exercícios resolvidos

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Exercícios 
Controle e Servomecanismo I 
Prof. Iannis N. Papaioannou 
1) Ache a função de transferência do sistema: 
a) 
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 2y(t) = 𝑥(𝑡) 
𝑠𝑌(𝑠) + 2𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) 
𝑌(𝑠)(𝑠 + 2) = 𝑋(𝑠) 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
1
(𝑠 + 2)
 
b) 
𝑑³𝑦(𝑡)
𝑑𝑡³
+ 3
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 7
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 5𝑦(𝑡) = 
𝑑²𝑥(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 4
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑥(𝑡) 
𝑠3𝑌(𝑠) + 3𝑠2𝑌(𝑠) + 7𝑠𝑌(𝑠) + 5𝑌(𝑠) = 𝑠2𝑋(𝑠) + 4𝑠𝑋(𝑠) + 3𝑋(𝑠) 
𝑌(𝑠)(𝑠3 + 3𝑠2 + 7𝑠 + 5) = 𝑋(𝑠)(𝑠2 + 4𝑠 + 3) 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
(𝑠2 + 4𝑠 + 3)
(𝑠3 + 3𝑠2 + 7𝑠 + 5)
 
c) 4
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 3
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) + 4
𝑑4𝑦(𝑡)
𝑑𝑡4
+ 0,5
𝑑6𝑦(𝑡)
𝑑𝑡6
= 4
𝑑5𝑦(𝑡)
𝑑𝑡5
+
𝑑²𝑥(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 4
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑥(𝑡) 
0,5
𝑑6𝑦(𝑡)
𝑑𝑡6
− 4
𝑑5𝑦(𝑡)
𝑑𝑡5
+ 4
𝑑4𝑦(𝑡)
𝑑𝑡4
+ 4
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 3
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) =
𝑑²𝑥(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 4
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑥(𝑡) 
0,5𝑠6𝑌(𝑠) − 4𝑠5𝑌(𝑠) + 4𝑠4𝑌(𝑠) + 4𝑠2𝑌(𝑠) + 3𝑠𝑌(𝑠) + 𝑌(𝑠) = 𝑠2𝑋(𝑠) + 4𝑠𝑋(𝑠) + 3𝑋(𝑠) 
𝑌(𝑠)(0,5𝑠6 − 4𝑠5 + 4𝑠4 + 4𝑠2 + 3𝑠 + 1) = 𝑋(𝑠)(𝑠2 + 4𝑠 + 3) 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
(𝑠2 + 4𝑠 + 3)
(0,5𝑠6 − 4𝑠5 + 4𝑠4 + 4𝑠2 + 3𝑠 + 1)
 
d) 7
𝑑³𝑥(𝑡)
𝑑𝑡³
+ 4
𝑑²𝑥(𝑡)
𝑑𝑡²
− 8
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑥(𝑡) = 5
𝑑7𝑦(𝑡)
𝑑𝑡7
+ 2
𝑑6𝑦(𝑡)
𝑑𝑡6
− 4
𝑑4𝑦(𝑡)
𝑑𝑡4
+ 9
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
+ 4
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+
3
7
𝑦(𝑡) 
+5
𝑑7𝑦(𝑡)
𝑑𝑡7
+ 2
𝑑6𝑦(𝑡)
𝑑𝑡6
− 4
𝑑4𝑦(𝑡)
𝑑𝑡4
+ 9
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+
3
7
𝑦(𝑡) = 7
𝑑3𝑥(𝑡)
𝑑𝑡3
+
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
− 8
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑥(𝑡) 
5𝑠7𝑌(𝑠) + 2𝑠6𝑌(𝑠) − 4𝑠4𝑌(𝑠) + 9𝑠2𝑌(𝑠) + 4𝑠𝑌(𝑠) +
3
7
𝑌(𝑠) = 7𝑠3𝑋(𝑠) + 𝑠2𝑋(𝑠) − 8𝑠𝑋(𝑠) + 3𝑋(𝑠) 
𝑌(𝑠)(5𝑠7 + 2𝑠6 − 4𝑠4 + 9𝑠2 + 4𝑠 +
3
7
) = 𝑋(𝑠)(7𝑠3 + 𝑠2 − 8𝑠 + 3) 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
(7𝑠3 + 𝑠2 − 8𝑠 + 3)
(5𝑠7 + 2𝑠6 − 4𝑠4 + 9𝑠2 + 4𝑠 +
3
7)
 
