Modulo1 - Representação de estados e matriz de transferência

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Mo´dulo 1
Representac¸a˜o de Estados e Matriz de Transfereˆncia
1 Representac¸a˜o por varia´veis de estado
Um sistema linear invariante no tempo pode ser representado por sua func¸a˜o de trans-
fereˆncia, ou de forma alternativa pela sua representac¸a˜o de estados. Uma func¸a˜o de
transfereˆncia de ordem n (isto e´, com n po´los) esta´ associada a` uma equac¸a˜o diferencial
de ordem n. Por exemplo, se y(t) e´ a sa´ıda do sistema e u(t) a entrada temos a relac¸a˜o
d2y(t)
dt2
+ a1
dy(t)
dt
+ a2y(t) = b0u(t), Y (s)
U(s)
=
b0
s2 + a1s+ a2
(1)
Uma representac¸a˜o de estados esta´ associada a` uma transformac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
de ordem n em um conjunto de n equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem, o que pode
ser feito atrave´s de transformac¸o˜es de varia´veis. Por exemplo para o sistema acima basta
definir as transformac¸o˜es de varia´veis
x1(t) = y(t) , x2(t) =
dy(t)
dt
(2)
que podemos representa´-lo atrave´s de duas equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem nas
varia´veis x1(t) e x2(t).∑
x˙1(t)
x˙2(t)
∏
=
∑
0 1
°a2 °a1
∏ ∑
x1(t)
x2(t)
∏
+
∑
0
b0
∏
u(t) (3)
y(t) =
£
1 0
§ ∑ x1(t)
x2(t)
∏
(4)
A notac¸a˜o x˙ = dx(t)dt sera´ sempre utilizada daqui por diante. As varia´veis x1(t), x2(t)
recebem o nome de varia´veis de estado e o conjunto de equac¸o˜es diferenciais de primeira
ordem em (3) e´ conhecido por equac¸o˜es de estado. Juntas, as varia´veis, as equac¸o˜es de
estado (3) e a equac¸a˜o que define a varia´vel de sa´ıda (4), sa˜o chamadas de representac¸a˜o
de estado do sistema. A primeira equac¸a˜o (3) e´ a equac¸a˜o de dinaˆmica e expressa como
o sinal de entrada afeta as varia´veis de estado e a segunda e´ a equac¸a˜o de sa´ıda e expressa
quais varia´veis de estado esta˜o dispon´ıveis na sa´ıda do sistema (tipicamente atrave´s de
medic¸o˜es efetuadas no sistema). Observe que na func¸a˜o de transfereˆncia a dinaˆmica
do sistema esta´ associada aos po´los que dependem dos coeficientes a1, a2 enquanto na
representac¸a˜o de estados a dinaˆmica esta´ associada a` matriz da equac¸a˜o de estados que
conte´m os mesmos coeficientes.
Formalmente, o estado de um sistema e´ o menor conjunto de varia´veis capaz de
descrever o comportamento do mesmo, dados o sinal de entrada e a condic¸a˜o inicial
quaisquer. Assim, o estado de um sistema num instante t qualquer e´ determinado de
1
forma u´nica pelo modelo levando-se em conta o estado inicial e a entrada aplicada ate´ o
instante t em questa˜o. Normalmente o conjunto de varia´veis de estado e´ apresentado na
forma de um vetor, como em (3), e recebe o nome de vetor de estado. O termo espac¸o
de estado e´ usado para definir o espac¸o cujos eixos coordenados sa˜o as pro´prias varia´veis
de estado. Assim a evoluc¸a˜o das varia´veis de estado no tempo pode ser vista como uma
trajeto´ria no espac¸o de estado que comec¸a no estado inicial e evolui de acordo com a
dinaˆmica do sistema, regida pelas equac¸o˜es de estado e pelo sinal de entrada.
As varia´veis e equac¸o˜es de estado surgem naturalmente quando usamos as leis esta-
belecidas pela f´ısica, qu´ımica, biologia, etc, para representar os fenoˆmenos da natureza.
Quando este procedimento se mostra invia´vel podemos usar me´todos que determinam
o modelo mais adequado ao conjunto de dados entrada-sa´ıda que coletamos do sistema
em questa˜o. Este procedimento e´ conhecido como identificac¸a˜o de sistemas. Nesse curso
usaremos a primeira abordagem para obter a representac¸a˜o do sistema.
