JOGOS MATEMÁTICOS

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JOGOS MATEMÁTICOS
Adilson
14.08.19
PROGRAMAÇÃO SEMESTRAL
1 Estudo de Funções
Conceito de funções:	- Domínio, contra domínio e imagem
			- Aplicações
2 Função do 1º Grau
Raízes e Gráficos
Aplicações:	- Custos
		- Receita
		- Lucro
		- Demanda
		- Oferta
3 Função do 2º Grau
Raízes e Gráficos
Máximos e Mínimos
Vértice
Aplicações:	- Máximos e Mínimos
		- Custo/Receita/Lucro
		- Demanda
4 Função Exponencial
Raízes e Gráficos
Equações Exponenciais
Aplicações:	- Crescimento e decrescimento populacional
		- Aplicações e investimentos
5 Função Logarítmica
- Logaritmo
- Gráfico
- Aplicações:	- Crescimento e decrescimento populacional
		- Cálculo do prazo de aplicações em investimento
6 Progressão Aritmética e Geométrica
- Estudo das sequências
- Aplicações e situações-problema
MÁQUINA DE PROCESSAR NÚMEROS
Todo número que entra na máquina tem que ser processado. Se a máquina é programada para duplicar, ela duplica TODO número que entra. Se entra 2, sai 4. Se entra 8, sai 16. E assim por diante.
X = número que entra na máquina.
Y = resultado do processamento
A máquina processa QUALQUER número.
Ex.: √2 -> 2√2
1/3 -> 2.1/3 ou 2/3
0,35 -> 0,70
1,666... -> 3,222...
Máquina 1
Entra o 2, sai 4. Entra -1, sai -2. Isso significa que todo número que entra, está sendo multiplicado por 2. Se entrar X, sai X vezes 2. Logo, y = 2.x
A(x)		B(y)
x = 2		y = 4
x = - 1		y = -2
x = 3		y = 6
x = 0		y = 0
	y = 2.x = LEI DA FUNÇÃO
Máquina 2
A(x)		B(y)
x = -3		y = -5
x = 0		y = -2
x = 1		y = -1
x = 5		y = 3
	y = x – 2
Ex.: √2 -> √2-2
Máquina 3
A(x)		B(y)
x = -4		y = 7
x = 0		y = 15
x = 2		y = 19
x = 1		y = 17
	y = 2x + 15
Máquina 4
A(x)		B(y)
x = -2		y = 5
x = 2		y = 5
x = 0		y = 1
x = 3		y = 10
	y = x² + 1
Máquina 5
A(x)		B(y)
x = 6		y = 2
x = 4		y = 3
x = 2		y = 6
x = 12		y = 1
	y = 12/x
O zero (0) não funciona nessa máquina porque não é possível dividir nenhum número por ele.
21.08.19
O que é uma função matemática?
É uma relação entre dois conjuntos numéricos A e B (não-vazios) na qual todos os elementos do conjunto de partida (entrada) estão relacionados com um elemento do conjunto de chegada (saída).
PARTIDA	CHEGADA
A (x)		B (y)
5		16
0		1
-2		-5
3		10
	y = 3x+1
A máquina não processa nenhum número dividido por zero! Se tiver zero em uma parte do A, ela trava e não processa nenhum outro número.
PARTIDA = A = {5; 0; 2; 3}
CHEGADA = B = {16; 1; -5; 10}
A (x)		B (y)
#		# (número)
#		#
#		#
#		#
É UMA FUNÇÃO. Todos os conjuntos em partida estão relacionados.
A (x)		B (y)
#		# 
#		#
#		#
#		#
#		
#		
NÃO É UMA FUNÇÃO. Todos os conjuntos em partida precisam se relacionar.
A (x)		B (y)
#		# 
#		#
#		#
#		#
#		#
#		#
Se tiver algum conjunto (número) em partida (A) que não se relacionou com um conjunto de chegada, NÃO É UMA FUNÇÃO.
A (x)		B (y)
#		# 
#		#
#		#
#		#
		#
		#
É UMA FUNÇÃO, porque os conjuntos de chegada não precisam estar todos relacionados, apenas os de partida.
