PL Solucao problema

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• Pesquisa Operacional (P.O.) é um método científico para a tomada de decisões. 
• A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo a previsão e a comparação de valores, 
de eficiência e de custos”.
• A P.O. é uma ferramenta extremamente qualificável para o trabalho de gestão, seja nos níveis gerencial, operacional ou 
estratégico, uma vez que fornece condições para melhor comunicação entre setores decisórios de uma organização. 
• A P.O. é originária da Segunda Guerra Mundial, quando os cientistas ingleses, de várias disciplinas, se reuniram para resolver 
problemas militares de natureza tática e estratégica.
• O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. 
• Os aliados enfrentavam dificuldades logísticas e estratégicas, tentando gerenciar um enorme contingente de soldados, 
armas, aviões, tanques, pessoal de suporte, etc., e cientistas utilizaram métodos objetivos, numéricos, para determinar 
as melhores ações a serem tomadas. 
• Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem 
atividades semelhantes. 
• Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. 
Histórico da P.O.
Atualmente, sua principal utilização é como ferramenta nos processos de tomada de decisão no ambiente 
empresarial e nos negócios, tanto no setor privado como no setor público. A P.O. pode ser utilizada para 
resolver os seguintes problemas no ambiente organizacional:
• otimização de recursos;
• roteirização;
• localização;
• carteiras de investimento;
• alocação de pessoas;
• previsão de planejamento;
• alocação de verbas de mídia;
• determinação de mix de produtos;
• escalonamento e planejamento da produção;
• planejamento financeiro;
• análise de projetos e etc.
• Para iniciarmos o estudo de P.O., devemos coletar e organizar dados em sistemas de informação gerencial 
de maneira que os dados sejam transformados em informação.
Histórico da P.O.
O que são informações gerenciais :
• Indicadores de produção (plan/do)
• Indicadores de qualidade (Reprovados/total)
• Marketshare produtos/serviços (% de venda/produto)
• Tempo de estoque (tempo de estocagem/produto)
• Custo de transporte (km/produto)
• Pesquisa de campo (respostas/região)
Histórico da P.O.
Por ser uma ferramenta matemática, a P.O. nos dá condições para:
• Solucionar problemas reais; 
• Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas;
• Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da tecnologia bem 
como de métodos de outras áreas do conhecimento;
• Minimizar custos e maximizar o lucro;
• Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA PESQUISA 
OPERACIONAL
A utilização dessa ferramenta é dividida em seis fases: 
1. formulação do problema; 
2. construção do modelo; 
3. cálculo do modelo; 
4. teste do modelo e da solução; 
5. controle das soluções; e 
6. implantação e acompanhamento. 
Cada uma de suas seis fases para se encontrar a solução ótima.
1. Formulação do problema. Nessa fase, determinamos o objetivo, identificamos restrições e esboçamos 
possíveis caminhos a serem percorridos.
2. Construção do modelo. Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as equações e 
inequações, seja na função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. 
3. Resolução do modelo. Também chamada de cálculo do modelo. É nessa fase que encontramos a solução 
do modelo por meio da utilização de diversas técnicas, desde as mais simples para problemas. Alguns 
softwares permitem resolver problemas extremamente complexos com rapidez, confiabilidade e extremo rigor. 
Exemplos: da LINDO Systems: What'sBest!, LINGO, LINDO API; da Microsoft: Solver do Office Excel; da 
Maplesoft: MapleSim, Bordo, Global Optimization Toolbox; da OMP e da PLM, C-PLEX, QM for Windows, 
MOSEK, entre outros.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA PESQUISA 
OPERACIONAL
4. Teste do modelo e da solução. Durante essa fase, verificamos se os resultados encontrados atendem o 
modelo real do problema. 
5. Controle das soluções. Devemos identificar parâmetros e valores fixos que envolvem o problema. 
6. Implantação e acompanhamento. Nessa fase avaliamos os resultados, reavaliamos as restrições para fazer 
ajustes, se necessário, no modelo.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA PESQUISA 
OPERACIONAL
Modelagem Matemática
• Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando 
execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a 
aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do 
sistema.
• A Pesquisa Operacional (PO) é a área que analisa formas de modelar os sistemas do mundo real em termos 
matemáticos, para identificar mais claramente as relações entre diferentes elementos com o objetivo de 
melhorar ou otimizar seu desempenho. Ela faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos 
para identificar pontos de melhoria e ajudar na tomada de decisões empresariais.
• A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na representação do 
sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente representa o sistema real. A 
diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo depende diretamente da precisão do 
modelo em descrever o comportamento original do sistema.
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE MODELOS :
A utilização da modelagem no processo de tomada de decisões gera diversas vantagens:
• Modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos.
• Modelos forçam a identificação e armazenamento de diversas decisões que influenciam no atingimento dos 
objetivos.
• Modelos forçam a identificação de limitações.
• Modelos forçam a determinação de variáveis a serem consideradas e sua quantificação.
• Modelos permitem a comunicação e o trabalho em grupo.
Portanto, os modelos são ferramentas consistentes para o processo de avaliação e divulgação de políticas 
empresariais distintas.
