer Bars
440.2R-17: Guide for the Design and Construction of Externally Bonded
FRP Systems for Strengthening Concrete Structures
440.3R-12: Guide Test Methods for Fiber-Reinforced Polymers (FRPs)
for Reinforcing or Strengthening Concrete Structures
440.4R-04: Prestressing Concrete Structures with FRP Tendons
(Reapproved 2011)
440.5-08: Specification for Construction with Fiber-Reinforced Polymer
Reinforcing Bars
440.6-08(17): Specification for Carbon and Glass Fiber-Reinforced
Polymer Bar Materials for Concrete Reinforcement (Reapproved 2017)
440.7R-10: Guide for Design & Constr of Externally Bonded FRP
Systems for Strengthening Unreinforced Masonry Structures
440.8-13: Specification for Carbon and Glass Fiber-Reinforced Polymer
Materials Made by Wet Layup for External Strengthen
440.9R-15: Guide to Accelerated Conditioning Protocols for Durability
Assessment of Internal and External Fiber-Reinforce
Requisitos de projeto
REQUISITOS BÁSICOS
O dimensionamento de sistema de FRP deve ser baseado nos 
seguintes princípios:
1. As manifestações patológicas devem ser identificadas, removidas
e/ou atenuadas;
2. Em caso de uma solicitação severa, a estrutura deverá resistir com danos 
localizados aceitáveis;
3. O “colapso” do sistema de reforço
deverá ser dúctil.
Requisitos de projeto
REQUISITOS BÁSICOS
Assim, no projeto de reforço deve-se:
1. Efetuar uma escolha adequada dos materiais;
2. Escolha criteriosa dos processos de aplicação;
3. Procedimentos de controle de qualidade devem ser adotados quer na
fase do projeto quer na fase da execução do reforço.
Requisitos de projeto
REQUISITOS DE DURABILIDADE
O projeto de reforço tem de efetuado atendendo a requisitos de 
durabilidade. Para tal haverá que atender a:
1. Tipo de uso da estrutura reforçada;
2. Avaliação das condições ambientais;
3. Composição, propriedades e desempenho dos materiais
existentes e novos;
4. Escolha adequada da solução de reforço;
5. Qualidade da mão-de-obra e nível de controle;
6. Adoção de medidas protetoras (e.g., fogo, impacto);
7. Plano de inspeção/manutenção.
Considerações 
e conceitos básicos
Quando se utiliza para o reforço de estruturas de concreto armado à
flexão um sistema compósito de FRP, ele pode ser aderido as faces
da peça.
Para o cálculo da resistência á flexão de uma estrutura de concreto
reforçada com materiais compósitos, algumas considerações devem
ser feitas:
- Os cálculos devem ser efetuados com base nas dimensões
existentes da seção e da quantidade/distribuição das armaduras de
aço da mesma, assim como das propriedades e características
mecânicas dos materiais constituintes do elemento de concreto a ser
reforçado;
- Prevalecem os critérios de Bernoulli, ou seja, as seções
permanecem planas após carregamentos e as deformações são
linearmente proporcionais à sua distância à linha neutra;
REQUISITOS DE PROJETO
Considerações 
e conceitos básicos
- Despreza-se a resistência à tração do concreto;
- A deformação no concreto não pode ultrapassar 3,5‰ quando se
utiliza a NBR 6118/Fib Bulletin 14 ou 3‰ segundo as recomendações
da ACI440.2R;
- Aderência perfeita entre o sistema compósito e o substrato de
concreto; e
- Deformação linear até a ruptura do compósito.
Ensaios de tração
0,00
200,00
400,00
600,00
800,00
1000,00
1200,00
1400,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00T
e
n
s
ã
o
 (
M
P
a
)
Deformação (‰)
Fibra de vidro
Considerações 
e conceitos básicos
- Segundo o Fib Bulletin 14 (2001), o estado da estrutura (reparada)
antes do reforço deve ser tomado como referência para o
dimensionamento do sistema de reforço;
- Por meio de inspeção, revisão de documentos existentes e uma
análise estrutural, o real estado do elemento existente deve ser
verificado;
- Como a aplicação do sistema FRP não se destina a corrigir
manifestações patológicas pré-existentes na estrutura (como, por
exemplo, corrosão do aço devido a carbonatação ou ingresso de
cloretos), possíveis danos ou deterioração devem ser identificados e
as causas das manifestações patológicas devem ser conhecidas;
- Se necessário, o reparo adequado deve ser realizado antes da
aplicação de um sistema de reforço.
Ações para dimensionamento
Considerações 
e conceitos básicos
É necessário determinar o momento solicitante da estrutura durante a
aplicação do sistema de reforço com FRP para avaliação do estado
inicial de deformações.
Normalmente, este momento é obtido levando-se em conta a carga
permanente da estrutura.
Ações para dimensionamento
Estrutura existente
Considerações 
e conceitos básicos
É necessário determinar o momento solicitante da estrutura durante a
aplicação do sistema de reforço com FRP para avaliação do estado
inicial de deformações.
Normalmente, este momento é obtido levando-se em conta a carga
permanente da estrutura.
Ações para dimensionamento
No momento de aplicação do reforçoACI 440.2R Fib Bulletin 14
Considerações 
e conceitos básicos
Posteriormente, faz-se o levantamento de cargas e esforços devido às
cargas futuras esperadas.
Ações para dimensionamento
Novo carregamento esperado
Considerações 
e conceitos básicos
Segundo o ACI 440.2R (2017), o elemento estrutural não reforçado
deve ter capacidade suficiente para resistir a um certo nível de
carregamento.
Caso o sistema de reforço com FRP seja danificado, a estrutura ainda
deverá ser capaz de resistir a um nível razoável de carga sem que
entre em colapso.
Ações para dimensionamento - Observações
Assim, espera-se que o elemento reforçado mantenha capacidade estrutural
suficiente até que o sistema de reforço seja reparado.
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada resista a 110% das ações
permanentes (DL) mais 75% das sobrecargas (LL), i.e.:
Considerações 
e conceitos básicos
Para evitar que uma estrutura a reforçar não colapse sob a atuação do
fogo, essa estrutura, antes de ser reforçada, deve ter capacidade
resistente suficiente por forma a suster, em segurança, as ações
permanentes e as ações das sobrecargas.
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada resista a 100% das ações
permanentes (WAP) mais 100% das sobrecargas (Wsob), i.e.:
Ações para dimensionamento - Observações
Se ocorrer um incêndio após o reforço da estrutura, esta deve ainda respeitar a
Equação acima apresentada.
As resinas que se utilizam nos sistemas em FRP perderem significativamente as
suas propriedades a partir de temperaturas da ordem dos 60 graus Celsius
(temperatura de transição vítrea (Tg)).
Considerações 
e conceitos básicos
A ACI 440.2R (2017) ainda apresenta uma nova Equação para verificação
da capacidade resistente do elemento não reforçado, tal como abaixo
apresentado:
onde SDL refere-se à carga permanente, SLL à sobrecarga, SSL a cargas
devido a presença de neve e Ak refere-se a um certo carregamento
devido/a ser resistido devido a um evento de incêndio da estrutura.
Ações para dimensionamento - Observações
Dimensionamento
ACI 440.2R (2017)
Considerações e 
conceitos básicos ACI 440.2R
Propriedades características dos materiais
- A não ser que tal seja indicado especificamente, os valores das
propriedades dos FRP indicados nos documentos técnicos dos
fabricantes não atendem aos efeitos provocados pela exposição dos
FRP aos agentes de agressividade ambiental ao longo do tempo de
vida dos FRP;
- Como as propriedades dos FRP, tais como a resistência à tração e a
extensão última, dependem do tipo de ambiente a que o FRP foi
acondicionado durante a sua vida, os valores das propriedades
indicados pelos fabricantes devem ser encarados como valores
iniciais, devendo estes ser corrigidos por fatores que atendem ao tipo
de ambiente;
- Assim, o ACI 440 propõe que os valores da resistência à tração e da
extensão última indicados pelos fabricantes ou obtidos em
laboratório sejam afetados por um coeficiente ambiental, CE.