1.1 Exemplo: sistema de 4 tanques
O sistema de quatro tanques descrito nesta sec¸a˜o se encontra detalhado em [1]. As
equac¸o˜es abaixo descrevem a evoluc¸a˜o dos n´ıveis h1(t), h2(t), h3(t), h4(t) dos quatro tan-
ques em func¸a˜o das tenso˜es v1(t), v2(t) aplicadas nas duas bombas que alimentam o sis-
tema. Cada equac¸a˜o representa a variac¸a˜o de volume de cada tanque em func¸a˜o das
vazo˜es que nele entram e saem. Por exemplo no tanque 1 temos que a variac¸a˜o de volume
e´ o produto da sec¸a˜o do tubo A1 pela variac¸a˜o de altura do l´ıquido no tanque h˙1. A
vaza˜o produzida pela bomba 1 e´ k1v1 onde k1 e´ a constante da bomba e v1 a tensa˜o nela
aplicada. ∞1% dessa vaza˜o e´ jogada no tanque 1 e o restante (1 ° ∞1)% no tanque 4. A
vaza˜o que o tanque 1 perde por escoamento para o reservato´rio e´ a1
p
2gh1 onde a1 e´ a
sec¸a˜o do orif´ıcio do tanque 1. A vaza˜o que o tanque 1 recebe do tanque 3 por escoamento
e´ a3
p
2gh3, onde a3 e´ a sec¸a˜o do orif´ıcio do tanque 3. As demais equac¸o˜es sa˜o obtidas de
forma similar.
A1
dh1
dt
= °a1
p
2gh1 + a3
p
2gh3 + ∞1k1v1
A2
dh2
dt
= °a2
p
2gh2 + a4
p
2gh4 + ∞2k2v2
A3
dh3
dt
= °a3
p
2gh3 + (1° ∞2)k2v2
A4
dh4
dt
= °a4
p
2gh4 + (1° ∞1)k1v1
As varia´veis h1(t), h2(t), h3(t), h4(t) sa˜o as varia´veis de estado do sistema; as tenso˜es
v1, v2 sa˜o as varia´veis de controle. Na forma matricial podemos representar as equac¸o˜es
acima como h˙ = f(h, v) onde
h =
2664
h1(t)
h2(t)
h3(t)
h4(t)
3775 , v = ∑ v1(t)v2(t)
∏
, f =
2664
f1(t)
f2(t)
f3(t)
f4(t)
3775 =
26664
° a1A1
p
2gh1 +
a3
A1
p
2gh3 +
∞1k1
A1
v1
° a2A2
p
2gh2 +
a4
A2
p
2gh4 +
∞2k2
A2
v2
° a3A3
p
2gh3 +
(1°∞2)k2
A3
v2
° a4A4
p
2gh4 +
(1°∞1)k1
A4
v1
37775
(5)
2
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Para obter a equac¸a˜o de sa´ıda do sistema devemos escolher quais varia´veis de estado sera˜o
medidas e quais temos interesse em controlar. No sistema acima vamos controlar e medir
o n´ıvel dos tanques 1 e 2. O medidor de n´ıvel utilizado em [1] fornece uma medida em
volts na raza˜o de 0.5 volts por cent´ımetro de altura. Assim podemos escrever a equac¸a˜o
de sa´ıda como
¥(t) =
∑
¥1(t)
¥2(t)
∏
=
∑
kc h1(t)
kc h2(t)
∏
(6)
onde ¥ e´ o vetor de medidas e kc = 0.5 e´ o ganho do medidor em volts/cm. Juntas, as
equac¸o˜es (5),(6) formam a representac¸a˜o de estados do sistema.
Observe que para sistemas na˜o lineares, como e´ o caso acima, na˜o podemos obter
a representac¸a˜o por func¸a˜o de transfereˆncia pois esta se aplica somente para sistemas
lineares invariantes no tempo. No entanto, quando o sistema na˜o linear opera numa
vizinha pro´xima do ponto de operac¸a˜o desejado, podemos aproximar o comportamento do
sistema na˜o-linear por um linear e neste caso podemos construir a func¸a˜o de transfereˆncia
associada ao modelo linear.
