Exercício 01 - Estruturas de Concreto II - Pilares internos ou intermediários

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PILARES INTERNOS OU INTERMEDIÁRIOS 
São aqueles submetidos a compressão simples, ou seja, que não apresentam excentricidades iniciais. 
 
1ª QUESTÃO: 
Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na figura, sendo conhecidos: 
• Nk = 785,7 kN ; seção transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) 
• comprimento equivalente (de flambagem): lex = ley = 280 cm 
 
 
 
a) Esforços solicitantes 
A força normal de cálculo é: 
 
Nd = γn . γf . Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1.100 kN 
 
com γn determinado na Tabela 13.1 da NBR 6118/2014, em função da menor largura da seção transversal do 
pilar. Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em 
ambas as direções do pilar. 
 
b) Índice de esbeltez 
O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y, conforme os eixos mostrados na figura. 
 
𝝀𝒙 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝒍𝒆𝒙
𝒉𝒙
 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝟐𝟖𝟎
𝟓𝟎
 = 𝟏𝟗, 𝟒 
 
𝝀𝒚 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝒍𝒆𝒚
𝒉𝒚
 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝟐𝟖𝟎
𝟐𝟎
 = 𝟒𝟖, 𝟒 
 
c) Momento fletor mínimo 
O momento fletor mínimo, em cada direção, é calculado por: 
 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 = 𝑵𝒅 (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) 
 
Direção x 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒙 = 𝑵𝒅(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) = 𝟏𝟏𝟎𝟎(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟓𝟎) = 𝟑. 𝟑𝟎𝟎𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
𝒆𝟏𝒙,𝒎í𝒏 = 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒙
𝑵𝒅
 = 
𝟑. 𝟑𝟎𝟎
𝟏. 𝟏𝟎𝟎
 = 𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒎 
 
Direção y 
 
 
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𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒚 = 𝑵𝒅(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) = 𝟏𝟏𝟎𝟎(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟐𝟎) = 𝟐. 𝟑𝟏𝟎𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
𝒆𝟏𝒚,𝒎í𝒏 = 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒚
𝑵𝒅
 = 
𝟐. 𝟑𝟏𝟎
𝟏. 𝟏𝟎𝟎
 = 𝟐, 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
 
d) Esbeltez limite 
𝝀𝟏 = 
𝟐𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟓 .
𝒆𝟏
𝒉
𝜶𝒃
 
 
Com 35 < λ1 < 90. 
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1ª ordem, daí e1 = 0 e αb = 
1,0. Assim: 
λ1,x = λ1,y = 25 > 35 
λ1,x = λ1,y = 35 
 
Desse modo: 
λx = 19,4 < λ1,x : não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x; 
λy = 48,4 > λ1,y : são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y. 
 
e) Momento fletor de 2ª ordem 
• Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝜶𝒃 . 𝑴𝟏𝒅,𝑨 + 𝑵𝒅 .
𝒍𝒆
𝟐
𝟏𝟎
 .
𝟏
𝒓
 ≥ 𝑴𝟏𝒅,𝑨 𝒐𝒖 𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 
M1d,A > M1d,mín 
 
Força normal adimensional: 
𝝂 = 
𝑵𝒅
𝑨𝒄 . 𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟏. 𝟏𝟎𝟎
𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟕𝟕 
 
Curvatura na direção y sujeita aos momentos fletores de 2ª ordem: 
𝟏
𝐫
 = 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝐡 (𝛎 + 𝟎, 𝟓𝟎)
 = 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝟐𝟎 . (𝟎, 𝟕𝟕 + 𝟎, 𝟓)
 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟖𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 𝐜𝐦−𝟏 ≤ 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝟐𝟎
 = 𝟐, 𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 𝐜𝐦−𝟏 
 
A excentricidade máxima de 2ª ordem na direção y é: 
𝒆𝟐𝒚 = 
𝒍𝒆
𝟐
𝟏𝟎
 .
𝟏
𝒓
 = 
𝟐𝟖𝟎𝟐
𝟏𝟎
 . 𝟏, 𝟗𝟔𝟖𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟏, 𝟓𝟒 𝒄𝒎 
 
Com αb = 1,0 e fazendo M1d,A = M1d,mín em cada direção, tem-se os momentos fletores totais em cada direção 
do pilar: 
Direção x 
Md,tot,x = M1d,mín,x = 3.300 kN.cm 
 
Direção y 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒚 = 𝟏, 𝟎 . 𝟐𝟑𝟏𝟎 + 𝟏𝟏𝟎𝟎 .
𝟐𝟖𝟎𝟐
𝟏𝟎
 . 𝟏, 𝟗𝟔𝟖𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟖 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
Md,tot,y = 4.008 kN.cm > M1d,mín,y = 2.310 kN.cm 
 
 
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O cálculo de dimensionamento da armadura longitudinal do pilar pode seguir após determinados os momentos 
fletores totais: 
 
 
 
 
 