3) Ache a resposta ao sinal de entrada para um sistema cuja função de transferência é: 
a) G(s) = 
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
 , usar sinal impulso unitário na entrada 
 Y(s) = X(s)G(s) => impulso unitário X(s) = 1; portanto Y(s) =
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
*1 
Y(s) =
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
 
b) G(s) = 
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
 , usar sinal degrau unitário na entrada 
Y(s) = X(s)G(s) => degrau unitário X(s) = 
1
𝑠
; portanto Y(s) =
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
*
1
𝑠
 
Y(s) =
1
(𝑠+4)(𝑠+8)
 
c) G(s) = 
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
 , usar sinal rampa na entrada 
Y(s) = X(s)G(s) => degrau unitário X(s) = 
1
𝑠²
; portanto Y(s) =
𝑠
(𝑠+4)(𝑠+8)
*
1
𝑠²
 
Y(s) =
1
𝑠(𝑠+4)(𝑠+8)
 
4) Ache a função de transferência 
a) 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
 
 
b) Y(s)=A(s)G(s) 
A(s)=X(s)-B(s) 
B(s)=Y(s)H(s) 
 Y(s)=[X(s)-B(s)]G(s) 
Y(s)=X(s)G(s)-Y(s)H(s)G(s) 
 Y(s)*(1+G(s)H(s))=X(s)G(s) 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1+𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
; do exercício anterior, G(s) equivale a G1(s)G2(s), portanto substituir 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
 
G 
H 
x(t) y(t) 
+ 
- 
G 
x(t) y(t) 
G1 
H 
x(t) y(t) 
+ 
- 
G2 
B(s) 
A(s) 
G1(s)G2(s) 
6) Qual a função de transferência dos sistemas abaixo 
a) 
G1(s) = 
1
(𝑠+1)(𝑠−1)
; G2(s) = 2(𝑠 + 2); H(s) = 1 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)
1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)
=
1
(𝑠+1)(𝑠−1)
2(𝑠+2)
1+
1
(𝑠+1)(𝑠−1)
2(𝑠+2)1
=
2(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠−1)
1+
2(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠−1)
=
2(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠−1)
(𝑠+1)(𝑠−1)
(𝑠+1)(𝑠−1)+2(𝑠+2)
=
2(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠−1)+2(𝑠+2)
 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
(2𝑠 + 4)
(𝑠2 + 2𝑠 + 3)
 
b) 
G1(s) =K; G2(s) = 
1
(𝑠+2)(𝑠−2)
; H(s) = 1 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)
1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)
=
𝐾
1
(𝑠+2)(𝑠−2)
1+𝐾
1
(𝑠+2)(𝑠−2)
1
=
𝐾
(𝑠+2)(𝑠−2)
(𝑠+2)(𝑠−2)
(𝑠+2)(𝑠−2)+𝐾
=
𝐾
(𝑠+2)(𝑠−2)+𝐾
=
𝐾
(𝑠2−4+𝐾)
 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐾
(𝑠2 − 4 + 𝐾)
 
 
 
 
 
 
 
6) Para o circuito abaixo, pergunta-se: 
Qual a função de transferência para VL em relação a e(t); 
Quais os polos e quais os zeros (colocar no quadriculado); 
𝐸(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∗ 2 + 𝐼(𝑠)
1
3𝑠
+ 𝐼(𝑠) ∗ 5𝑠 
VL(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∗ 5𝑠 
𝑉𝐿(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐼(𝑠)∗5𝑠
𝐼(𝑠)∗2+𝐼(𝑠)
1
3𝑠
+𝐼(𝑠)∗5𝑠
 
𝑉𝐿(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐼(𝑠)∗5𝑠
𝐼(𝑠)(2+
1
3𝑠
+5𝑠)
 
𝑉𝐿(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
5𝑠
(2 +
1
3𝑠 + 5𝑠)
 
𝑉𝐿(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
15𝑠²
(1 + 6𝑠 + 15𝑠²)
=
𝑠²
(𝑠² +
6
15 𝑠 +
1
15)
 
 
G1 
H 
x(t) y(t) 
+ 
- 
G2 
e(t) 
2Ω 3F 
5H V
L
 
I(s) 
E(s) 
VL(s) 
sL=5s 
1
𝑠𝐶
=
1
3𝑠
 2 
Polos: (𝑠2 +
6
15
𝑠 +
1
15
) = 0 
P1=-
1
5
+ √
6
15
𝑖; p1=-0,2+0,63i P2=-
1
5
− √
6
15
𝑖; p2=-0,2-0,63i 
 
