Logaritimo e Exponencial - Prof Felipe Gama

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AULA 7 LOGARITIMO PROF. FELIPE GAMA 
 
 
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Definição 
Sendo a e b números reais positivos, 
chama-se logaritmo de b na base a, o 
expoente em que a deve ser elevado de 
modo que a potência obtida de base a 
seja igual a b. 
 
Com , e 
Assim, o logaritmo nada mais é que um 
expoente. Dizemos que "a" é a base do 
logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é 
o logaritmo. 
Exemplo: , 
pois . 
Definições 
I) O logaritmo cujo o logaritmando é 
igual a 1 e a base é qualquer, é igual a 
zero: 
, pois 
II) O logaritmo cujo a base e o 
logaritmando são iguais é igual a um: 
, pois 
III) A potência de base "a" e 
expoente é igual a b: 
 
IV) Dois logaritmos são iguais, numa 
mesma base, se os logaritmandos são 
iguais: 
 
Propriedade dos 
logaritmos 
1. Logaritmo do produto 
O logaritmo do produto de dois fatores 
"a" e "b", em qualquer base "c", é igual 
à soma dos logaritmos de cada um 
desses fatores. 
Se c > 0 e , a > 0, b > 0, então: 
 
Exemplo: 
 
2. Logaritmo do quociente 
O logaritmo do quociente de dois fatores 
a e b, em qualquer base c, é igual à 
diferença dos logaritmos de cada um 
desses fatores. 
Se c > 0 e , a > 0, b > 0, então: 
 
Exemplo: 
 
3. Logaritmo da potência 
O logaritmo de uma potência, em 
qualquer base c, é igual ao produto 
entre o expoente da potência e o 
logaritmo cujo logaritmando é a base da 
potência. 
Se a > 0 e , b > 0, , 
então: 
 
Exemplo: 
 
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4. Logaritmo de uma raiz 
O logaritmo da raiz enésima de um 
número real positivo é o produto entre o 
inverso do índice da raiz pelo logaritmo 
cujo o logaritmando é o radicando: 
Se a > 0 e , b > 0, , 
então: 
 
Exemplo: 
 
Mudança de Base 
Algumas vezes, os logaritmos com 
bases diferentes precisam ser 
transformados para outra base, de 
forma que ela seja a mesma para 
ambos. 
Se a, b e c são números reais positivos, 
então: 
, e 
Exemplo: transformado para a 
base 2 fica: 
 
Se a e b são reais positivos e quisermos 
transformar para a base b, 
temos: 
, e 
Exemplo: 
Se a e b são reais positivos, temos que: 
, e 
Exemplo: 
Função Logarítmica 
 
A função logarítmica de base a é definida como f 
(x) = loga x, com areal, positivo e a ≠ 1. A função 
inversa da função logarítmica é a função 
exponencial. 
O logaritmo de um número é definido como o 
expoente ao qual se deve elevar a base a para 
obter o número x, ou seja: 
 
Exemplos 
• f (x) = log3 x 
• g (x) = 
• h (x) = log10 x = log x 
 
Domínio da função 
logarítmica 
 
O domínio de uma função representa os valores 
de x onde a função é definida. No caso da função 
logarítmica, devemos levar em consideração as 
condições de existência do logaritmo. 
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a 
base também deve ser positiva e diferente de 1. 
 
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Exemplo 
Determine o domínio da função f (x) = log2 (x + 3). 
Solução 
Para encontrar o domínio, devemos considerar 
que (x + 3) > 0, pela condição de existência do 
logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos: 
x + 3 > 0 ⇒ x > - 3 
Assim, o domínio da função pode ser 
representado por: 
 
Gráfico da função 
logarítmica 
 
De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x 
está localizado no I e IV quadrantes, pois a função 
só é definida para x > 0. 
Além disso, a curva da função logarítmica não 
toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa 
igual a 1, pois y = loga 1 = 0, para qualquer valor 
de a. 
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da 
função logarítmica. 
 
 
Função crescente e 
decrescente 
 
Uma função logarítmica será crescente quando a 
base a for maior que 1, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1 a x2. 
Por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função 
crescente, pois a base é igual a 2. 
Para verificar que essa função é crescente, 
atribuímos valores para x na função e calculamos 
a sua imagem. Os valores encontrados estão na 
tabela abaixo. 
 
 
Observando a tabela, notamos que quando o 
valor de x aumenta, a sua imagem também 
aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta 
função. 
 
 
 
Por sua vez, as funções cujas bases são valores 
maiores que zero e menores que 1 são 
decrescentes, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1 > loga x2. Por 
exemplo, é uma função decrescente, pois a base 
é igual a . 
Calculamos a imagem de alguns valores de x desta 
função e o resultado encontra-se na tabela 
abaixo: 
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Notamos que, enquanto os valores de x 
aumentam, os valores das respectivas imagens 
diminuem. Desta forma, constatamos que a 
função é uma função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o 
gráfico dessa função. Note que quanto menor o 
valor de x, mais perto do zero a curva logarítmica 
fica, sem contudo, cortar o eixo y. 
 