1.2 Pontos de equil´ıbrio
E´ comum em sistemas de controle se desejar que na situac¸a˜o de regime permanente
o sistema apresente todas as varia´veis de estado constantes. Quando isto ocorre dizemos
que o sistema esta´ em equil´ıbrio e o valor das varia´veis de estado nesta situac¸a˜o recebe o
nome de Ponto de equil´ıbrio. Para que no equil´ıbrio as varia´veis de estado tenham o
valor desejado, isto e´ tenham o ponto de equil´ıbrio desejado, o sistema deve ser projetado
adequadamente. Dificilmente podemos escolher o valor de todas as varia´veis de estado
no equil´ıbrio. Isto ocorre porque os pontos de equil´ıbrio de um sistema sa˜o obtidos a
partir da equac¸a˜o equac¸a˜o de estado h˙ = f(h, v) fazendo-se h˙ = 0, pois desejamos a
situac¸a˜o onde as varia´veis de estado sa˜o constantes. Da´ı todo ponto de equil´ıbrio do
sistema acima satisfaz a relac¸a˜o alge´brica f(h, v) = 0. Uma vez fixado o valor do controle
no equil´ıbrio, digamos v¯, o estado h¯ no equil´ıbrio correspondente sera´ dado pela equac¸a˜o
f(h¯, v¯) = 0. Veja o exemplo do sistema de quatro tanques apresentado acima. Igualando
h˙i = 0 obtemos as seguintes relac¸o˜es no equil´ıbrio:
h¯4 =
1
a422g
(1° ∞1)2k12v¯21 (7)
h¯3 =
1
a322g
(1° ∞2)2k22v¯22 (8)
h¯2 =
1
a222g
[(1° ∞1)k1v¯1 + ∞2k2v¯2] 2 (9)
h¯1 =
1
a122g
[(1° ∞2)k2v¯2 + ∞1k1v¯1] 2 (10)
Observe que ao fixarmos os controles v¯1, v¯2 teremos os quatro estados no equil´ıbrio in-
dicado acima. Portantona˜o podemos escolher os quatro estados no equil´ıbrio de forma
independente pois pode na˜o existir um controle que leve ao equil´ıbrio desejado.
3
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1.3 Linearizac¸a˜o de sistemas
Uma vez escolhido o ponto de equil´ıbrio do sistema, podemos obter por linearizac¸a˜o
um modelo simplificado que descreve o comportamento do sistema nas proximidades desse
ponto. Para que possamos linearizar um sistema h˙ = f(h, v) no entorno de um dado ponto
de equil´ıbrio h¯, v¯ precisamos que o modelo na˜o linear tenha algumas caracter´ısticas, como
por exemplo a func¸a˜o f(h, v) deve ser anal´ıtica no ponto de equil´ıbrio desejado h¯, v¯, isto
e´, continuamente diferencia´vel nesse ponto. Com isso podemos expandir a func¸a˜o por
se´rie de Taylor e a aproximac¸a˜o linear e´ obtida desprezando-se os termos de ordem 2 ou
mais. Geometricamente essa aproximac¸a˜o corresponde a aproximar uma curva pela reta
tangente a` ela no ponto em questa˜o.
Para func¸o˜es escalares de mais de uma varia´vel a linearizac¸a˜o deve ser feita em relac¸a˜o
a` todas as varia´veis. Por exemplo, a linearizac¸a˜o da func¸a˜o escalar f(x) no ponto x¯ =£
x¯1 x¯2 · · · x¯n
§0
e´ dada pela expressa˜o:
f(x) º f(x¯) +
nX
i=0
@f(x¯)
@xi
(xi ° x¯i) (11)
A notac¸a˜o @f(x¯)@xi indica derivada parcial de f em relac¸a˜o a` xi calculada no ponto x¯. Ao
inve´s de uma curva, f(x) representa agora uma hiper-superf´ıcie, e sua aproximac¸a˜o um
hiperplano tangente a` f no ponto x¯.
Para func¸o˜es f(x) vetoriais a linearizac¸a˜o e´ feita para todas as componentes fi(x) do
vetor f(x) da mesma forma indicada acima. Este procedimento nos leva a` uma matriz de
derivadas primeiras que recebe o nome de matriz jacobiana, aqui representada por J(f,x)
e definida da seguinte forma:
J(f,x) =
0B@
@f1
@x1
@f1
@x2
· · · @f1@xn
...