A (x)		B (y)
#		# 
#		
#		#
#		#
		#
		#
É UMA FUNÇÃO, porque todos os conjuntos de partida estão relacionados, independente se dois números estão relacionados ao mesmo, porque dois números podem ter o mesmo resultado.
Exemplo: y = x²
2 -> 4
-2 -> 4
A (x)		B (y)
#		# 
#		#
#		#
#		#
#		#
É UMA FUNÇÃO, todos os conjuntos de partida estão relacionados.
A (x)		B (y)
		#
#		# 
#		#
#		#
#		#
É UMA FUNÇÃO, mesmo que um conjunto de partida se relacione com dois conjuntos de chegada.
A (x)		B (y)
3		6
5		10			É UMA FUNÇÃO DE A EM B
-1		-2				f = A B
0		0
2v3		4v3
		8
		9
		-5
Domínio A = {3; 5; -1; 0; 2v3}
Contra domínio (tudo em B) B = {6; 10; -2; 0; 4v3; 8; 9; -5}
Imagem (o que relacionou em B) Im = {6; 10; -2; 0; 4v3}
A (x)		B (y)
#		
#		
#		1	Im = {1}
#		
#		
A (x)		B (y)
#		# 
#		#	Contra domínio e Imagem ficam iguais.
#		#
#		#
LEI DA FUNÇÃO (ex.: y = 2x)
RESTAURANTE
Mesas		Lugares
1		4
2		6
3		8
4		10
y = 2x+2
Se eu tiver 50 mesas, quantos lugares terão?
y = 50 x 2 + 2
y = 102 lugares
Chegaram 242 pessoas. Quantas mesas são necessárias?
y = 242
y = 2x +2
2x + 2 = 242
2x = 242 – 2
2x = 240
x = 240/2
x = 120 mesas
TÁXI
Valor Fixo: R$10,00
Valor Variado: R$2,50 por Km rodado
1		12,50
2 		15,00
3		17,50
4		20,00
y = 10 + 2,50x
Se o passageiro pagou R$70,00, quantos Km ele rodou?
y = 70
y = 10 + 2,50x
10 + 2,50x = 70
2,50x = 70-10
2,50x = 60
x = 60/2,50
x = 24 km
O conceito de função [e estabelecido a partir das relações entre grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos e sociais.
As funções são classificadas de acordo com o “tipo” de expressão algébrica que representam.
- Função do 1º grau
- Função do 2º grau
- Função do 3º grau
- Função modular
- Função exponencial
- Função logarítmica, etc
M = 500
x = número de dias de atraso
Multa = 10 reais (já vai pagar de qualquer jeito porque já atrasou o pagamento)
0,40 por dia de atraso
M (x) = 510 + 0,4x
Valor fixo = 4,60
Valor variado = 0,96
Pagou 19,00
Y = 19
y = 4,60 + 0,96x
4,60 + 0,96x = 19
0,96x = 19 – 4,60
0,96x = 14,40
x = 14,40/0,96
x = 15km
Preço à vista = y
Preço normal = x
Desconto = 30% = 0,30
Se tem 30% de desconto, paga 70% do produto
y = 0,70x
y = 7000
0,70x = 7000
x = 7000/0,70
x = 10.000 PREÇO NORMAL
10.000 + 10% = 11.000
28.08.19
Funções
Y = ax +b
a e b são números reais, e A é diferente de 0
Y= 2x-1
y = ax + b
a= 2
b = -1
Y = 2,5x + 10
a = 2,5
b = 10
Y = 2x + 2
a = 2
b = 2
É uma função de 1º grau porque só tem uma variável (x).
A de 2º grau só tem uma variável mas elevada ao quadrado
y = 3x² + 5x – 1
FUNÇÃO CRESCENTE OU DESCRESCENTE E TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE POR UNIDADE (TV)
A taxa de variação sempre vai ser o “a”, ou seja, o número que acompanha o x na função.