Zeros: 𝑠² = 0 
z1=z2=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Montar a Matriz [U(s)] = [Z(s)]*[I(s)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e
1
(t) 
2Ω 
5H 
e
2
(t) 
2F 
4H 
6Ω 
3F 
ℝ 
ℐ 
O 
 
ℝℐ X 
X 
 
ℝℐ 
𝐼1(s) 𝐼2(s) 
𝐼3(s) 
𝐸1(s) 𝐸2(s) 
2
 
 
𝐸1(s) 
sL=4s 
1
𝑠𝐶
=
1
3𝑠
 
1
𝑠𝐶
=
1
2𝑠
 
6
 
 
𝐸1(s) 
𝐸1(𝑠)
𝐸2(𝑠)
0
 = 
2 + 4𝑠 +
1
2𝑠
−4𝑠 −
1
2𝑠
−4𝑠 6 + 4𝑠 +
1
3𝑠
−6
−
1
2𝑠
−6 6 + 5𝑠 +
1
2𝑠
 ∗ 
𝐼1(𝑠)
𝐼2(𝑠)
𝐼3(𝑠)
 
 
6) Equipamentos como ar condicionado são classificados como: 
( ) SISO – Single Input Single Output 
( ) SIMO – Single Input Multiple Output 
( ) MISO – Multiple Input Single Output 
( ) MIMO – Multiple Input Multiple Output 
( ) BIBO – Bounded Input Bounded Output 
7) Comparando sistemas de malha aberta com sistemas de malha fechada: 
a) Vantagens do sistema de malha aberta 
1 – Não tendência para oscilação ou instabilidade; 
 
2 – Mais barato 
b) Desvantagens do sistema de malha aberta 
1 - Precisão diminuida; 
2 - Sensitividade paramétrica aumentada; 
3 - Aumento dos efeitos de não linearidades; 
4 - Largura de faixa diminuida; 
8) Uma geladeira possui termostato, ajuste de temperatura, compressor + sistema trocadores de calor. 
a) Desenhe o diagrama de blocos com malha fechada do sistema 
b) identifique as partes do sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termostato 
Temperatura 
desejada 
+ 
- 
Compressor 
& trocadores 
de calor 
Temperatura 
real Compressor 
& trocadores 
de calor 
9) Em um sistema de malha fechada, qual a característica deve ser levada em consideração em relação a malha aberta 
( ) Piora na precisão 
( ) Aumento dos efeitos de não linearidade 
( ) Largura de faixa diminuída 
( ) Maior risco de oscilação ou instabilidade 
10) Identifique os sistemas abaixo 
a) SISO 
b) MISO 
c) SIMO 
d) MIMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reduza os seguintes diagramas de blocos à forma canônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
x(t) y(t) G 
x
1
(t) 
y(t) 
x
2
(t) 
G 
y
1
(t) 
x(t) 
y
2
(t) 
G 
x
1
(t) 
x
2
(t) 
y
1
(t) 
y
2
(t) 
G1 
x(t) 
+ 
- 
+ 
+ 
H1 
y(t) 
G4 G2 
G3 
H2 
+ 
+ 
a)
 
 
𝐸1(s) 
b)
 
 
𝐸1(s) 
c)
 
 
𝐸1(s) 
d)
 
 
𝐸1(s)G1G4 
x(t) 
+ 
- 
+ 
+ 
H1 
y(t) 
G2 
G3 
H2 
+ 
+ 
G1G4 
x(t) 
+ 
- 
+ 
+ 
H1 
y(t) 
G2 
G3 
H2 
+ 
+ 
G1G4 
x(t) 
+ 
- 
+ 
+ 
H1 
y(t) 
G2+G3 
H2 
𝐺1𝐺4
1 + 𝐺1𝐺4𝐻1
 
x(t) 
- 
+ 
y(t) 
G2+G3 
H2 
𝐺1𝐺4(𝐺2 + 𝐺3)
1 + 𝐺1𝐺4𝐻1
 
x(t) 
- 
+ 
y(t) 
H2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐺1𝐺4(𝐺2 + 𝐺3)
1 + 𝐺1𝐺4𝐻1
 x(t) 
- + 
y(t) 
H2 
𝐺1𝐺4(𝐺2 + 𝐺3)
1 + 𝐺1𝐺4𝐻1 + 𝐻2𝐺1𝐺4(𝐺2 + 𝐺3)
 x(t) y(t)