Considerações e 
conceitos básicos ACI 440.2R
Propriedades características dos materiais
Segundo a ACI 440.2R, o dimensionamento a flexão deve levar em
conta as seguintes recomendações de projeto:
Onde:
ffu = tensão de tração máxima de
projeto do compósito de FRP
ffu*= tensão de tração máxima de
projeto do compósito de FRP
(fornecida por ensaio ou fabricante)
fu = deformação máxima de projeto
do compósito de FRP
fu*= deformação máxima do compósito de FRP (fornecida por ensaio ou fabricante)
CE = coeficiente de exposição ambiental
Considerações e 
conceitos básicos ACI 440.2R
Segundo o ACI 440, no dimensionamento à flexão de sistemas de reforço 
admite-se as seguintes hipóteses:
a) deve-se ter em consideração as atuais dimensões, disposição das armaduras
e propriedades dos materiais do elemento estrutural a ser reforçado;
b) as extensões no concreto e nas armaduras são diretamente proporcionais às
suas respectivas distâncias ao eixo neutro da secção. Secções planas antes da
aplicação do carregamento permanecem planas após a sua aplicação (hipótese
de Euler-Bernoulli);
c) a máxima extensão de compressão no concreto é 0,003 (ou 3‰);
d) a resistência à tração do concreto é desprezada;
e) assume-se que o diagrama tensão vs. extensão do aço é elástico-linear até o
escoamento, seguido de comportamento perfeitamente plástico;
f) admite-se que o FRP é caracterizado por uma lei linear e elástica tensão-
extensão até à ruptura;
g) A deformação de corte na camada de adesivo é desprezada, dado que esta
camada é muito fina com reduzidas variações na sua espessura.
Hipóteses Básicas do Dimensionamento
Considerações e
conceitos básicos ACI 440.2R
A menos que todo o carregamento seja removido antes da aplicação do
reforço, inclusive o devido ao peso próprio, caso pouco comum na prática
de reforço estrutural, o substrato onde será aplicado o FRP terá um
determinado nível de deformação inicial que deverá ser considerado no
dimensionamento.
Por esse motivo, para um determinado nível de carregamento, o cálculo da
deformação no FRP é efetuado subtraindo a deformação inicial à
deformação existente para esse nível de carregamento.
A deformação inicial (bi) pode ser determinada assumindo comportamento
linear e elástico para os materiais intervenientes, considerando-se todo o
carregamento existente no momento da aplicação do reforço.
Deformações existentes no concreto
Considerações e
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
Considerações e 
conceitos básicos
Dimensionamento
A posição do eixo neutro e os níveis de tensão no aço, concreto e no reforço são
determinados por processo iterativo.
Arbitrando-se c
Uma estimativa inicial razoável de c é 0,20d.
Considerações e 
conceitos básicos
Dimensionamento
A ruptura controlada pelo descolamento do compósito deve governar
os procedimentos de cálculo. Assim, a deformação máxima permitida
no FRP para impedir a ruptura por descolamento devido a fissuração
não poderá exceder ao indicado naseguinte equação:
Onde:
fc´= resistência à compressão do concreto
n = número de camadas de reforço
Ef = módulo de elasticidade do compósito
fu = deformação máxima de projeto do compósito de FRP
Para aplicações com a técnica de reforço NSM, o valor de fd pode variar de 0,6
fu para 0,9 fu dependendo de muitos fatores, como dimensões dos elementos,
percentual de armadura existente e de FRP, dentre outros.
O comitê recomenda o uso de fd  0.7 fu.
A
tensão
determinados
Considerações e 
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
É muito importante o conhecimento do nível de deformação no
reforço executado com FRP no estado limite último.
Uma vez que o FRP apresenta comportamento elástico linear até a
ruptura, a deformação máxima que poderá ser atingida no reforço de
FRP será determinado pelas seguintes situações:
- Ruptura do concreto
- Ruptura do sistema FRP
- Descolamento do sistema de FRP do substrato do concreto
Com base nessas avaliações, a deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço é dada por:
Onde:
c = x = profundidade da linha 
neutra
bi = deformação inicial da seção
devido as cargas instaladas no
ato do reforço
df = profundidade do reforço
Considerações e 
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
A ACI440.2R também limita o nível de tensão que pode ser atingida no
reforço com FRP antes da ruptura por flexão. Este nível efetivo pode
ser obtido da correlação com o nível de deformação do FRP,
assumida a condição de comportamento elástico-linear:
Considerações e 
conceitos básicos
Determinação do momento resistente
Conhecida a extensão efetiva do FRP, a extensão existente no substrato no
instante de aplicação do reforço, bi, e a posição do eixo neutro, c, a tensão
no aço pode ser calculada por intermédio da seguinte condição de
compatibilização de extensões:
Considerações e 
conceitos básicos
Aplicação a seção retangular
𝜀𝑐´ = Máxima deformação do concreto não confinado
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidade do concreto 
Considerações e 
conceitos básicos
Determinação do momento resistente
O equilíbrio interno de forças só é obtido se a Equação abaixo apresentada
for satisfeita, caso contrário deve-se efetuar o processo iterativo até o
equilíbrio ser alcançado.
Considerações e 
conceitos básicos
Determinação do momento resistente
Tendo em conta a distribuição de extensões e de tensões anteriormente
representadas, o momento fletor resistente da seção, na verificação aos
estados limite último, pode ser calculado por intermédio da equação
seguinte:
em que:
As é a área da armadura convencional de tração existente na seção;
fs é a tensão de tração no aço;
h e d são a altura total e altura útil da seção, respectivamente;
1 é o fator de transformação do diagrama de tensões;
c é a posição do eixo neutro (linha neutra);
f é o coeficiente de minoração da resistência do FRP. Na flexão pode-se
adotar o valor de 0,85.
Af é a área de FRP;
ffe é a tensão de tração efetiva no FRP.
A utilização do sistema de reforço com FRP colado externamente reduz a
ductilidade do elemento original, pelo que é importante verificar o nível de
deformação nas armaduras de aço, no estado limite último, de forma a
manter a ductilidade da seção em níveis aceitáveis.
Admite-se que após reforçada a peça tem nível aceitável de ductilidade se
a extensão no aço, no momento da rotura por esmagamento do concreto
em compressão e no momento do descolamento do FRP do substrato, for
superior ou igual a 0,005.
O ACI 440 segue a mesma filosofia do ACI 318, pelo que o momento
resistente de uma seção diminui com a sua menor ductilidade.
Verificação da Ductilidade
Considerações e 
conceitos básicos
Verificação da Ductilidade
Considerações e 
conceitos básicos
Para simular este efeito é definido um fator  determinado da seguinte forma:
Segundo a ACI 440.2R, os procedimentos de reforço exigem que o
dimensionamento estrutural exceda os esforços majorados, conforme
indicado abaixo:
Onde:
 = fator de minoração de resistência, relacionado com a ductilidade da seção
Mn = resistência fletor resistente de cálculo da seção de estudo
Mu = momento fletor solicitante da combinação mais desfavorável para a análise
em causa
Resistência final da peça reforçada
Considerações e 
conceitos básicos
As verificações para os estados limites de utilização em peças reforçadas
com FRP podem ser efetuadas aplicando-se o conceito de
homogeneização aos materiais da seção (na análise da seção fissurada
de concreto reforçado).
Essa verificação é feita pela seguinte equação:
Onde:
Considerações e 
conceitos básicos
Tensões no aço devido a carga de serviço
𝜌 𝑠 = As/b.d
𝜌 𝑓 = Af/b.d
𝑀𝑠 = momento solicitante devido a p+g
Para prevenir deformações plásticas excessivas, a tensão na armadura e
no concreto para as cargas de serviço deve ser inferior ou igual a 80% e
60%, respectivamente, da tensão de escoamento do aço e de compressão
do concreto utilizados.
Considerações e 
conceitos básicos
Tensões no aço devido a carga de serviço
O nível de tensões na armadura poderá ser calculado baseado na
análise da seção fissurada de concreto reforçado.
