MÉTODOS NUMERICOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MECANICA GERAL

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MÉTODOS NUMERICOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
MECANICA GERAL 
Aline Dalmagro 1
 
Emily Rauber2 
Gabriel Nucci3 
Ketherine Brishiliari4 
Área de conhecimento: GT 2: A Matemática na Engenharia. 
RESUMO 
Os métodos numéricos para zero de funções reais podem resolver diversos problemas 
aplicados na engenharia civil, e um deles é o de equilíbrio de corpos rígidos. Utilizando 
o método de Newton Raphson, e com o auxilio de planilhas eletrônicas, foi possível 
estabelecer a solução do problema proposto, onde o zero da função nos fornece o 
equilíbrio do corpo. Desta forma, observa-se que o uso do método numérico fornece 
uma solução com precisão pré-estabelecida ou aceitável. 
Um Palavras-chave — Métodos Numéricos; Zero de Funções; Equilíbrio de Corpos 
Rígidos; Newton Raphson. 
1. INTRODUÇÃO 
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos 
usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada 
(MARTINS 2005). Um exemplo é a resolução das equações cúbicas ou de grau maior, 
que é possível obter uma raiz aproximada graças aos métodos desenvolvidos, entre eles 
tem-se o método da bisseção, o método da falsa posição, do ponto fixo, método das 
secantes e o método Newton ( COSTA, SILVA 2009) 
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações 
que envolvam a resolução de uma equação do tipo f(x)=0, cuja solução é conhecida 
também por zero de funções (PILLING, s. d.). Na mecânica vetorial Beer e Johston 
(2009), abordam um problema de equilíbrio de corpos, que solução é dada pelo zero da 
 
1
Acadêmica do Curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus 
Universitário de Tangará da Serra. Contato: 
2
Acadêmico do Curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus 
Universitário de Tangará da Serra. Contato: raauber.71@gmail.com 
3
Acadêmico do Curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus 
Universitário de Tangará da Serra. Contato: gabrielnuccibelote@gmail.com 
4
Acadêmica do Curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus 
Universitário de Tangará da Serra. Contato: ketherinecb@hotmail.com 
 
 
 
 
 
 
função que determina o ponto de equilíbrio dos corpos rígidos, que é quando os 
somatórios das forças exercidas no corpo é nula. 
Na engenharia esse corpo, é uma estrutura feita para desempenhar corretamente 
a função a que se destina, ou seja, a resistir a solicitação ligada ao exterior por apoios e 
é constituída por elementos estruturais, tais como laje, viga, pilar e fundação 
(GONÇALVES E GOMES, 2004/05). 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Associando a dificuldade de determinar a solução pelo método analítico, 
escolhemos o método de Newton Raphson para achar o valor do problema que é o 
equilíbrio entre os corpos rígidos. 
2.1. METODO DE NEWTON RAPHSON 
O Método Iterativo de Newton consiste em uma sequência de cálculos da reta tangente 
a partir da curva no ponto , e sua intersecção com o eixo da abscissas, que por sua 
vez será o novo ponto ao qual definirá uma nova reta tangente que por sua vez propiciará 
um novo ponto e assim sucessivamente como mostra a figura 1 (MACHADO E ALVES, 
2013). 
Figura 1 Modelo do Método de Newton 
 
Fonte: Próprios autores. 
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.1 DEMONTRAÇÃO DA FORMULA DE NETWON 
O método de Newton e uma das técnicas mais populares param se determinar 
raízes de equações não lineares. Existem várias maneiras de deduzir o método de 
Newton, a que foi demonstrada é baseada no método de iteração linear. Assim para 
descrever o método vamos considerar a equação: 
 [1] 
Fazendo sendo solução aproximada para f(x)=0 então: 
 [2] 
Por outro: 
 [3] 
Teremos: 
 
 
 
 [4] 
Obtemos então: 
 
 
 
 [5] 
 Assim a função iterativa será definida por: 
 
 
 