. . .
...
@fn
@x1
@fn
@x2
· · · @fn@xn
1CA para x = x¯ (12)
Assim, a aproximac¸a˜o linear de f(x) no ponto x¯ e´ dada por
f(x) º f(x¯) + J(f,x)(x° x¯) (13)
Veja que cada componente do vetor f(x) em (13) tem a forma (11).
Para um sistema descrito por
h˙ = f(h, v) (14)
onde h e´ o estado e v representa um sinal de atuac¸a˜o externo, a linearizac¸a˜o em torno
do ponto de equil´ıbrio (h¯, v¯) e´ obtida fazendo-se, como anteriormente, a linearizac¸a˜o em
relac¸a˜o a` todas as varia´veis que resulta em
f(h, v) º f(h¯, v¯) + J(f,h)(h° h¯) + J(f,v)(v ° v¯) = J(f,h)x+ J(f,v)u
onde o estado x = h° h¯ e controle u = v ° v¯ do sistema linearizado indicam a variac¸a˜o
do estado e controle na˜o-lineares em relac¸a˜o ao equil´ıbrio. Note que o termo f(h¯, v¯) da
igualdade e´ nulo, pois h˙ = f(h, v) = 0 no equil´ıbrio h¯, v¯. Como x = h ° h¯ temos x˙ = h˙
pois h¯ e´ constante. Da´ı temos a aproximac¸a˜o linear dada por x˙ = J(f,h)x+ J(f,v)u.
De forma similar podemos linearizar a equac¸a˜o que define o vetor de medidas do sis-
tema. Por exemplo, se denotarmos o vetor de medidas pela func¸a˜o ¥(h, v), a linearizac¸a˜o
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desta e´ dada por ¥ º ¥(h¯, v¯) + J(¥,h)(h ° h¯) + J(¥,v)(v ° v¯). Assim o sistema linearizado
fica Ω
x˙ = Ax+Bu
y = Cx+Du
x = h° h¯
u = v ° v¯
y = ¥ ° ¥¯
A = J(f,h)
B = J(f,v)
C = J(¥,h)
D = J(¥,v)
(15)
onde y = ¥ ° ¥¯ e´ a variac¸a˜o do sinal medido em relac¸a˜o ao seu valor no equil´ıbrio
¥¯ = ¥(h¯, v¯). A ana´lise da estabilidade do sistema linearizado em torno de h¯ e´ feita
olhando-se para os autovalores de J(f,h).
E´ importante salientar que o modelo linearizado e´ fruto de uma aproximac¸a˜o e que
esta aproximac¸a˜o pode ser grosseira para trajeto´rias de estado na˜o muito pro´ximas do
ponto de equil´ıbrio usado na linearizac¸a˜o. Note que a estabilidade do sistema linear
implica que na auseˆncia de sinais externos, i.e. u = 0, o estado converge para a origem
em regime permanente. Logo, para pequenas flutuac¸o˜es do ponto de equil´ıbrio provocadas
por sinais externos, a estabilidade do sistema linearizado e´ uma garantia de que o estado
do sistema na˜o linear (sistema real) retorna ao equil´ıbrio usado na linearizac¸a˜o quando
os sinais externos cessarem. Observe que x = 0,v = 0 implicam h = h¯ e v = v¯.
Por exemplo, o sistema de 4 tanques [1] linearizado no ponto de equil´ıbrio h¯ =£
h¯1 · · · h¯4
§0
, v¯ =
£
v¯1 v¯2
§0
e´ dado por (15) com
A =
2664
° 1T1 0 A3A1T3 0
0 ° 1T2 0 A4A2T2
0 0 ° 1T3 0
0 0 0 ° 1T4
3775 , B =
26664
∞1k1
A1
0
0 ∞2k2A2
0 (1°∞2)k2A3
(1°∞1)k1
A4
0
37775 ,
C =
∑
kc 0 0 0
0 kc 0 0
∏
D = 0
(16)
onde Ti sa˜o as constantes de tempo do sistema dadas por
Ti =
Ai
ai
s
2h¯i
g
i = 1, . . . , 4 (17)
E´ importante observar que as constantes de tempo, e portanto as matrizes do modelo
linearizado, sa˜o em geral diferentes para cada ponto de equil´ıbrio (h¯, v¯) escolhido. Para
mais detalhes sobre linearizac¸a˜o veja, por exemplo [2].