Essa verificação é feita pela seguinte equação:
Considerações e 
conceitos básicos
Tensões no FRP devido a carga de serviço
Os materiais de FRP submetidos a carregamentos de longa duração
podem apresentar ruptura repentina, depois de um período referido como
tempo de tolerância. Durante esse período de tempo a resistência à tração
do FRP pode diminuir.
Aumentando-se a relação entre tensão de tração existente no laminado, ao
longo do tempo, e a sua resistência última, diminui-se o tempo de
tolerância. O tempo de tolerância também pode decrescer conforme as
condições ambientais a que os FRP estejam sujeitos (altas temperaturas,
radiação ultravioleta, elevada alcalinidade, ciclos de umidade e secagem, e
ciclos de gelo e degelo).
Geralmente, o CFRP é menos susceptível às ações de longa duração e de
fadiga, as aramidas (AFRP) são moderadamente propícias a essa rotura,
enquanto que as fibras de vidro (GFRP) são as mais susceptíveis.
Considerações e 
conceitos básicos
Valores limites de tensão para ações de longa duração e
de fadiga
Assim, para se evitar que um elemento reforçado com FRP rompa devido à 
atuação de ações de longa duração, devem-se adotar limites para os 
valores de tensão no FRP quando submetidos a este tipo de condições. 
O valor da tensão no FRP, ffs , pode ser obtido segundo análise elástica e 
aplicando o momento que resulta das ações quase permanentes 
(permanentes mais parte da sobrecarga) e da ação cíclica. 
Os valores destas tensões devem ficar limitados aos abaixo indicados:
Considerações e 
conceitos básicos
Valores limites de tensão para ações de longa duração e
de fadiga
Fluxograma
Determinar a deformação inicial no 
substrato de concreto
Estimar a profundidade de linha neutra, c
Determinar o modo de ruptura
Calcular a deformação nos 
materiais
Calcular tensões e forças
Verificar o equilíbrio (c)
c estimado 
= c obtido no 
equilíbrio?
Calcular o momento 
fletor resistente
Verificar as condições 
de serviço
Não Sim
Exemplos de 
Dimensionamento
ACI 440.2R (2017)
Escolha – Sistemas FRP
Escolha – Sistemas FRP
Considere-se que o projetista seleciona dois sistemas de FRP para
o reforço de um elemento de concreto e que, junto aos fabricantes,
obteve as propriedades destes dois sistemas:
- O sistema A é constituído por manta de fibras unidirecionais de
carbono.
- O sistema B é constituído por laminadosde fibra de carbono.
Ambos os sistemas são fixos à superfície do elemento a reforçar
por meio de resina epóxi (técnica EBR).
Escolha – Sistemas FRP
Alguns dos dados disponibilizados na documentação
técnico/comercial do fabricante estão indicados na Tabela abaixo
apresentada.
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
Tipo de sistema: pré-curado, laminado
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Qual dos sistemas de reforço vocês escolheriam?
Escolha – Sistemas FRP
Faremos três verificações para a escolha:
1ª verificação: Resistência à tração por unidade de espessura dos
Sistemas
2ª verificação: Rigidez à tração por unidade de espessura dos 
Sistemas
3ª verificação passo: Comparação dos dois sistemas
Segundo a resistência à tração:
Segundo a rigidez:
ffu*: Tensão de tração na ruptura
tf: Espessura
ffu*: Módulo de elasticidade
tf: Espessura
Escolha – Sistemas FRP
1ª verificação: Resistência à tração por unidade de espessura dos 
Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
Tipo de sistema: pré-curado, laminado
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Escolha – Sistemas FRP
1ª verificação: Resistência à tração por unidade de espessura dos 
Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Sistema A Sistema B
𝑝𝑓𝑢
∗
= 3800N/mm2.0,117mm
= 444,6 N/mm
𝑝𝑓𝑢
∗
= 2800N/mm2.1,4mm
= 3920 N/mm
Escolha – Sistemas FRP
2ª verificação: Rigidez à tração por unidade de espessura dos Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Escolha – Sistemas FRP
2ª verificação: Rigidez à tração por unidade de espessura dos Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Sistema A Sistema B
kf= 245000 N/mm
2.0,117mm
= 28665 N/mm
kf= 175000 N/mm
2.1,40mm
= 245000 N/mm
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Segundo a resistência à tração:
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
3920 N/mm
444,6 N/mm
= 8,81
Segundo a resistência à tração:
Para uma dada resistência equivalente à tração, 9 camadas do Sistema A 
equivalem a uma camada do Sistema B!
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
Segundo a rigidez:
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 1,4 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 2800 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 175 GPa
245000 N/mm
28665 N/mm
= 8,54
Segundo a rigidez:
Para uma dada rigidez equivalente, nove camadas do Sistema A equivalem a 
uma camada do Sistema B!
Escolha – Sistemas FRP
E....
Considere-se que o projetista seleciona dois sistemas de FRP para
o reforço de um elemento de concreto e que, junto aos fabricantes,
obteve as propriedades destes dois sistemas:
- O sistema A é constituído por manta de fibras unidirecionais de
carbono.
- O sistema B é constituído por manta de fibras unidirecionais de
vidro!
Escolha – Sistemas FRP
Alguns dos dados disponibilizados na documentação
técnico/comercial do fabricante estão indicados na Tabela abaixo
apresentada.
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: vidro
Resina polimérica: epoxi
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Qual dos sistemas de reforço vocês escolheriam?
Escolha – Sistemas FRP
1ª verificação: Resistência à tração por unidade de espessura dos 
Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: carbono
Resina polimérica: epoxi
Tipo de sistema: curado in-situ, manta
unidirecional
Tipo de fibra: vidro
Resina polimérica: epoxi
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
1ª verificação: Resistência à tração por unidade de espessura dos 
Sistemas
Sistema A Sistema B
𝑝𝑓𝑢
∗
= 3800N/mm2.0,117mm
= 444,6 N/mm
𝑝𝑓𝑢
∗
= 1200N/mm2.0,39mm
= 468 N/mm
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
2ª verificação: Rigidez à tração por unidade de espessura dos Sistemas
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
2ª verificação: Rigidez à tração por unidade de espessura dos Sistemas
Sistema A Sistema B
kf= 245000 N/mm
2.0,117mm
= 28665 N/mm
kf= 75000 N/mm
2.0,39mm
= 29250 N/mm
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Segundo a resistência à tração:
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
468 N/mm
444,6 N/mm
= 1,05
Segundo a resistência à tração:
Para uma dada resistência equivalente à tração, uma camada do Sistema A 
equivale a uma camada do Sistema B!
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
Segundo a rigidez:
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mmffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Escolha – Sistemas FRP
3ª verificação: Comparação dos dois sistemas
29250 N/mm
28665 N/mm
= 1,02
Segundo a rigidez:
Para uma dada rigidez equivalente, uma camada do Sistema A equivale a uma 
camada do Sistema B!
Sistema A
(dados do documento técnico)
Sistema B
(dados do documento técnico)
tf 0,117 mm tf 0,39 mm
ffu* 3800 MPa ffu* 1200 MPa
fu* 15,5‰ fu* 16‰
Ef 245 GPa Ef 75 GPa
Exemplos – Técnica EBR
A viga representada faz parte de uma estrutura, para a qual se pretende que
passe a resistir a uma sobrecarga 50% superior à que tinha sido utilizada no seu
dimensionamento.
fc´ 34,47 MPa
fs 414 MPa
As 1935 mm
2
A armadura de resistência ao esforço transverso que a
viga dispõe garante a não ocorrência de ruptura por
cisalhamento após o acréscimo de carga.
A verificação da flecha e de abertura de fissuras está
também assegurada, mas a viga necessita de ser
reforçada à flexão.
Exemplos – Técnica EBR
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
-------
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
Exemplos – Técnica EBR
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.m
Esta etapa de verificação seguirá as recomendações da ABNT NBR
6118 (ABNT, 2014) e ACI 318 (2014).