 [6] 
O Método de Newton é definida pela função interação [6] que converge sempre 
que | | for suficiente pequeno. 
2.1.2 CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA 
Segundo Machado e Alves (2013, p. 30) “para haver a convergência à uma raiz 
em seu método, bastaria que o intervalo (a, b) em análise fosse suficientemente 
pequeno”. Sendo assim, os autores definem um intervalo pequeno como aquele que 
contém uma e somente uma raiz. Com isso, algumas condições foram estabelecidas para 
que tal exigência fosse válida: 
Sejam f’(x) e f’’(x) continuas num intervalo I que contém a raiz x= ε de f(x)=0 
 
 
 
 
 
Supondo que ε ≠ 0 
Então existe um intervalo ⊂ , contendo a raiz ε, tal que se ∈ , a sequência 
{ gerada pela fórmula recursiva 
 
 
 convergira para a raiz. 
Portanto, para provar a convergência do método, basta verificar que, sob as 
hipóteses acima, estão satisfeitas para (Machado e Alves, 2013). 
Ou seja, e preciso provar que existe ⊂ centrado em ε, tal que: 
1) e são continuas em ; 
2) <1, ∀ x ∈ . 
2.2. EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS 
Quando a força e o binário (Binário é a ação de duas forças de mesma 
intensidade, direção e sentidos opostos aplicados em diferentes pontos) são ambos 
nulos, as forças internas constituem uma força equivalente a zero e diz-se que o corpo 
livre esta em equilíbrio (BEER; JHONSON, 2009). 
Desta forma esses autores mostram as condições necessárias e suficientes para o 
equilíbrio de um corpo rígido que são elas: 
 e [7] 
“Sendo uma força, capaz de pôr em movimento um corpo que está em 
repouso, ou modificar de alguma forma a sua velocidade, de acordo com a definição 
newtoniana força é qualquer agente capaz de modificar o seu estado de repouso ou de 
movimento retilíneo e uniforme” (PRÄSS, s.d., 4p. grifo do autor). “E o momento de 
uma força mede o efeito rotativo da força aplicada a um corpo, em torno de um ponto, 
um fulcro ou um eixo” (FERREIRA, 2013, p. 1, grifo do autor). 
Os efeitos de forças aplicadas no corpo é considerado, ou seja as forças externas 
e internas é o que determina o equilíbrio ou o movimento. As forças externas é a força 
exercida pelo meio ambiente ou pela ação de outros corpos como as reações de apoio 
que na maioria dos casos são a incógnita, e as forças internas são as forças que unem as 
partículas ou as partes constituintes do corpo. (FINOTTI, 2014) 
 
 
 
 
 
3. METODOLOGIA 
Foi desenvolvida uma pesquisa bibliográfica e explicativa, analisando, 
interpretando e solucionando um problema especifico através de cálculos e auxílios de 
softwares. O problema foi desenvolvido e solucionado através de métodos numéricos, 
pois baseado no gráfico (Figura 3) o método de Newton seria a melhor opção, já que ele 
atinge mais rápido a precisão estabelecida do que outros. Foram utilizados meios de 
aplicações de derivadas, e zeros de funções e, juntamente com o desenvolvimento em 
uma planilha, algoritmos e gráficos.4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Com a equação [6], foi possível obter a iteração solução deste problema, o qual 
resulta na raiz que zera a equação. Identificando assim, o valor ϴ que permite o 
equilíbrio do mecanismo. 
4.1 PROBLEMA PROPOSTO 
 Uma haste delgada de comprimento 2R e peso P está presa a um cursor em B e 
apoiada em um cilindro de raio R (Figura 2). Sabendo que o cursor pode se deslocar 
livremente ao longo de sua guia vertical, determine o valor de ϴ correspondente ao 
equilíbrio. Despreze o atrito. 
A incógnita do problema é a equação abaixo: 
 f(ϴ)=tg³ϴ+tg-1 [8] 
 tg³(ϴ)+tg(ϴ)-1 = 0 [9] 
A partir da equação [8] aplicando o método de Newton, temos a função iteração: 
Figura 2 Haste Delgada 
 
Fonte: Beer 2009 
 
 
 
 
 
 
ϴ = - 
 
 
 
Devido o desenho do gráfico da função (Figura 3), pode-se localizar uma de suas 
raízes e dessa forma escolher o chute inicial com ϴ=0,4 e precisão ξ < como 
mostra a Tabela 1. 
Figura 3 Gráfico da equação [8]. 
 
