Modulo6 - Observadores de estados de ordem reduzida

Prévia do material em texto

Experieˆncia 6
Observadores de Estados de Ordem Reduzida
Na experieˆncia anterior estudamos o observador de ordem completa, onde uma esti-
mativa das varia´veis de estado e´ obtida a partir de um filtro que possui a mesma dimensa˜o
do sistema cujo estado desejamos estimar. Como algumas varia´veis de estado do sistema
podem ser obtidas diretamente dos medidores, podemos pensar em estimar apenas aque-
las varia´veis para as quais na˜o dispomos de medidores. Nesse caso o filtro que estima esse
sub-conjunto de varia´veis na˜o medidas tera´ dimensa˜o menor que a do sistema original
e recebe o nome de observador de ordem reduzida. Para melhor formular o problema
considere que y = Cx ∈ Rm sa˜o as m varia´veis medidas e que w(t) = Rx(t) ∈ Rn−m sa˜o
as varia´veis restantes para as quais na˜o dispomos de medidores. As matrizes C e R sa˜o
as matrizes de ganhos dos medidores dispon´ıveis (C) e na˜o dispon´ıveis (R). Esta u´ltima
pode ser arbitrariamente escolhida pois representa ganhos fict´ıcios. Para na˜o haver me-
dida redundante as linhas das matrices C e R na˜o podem ser linearmente dependentes,
ou seja a matriz T abaixo deve ser invers´ıvel.
T =
[
C
R
]
∈ Rn×n (1)
Note que as varia´veis y, w formam um novo conjunto de varia´veis de estado para o sistema.
Isto se consegue com a mudanc¸a de varia´vel
z(t) = Tx(t) =
[
y(t)
w(t)
]
(2)
Efetuando a transformac¸a˜o de similaridade acima encontramos
z˙(t) = TAT−1z(t) + TBuu(t) , y(t) = CT−1z(t) (3)
e para separar as dinaˆmicas das varia´veis y(t) que medimos e w(t) que iremos estimar,
consideraremos a seguinte partic¸a˜o:
TAT−1 =
[
A11 A12
A21 A22
]
, TBu =
[
B1
B2
]
, CT−1 =
[
I 0
]
(4)
Assim vemos que a dinaˆmica das varia´veis que desejamos estimar e´ regida pela equac¸a˜o
diferencial
w˙(t) = A22w(t) + A21y(t) +B2u(t) (5)
Agora desejamos obter uma estimativa we(t) do sinal w(t) atrave´s de um filtro dinaˆmico
cujas entradas sa˜o os sinais conhecidos y(t), u(t) e cuja sa´ıda e´ a estimativa we(t), como
ilustra a figura 1. Uma representac¸a˜o de estados gene´rica desse filtro e´ indicada abaixo.
w˙f (t) = Afwf (t) + Bfu(t) + Cfy(t) (6)
we(t) = wf (t) +Gfy(t)
1
Lucas Moreira
Highlight
onde as matrizesAf , Bf , Cf , Gf devem ser determinadas tais que as seguintes condic¸o˜es
sejam satisfeitas:
(i) A estimativa we(t) deve convergir para w(t) em regime permanente, i.e.
lim
t→∞
(w(t)− we(t)) = 0
(ii) A dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o e(t) = w(t) − we(t) deve depender apenas da
condic¸a˜o inicial e(0) = w(0)− we(0).
Como visto na experieˆncia anterior, um filtro que satisfaz as condic¸o˜es acima e´ de-
nominado de observador de Luenberger. O observador e´ denominado de ordem reduzida
quando o estado wf (t) do observador possui dimensa˜o inferior a do estado x(t) que se
deseja estimar. Dizemos que o observador e´ de ordem mı´nima quando o estado wf (t) do
observador possui dimensa˜o igual a` n−m.
O requisito (i) indica que na˜o existe erro de estimac¸a˜o em regime permanente en-
quanto (ii) indica que o erro de estimac¸a˜o na˜o depende dos sinais de entrada do filtro
y(t), u(t) e, portanto, o projeto do observador e da lei de controle ficam independentes.
Observe que num observador de ordem completa o estado do observador e´ o pro´prio
estado estimado. Pore´m isso na˜o ocorre num observador de ordem reduzida onde o estado
do observador e´ a varia´vel wf e a parcela do estado estimada e´ we = wf +Gfy.
Para determinar as matrizes do filtro, observe que a dinaˆmica do erro e(t) = w(t) −
we(t) e´ dada por
e˙(t) = w˙(t)− w˙e(t) = A21y(t) + A22w(t) +B2u(t)− (Gf y˙(t) + w˙f (t))
e como pode ser visto de (3) e (4) temos y˙(t) = A11y(t) + A12w(t) +B1u(t).