Dimensionamento 
– Técnica EBR
1º passo: Levantamento da real capacidade portante do elemento
frente a geometria e materiais existentes
AÇO (barras tracionadas)
CONCRETO (elementos submetidos à flexão simples)
• Valores últimos da deformação específica dos
materiais:
3,5‰εε
cucc
 10‰εε
sust
C20 a C50
C50 a C90
4
ckcu
]100/)f -[(90 35‰‰6,2ε 
Representa vários diagramas de deformação de casos de solicitação diferentes,
com as deformações limites de εcu para o máximo encurtamento do concreto
comprimido e 10‰ para o máximo alongamento na armadura tracionada
3,5‰εε
cucc

Classes C20 a C50
Classes C50 a C90
4
ckcu
]100/)f -[(90 35‰‰6,2ε 
Classes C20 a C50
• Região da parábola: vértice na fibra com εc = 2‰
• Região da reta: εc = 3,5‰
Distribuição de tensões no concreto:
→ Diagrama Parábola-Retângulo
c fcd
Distribuição de tensões no concreto:
Zona comprimida 
constante
Zona comprimida 
decrescente
𝛼c = 0,85 1,0 −
fck − 50
200
Classes C55 a C90
Classes C20 a C50
Distribuição de tensões no concreto:
Alternativamente, permite-se a substituição do diagrama
por um retângulo de altura:
y = λ . x
Onde: x = altura da linha neutra;  = 0,8.
c fcd
.x
Classes C55 a C90
Distribuição de tensões no concreto:
→ Diagrama CURVO-Retângulo
Permite-se ainda a substituição do diagrama constante
(retangular) de altura:
y = λ . x
tal que: λ = 0,8 − [(fck − 50) /400], para fck > 50 MPa
Profundidade da linha neutra e condições de ductilidade 
(ABNT NBR 6118:2014) 
 x = x/d  0,45 
 x = x/d  0,35 
“ A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da 
posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior 
será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento 
dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve 
obedecer a:
C20 a C50
C50 a C90
Ductilidade
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão - NBR 6118 (ABNT, 2014)
x = 0,136m
Domínio 2
Md concreto = 341,4 kN.m
Md aço = 342,4 kN.m
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão - ACI 318 (2014)
Os cálculos da resistência das seções transversais devem ser
realizados com base nas seguintes premissas:
● Deformação no concreto e a barra de aço é proporcional à
distância do eixo neutro (isto é, uma seção plana antes do carregamento
permanece plana após o carregamento);
● A máxima deformação de compressão utilizada no concreto é
assumida como sendo 0,003;
● A resistência do concreto à tração é ignorada;
● Perfeita aderência entre o concreto e a armadura.
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318 (2014)
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318
c = 0,111m
a = 0,0896m
Mn = 401,50 kN.m
𝜺𝒔 = 0,0117 = 11,7‰
 = 0,90
Mu = 361,35 kN.m
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada (referência) resista a 110%
das ações permanentes (WAP) mais 75% das sobrecargas (Wsob). A seção
transversal apresenta capacidade portante de 360 kN.m. Como:
= 239 kN.m, ok!
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada/reforçada resista a 100%
das ações permanentes (WAP) mais 100% das sobrecargas (Wsob). Como:
, 360 kN.m> 214 ou 273 kN.m, ok!
Exemplo – Técnica EBR
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.m
Esta etapa de verificação seguirá as recomendações da ABNT NBR
6118 (ABNT, 2014) e ACI 318 (2014).
Dimensionamento 
– Técnica EBR
1º passo: Levantamento da real capacidade portante do elemento
frente a geometria e materiais existentes
2º passo: Determinação da deformação no concreto tracionado (𝜺𝒃𝒊)
Iniciaremos a resolução do problema proposto determinando a
deformação da viga frente somente ao seu peso próprio.
Considerações 
e conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Considerações 
e conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
n = 200000MPa/27594,24MPa= 7,25 
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
B = 305mm/7,25.1935mm2= 0,021747mm
kd = [(2.546mm.0,021747mm+1)^0,5-1]/0,021747mm 
kd = 182,77
kd = 182,77 → k = 0,334
Icr = (305.0,3343.5463)/3+7,25.1935(546-0,334.546)2
= 616.589.200,50+1.855.037.612,00=2.471.626.810 mm4
Considerações e 
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
Exemplo – Técnica EBR
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.mConsiderações e 
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
Considerações e 
conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
k = 0,334
Icr = 2.471.626.810 mm4
Ec = 27594,24397 N/mm
2
WAP = 98 kN.m = 98.000.000,00 N.mm 
𝜀𝑏𝑖 = 0,61‰ = 0,00061
df = 610mm (ou 611,016mm - até o CG do sistema de reforço) 
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última da manta de
CFRP
Exemplos – Técnica EBR
Espessura por camada, tf 0,117 mm
Resistência última à tração da manta, ffu* 3800 MPa
Extensão de ruptura, εfu* 15,5‰
Módulo de elasticidade, Ef 245 GPa
Propõe-se que a viga seja reforçada com o sistema FRP abaixo descrito. O
sistema curado “in situ” (manta) é constituído por uma camada de manta
unidirecional de 305 mm de largura por 7010 mm de comprimento.
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última da manta de
CFRP
Como temos a manta de CFRP e
viga interna:
𝑓𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑓𝑢
∗
𝑓𝑓𝑢 = 0,95.3800MPa = 3610𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑢
∗
𝑓𝑢 = 0,95.15,5‰ = 14,73‰
Dimensionamento
2º passo: Determinação da deformação máxima permitida no FRP
Dimensionamento
2º passo: Determinação da deformação máxima permitida no FRP
𝑓𝑑 = 0,41.
34,47𝑀𝑃𝑎
1.245000𝑀𝑃𝑎. 0,117𝑚𝑚
≤ 0,9.14,73‰
𝑓𝑑 = 0,0142 = 14,2‰ ≥ 13,26‰- ok
Como a tensão de dimensionamento é maior do que a tensão de ruptura, o
esmagamento do concreto controla o dimensionamento do sistema FRP.
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Arbitrando-se c
Uma estimativa inicial razoável de c é 0,20d.
c= 0,20.54,6cm = 10,92 cm
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝑓𝑒 = 3‰
61𝑐𝑚 − 10,92𝑐𝑚
10,92𝑐𝑚
− 0,61‰ ≤ 13,26‰
Arbitrando-se c
Uma estimativa inicial razoável de c é 0,20d.
c= 0,20.54,6cm = 10,92 cm
𝑓𝑒 = 13,15‰ < 13,26‰
𝑓𝑒 = 13,15‰𝑚𝑚/𝑚𝑚
Portanto,
𝑓𝑓𝑒 = 13,15.245𝐺𝑃𝑎 =3221,75MPa
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝜀𝑠 = (13,15‰+ 0,61‰)
54,6 − 10,92
61 − 10,92
𝜀𝑠 = 12‰
Por semelhança de triângulos,
encontra-se a deformação no concreto
12‰
10,92𝑐𝑚
43,68𝑐𝑚
12‰
43,68
=
𝜀𝑐
10,92
𝑐
𝜀𝑐 = 3,0‰
Portanto, aço escoando!
𝑓𝑠 = 414𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
𝜀𝑐 = (13,15‰+ 0,61‰)
10,92
61 − 10,92
𝜀𝑐 = 3‰
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝛽1 =
4.2,1‰− 3‰
6.2,1‰− 2.3‰
= 0,818
𝜀𝑐´ = 1,71.
34,47𝑀𝑃𝑎
27594,24𝑀𝑃𝑎
= 0,0021 = 2,1‰
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´ = 4700 34,47𝑀𝑃𝑎 = 27594,24𝑀𝑃𝑎
1 = (3.2,1‰.3‰ -3‰2)/3.0,818. 2,1‰2= 0,915
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝑐 =
1935𝑚𝑚2.
414𝑁
𝑚𝑚2
+
35,68𝑚𝑚2.
3221,75 𝑁
𝑚𝑚2
0,915.34,470𝑁/𝑚𝑚2.0,818.305𝑚𝑚
= 116,4𝑚𝑚
Como c calculado é diferente do c inicial
116,4mm  109,2 mm
Não convergiu!!!!