Fonte: Próprios autores. 
 
Tabela 1 Convergência método de Newton 
N° de Iterações ϴ Graus(°) |f(ϴ)| | - | 
 0,4 22,91831181 0,501630758 
1 0,677010073 38,78981984 0,322919601 0,277010073 
2 0,619497217 35,49457595 0,075846528 0,057512856 
3 0,60348274 34,57701403 0,016717686 0,016014476 
4 0,599788416 34,36534483 0,003595919 0,003694325 
5 0,59898547 34,31933941 0,000768747497 0,0008029461 
6 0,598813426 34,309482 0,000164123 0,000172044 
7 0,598776678 34,30737649 0,0000350289 0,0000367481 
 Fonte: Próprios autores. 
Logo ϴ = 0,598744597 é a solução do problema, ou seja, é o valor que fornece o 
equilíbrios da haste e do cursor. 
Algoritmo: 
x
y
 1 2 3 4 -4 -3 - 2 - 1 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
 -3 
-4 
 
 
 
 
 
Seja a equação f(ϴ) =0. 
1) Dados iniciais: 
a) : aproximação inicial; 
b) : precisões 
c) 
 
2) Se |f(ϴ)=tg³ϴ+tg-1| < , faça = . FIM. Escreva: “Algoritmo 
convergiu na iteração K, com o ângulo ” 
 Senão K= K +1 
 = - 
 
 
 
3) Se | – | < 
 Escreva: “Algoritmo 
convergiu na iteração K, com o ângulo ” 
Senão volte ao passo 2. 
Com a aplicação do método de Newton neste problema, observamos que satisfaz 
o teorema, convergindo para uma raiz do problema em 5 interações e atende a precisão 
ξ < , com a solução ϴ=0,598744597 e em graus aproximadamente 34,3055384°, 
sendo assim, temos o ângulo ϴ correspondente ao equilíbrio do mecanismo. 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Após analises do cálculo realizado pode-se concluir que o uso do método 
numérico para a solução do problema proposto é eficaz, pois além de sabermos o 
resultado pode-se estimar um erro aceitável, desta forma sendo útil e eficaz nos cálculos 
na engenharia uma vez que é preciso ser exato, pois soluções analíticas não seriam 
possíveis chegar ao resultado esperado. O equilíbrio de corpos rígidos é dado quando o 
somatório das forças é igual a zero, com os métodos utilizados chegou-se ao resultado 
esperado que, é próximo de zero, com erro o especificado, assim garantindo o equilíbrio 
dos corpos. 
6. REFERÊNCIAS 
BERR, F.P.; JOHSTON Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. 9° Ed. 
São Paulo; Ed. McGraw – Hill, 2009, 159p 
 
 
 
 
 
SANCHES, T J; FURLAN D.C. Métodos Numéricos: condições de Newton-Raphson-
Fourier. Curitiba-PR, 2007, 27 – 28 p. Apostila. 
COSTA, Patrício T; SILVA, Luciane S. Métodos numéricos para zero de funções. 
2009. 43 f. Dissertação (Mestrado em matemática) – Universidade Federal de Santa 
Catarina de Florianópolis, Santa Catarina. 
MACHADO, Inácio A; ALVES, Ronaldo R. Método de Newton. RENEFARA 
Goiânia-GO, v. 4, n. 4, p. 30-45. 2013. 
PILLING, Sergio. Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e 
Urbanismo – FEAU. São José dos Campos SP, s. d. 1 p. Apostila. Faculdade de 
Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU. 
MORAES, R. A. Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: 
método de resolução e equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. São Paulo- 
SP, 2011.8 p. Apostila. 
GONÇALVES, Manuela; GOMES, Maria I. Corpos Rígidos - Equilíbrio. Mecânica 
Aplicada. Instituto superior de engenharia de Lisboa, Portugal, 2004/05. 24 p. 
PRÄSS, Alberto R. O conceito de força. Porto Alegre- RS, s. d. 4 p. Apostila. 
FERREIRA, Miguel. Momento de uma força. Ciência Elementar, Porto-Portugal, n. 1, 
p. 1-2, out./dez. 2013. 
 FINOTTI, Gilson. Mecânica Geral I. Belo Horizonte-MG, 2014. 56 p. Apostila.