A análise dos momentos fletores totais e das excentricidades permite observar que a direção crítica do pilar é 
a direção y, dado que o maior momento fletor total (Md,tot,y de 4.008 kN.cm) é relativo à menor dimensão do 
pilar (largura hy = 20 cm). A 2ª situação de cálculo, com a maior excentricidade total, na direção da largura 
do pilar, também mostra o fato, comprovado pelo cálculo da armadura longitudinal. A armadura pode ser 
calculada apenas para a direção crítica y, porém, com o objetivo de ilustrar os cuidados que devem ser tomados, 
a armadura é calculada para as duas direções principais do pilar. 
 
f) Cálculo das armaduras 
Com ν = 0,77 e utilizando os ábacos de VENTURINI para Flexão Reta, faz-se o cálculo de μ e d’/h, segundo 
as direções x e y: 
Direção x: 
𝝁 = 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒙
𝒉𝒙𝑨𝒄𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟓𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎.
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟎𝟓 
𝝁 = 𝝂 .
𝒆𝒙
𝒉𝒙
 = 𝟎, 𝟕𝟕 .
𝟑, 𝟎𝟎
𝟓𝟎
 = 𝟎, 𝟎𝟓 
 
 
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𝒅𝒙
′
𝒉𝒙
 = 
𝟒, 𝟎
𝟓𝟎
 = 𝟎, 𝟎𝟖 ≅ 𝟎, 𝟏𝟎 
 
Ábaco: ω = 0,05 
 
Outros ábacos diferentes do A-25 podem ser utilizados, no entanto, este ábaco é interessante porque não fixa 
o número de barras a serem dispostas na seção transversal, fixa apenas as faces do pilar que devem alojar as 
barras. Neste caso, o ábaco A-25 proporciona que as barras sejam distribuídas no lado maior do pilar. 
Observe que o ábaco A-25 tem a armadura posicionada na direção paralela à excentricidade – e (ver figura no 
ábaco) da força normal Nd , portanto, na direção horizontal paralela à excentricidade e1x,mín da 1ª situação de 
cálculo, coincidente com o lado maior do pilar. 
 
Direção y 
𝝁 = 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒚
𝒉𝒚𝑨𝒄𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟒𝟎𝟎𝟖
𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎.
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟏𝟒 
𝝁 = 𝝂 .
𝒆𝒚
𝒉𝒚
 = 𝟎, 𝟕𝟕 .
𝟑, 𝟔𝟒
𝟐𝟎
 = 𝟎, 𝟏𝟒 
𝒅𝒚
′
𝒉𝒚
 = 
𝟒
𝟐𝟎
 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
d’ = c + ϕt + ϕl/2 = 3,00 + 0,50 + 1,00/2 = 3,00 + 0,50 + 0,50 = 4,00 cm 
 
Ábaco: ω = 0,50 
 
Para a solicitação na direção y o ábaco A-4 é compatível com o ábaco A-25 da direção x, pois proporciona o 
mesmo arranjo de barras do ábaco A-25 na seção transversal, ou seja, as barras distribuídas ao longo do lado 
maior do pilar. Isso é mostrado na figura do ábaco A-4, onde a armadura é posicionada na direção 
perpendicular à excentricidade da força normal Nd, portanto, na direção horizontal perpendicular à 
excentricidade total da 2ª situação de cálculo, e coincidente com o lado maior do pilar. 
 
g) Cálculo das armaduras 
𝑨𝒔 = 
𝝎 𝑨𝒄 𝒇𝒄𝒅
𝒇𝒚𝒅
 = 
𝟎, 𝟓𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎 .
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟑 𝒄𝒎𝟐 
8 ϕ 16 mm => As = 16,08 cm2 
 
h) Disposições construtivas: 
Diâmetro mínimo 
 
 > 10 mm 
ϕl 
 ≤ 
𝒃
𝟖
 = 
𝟐𝟎𝟎
𝟖
 = 𝟐𝟓 𝒎𝒎 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição transversal 
 
 2 cm 
emín,livre > ϕl = 1,60 cm 
 1,2 dmáx,agreg = 1,2 . 2,50 cm = 3,00 cm. 
 
Armadura mínima 
𝑨𝒔,𝒎í𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟓 .
𝑵𝒅
𝒇𝒚𝒅
 ≥ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 𝑨𝒄 
𝑨𝒔,𝒎í𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟓 .
𝟏𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
 = 𝟑, 𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟐 ≥ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 . 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟒, 𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
As = 12,49 cm2 > As,mín = 4,00 cm2 
 
Armadura máxima 
As,máx. = 0,08 Ac = 0,08 . 1000 = 80,00 cm
2 
 
Taxa de armadura 
𝝆 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒄
 . 𝟏𝟎𝟎 = 
𝟏𝟔, 𝟎𝟖
𝟏𝟎𝟎𝟎
 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟏 % < 𝝆𝒎á𝒙. = 𝟒, 𝟎𝟎 % 
 
Diâmetro e espaçamento máximos da armadura transversal (estribos) 
 
 5 mm 
ϕt > 
 
𝝓𝒍
𝟒
 = 
𝟏𝟔
𝟒
 = 𝟒 𝒎𝒎 
 
 
 20 cm 
smáx < b = 20 cm 
 12 ϕl = 12 . 1,60 = 19,20 cm 
 
smáx = 20 cm 
 
Proteção contra flambagem