Arbitrar novo c!
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Arbitrando-se c
c= 11,56 cm
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝑓𝑒 = 3‰
61𝑐𝑚 − 11,56𝑐𝑚
11,56𝑐𝑚
− 0, 61‰ ≤ 13,26‰
Arbitrando-se c
c= 11,56 cm
𝑓𝑒 = 12,22‰‰ < 13,26‰
𝑓𝑒 = 12,22‰
Portanto,
𝑓𝑓𝑒 = 12,22‰. 245𝐺𝑃𝑎 =2994MPa
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝜀𝑠 = (12,22‰+ 0, 61‰)
54,6 − 11,56
61 − 11,56
𝜀𝑠 = 11,16‰
Por semelhança de triângulos,
encontra-se a deformação no concreto
11,16‰
11,56𝑐𝑚
43,04𝑐𝑚
11,16‰
43,04
=
𝜀𝑐
11,56
𝑐
𝜀𝑐 = 3,00‰
Portanto, aço escoando!
𝑓𝑠 = 414𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
𝜀𝑐 = (12,22‰+ 0,61‰)
11,56
61 − 11,56
𝜀𝑐 = 3‰
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝛽1 =
4.0,0021 − 0,003
6.0,0021 − 2.0,003
= 0,818
𝜀𝑐´ = 1,71.
34,47𝑀𝑃𝑎
27594,24𝑀𝑃𝑎
= 0,0021
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´ = 4700 34,47𝑀𝑃𝑎 = 27594,24𝑀𝑃𝑎
1 =
3.0,0021.0,003 − 0,0032
3.0,818.0,00212
= 0,914
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝑐 =
1935𝑚𝑚2.
414𝑁
𝑚𝑚2
+
35,68𝑚𝑚2.
2994𝑁
𝑚𝑚2
0,914.34,470𝑁/𝑚𝑚2.0,818.305𝑚𝑚
= 115,5𝑚
Como c calculado é diferente do c inicial
115,5mm = 115,6 mm
Convergiu!!!!
Dimensionamento
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
Dimensionamento
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 450,65𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛1 = 1935𝑚𝑚
2.
414𝑁
𝑚𝑚2
546 −
0,818,115,5
2
=
399,55𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛2 = 0,85.35,68𝑚𝑚
2.
2994𝑁
𝑚𝑚2
610 −
0,818,115,5
2
=
51,10𝐾𝑁.𝑚
Dimensionamento
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 450,65𝑘𝑁.𝑚
0,90.450,65=405,59KN.m
405,59 KN.m > 398,11 kN.m
Portanto, ok!
𝜀𝑠 = 11,16‰
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝜌 𝑠 =
𝐴𝑠
𝑏. 𝑑
=
19,35𝑐𝑚2
30,5𝑐𝑚𝑥54,6𝑐𝑚
= 0,0116
𝜌 𝑓 =
𝐴𝑓
𝑏. 𝑑
=
35,68𝑚𝑚2
305𝑚𝑚𝑥546𝑚𝑚
= 0,00021
𝐸𝑐 = 27,59𝐺𝑃𝑎
𝐸𝑠 = 200𝐺𝑃𝑎
𝐸𝑓 = 245𝐺𝑃𝑎
𝑑 = 0,546𝑚
𝑑𝑓 = 0,60𝑚
𝑘 = 0,338
𝑘 = 0,084 + 0,00186 2+ 2(0,084 + 0,0020) − (0,084 + 0,00186)
𝑘𝑑 = 0,338.546=184,55mm
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Ms = Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Exemplo – Técnica EBR
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.m
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝑀𝑠 = 273,23 kN.m = 273230000N.mm (Cargas não majoradas (WAP+Wsob))
𝜀𝑏𝑖 . 𝐴𝑓.𝐸𝑓. 𝑑𝑓−
𝑘𝑑3
=
0,00061.35,68𝑚𝑚2.245000N/mm2.(610-184,55mm/3)=2924719,36
(𝑑 − 𝑘𝑑). 𝐸𝑠 = (546 − 184,55). 200000N/mm2=72290000
𝐴𝑠. 𝐸𝑠 𝑑 −
𝑘𝑑
3
𝑑 − 𝑘𝑑 = 1935.200000MPa.(546-184,55/3) .(546-184,55)=6,77.1013
𝐴𝑓. 𝐸𝑓 𝑑𝑓 −
𝑘𝑑
3
𝑑𝑓 − 𝑘𝑑 = 35,68.245000MPa.(610-184,55/3) .(610-184,55)= 2,03.1012
𝑓𝑠, 𝑠 = 286,29 𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
286,29 𝑀𝑃𝑎<414MPa*0,8
286,29 𝑀𝑃𝑎 <331MPa –ok!
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
286,29 𝑀𝑃𝑎<414MPa*0,8
286,29 𝑀𝑃𝑎 <331MPa –ok!
Dimensionamento
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝑓𝑓, 𝑠 = 286,29𝑀𝑃𝑎.
245000𝑀𝑃𝑎
200000𝑀𝑃𝑎
.
610 − 184,55
546 − 184,55
− 0,00061. 245000𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓, 𝑠 = 263,35𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓, 𝑠 = 263,35𝑀𝑃𝑎0,55𝑓𝑓𝑢
𝑓𝑓, 𝑠 = 263,35𝑀𝑃𝑎0,55.(0,95.3800)=1985,5MPa – ok!
286,29 𝑀𝑃𝑎<414MPa*0,8
286,29 𝑀𝑃𝑎 <331MPa –ok!
kd=184,55
Considerações 
e conceitos básicos
𝑓𝑠, 𝑠 = 286,29 𝑀𝑃𝑎
Es = 200 GPa
kd=184,55
? ‰
𝑘𝑑
?
𝑐
Considerações 
e conceitos básicos
𝑓𝑠, 𝑠 = 286,29 𝑀𝑃𝑎
Es = 200 GPa
kd=184,55
1,43‰
184,55
546 − 184,55
361,45
𝑐
𝑐 = 0,73‰
f𝑐, 𝑠 = 0,73‰*27,59 GPa=20,14 MPa
Considerações 
e conceitos básicos
kd=184,55
1,43‰
184,55
546 − 184,55
361,45
𝑐
𝑐 = 0,73‰
f𝑐, 𝑠 = 0,73‰*27,59 GPa=20,14 MPa
𝑓𝑐, 𝑠 = 20,14𝑀𝑃𝑎0,6𝑓𝑐´
𝑓𝑐, 𝑠 = 20,14𝑀𝑃𝑎0,6.34,47𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐, 𝑠 = 20,14𝑀𝑃𝑎20,68𝑀𝑃𝑎 − 𝑜𝑘!
Exemplo – Técnica NSM
Uma viga existente de concreto armado deve ser reforçada utilizando barras de
FRP aplicadas segundo a técnica NSM. Especificamente, três barras CFRP de nº
3 (Af = 64,5mm
2/barra) devem ser usadas a uma distância de 602,1 mm da fibra
superior extrema da viga.
Aqui, será considerado o mesmo levantamento de cargas do exercício
anteriormente apresentado.
fc´ 34,47 MPa
fs 414 MPa
As 1935 mm
2
Af 193,5 mm
2
ffu* 1725 MPa
fu* 0,013 mm/mm
Dimensionamento 
– Técnica NSM
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.m
Esta etapa de verificação seguirá as recomendações da ABNT NBR
6118 (ABNT, 2014) e ACI 318 (2014).
Dimensionamento
– Técnica NSM
1º passo: Levantamento da real capacidade portante do elemento
frente a geometria e materiais existentes
2º passo: Determinação da deformação no concreto tracionado (𝜺𝒃𝒊)
Iniciaremos a resolução do problema proposto determinando a
deformação da viga frente somente ao seu peso próprio.