1.4 Matriz de Transfereˆncia, po´los e zeros
Sistemas lineares invariantes no tempo podem ser descritos pela representac¸a˜o de
estados ou de forma equivalente pela sua func¸a˜o de transfereˆncia. No caso multivaria´vel
a func¸a˜o de transfereˆncia e´ uma matriz que define a relac¸a˜o de cada entrada para cada
sa´ıda do sistema. Para obter a matriz de transfereˆncia aplicamos a transformada de
Laplace nas equac¸o˜es que definem a dinaˆmica temporal do sistema. Por exemplo, para o
sistema linearizado (15) temos:
L{x˙} = L{Ax+Bu} (18)
sX(s)° x(0) = AX(s) +BU(s)
Como a func¸a˜o de transfereˆncia expressa a relac¸a˜o entrada-sa´ıda para condic¸o˜es iniciais
nulas, vamos assumir x(0) = 0 que resulta em (sI ° A)X(s) = BU(s) ou seja, o estado
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do sistema e´ dado por
X(s) = (sI ° A)°1BU(s) (19)
Tomando agora a transformada da equac¸a˜o de sa´ıda temos
L{y} = L{Cx+Du} (20)
Y (s) = CX(s) +DU(s)
Como o estado X(s) e´ dado por (19) a sa´ıda Y (s) fica
Y (s) = C((sI ° A)°1BU(s)) +DU(s) = (C(sI ° A)°1B +D)U(s) (21)
A matriz
G(s) = C(sI ° A)°1B +D (22)
expressa a relac¸a˜o entrada-sa´ıda do sistema e recebe o nome de func¸a˜o de transfereˆncia.
Por exemplo, a func¸a˜o de transfereˆncia de U(s) para Y (s) no sistema linearizado (16) e´
dada por
G(s) = C(sI ° A)°1B +D =
"
∞1c1
1+sT1
(1°∞2)c1
(1+sT1)(1+sT3)
(1°∞1)c2
(1+sT2)(1+sT4)
∞2c2
1+sT2
#
(23)
onde c1 = T1k1kc/A1 e c2 = T2k2kc/A2.
Definic¸a˜o 1 (Po´los) Um nu´mero complexo s e´ um po´lo de G(s) se ele e´ um po´lo de
pelo menos uma das func¸o˜es de transfereˆncia que compo˜e a matriz G(s), isto e´, um dos
elementos de G(s).
Podemos facilmente relacionar os po´los de G(s) com os autovalores da matriz de
dinaˆmica do sistema (matriz A da representac¸a˜o de estados). A inversa de uma matriz
pode ser expressa, com aux´ılio do seu determinante e sua matriz cofatora transposta,
atrave´s da fo´rmula
(sI ° A)°1 = 1
det(sI ° A)(cof(sI ° A))
0
Os elementos da matriz cofatora sa˜o polinoˆmios de ordem n ° 1 na varia´vel s, onde n
e´ o nu´mero de varia´veis de estado. Logo na˜o existem po´los na matriz cofatora pois na˜o
existe denominador em nenhum elemento da cofatora. Assim, todo po´lo de G(s) vem da
divisa˜o da cofatora pelo polinoˆmio det(sI °A). Se na˜o existir cancelamento de ra´ızes de
det(sI °A) com ra´ızes dos elementos da cofatora enta˜o toda ra´ız de det(sI °A) sera´ um
po´lo de G(s). Como as ra´ızes do polinoˆmio det(sI ° A) sa˜o os autovalores da matriz A
chegamos a seguinte conclusa˜o:
Todo po´lo de G(s) = C(sI ° A)°1B +D e´ um autovalor da matriz A. Pore´m, devido a
poss´ıveis cancelamentos, nem todo autovalor da matriz A sera´ obrigatoriamente um
po´lo de G(s).
Veja que no sistema de quatro tanques (23) todos os autovalores da matriz A sa˜o po´los
de G(s) e os po´los de cada um dos elementos da matriz G(s) sa˜o um subconjunto dos
autovalores de A.6
Definic¸a˜o 2 (Zeros) Zero de um sistema multivaria´vel e´ todo valor da varia´vel s que
anula a sa´ıda Y (s) (ou uma combinac¸a˜o dos elementos de Y (s)).