Logo
e˙(t) = A21y(t) + A22w(t) +B2u(t)−Gf (A11y(t) + A12w(t) +B1u(t))
−Afwf (t)− Cfy(t)−Bfu(t)
Como e(t) = w(t)− we(t) = we(t)−Gfy(t)− wf temos
e˙(t) = Afe(t) + (A21 −GfA11 − Cf + AfGf )y(t) +
+(A22 −GfA12 − Af )w(t) + (B2 −GfB1 −Bf )u(t)
Para satisfazer o requisito (ii) devemos escolher
Af = A22 −GfA12 , Bf = B2 −GfB1 , Cf = A21 −GfA11 + AfGf (7)
que resulta no seguinte observador de ordem mı´nima
w˙f (t) = Afwf (t) + (B2 −GfB1)u(t) + (A21 −GfA11 + AfGf )y(t) (8)
we(t) = Gfy(t) + wf (t) , Af = A22 −GfA12
we(t)estimador
y(t)
u(t)
Figura 1: Diagrama de blocos de um estimador de estado gene´rico.
2
que fornece uma estimativa wf (t) e cuja dinaˆmica de erro de estimac¸a˜o e´ dada por
e˙(t) = (A22 −GfA12)e(t) , e(t) = w(t)− we(t) (9)
Para que o requisito (ii) seja atingido a matriz de ganho Gf do observador deve ser
projetada de tal forma que os autovalores da matriz A22−GfA12 estejam todos no semi-
plano complexo esquerdo.
Finalmente observe que o problema original era encontrar uma estimativa xe(t) para
o estado do sistema estimando apenas a varia´vel w(t) para a qual na˜o dispomos de
medidores. Usando a relac¸a˜o (2) temos
xe(t) = T
−1
[
y(t)
we(t)
]
(10)
onde we(t) ∈ Rn−m e´ a estimativa dada pelo observador de ordem mı´nima (8).
Exerc´ıcio 1: Considere o sistema
A =
[
1 1
0 0
]
B =
[
0
1
]
x =
[
x1
x2
]
(11)
e suponha que dispomos de medidores apenas para um dos estados.
(a) Encontre qual estado devemos medir para que o sistema seja observa´vel.
(b) Projete um observador de ordem mı´nima para estimar o estado do sistema.
Exerc´ıcios para simulac¸a˜o
1. Utilizando as te´cnicas apresentadas, projete um observador de ordem mı´nima para
o sistema de quatro tanques linearizado em torno de um ponto de equil´ıbrio. Consi-
dere que as varia´veis medidas sa˜o os n´ıveis dos tanques 1 e 2, ou seja, o observador
devera´ estimar os n´ıveis dos tanques 3 e 4. Analise a dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o
para
(i) we(0) = w(0) e
(ii) we(0) 6= w(0) com we(0) = 0.
2. Projete matrizes de ganho Gf de tal forma que a dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o
seja
(i) duas vezes mais ra´pida que a menor constante de tempo do sistema em malha
aberta e
(ii) cinco vezes mais ra´pida que a menor constante de tempo do sistema em malha
aberta.
3. Considere condic¸o˜es iniciais nulas do observador e do sistema e os seguintes sinais
de ru´ıdos nos medidores:
3
Lucas Moreira
Highlight
Lucas Moreira
Highlight
Lucas Moreira
Highlight
(i) um sinal r(t) aleato´rio de me´dia nula e variaˆncia 0.5; comente a influeˆncia do
ganho do observador na variaˆncia do erro de estimac¸a˜o1.
(ii) um sinal s(t) senoidal com frequ¨eˆncia ajusta´vel. Comente a influeˆncia da
frequ¨eˆncia do ru´ıdo e do ganho do observador no erro de estimac¸a˜o.
(iii) Qual dos dois observadores (ordem reduzida e ordem completa) apresenta
um comportamento melhor? Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia do ru´ıdo para
a estimativa xe(t) utilizando a equac¸a˜o (8) e (10) lembrando que agora y(t) =
Cx(t) + s(t). Qual a diferenc¸a entre esta func¸a˜o de transfereˆncia e a do observador
de ordem completa?
4. Suponha que o valor do ganho kc dos medidores na˜o possa ser obtido de forma
precisa e que sabemos apenas que ele pode assumir qualquer valor na faixa kc ∈
[0.4, 0.6]. Seria poss´ıvel obter erro nulo de estimac¸a˜o?
Refereˆncias
[1] Karl Henrik Johansson, The Quadruple-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process
with an Adjustable Zero,IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNO-
LOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[2] K.Ogata, ”Engenharia de controle moderno”, Prentice Hall do Brasil, 2a
¯
edic¸a˜o, 1990.
[3] U. Mackenroth, ”Robust Control Systems”, Springer Verlag, Berlin, 2004.
[4] J.J.D’Azzo, C.H.Houpis, ”Ana´lise e projeto de sistemas de controle lineares”, Editora
Guanabara, 1988.
[5] B.Friedland, ”Control System design: An introduction to state space methods”, McGraw-
Hill, 1986.
1Para o ca´lculo da variaˆncia exporte a varia´vel desejada para o ambiente de trabalho do matlab e use
a func¸a˜o ”var.m”
4