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão - NBR 6118 (ABNT, 2014)
x = 0,136m
Domínio 2
Md concreto = 341,41 kN.m
Md aço = 342,45 kN.m
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318
c = 0,111m
a = 0,0896m
Mn = 401,50 kN.m
𝜺𝒔 = 0,0117 = 11,7‰
 = 0,90
Mu = 361,35 kN.m
Considerações 
e conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
k = 0,334
Icr = 2.471.626,81mm4
Ec = 27594,24397 N/mm
2
WAP = 98 kN.m = 98.000.000,00 N.mm 
𝜀𝑏𝑖 = 0,61‰ = 0,00061
df = 602mm
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada (referência) resista a 110%
das ações permanentes (WAP) mais 75% das sobrecargas (Wsob). A seção
transversal apresenta capacidade portante de 360 kN.m. Como:
= 239 kN.m, ok!
O ACI recomenda que a estrutura não reforçada/reforçada resista a 100%
das ações permanentes (WAP) mais 100% das sobrecargas (Wsob). Como:
, 360 kN.m> 214 ou 273 kN.m, ok!
Dimensionamento 
– Técnica NSM
Ação/Momento Ações existentes Novas ações
Ações permanentes, WAP
Momento devido a WAP
14,6 kN/m
98 kN.m
14,6 kN/m
98 kN.m
Sobrecargas, Wsob
Momento devido a Wsob
17,5 kN/m
117 kN.m
26,25 kN/m
175,58 kN.m
Cargas não majoradas (WAP+Wsob)
Serviço
32,1 kN/m
214 kN.m
40,85 kN/m
273,23 kN.m
Combinação viga de referência 
(1,1WAP+0,75Wsob))
------- 35,75 kN/m
239 kN.m
Cargas majoradas (1,2WAP+1,6Wsob)) 45,5 kN/m
305 kN.m
59,52 kN/m
398,11 kN.m
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento 
– Técnica NSM
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última do laminado de
CFRP
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento 
– Técnica NSM
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última das barras de
CFRP
Como temos as barras de CFRP e
viga interna:
𝑓𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑓𝑢
∗
𝑓𝑓𝑢 = 0,95.1725MPa = 1638,75𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑢
∗
𝑓𝑢 = 0,95.13‰ = 12,35‰
Dimensionamento 
– Técnica NSM
2º passo: Determinação da deformação máxima permitida no FRP
Para aplicações com a técnica de reforço NSM, o valor de fd pode variar de 0,6 fu
para 0,9 fu dependendo de muitos fatores, como dimensões dos elementos,
percentual de armadura existente e de FRP, dentre outros.
O comitê recomenda o uso de fd  0.7 fu.
𝑓𝑑 ≤ 0,7.12,35‰ = 8,65‰
Dimensionamento 
– Técnica NSM
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝑓𝑒 = 0,003
602𝑚𝑚 − 109mm
109𝑚𝑚
− 0,00061 ≤ 0,00865
Arbitrando-se c
Uma estimativa inicial razoável de c é 0,20d.
c= 0,20.54,6cm = 10,92 cm = 109mm
𝑓𝑒 = 0,013 > 0,00865 − 𝐾𝑂
𝑓𝑒 = 0,00865 𝑚𝑚/𝑚𝑚
Portanto, 𝑓𝑒=𝑓𝑑
𝑓𝑓𝑒 = 8,65.132,7𝐺𝑃𝑎 =1147,19MPa
𝐸𝑓 =
1725𝑀𝑃𝑎
13‰
= 132,7𝐺𝑃𝑎
Dimensionamento 
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Dimensionamento 
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝜀𝑠 = (0,00865 + 0,00061)
546 − 109
602 − 109
𝜀𝑠 = 0,0082mm/mm = 8,2‰
Por semelhança de triângulos,
encontra-se a deformação no concreto
0,0082
109 𝑚𝑚
437 𝑚𝑚
0,0082
437
=
𝜀𝑐
109
0,002
𝜀𝑐 = 0,002
Portanto, aço escoando!
𝑓𝑠 = 414𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento 
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
𝜀𝑐 = (0,00858 + 0,00061)
109𝑚𝑚
602𝑚𝑚 − 109𝑚𝑚
𝜀𝑐 = 0,002
Dimensionamento 
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Dimensionamento 
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
𝛽1 =
4.0,0021 − 0,002
6.0,0021 − 2.0,002
= 0,744
𝜀𝑐´ = 1,71.
34,47𝑀𝑃𝑎
27594,24𝑀𝑃𝑎
= 0,0021
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´ = 4700 34,47𝑀𝑃𝑎 = 27594,24𝑀𝑃𝑎
1 =
3.0,0021.0,002 − 0,0022
3.0,744.0,00212
= 0,873
Dimensionamento
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
Como c calculado é diferente do c inicial
149,82 mm  109 mm
Não convergiu!!!!
Arbitrar novo c!
𝑐 =
1935𝑚𝑚2.
414𝑁
𝑚𝑚2
+
193,5𝑚𝑚2.
1147,19𝑁
𝑚𝑚2
0,873.34,47𝑁/𝑚𝑚2.0,744.305𝑚𝑚
= 149,82 𝑚𝑚
Dimensionamento– Técnica NSM
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝑓𝑒 = 0,003
602𝑚𝑚−133mm
133𝑚𝑚
− 0,00061 ≤ 0,7.0,01245
Arbitrando-se c
c= 133mm
𝑓𝑒 = 0,0096 > 0,00865 − 𝐾𝑂
𝑓𝑒 = 0,00865 𝑚𝑚/𝑚𝑚
Portanto, 𝑓𝑒=𝑓𝑑
𝑓𝑓𝑒 = 8,65.132,7𝐺𝑃𝑎 =1147,19MPa
𝐸𝑓 =
1725𝑀𝑃𝑎
13‰
= 132,7𝐺𝑃𝑎
Dimensionamento
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Dimensionamento 
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝜀𝑠 = (0,00865 + 0,00061)
546 − 133
602 − 133
𝜀𝑠 = 0,0082mm/mm = 8,2‰
Por semelhança de triângulos,
encontra-se a deformação no concreto
0,0082
133 𝑚𝑚
413 𝑚𝑚
0,0082
413
=
𝜀𝑐
133
0,0026
𝜀𝑐 = 0,0026
Portanto, aço escoando!
𝑓𝑠 = 414𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento 
– Técnica NSM
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
𝜀𝑐 = (0,00865 + 0,00061)
133𝑚𝑚
602𝑚𝑚 − 133𝑚𝑚
𝜀𝑐 = 0,0026
Dimensionamento 
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Dimensionamento
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
𝛽1 =
4.0,0021 − 0,0026
6.0,0021 − 2.0,0026
= 0,783
𝜀𝑐´ = 1,71.
34,47𝑀𝑃𝑎
27594,24𝑀𝑃𝑎
= 0,0021
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´ = 4700 34,47𝑀𝑃𝑎 = 27594,24𝑀𝑃𝑎
1 =
3.0,0021.0,0026 − 0,00212
3.0,75.0,00212
= 0,928
Dimensionamento 
– Técnica NSM
5º passo: Verificação de c
Como c calculado é diferente do c inicial
133,41 mm = 134 mm
Convergiu!!!!
𝑐 =
1935𝑚𝑚2.
414𝑁
𝑚𝑚2
+
193,5𝑚𝑚2.
1147,19𝑁
𝑚𝑚2
0,928.34,47𝑁/𝑚𝑚2.0,783.305𝑚𝑚
= 133,41 𝑚𝑚
Dimensionamento
– Técnica NSM
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
Dimensionamento 
– Técnica NSM
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 499,06 𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛1 = 1935𝑚𝑚
2.
414𝑁
𝑚𝑚2
546 − 0,783.134
2
=
395,37𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛2 = 0,85.193,5𝑚𝑚
2.
1147,19𝑁
𝑚𝑚2
602 − 0,783.134
2
=
103,69𝐾𝑁.𝑚
Dimensionamento 
– Técnica NSM
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 499,06 𝐾𝑁.𝑚
0,90.499,06 𝐾𝑁.𝑚 =449,15 KN.m
449,15 KN.m > 398 kN.m
Portanto, ok!