Essa definic¸a˜o de zeros e´ coerente com a definic¸a˜o usual para sistemas SISO1 onde zeros
sa˜o as ra´ızes do numerador da func¸a˜o de transfereˆncia. Veja que se G(s0) = 0 enta˜o a
sa´ıda tambe´m e´ nula para s = s0 pois Y (s0) = G(s0)U(s0). A situac¸a˜o de sa´ıda nula, vista
a partir da func¸a˜o de transfereˆncia ou da representac¸a˜o de estados, pode levar a resultados
diferentes, pois como vimos alguns autovalores da matriz de dinaˆmica do sistema podem
na˜o aparecer na func¸a˜o de transfereˆncia se existem cancelamentos po´lo-zero. Esses zeros
cancelados tambe´m fazem a sa´ıda ser nula pois o cancelamento deve ocorrer em todos os
elementos da matriz de transfereˆncia.
Se definimos zero de um sistema multivaria´vel a partir da func¸a˜o de transfereˆncia
chegamos a` definic¸a˜o de zeros de transmissa˜o.
Definic¸a˜o 3 (Zeros de transmissa˜o) Dizemos que s0 e´ um zero de transmissa˜o de
G(s) se G(s0) na˜o possui posto completo2.
Uma consequeˆncia da definic¸a˜o acima e´ que, para um sistema com q entradas e r sa´ıdas,
se G(s) 2 Cr£q na˜o possui posto completo para algum s = s0 enta˜o:
(i) r > q e existe um vetor coluna v de dimensa˜o q tal que G(s0) v = 0.
(ii) r < q e existe um vetor linha w de dimensa˜o r tal que wG(s0) = 0.
(iii) r = q e det(G(s0)) = 0.
Veja na definic¸a˜o acima que se G(s) na˜o tem posto completo para algum s = s0 enta˜o
podemos encontrar um sinal de entrada v = U(s0) que pertence ao espac¸o nulo3 G(s0)
e dessa forma a sa´ıda y(s0) = G(s0)v sera´ nula para a entrada v nos casos (i), (iii). No
caso (ii) e´ uma combinac¸a˜o das sa´ıdas que se anula pois w y(s0) = wG(s0)U(s0) sera´
nula para qualquer entrada.
A condic¸a˜o de sa´ıda nula vista a partir das equac¸o˜es de estado leva a` definic¸a˜o de
zeros invariantes.
Impondo Y (s) = 0 em (20) e levando em conta (18) temos as seguintes condic¸o˜es:
(sI ° A)X(s)°BU(s) = 0 e CX(s) +DU(s) = 0. De forma compacta temos
R(s)
∑
X(s)
U(s)
∏
= 0 , onde R(s) =
∑
sI ° A °B
C D
∏
Definic¸a˜o 4 (Zeros invariantes) Um nu´mero complexo s0 e´ chamado de zero invari-
ante de uma representac¸a˜o de estados se a matriz R(s) acima na˜o tem posto completo
para s = s0.
Veja que R(s) 2 Cr+n£q+n onde n, q, r sa˜o o nu´mero de estados, entradas e sa´ıdas
respectivamente. Se R(s) na˜o tem posto completo para s = s0 enta˜o:
1Sistemas SISO (single-input single-output) sa˜o sistemas com uma entrada e uma sa´ıda, ou seja, a
func¸a˜o de transfereˆncia e´ escalar. Sistemas com mais de uma entrada ou sa´ıda sa˜o chamados de MIMO
(multi-input multi-output).
2Posto de uma matriz e´ o maior nu´mero de linhas ou colunas linearmente independentes. Uma matriz
tem posto completo quando o nu´mero de linhas ou colunas linearmente independentes corresponde a`
menor dimensa˜o da matriz. No matlab a func¸a˜o rank(M) retorna o posto da matriz M .
3O Espac¸o Nulo de uma matriz M e´ formado por todos os vetores que multiplicados por M da´
resultado nulo, isto e´ Mv = 0. No matlab a func¸a˜o null(M) retorna uma base para o espac¸o nulo de M.
7
(i) r > q e existe um vetor coluna v de dimensa˜o n+ q tal que R(s0) v = 0.
(ii) r < q e existe um vetor linha w de dimensa˜o n+ r tal que wR(s0) = 0.