Só função de 1º grau sempre tem a mesma taxa de variação por unidade.
y = 2x – 1
x		|		y
-2		|		-5
-1		|		-3
0		|		-1
1		|		1
2		|		3
aumenta +1		aumenta +2
Função crescente
TV = 2
y = 2x + 2
x		|		y
1		|		4
2		|		6
3		|		8
4		|		10
5		|		12
aumenta +1		aumenta +2
Função crescente
TV = 2
y = 2,5x + 10
x		|		y
0		|		10
1		|		12,5
2		|		15
3		|		17,5
4		|		20
aumenta +1		aumenta +2,5
Função crescente
TV = 2,5
y = -3x + 5
x		|		y
1		|		2
2		|		-1
3		|		-4
4		|		-7
aumenta +1		diminui 3
Função decrescente
TV = -3
y = 5x - 3
x		|		y
0		|		-3
1		|		2
2		|		7
3		|		12
aumenta +1		aumenta +5
Função crescente
TV = 5
y = -2,8x + 15
TV = -2,8
O número de bolas aumenta de 5 em 5, e o nível e água aumenta 0, 35 a cada 5 bolas.
Se tivéssemos 0 bolas, o nível de água seria 6 cm, que é o “valor fixo”.
Se o nível de água aumenta 0,35 cm a cada 5 bolas, então ele aumenta 0,07 cm POR BOLA.
Logo, TV = 0,07 por unidade
Resposta: y = 0,07x + 6
R$3,00 por hora x 40 horas por semana = 120 reais
hora extra 50%, ou seja, R$1,50
40h = 40x3 + 0 . 4,50 = 120
 0 porque 40-40
41h = 40x3 + 1 . 4,50 = 124,50
 1 porque 41-40
42h = 40x3 + 2 . 4,50 = 129
43h = 40x3 + 3 . 4,50 = 133,50
44h = 40x3 + 4 . 4,50 = 138
H = 40 x 3 + (h-40) . 4,50
S = 120 + 4,50 (h – 40)
S = 120 + 4,50 (45 – 40)
S = 120 + 22,5
S = 142, 50
A (x)		B (y)
-1		1
 -2
 5
3		9			
0		0				
5	 	15
 4
2		6
Domínio (f) = {-1; 3; 0; 5; 2}
Contra domínio = {1; -2; 5; 9; 0; 15; 4; 6}
Imagem (f) = {1; 9; 0; 15; 6}
F = a b
y = 3x² - 5x + 6
f (x) = 3x² - 5x + 6
y = f (x)
Determine
f (3)
3.3² - 5.3 + 6
3.9 – 15 + 6					
27 – 15 + 6					A (x)		B (y)
f (3) = 18					3		18
g (x) = 3x – 5
g(-5)
3.(-5) – 5
-15 – 5						A (x)		B (y)
g (-5) = -20					-5		-20
f (x) = x² + 2x +1 e g(x) = 5x +3
2.f (3) – 3.g (5)
f (3) = 3² + 2.3 + 1		g (5) = 5.5+3
9 + 6 + 1			25 +3
f (3) = 16			g (5) = 28
Então
2.f (3) – 3.g (5)
2.16– 3.28
32 – 84
2.f (3) – 3.g (5) = - 52
04.09.19
Exercício Plano de Saúde
A: y = 180 + 50x		B: y = 270 + 40x
y = 180 + 50.0 = 180	y = 270 + 40.0 = 270
y = 180 + 50.1 = 230	y = 270 + 40.1 = 310
y = 180 + 50.2 = 280	y = 270 + 40.2 = 350
y = 180 + 50.3 = 330	y = 270 + 40.3 = 390
 y = 180 + 50.9 = 630	y = 270 + 40.9 = 630
 y = 180 + 50.10 = 680	y = 270 + 40.10 = 670
O plano A é mais econômico até 8 consultas, em 9 consultas eles se equivalem, e a partir de 10 consultas o plano B é mais econômico.
EQUIVALÊNCIA
A = B
180 + 50x = 270 + 40x
50x – 40x = 270 – 180
10x = 90
x = 90/10
x = 9
Quando x < 9 o plano A é mais vantajoso.
Quando x > 9 o plano B é mais vantajoso.