𝜀𝑠 = 0,0082mm/mm = 8,2‰
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝜌 𝑠 =
𝐴𝑠
𝑏. 𝑑
=
1935𝑚𝑚2
305𝑚𝑚𝑥546𝑚𝑚
= 0,0116
𝜌 𝑓 =
𝐴𝑓
𝑏. 𝑑
=
193,5𝑚𝑚2
305𝑚𝑚𝑥546𝑚𝑚
= 0,00116
𝐸𝑐 = 27,59𝐺𝑃𝑎
𝐸𝑠 = 200𝐺𝑃𝑎
𝐸𝑓 = 132,7𝐺𝑃𝑎
𝑑 = 0,546𝑚
𝑑𝑓 = 0,602𝑚
𝑘 = 0,335
𝑘 = 0,084 + 0,0056 2+ 2(0,084 + 0,0062) − (0,084 + 0,0056)
𝑘𝑑 = 0,335.546=182,91mm
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝑀𝑠 = 273,23 kN.m = 273230000N.mm
𝜀𝑏𝑖 . 𝐴𝑓.𝐸𝑓. 𝑑𝑓−
𝑘𝑑
3
=
0,00061.193,5𝑚𝑚2. 132700 MPa.(602-182,91mm/3)= 8474285,17
(𝑑 − 𝑘𝑑). 𝐸𝑠 = (546 − 182,91). 200000N/mm2= 72618000
𝐴𝑠. 𝐸𝑠 𝑑 −
𝑘𝑑
3
𝑑 − 𝑘𝑑 = 1935.200000MPa.(546-182,91/3) .(546-182,91)=6,81.1013
𝐴𝑓. 𝐸𝑓 𝑑𝑓 −
𝑘𝑑
3
𝑑𝑓 − 𝑘𝑑 = 193,5. 132700 MPa.(602-182,91/3) .(602-182,91)= 5,82.1012
𝑓𝑠, 𝑠 = 276,74 𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
276,74 𝑀𝑃𝑎 <414MPa*0,8
276,74 𝑀𝑃𝑎<331MPa –ok!
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
276,74 𝑀𝑃𝑎 <414MPa*0,8
276,74 𝑀𝑃𝑎<331MPa –ok!
Dimensionamento 
– Técnica NSM
7º passo: Verificação das tensões em serviço na armadura de aço e
no FRP
𝑓𝑓, 𝑠 = 276,74𝑀𝑃𝑎.
132700𝑀𝑃𝑎
200000𝑀𝑃𝑎
.
602 − 182,91
546 − 182,91
− 0,00061. 132700𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓, 𝑠 = 130,99𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓, 𝑠 = 130,99𝑀𝑃𝑎0,55𝑓𝑓𝑢
𝑓𝑓, 𝑠 = 130,99𝑀𝑃𝑎0,55.(0,95.1725)=901,32MPa – ok!
276,74 𝑀𝑃𝑎 <414MPa*0,8
276,74 𝑀𝑃𝑎<331MPa –ok!
k.d=182,91
Considerações 
e conceitos básicos
𝑓𝑠, 𝑠 = 276,74𝑀𝑃𝑎
Es = 200 GPa
? ‰
𝑘𝑑
?
𝑐
k.d=182,91
Considerações 
e conceitos básicos
𝑓𝑠, 𝑠 = 276,74𝑀𝑃𝑎
Es = 200 GPa
1,38‰
182,91
546 − 182,91
363,09
𝑐
𝑐 = 0,69‰
f𝑐, 𝑠 = 0,69‰*27,59 GPa=19,03 MPa
k.d=182,91
Considerações 
e conceitos básicos
kd=184,55
1,43‰
184,55
546 − 184,55
361,45
𝑐
𝑓𝑐, 𝑠 = 19,03𝑀𝑃𝑎0,6𝑓𝑐´
𝑓𝑐, 𝑠 = 19,03𝑀𝑃𝑎0,6.34,47𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐, 𝑠 = 19,03𝑀𝑃𝑎20,68𝑀𝑃𝑎 − 𝑜𝑘!
𝑐 = 0,69‰
f𝑐, 𝑠 = 0,69‰*27,59 GPa=19,03 MPa
250
115 11510 10
20
F
2Ø6.3mm
2Ø10.0mm20,
00
17,
50
12 24Ø5.0mm c/ 10cm
1,5
Levantar a capacidade portante do elemento atual e após a aplicação do sistema
de reforço.
A viga possui dimensões de 12x20x250 cm, vão livre entre os apoios de 230 cm e
concreto com resistência a compressão de 28,5 MPa (d=17,5cm).
As vigas de concreto armado foram produzidas com armadura longitudinal
composta por 2 barras de aço CA-50 com diâmetro de 10mm (taxa de armadura
longitudinal de 0,75%).
15 15
F
Camada de CFRP
220
Largura da manta de CFRP
(11 cm)
No reforço foi utilizada manta de fibra de carbono, aplicada em 1 camada, com
módulo de elasticidade de 248 GPa, resistência a tração de 3150 MPa,
deformação última de 1,28%, espessura de 0,176mm e largura de 11cm.
Estimativa
c = 4,82 cm
Esta etapa de verificação seguirá as recomendações da ABNT NBR
6118 (ABNT, 2014) e ACI 318 (2014).
Dimensionamento 
– Técnica EBR
1º passo: Levantamento da real capacidade portante do elemento
frente a geometria e materiais existentes
2º passo: Determinação da deformação no concreto tracionado (𝜺𝒃𝒊)
Iniciaremos a resolução do problema proposto determinando a
deformação da viga frente somente ao seu peso próprio.
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão - NBR 6118 (ABNT, 2014)
x = 0,041 m
Domínio 2
Md concreto = 10,80 kN.m
Md aço = 10,82 kN.m
M = F.2,3/4
10,8 = 2,3.F/4
F = 18,78 kN
Dimensionamento
Dimensionamento à flexão – ACI 318
c = 0,0319 m
a = 0,027 m
Mn = 12,67 kN.m
𝜺𝒔 = 13,46‰
 = 0,90
Mu = 11,40 kN.m
M = F.2,3/4
11,4 = 2,3.F/4
F = 19,83 kN
Dimensionamento
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Deslocamento (mm)
Fo
rç
a 
(K
N
)
 V1_REF_0
 V2_REF_0
NBR 6118 (2014)
ACI 318 (2014)
Exemplos – Técnica EBR
Espessura por camada, tf 0,176 mm
Resistência última à tração da manta, ffu* 3150 MPa
Extensão de ruptura, εfu* 12,8 ‰
Módulo de elasticidade, Ef 248 GPa
Propõe-se que a viga seja reforçada com o sistema FRP abaixo descrito. O
sistema curado “in situ” (manta) é constituído por uma camada de manta
unidirecional de 110 mm de largura por 220 mm de comprimento.
Considerações 
e conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
Considerações 
e conceitos básicos
Nível de deformação do reforço com FRP
bi = deformação inicial da seção devido as cargas instaladas no ato do reforço
𝜀𝑏𝑖 = ?
n = 210000MPa/25091MPa=8,37 
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
B = 120mm/8,37.157mm2= 0,0913mm
kd = [(2.175mm.0,0913mm+1)^0,5-1]/0,0913mm 
kd = 51,92
kd = 51,92 → k = 0,297
Icr = (120.0,2973.1753)/3+8,37.157(175-51,92)2
= 5616211,90+19906737,31=25522949,21mm4
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última do laminado de
CFRP
A partir deste instante o problema será resolvido com a utilização das
recomendações da norma ACI 440.2R (2017).
Dimensionamento
1º passo: Estimativa da tensão e deformação última da manta de
CFRP
Como temos a manta de CFRP e
viga interna:
𝑓𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑓𝑢
∗
𝑓𝑓𝑢 = 0,95.3150MPa = 2992,5 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑢 = 𝐶𝐸𝑓𝑢
∗
𝑓𝑢 = 0,95.12,8‰ = 12,16‰
Dimensionamento
2º passo: Determinação da deformação máxima permitida no FRP
Dimensionamento
2º passo: Determinação da deformação máxima permitida no FRP
𝑓𝑑 = 0,41.