(iii) r = q e det(R(s0)) = 0.
Para sistemas quadrados (r = q) as condic¸o˜es det(G(s0)) = 0 e det(R(s0)) = 0 sa˜o
facilmente utilizadas para calcular os zeros do sistema. Para o exemplo do sistemas de
quatro tanques temos
det(G(s)) =
c1c2
∞1∞2
(1 + sT3)(1 + sT4)° Ø
(1 + sT1)(1 + sT2)(1 + sT3)(1 + sT4)
(24)
onde Ø = (1° ∞1)(1° ∞2)/∞1∞2.
Note que que nenhum dos elementos de G(s) possui zeros, pore´m o sistema multi-
varia´vel possui dois zeros que sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o (1+sT3)(1+sT4)°Ø = 0. Atrave´s
do lugar da ra´ızes podemos verificar que o sistema sera´ de fase na˜o-mı´nima, isto e´, pelo
menos um dos zeros estara´ no semiplano direito, se 0 < ∞1+∞2 < 1 e sera´ de fase mı´nima
(nenhum zero no semiplano direito) se 1 < ∞1 + ∞2 < 2. E´ interessante observar que a
parcela da vaza˜o da bomba 1 jogada no tanque 1 e´ ∞1k1vv e da bomba 2 para tanque
2 e´ ∞2k2v2. Assim quanto maior for a soma ∞1 + ∞2 mais efetiva sera´ a influeˆncia das
bombas no controle dos n´ıveis dos tanques 1 e 2. Da´ı conclu´ımos que se o sistema for
de fase na˜o-mı´nima a influeˆncia das bombas no controle de n´ıvel dos tanques 1 e 2 sera´
reduzida quando comparada com a situac¸a˜o de fase mı´nima. Em geral, a localizac¸a˜o de
zeros pro´ximos ao eixo imagina´rio ou fora do semi-plano esquerdo limita o desempenho
que podemos obter de um sistema de controle.
Exerc´ıcios para o laborato´rio
1. Para o sistema de quatro tanques com k1 = 3.33, k2 = 3.35, ∞1 = 0.7 e ∞2 = 0.6,
encontre algebricamente valores de v1 e v2 tais que os n´ıveis dos tanques 1 e 2 em
equil´ıbrio sejam h¯1, h¯2 = 10. Calcule os n´ıveis dos tanques 3 e 4 correspondentes.
2. Um ponto de equil´ıbrio e´ dito ser esta´vel se ele e´ atingido a partir de qualquer
condic¸a˜o inicial numa vizinhanc¸a desse equil´ıbrio. Verifique a estabilidade do ponto
de equil´ıbrio do item anterior.
3. Encontre valores de v1, v2, ∞1, ∞2 tais que em regime permanente a soma dos volumes
dos tanques 1 e 2 seja superior a` soma dos volumes dos tanques 3 e 4.
4. Para o equil´ıbrio do item 1, quanto de a´gua o tanque 3 joga no tanque 1?
5. Por que o n´ıvel do tanque 1 em equil´ıbrio (h¯1) na˜o depende do tamanho do orif´ıcio
do tanque 3?
6. Quais sa˜o os po´los, zeros de transmissa˜o e invariantes do sistema? Para o ca´lculo dos
zeros use o recurso de varia´veis simbo´licas do matlab para calcular os determinantes
de G(s) e R(s) e encontre as ra´ızes dos determinantes. Para a verificac¸a˜o dos po´los
construa a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) = C(sI ° A)°1B +D.
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Lucas Moreira
Highlight
7. Use as func¸o˜es ss, tf do matlab para encontrar as func¸o˜es de transfereˆncia a partir
da representac¸a˜o de estados. Com essas func¸o˜es encontre os zeros do sistema.
8. Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema de 4 tanques para o caso em que os
medidores esta˜o nos tanques 1 e 4, isto e´:
C =
∑
kc 0 0 0
0 0 0 kc
∏
Calcule os po´los e os autovalores do sistema considerando os dados e o ponto de
equil´ıbrio escolhidos no item 1. Os po´los e autovalores coincidem? Explique.
Refereˆncias
[1] Karl Henrik Johansson, The Quadruple-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process
with an Adjustable Zero,IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNO-
LOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[2] U. Mackenroth, ”Robust Control Systems”, Springer Verlag, Berlin, 2004.
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