Modelagem Matemática
Exercício 0
Um jovem está saindo com duas garotas : Maria e Luísa. Já descobriu, por exemplo, que :
Maria, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma 
saída de três horas custará R$80,00.
Luísa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três 
horas sairá por R$50,00.
Seu orçamento lhe permite dispor de R$460,00 por mês para diversão.
Se4us afazeres na UNIP lhe dão liberdade de, no máximo, 24 horas mensais para as garotas 
e, além disso consomem tanta energia que só lhe restam 40.000 calorias mensais para 
queimar com elas.
Cada saída com Maria consome 4.000 calorias, mas Luísa é fogo e com ela gasta o triplo.
Depois de algum tempo descobriu que gosta igualmente das duas.
Como planejar a sua vida social para obter o número máximo de saídas?
Resposta
VÁRIÁVEIS DE DECISÃO: 
• X1 = número de saídas com Mari;
• X2 = número de saídas com Luísa
Função objetivo:
Maximizar z = x1 + x2 
Restrições:
80x1 + 50x2 ≤ 460
3x1 + 3x2 ≤ 24
4x1 + 12x2 ≤40
x1 ≥ 0
X2 ≥0
Dinheiro Tempo Kcal
Maria R$ 80 3 4
Luísa R$ 50 3 12
Disponível R$ 460 3 40
Exercício 1
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema : foi descoberto 
que o programa “A” com 20’ de música e 1’ de propaganda chama a 
atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B” com 10’ 
de música e 1’ de propaganda chama atenção de 10.000. 
telespectadores.
No decorrerde uma semana, o patrocinador insiste no uso de pelo 
menos 5 minutos para sua propaganda e diz que há verba para mais do 
que 80’ de música.
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para 
obter o número máximo de telespectadores?
Resposta
Variáveis de decisão
x1 = frequência semanal do programa “A”
X2 = frequência semanal do programa “B”
Função objetiva :
Max Z = 30.000x1 + 10.000x2
Restrições :
1x1+1x2≥5
20x1+10x2 ≤ 80
x1≥0 ; x2≥0
Exercício 2
O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais 
econômica de aumentar em 30% a venda de seus produtos P1 e P2.
As alternativas são :
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo 
ramo. Este programa requer um investimento mínimo de $ 3.000 e deve 
proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto para cada 
$1.000 investido.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000 investidos 
em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o 
retorno é de 10%.
A empresa dispõe de $10.000 para este empreendimento. Quanto deverá 
destinar a cada atividade?
Resposta
Variáveis de decisão
X1 = quantidade em $1.000 para programa institucionais.
X2 = quantidade em $1.000 diretamente para P1.
X3 = quantidade em $1.000 diretamente para P2.
Função objetiva :
Min Z = 1.000x1+1.000x2+1.000x3
Restrições :
x1≥3
3x1+4x2 ≥30
3x1+10x3 ≥30
X1+x2+x3≤10
x1 ≥0
x2 ≥0
x3 ≥0
Exercício 3
No programa de produção para ao próximo período, a empresa Beta Ltda escolheu 
três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por 
unidade de produção :
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram 
estimadas em vista estes preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas 
de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três 
máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa 
ótimo de trabalho para o período.
Produto Lucro p/ 
unidade
Horas de 
trabalho
Horas de uso 
de máquinas
Demanda 
máxima
P1 2.100 6 12 800
P2 1.200 4 6 600
P3 600 6 2 600
Resposta
Variáveis de decisão
X1 = quantidade a produzir P1
X2 = quantidade a produzir P2
X3 = quantidade a produzir P3
Função objetivo :
Max Z = 2.100x1+1.200x2+600x3
Restrições :
6x1+4x2+6x3≤4.800
12x1+6x2+2x3 ≤7.200
x1 ≤800
x2 ≤600
x3 ≤600
x1≥0
x2 ≥0
x3 ≥0
Exercício 4
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para a 
sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 
R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssego a 
R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 
R$30,00 de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o 
caminhão para obter o máximo lucro?
Lucro # caixas
Laranjas 20 200
Pessegos 10 100
Tangerinas 30 200
800
Resposta
Variáveis de decisão
• X1 = quantidade de caixas de pêssego
• X2 = quantidade de caixas de tangerina
Função objetiva :
• Max Z = 10x1+30x2+4000
Restrições :
• X1+x2 ≤600
• x1 ≥100
• x2≤200
• x1 ≥0
• x2 ≥0
Exercício 5
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 
cintos por hora se fizer somente cintos. Ele gasta duas unidade de 
couro para fabricar uma unidade de sapato e uma unidade de couro 
para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível 
de couro é de 6 unidade e que o lucro unitário por sapato é de R$5,00 
e o do cinto é de R$2,00, pede-se : o modelo do sistema de produção 
do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Lucro #/hora MP
Sapatos 5 6 2
Cintos 2 5 1
6
Resposta
Variáveis de decisão
X1 = número de sapatos por hora
X2 = número de cintos por hora
Função objetivo :
Max Z = 5X1+2X2
Restrições :
10x1+12x2 ≤60
2x1+1x2 ≤6
x1≥0
x2 ≥0
Exercício 6
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário de P1 é 
de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é 1800 unidades 
monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade 
de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual 
disponível de produção para isso é de 1200 horas. A demanda esperada 
para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e de 30 unidades 
anuais de P2.
Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro 
nesses produtos? Construa o modelo de PL.
Quais as variáveis de decisão?
Lucro hora Demanda
P1 1000 20 40
P2 1800 30 30
1200
Variáveis de decisão :
X1 = Quantidade de P1
X2 = Quantidade de P2
Função objetivo :
Max Z = 1000x1+1800x2
Restrições :
20x1+30x2≤1200
x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2 ≥0
Exercício 6
Exercício 7
Uma padaria dispõe de 150kg de farinha, 22 kg de açúcar e 27,5kg de 
manteiga produzindo dois tipos de bolos, o A e o B. Para a produção de 
uma dúzia de bolos A gasta se 3 kg de farinha, 1 kg de açúcar e 1 kg de 
manteiga e para a produção de bolos B gasta se 6 kg de farinha, 0,5kg 
de açúcar e 1kg de manteiga. Supondo que o lucro resultante de 
produção de 1 dúzia de bolos tipo A é R$20,00 e que o lucro resultante 
da produção de 1 dúzia de bolo B é R$30,00. Quantas dúzias de bolos A 
e B deve a padaria produzir para maximizar o seu lucro?
Farinha Açucar Manteiga Lucro
A 3 1 1 20
B 6 0,5 1 30
150 22 27,5
Exercício 7
Variáveis de decisão :
X1 = Dúzias do bolo A
X2 = Dúzias do bolo B
Função objetiva :
Z = 20x1+30x2
Restrições :
3x1+6x2≤150
1x1+0,5x2 ≤22
1x1+1x2 ≤27,5
Exercício 8
Uma empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário de P1 é 
R$100,00e o lucro unitário de P2 é R$150,00. A empresa precisa de 2 
horas para fabricar um P1 e 3 horas para fabricar um P2. O tempo 
mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas 
esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os 
montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades 
de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do 
planejamento de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro 
da empresa.
Lucro Horas Demanda
P1 100 2 40
p2 150 3 30
120
Exercício 8
Variáveis de decisão
X1 = unidades produzidas por mês de P1
X2 = unidades produzidas por mês de P2
Função objetiva
Z=100x1+150x2
Restrições :
2x1+3x2 ≤120
x1 ≤40
x2 ≤30
x1≥0
x2 ≥0
Exercício 9
Uma rede de depósitos de materiais de construção tem quatro lojas que devem ser 
abastecidas com 50m3 (loja 1), 80m3 (loja 2), 40m3(loja 3) e 100m3(loja 4) de areia 
grossa. Esta areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distancias às 
lojas estão no quadro (em km) :
O caminhão pode transportar 10m3 por viagem. Os portos tem área para suprir 
qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distancia 
total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas.
L1 L2 L3 L4
P1 30 20 24 18
P2 12 36 30 24
P3 8 15 25 20
Exercício 9
Variáveis de decisão
X11 = numero de viagens do P1 a L1
X12 = numero de viagens do P1 a L2
X13 = numero de viagens do P1 a L3
X14 = numero de viagens do P1 a L4
X21 = numero de viagens do P2 a L1
X22 = numero de viagens do P2 a L2
X23numero de viagens do P2 a L3
X24 = numero de viagens do P2 a L4
X31 = numero de viagens do P3 a L1
X32 = numero de viagens do P3 a L2
X33 = numero de viagens do P3 a L3
X34 = numero de viagens do P3 a L4
Função Objetivo :
Min Z = 30x11+20x12+24x13+18x14+12x21+36x22+30x23+24x24+8x31+15x32+25x33+20x34
Sujeito a :
X11+x21+x31=5
X12+x22+x32=8
X13+x23+x33=4
X14+x24+x34=10
xij ≥0
Exercício 10
Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:
A (Arrendamento) : Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana de açúcar, a uma usina 
local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$300 por alqueire por ano.
P (Pecuária) : Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação 
(100kg/Alq) e irrigação (100.000 L/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400/alqueire por ano.
S (Plantio de Soja) : Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200kg por alqueire de 
adubos e 200.000 litros de agua/alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de 
R$500,00/alqueire por ano.
• Disponibilidade de recursos por ano :
• 12.750.000 Litros de água 
• 14.000 Kg de adubo
• 100 alqueire de terra
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno financeiro? Construa o 
modelo de decisão.
Exercício 10
Variáreis de decisão
• X1 = quantidade de alqueires para A
• X2 = quantidade de alqueires para P
• X3 = quantidade de alqueires para S
Função objetiva :
• Z=300x1+400x2+500x3
Restrições :
• X1+x2+x3 ≤100
• 0x1+100x2+200x3≤14000
• 0x1+1000x2+200000x3 ≤12750000
x1≥0
x2 ≥0
x3 ≥0