28,50𝑀𝑃𝑎
1.248000𝑀𝑃𝑎. 0,176𝑚𝑚
≤ 0,9.12,16‰
𝑓𝑑 = 0,01048 = 10,48‰ < 10,94‰- ok
Como a tensão de dimensionamento é menor do que a tensão de ruptura, a
ruptura do FRP controla o dimensionamento do sistema FRP.
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Arbitrando-se c
c= 4,82 cm
Dimensionamento
3º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝑓𝑒 = 3‰
20𝑐𝑚 − 4,82𝑐𝑚
4,82𝑐𝑚
− 0,092‰ ≤ 10,48‰
Arbitrando-se c
Uma estimativa inicial razoável de c é 0,20d.
c= 4,82 cm
𝑓𝑒 = 9,35‰ < 10,348‰
𝑓𝑒 = 9,35‰
Portanto, 𝑓𝑒=𝑓𝑑
𝑓𝑓𝑒 = 9,35‰. 248𝐺𝑃𝑎 =2318,80MPa
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
𝜀𝑠 = (9,35‰+ 0,092‰)
17,5 − 4,82
20 − 4,82
𝜀𝑠 = 7,88‰
Por semelhança de triângulos,
encontra-se a deformação no concreto
7,88‰
4,82𝑐𝑚
12,68𝑐𝑚
7,88‰
12,68
=
𝜀𝑐
4,82
𝑐
𝜀𝑐 = 3,0‰
Portanto, aço escoando!
𝑓𝑠 = 500𝑀𝑃𝑎
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
Dimensionamento
4º passo: Determinação da deformação efetiva que pode ser
atingida pelo reforço de FRP
A deformação no concreto também pode ser calculada pela seguinte formulação:
𝜀𝑐 = (9,35‰+ 0,092‰)
4,82
20 − 4,82
𝜀𝑐 = 3‰
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝛽1 =
4.1,9‰ − 3‰
6.1,9‰ − 2.3‰
= 0,852
𝜀𝑐´ = 1,71.
28,5𝑀𝑃𝑎
25091,13𝑀𝑃𝑎
= 0,0019 = 1,9‰
𝐸𝑐 = 4700 𝑓𝑐´ = 4700 28,5𝑀𝑃𝑎 = 25091,13𝑀𝑃𝑎
1 = (3.1,9‰.3‰ -3‰2)/3.0,852. 1,9‰2= 0,877
Dimensionamento
5º passo: Verificação de c
𝑐 =
157𝑚𝑚2.
500𝑁
𝑚𝑚2
+
19,36𝑚𝑚2.
2318,80𝑁
𝑚𝑚2
0,877.28,5𝑁/𝑚𝑚2.0,852.120𝑚𝑚
= 48,3𝑚𝑚
Como c calculado é diferente do c inicial
48,3mm = 48,2 mm
Convergiu!!!!
Dimensionamento
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 19,02𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛1 = 157𝑚𝑚
2.
500𝑁
𝑚𝑚2
175 − 0,852.48,3
2
=
12,17𝐾𝑁.𝑚
𝑀𝑛2 = 0,85.19,36𝑚𝑚
2.
2318,80𝑁
𝑚𝑚2
200 − 0,852.48,3
2
=
6,85𝐾𝑁.𝑚
Dimensionamento
6º passo: Contribuição do aço e reforço para a flexão
.𝑀𝑛 = 19,02𝑘𝑁.𝑚
0,90.19,02=17,11KN.m
𝜀𝑠 = 7,88‰
M = F.2,3/4
17,11 = 2,3.F/4
F = 29,76 kN
Dimensionamento
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Deslocamento (mm)
F o
rç
a 
(K
N
)
 V1_REF_0
 V2_REF_0
 V1_REF_CFRP
 V2_REF_CFRP
NBR 6118 (2014)
ACI 318 (2014)
ACI 440,2R(2017)
Viga de referência (sem reforço): 27kN
Viga reforçada com 1 camada de manta: 
41kN
MODOS DE RUPTURA (Cont.)
MODOS DE RUPTURA (Cont.)
Pesquisa
Resumo das configurações de reforço 
TCC: Influência do uso de FRPs no reforço à flexão de vigas de
concreto armado
De Oliveira (2017)
Pesquisa
Pesquisa
Pesquisa
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
IR
 (%
)
s,eq (%)
GFRP
20MPa
30MPa
40MPa
Incremento de capacidade de carga com a utilização de compósitos de CFRP
Pesquisa
Momento resistido pela armadura longitudinal e pelo sistema de reforço com a 
utilização de compósitos de CFRP segundo o número de camadas de reforço
0
10
20
30
40
50
60
70
M
om
en
to
 re
sis
tid
o 
(k
N.
m
)
Número de camadas
Momento resistido - CFRP
M (longitudinal)
M (FRP)
20MPa 30MPa 40MPa
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
250
115 11510 10
20
F
2Ø6.3mm
2Ø10.0mm20,
00 17,
50
12 24Ø5.0mm c/ 10cm
1,5
Para a viga experimentalmente analisada...
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
16
17
18
19
20
21
22
23
24
 1 camada
 2 camadas
 3 camadas
 4 camadas
 5 camadas
M
u 
(k
N
.m
)
Taxa de armadura equivalente (%)
Dimensionamento ao 
cisalhamento – ACI 440.2R
Da mesma forma que utilizamos estribos metálicos para resistir ao
corte nas estruturas de concreto, o reforço ao corte pode ser obtido
com a aplicação de mantas ou laminados de FRP, os quais
funcionarão como estribos adicionais.
Neste curso, somente o dimensionamento proposto pela norma ACI
440.2R (2017) será abordado.
Dimensionamento ao 
cisalhamento – ACI 440.2R
Esquemas de envolvimento das peças
Os compósitos de FRP podem ser aplicados nas estruturas de
concreto armado segundo três esquemas de envolvimento:
(Envolvimento
Completo)
(Colagem
lateral)
(Envolvimento 
Em “U”)
Segundo a ACI 440.2R, com base nas recomendações apresentadas
na ACI 318, a resistência do sistema de reforço deve ser calculada
multiplicando-se a resistência nominal por um fator de redução, tal
como apresentado na expressão abaixo apresentada:
A capacidade nominal resistente de uma peça reforçada é determinada
pela soma de três parcelas distintas:
Vc = resistência do concreto ao corte
Vs = resistência da armadura transversal
Vf = resistência ao corte do sistema compósito, onde ainda deve ser
considerada a utilização de um coeficiente de redução (f), o qual depende
do esquema de envolvimento da seção.
Resistência nominal da peça
Dimensionamento ao 
cisalhamento – ACI 440.2R
=0,75 for shear
Coeficiente de redução (f)
Resistência nominal da peça
Dimensionamento ao 
cisalhamento – ACI 440.2R
Segundo a ACI 318 (2014), Vc e Vs são calculados utilizando as seguintes
expressões:
Dimensionamento ao cisalhamento
Dimensionamento ao 
cisalhamento – ACI 440.2R
𝑉𝑐 = 0,17. 𝑓𝑐
´. 𝑏𝑤 . 𝑑
𝑉𝑠 =
𝐴𝑠. 𝑓𝑦𝑡 . 𝑑
𝑠
Verificação da ruptura por tração diagonal (Modelo I)
(armadura transversal + mecanismos complementares)
A força cortante resistente de cálculo VRd3 deve ser no
mínimo igual à força solicitante de cálculo VSd.
Portanto:
 Condição de segurança:
VSd ≤ VRd3 = Vsw + Vc
– Vsw: força cortante resistida pela armadura transversal
– Vc: força cortante resistida por mecanismos complementares
VRd3 = VSd ∴ Vsw = VSd − Vc
Verificação da ruptura por tração diagonal
(armadura transversal + mecanismos complementares)
Lembrando que:
com fck e fctd em MPa. 
Vc = 0,6 ⋅ fctd ⋅ bw ⋅ d
• Parcela resistida pelos mecanismos complementares:
fctd =
fctk,inf
γc