FUNÇÃO CUSTO
C(x) = Cf + Cv.x
C(x) = Função Custo
Cf = Custo Fixo
Cv = Custo Variável por unidade
x = unidades produzidas
FUNÇÃO RECEITA
R(x) = p.x
R(x) = Função Receita
p = preço de venda ou demanda
x = unidades vendidas
FUNÇÃO LUCRO
L(x) = R(x) – C(x)
ou L(x) = p.x – Cv – Cv.x
L(x) = Função Lucro
R(x) = Função Receita
C(x) = Função Custo
Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de R$ 6000,00 e, em material, gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 175,00.
A - Qual a Função Custo Total C(x) e qual o custo referente a 50 unidades?
Cf = 6000
Cv = 25 por unidade
C(x) = Cf + Cv.x
C(x) = 6000 + 25x
C(50) = 6000 + 25.50
C(50) = 6000 + 1250
C(50) = 7250
B - Qual a Função Receita Total R(x) e qual a receita referente a 50 unidades?
P = 175
R(x) = p.x
R(x) = 175.x
R(50) = 175.50
R(50) = 8750
C - Qual a Função Lucro Total C(x) e qual o lucro referente a 50 unidades?
L(x) = R(x) – C(x)
L(50) = 8750 – 7250
L(50) = 1500
OU
L(x) = 175.x – 6000 – 25.x
L(x) = 150x – 6000
L(50) = 150.50 – 6000
L(50) = 7500 – 6000
L(50) = 1500
É possível mudar o lucro total com outro valor de unidade sem refazer todas as fórmulas.
Por exemplo:
L(90) = 150.90 – 6000
L(90) = 13500-6000
L(90) = 7500
PONTO DE EQUILÍBRIO
É quando não tem lucro nem prejuízo, quando a receita é igual ao custo.
D - Qual o PE (Ponto de Equilíbrio) 
C(x) = R(x)
175x – 25x = 6000
150x = 6000
x = 6000/150
x = 40 unidades
11.09.19
Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de R$25000,00 e, em material, gasta R$50,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$200,00.
A – Função Custo Total
C(x) = 25000 + 50.x
Se X = 10
C(10) = 25000 + 50.10
C(10) = 25000 + 500
C(10) = 255000
B – Função Receita Total
R(x) = 200.x
Se x = 150
R(150) = 200.150
R(150) = 30000
C – Função Lucro Total
L(x) = 200x – 25000 – 50.x
L(x) = 150x – 25000 
Se ele produzir e comercializar 800 unidades
L(800) = 150.800 – 25000
L(800) = 120000 – 25000
L(800) = 95000
Ou
C(800) = 25000 + 50.800
C(800) = 25000 + 40000
C(800) = 65000
R(800) = 200.800
R(800) = 160000
L(800) = 160000 – 65000
L(800) = 95000
D – Ponto de Equilíbrio
R(x) = C(x)
x = 50
200.x = 25000 + 50.x
200x – 50x = 25000
150x = 25000
x = 25000/150
x = 166,7 = 167 unidades
Se ele quiser 100.000 de lucro, quanto ele precisa vender?
L(x) = 150.x – 25000
L(x) = 100.000
150.x – 25000 = 100.000
150x = 100.000 + 25000
150x = 125.000
x = 125.000/150
x = 833 unidades para ter 100.000 de lucro.
18.09.19
GRÁFICO DE FUNÇÃO DO 1º GRAU
			
 crescente					decrescente
y = 2x – 4
crescente porque é positivo (+2x)
x | y
0 | -4	(0, -4)
2 | 0	(2, 0)
y = -3x + 1
decrescente (-3x)
x | y
1 | -2	(1, -2)
2 | -5	(2, -5)
y = x -2
x | y
3 | 1	(3, 1)
5 | 3	(5, 3)
E quando tem o gráfico e precisa descobrir a função?