 
 
Função Exponencial 
 
A inversa da função logarítmica é a função 
exponencial. A função exponencial é definida 
como f(x) = ax, com a real positivo e diferente de 
1. 
Uma relação importante é que o gráfico de duas 
funções inversas são simétricos em relação a 
bissetriz dos quadrantes I e III. 
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função 
logarítmica de mesma base, por simetria 
podemos construir o gráfico da função 
exponencial. 
 
No gráfico acima, observamos que enquanto a função 
logarítmica cresce lentamente, a função exponencial 
cresce rapidamente. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o número de soluções da equação 
logarítmica dada 
por 
 
2) Calcule os valores de x para que a equação 
seja verdadeira. 
 
3) Sabendo que log 3 (7x - 1) = 3 e que log 2 (y3 + 3) = 7 
pode-se afirmar que log y (x² + 9) é igual a: 
 
a) 6 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) -4 
 
4) Se loga b = 3 e logab c = 4, então loga c é: 
 
a) 12 
b) 16 
c) 24 
d) 8 
e) 6 
 
5) Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é: 
 
a) 2 
b) 4 
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5 
 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
6) Se 10x = 20y , atribuindo 0,3 para log 2 , então o valor 
de x/y é: 
 
a) 0,3. 
b) 0,5. 
c) 0,7. 
d) 1. 
e) 1,3. 
 
7) Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os 
seguintes logaritmos em função de x, y e z: 
 
a) log 10 
 
b) log 27 
 
c) log 7,5 
 
8) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é: 
 
a) 1 
b) – 1 
c) 0 
d) 2 
e) 0,5 
 
9) Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é: 
 
a) ∛2. 
b) √2. 
c) ∛3. 
d) √3. 
e) ∛9. 
 
10) Se 5x+2 = 100, então 52x é igual a : 
 
a) 4. 
b) 8. 
c) 10. 
d)16. 
e) 100 
 
 
11) Se a = log2 3 e b = log2 5 , então o valor de log0,5 75 
é: 
 
a) a + b 
b) – a + 2b 
c) a - b 
d) a – 2b 
e) –a – 2b 
 
12) O conjunto solução da equação exponencial 4x-2x = 
56 é: 
 
a) {-7,8} 
b) {3,8} 
c) {3} 
d) {2,3} 
e) {8} 
 
13) Sabendo que log P = 3 log a - 4.log b + (1/2) . log c 
, assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
 
a) 12 
b) 52 
c) 16 
d) 24 
e) 73 
 
14) Adotando-se log x = 2 e log y = 3, o valor de log5 
120 será dado por: 
 
15) O valor da expressão A = log2 (1/2) + log8 32 é: 
 
a) 0 
b) -1/2 
c) 1/2 
d) 2/3 
e) 1 
 
16) Se f(x)=log10(x²/(x+11)), o valor de f(−1) é: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
 
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17) Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, 
então o valor de k ∈ (0, +∞), tal que logK = 10 - log 5 é: 
 
a) 2 . 109 
b) 3 . 10³ 
c) 2 . 10² 
d) 5 . 105 
e) 109 
 
18) Utilizando os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 
3 = 0,48 encontramos para log 312 o valor de: 
 
a) 0,48 
b) 0,36 
c) 0,50 
d) 0,18 
e) 0,78 
 
19) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x 
satisfaz f(x) = g(x), então 2x é: 
 
a) ¼ 
b) 1 
c) 8 
d) 4 
e) ½ 
 
20) Considere a função f definida por f (x) = 1 – 5 · 0,7x 
e representada em um sistema de coordenadas 
cartesianas. 
 
Entre os gráficos abaixo, o que pode representar a 
função f é: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
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21) O produto das soluções da equação (43 – x)2 – x = 1 é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
22) Os valores de x que satisfazem log x + log (x – 5) = 
log 36 são: 
 
a) 9 e -4 
b) 9 e 4 
c) -4 
d) 9 
e) 5 e -4 
 
23) Qual é a alternativa que descreve corretamente o 
conjunto solução da equação: 
 
log(x−1)+log(x+1)=3⋅log(2)+log(x−2) ? 
 
a) S=∅ 
b) S={3} 
c) S={5} 
d) S={3,5} 
e) S={5,6} 
 
24) Sabe-se que (1/3 , 1) pertence ao gráfico de f(x) = 
logn x. 
 
 
 
O valor de b é 
 
a) 27 
b) 81 
c) 1/27 
d) 1/81 
 
25) O sindicato de trabalhadores de uma empresa 
sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, 
propondo um aumento percentual fixo por cada ano 
dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à 
proposta salarial (s), em função do tempo de serviço 
(t), em anos, é s(t) = 1 800 . (1,03)t . 
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de 
um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo 
de serviço será, em reais, 
a) 7 416,00 
b) 3 819,24 
c) 3 709,62 
d) 3 708,00 
e) 1 909,62. 
 
 
GABARITO 
 
1) S = {0} 
2) x = 2 
3) B 
4) B 
5) A 
6) E 
7) a) x + z 
b) 3y 
c) y + z - x 
8) A 
9) E 
10) D 
11) E 
12) C 
13) C 
14) (2x + y + 1)/ (1 – x) 
15) D 
16) B 
17) A 
18) B 
19) D 
20) A 
21) E 
22) D 
23) D 
24) B 
25) E