A (1, 1)
B (3, 5)
Isso significa que
x | y
1 | 1	(1, 1) entra 1, sai 1
3 | 5	(3, 5) entra 3, sai 5
y = a.x + b					y = a.x + b
a = 1						a = 3
y = 1						y = 5
1 = a.1 + b					5 = a.3 + b
a + b = 1					3ª = b = 5
1a + b = 1
3a + b = 5 -
-2a = -4
a = -4/-2
a = 2
Volta na função: a + b = 1 e substitui o A
2 + b = 1
b = 1 – 2
b = -1
a = 2
b = -1
y = 2x – 1
Ou seja, quando x é 1 fica 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 (y), quando x é 3 fica 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5 (y)
A (2, -3,5)
B (0, 2,5)
Isso significa que
x | y
2 | -3,5
0 | 2,5 
y = a.x + b					y = a.x + b
y = -3,5						y = 2,5
x = 2						x = 0
- 3,5 = a.2 + b					2,5 = a.0 + b
			2a + b = -3,5
			0a + b = 2,5 -
			2a = -6
			a = -3
			0a + b = 2,5
			b = 2,5
y = -3x + 2,5
A (1, 1)
B (-1, -5)
Isso significa que
x | y
1 | 1
-1 | -5 
y = ax + b					y = ax + b
y = 1						y = -5
x = 1						x = -1
1 = a.1 + b					-5 = a.(-1) + b
1a + b = 1
	-1a + b = -5 -
	2a = 6
	a = 3
1a + b = 1
1.3 = b + 1
3 = b + 1
b = 1 – 3
b = -2
Nesse caso, também poderia ter feito + ao invés de – pra poder anular o A e descobrir o B. Assim:
1a + b = 1
	-1a + b = -5 +
	2b = -4
	b = -2
1a + b = 1
1a -2 = 1
1a = 1 + 2
a = 3
y = 3x -2
A (1, 2)
B (3, -2)
Isso significa que
x | y
1 | 2
3 | -2
Y = ax + b					y = ax + b
y = 2						y = -2
x = 1						x = 3
2 = a.1 + b					-2 = a.3 + b
			1a + b = 2
			3a + b = -2 -
			-2a = 4
			a = 4/-2
			a = -2
2 = a.1 + b
2 = -2 + b
b = 2 + 2
b = 4
Y = -2x + 4
25.09.19
OFERTA E DEMANDA
Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores procurarão menos.
Demanda ou procura é a quantidade de determinado bem ou serviço que os consumidores desejam adquirir, num período.
A oferta é a quantidade de determinado bem ou serviço que os produtores e vendedores desejam vender em determinado período. O preço em uma economia de mercado é determinado tanto pela oferta como pela procura.
A Oferta Agregada representa o que as empresas, no seu conjunto, estão disposta a produzir e a vender para cada nível geral de preços, assumindo como constantes todas as restantes variáveis determinantes da oferta agregada tais com as tecnologias disponíveis e as quantidades e preços dos fatores produtivos.
PONTO DE EQUILÍBRIO
O equilíbrio de mercado de um bem ou serviço é um ponto único, no qual a quantidade que os consumidores desejam comprar é exatamente igual à quantidade que os produtores desejam vender. Quando ocorre excesso de oferta, os vendedores acumularão estoques não planejados e terão que diminuir seus preços, concorrendo pelos escassos consumidores. No caso de excesso de demanda, os consumidores estarão dispostos a pagar mais pelos produtos escassos.
Quando o preço de cada bicicleta é $160,00; então 20 bicicletas são vendidas, mas se o preço é R$150,00, então 25 bicicletas são vendidas. Encontre a equação de demanda. 
A (20, 160)
B (25, 150)
Y = ax + b			y = ax + b
160 = 20a + b			150 = 25a + b
		20a + b = 160
		25a + b = 150 -
		-5a = 10
		a = -2
160 = 20.(-2) + b
160 = -40 + b
160 + 40 = b
b = 200
Y = -2x + 200
Em relação à oferta, quando o preço de cada bicicleta é R$200,00, então 20 bicicletas estão disponíveis no mercado; mas quando o preço for R$220,00, então 30 bicicletas estão disponíveis no mercado. Qual a equação de oferta? 
A (20, 200)
B (30, 220)
Y = ax + b				y = ax + b
200 = 20a + b				200 = 30a + b
		20a + b = 200
		30a + b = 220 -
		-10a = -20
		a = 2
200 = 20.2 + b
200 = 40 + b
200 – 40 = b
b = 160
Y = 2x + 160
Ache o ponto de equilíbrio de mercado para as equações de demanda e oferta determinadas e faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, assinalando o ponto de equilíbrio.
Oferta = demanda 
-2x + 200 = 2x + 160
-2x -2x = 160 – 200
-4x = -40
x = 10