Exercício Simulados

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Disc.: CÁLCULO NUMÉRICO   
	Aluno(a): 
	
	Acertos: 9,0 de 10,0
	09/09/2019
	
	
	1a Questão (Ref.:201902328596)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	 
	-5
	
	2
	
	-11
	
	3
	
	-3
	Respondido em 09/09/2019 10:34:14
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201902393184)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
		
	
	- 0,4
	
	- 4/3
	
	4/3
	
	3/4
	 
	- 3/4
	Respondido em 09/09/2019 10:35:45
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201905176961)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
		
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	Respondido em 09/09/2019 10:37:03
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201902844901)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	Respondido em 09/09/2019 10:38:10
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201905186408)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
		
	
	2.154
	
	2,854
	
	3,104
	
	3,254
	 
	2,354
	Respondido em 09/09/2019 10:40:27
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201902835093)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
		
	
	(-2, -1)
	 
	(2, 3)
	
	(0, 1)
	
	(1, 2)
	
	(-1, 0)
	Respondido em 09/09/2019 10:45:22
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201902499677)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
		
	 
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	Respondido em 09/09/2019 10:49:34
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201903234298)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	Nenhuma das Anteriores.
	Respondido em 09/09/2019 10:51:07
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201902835152)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
		
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	Um polinômio do sexto grau
	Respondido em 09/09/2019 10:57:04
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201905259724)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	
	2,-1,3
	 
	-1, 3, 2
	
	1,-2,3
	 
	-1,2, 3
	
	1,2,-3
	Respondido em 09/09/2019 11:06:17
	
	1a Questão (Ref.:201902328596)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	2
	
	3
	
	-3
	
	-11
	 
	-5
	Respondido em 17/10/2019 11:14:17
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201902328564)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	-3
	 
	-7
	
	-11
	
	3
	
	2
	Respondido em 17/10/2019 11:13:40
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201905176961)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
		
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	Respondido em 17/10/2019 11:15:49
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201905176306)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo?
		
	
	(4, 5)
	
	(3; 4)
	
	(1,5; 2)
	
	(2,5; 3)
	 
	(0; 1)
	Respondido em 17/10/2019 11:17:52
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201903254448)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	 
	
	
	
	
	 
	
	
	 
	
	Respondido em 17/10/2019 11:23:39
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201903122441)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	Respondido em 17/10/2019 11:26:38
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201902845000)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	
	Método do ponto fixo.
	
	Método da falsa-posição.
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	Método da bisseção.
	Respondido em 17/10/2019 11:31:52
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201903234298)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	Nenhuma das Anteriores.
	 
	É utilizado para a resolução de sistemade equações lineares.
	Respondido em 17/10/2019 11:33:02
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201905259724)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	 
	-1, 3, 2
	 
	1,-2,3
	
	1,2,-3
	
	2,-1,3
	
	-1,2, 3
	Respondido em 17/10/2019 11:51:05
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201902845037)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função cúbica.
	 
	Função linear.
	
	Função logarítmica.
	
	Função quadrática.
	
	Função exponencial.
	 1a Questão
	
	
	
	Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
		
	 
	0,23%
	
	8%
	
	0,08%
	
	0,35%
	
	1,08%
	Respondido em 21/08/2019 12:38:37
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
		
	
	 9      
	
	  6    
	
	 7      
	
	14
	 
	10      
	Respondido em 21/08/2019 12:39:32
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,142
	 
	3,1416
	
	3,1415
	
	3,141
	
	3,14159
	Respondido em 21/08/2019 12:40:44
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
		
	
	16/17
	
	9/8
	 
	17/16
	
	- 2/16
	
	2/16
	Respondido em 21/08/2019 12:41:03
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
		
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	V(x) = x50 + 5
	
	V(x) = 55    
	 
	V(x) = 50x +5      
	Respondido em 21/08/2019 12:42:03
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	Respondido em 21/08/2019 12:43:07
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
		
	
	Função logaritma.
	
	Função afim.
	
	Função linear.
	
	Função exponencial.
	 
	Função quadrática.
	Respondido em 21/08/2019 12:43:26
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
		
	
	4/3
	
	- 0,4
	
	- 4/3
	 
	- 3/4
	
	3/4
	Respondido em 21/08/2019 12:43:48
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	Ponto fixo
	 
	Bisseção
	
	Gauss Jordan
	
	Gauss Jacobi
	
	Newton Raphson
	Respondido em 16/10/2019 15:25:14
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
		
	
	tem três raízes
	
	tem uma raiz
	 
	pode ter duas raízes
	
	não tem raízes reais
	
	nada pode ser afirmado
	Respondido em 16/10/2019 15:26:49
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
		
	 
	De truncamento
	
	Absoluto
	
	Relativo
	
	De modelo
	
	Percentual
	Respondido em 16/10/2019 15:27:39
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
		
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	 
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturashierárquicas.
	Respondido em 16/10/2019 15:34:45
	
Explicação:
Programação estruturada admite estruturas de repetição
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	 
	(0, 0.5)
	
	(-0.5, 0)
	
	(1.5, 2)
	
	(1, 1.5)
	
	(0.5, 1)
	Respondido em 16/10/2019 15:38:45
	
Explicação:
Utilizar o teorema de Bolzano, testando qual das opções  resulta f(a). f(b < 0 .
f(x) = x3-8x+1   
para  x=0  resulta  f(0) =  +1  positivo
para x=0,5  resulta f(0,5) =  0,53 - 8.x0,5  +1 =  - 2,875 negativo  
Então o produto deses valores negativo e há pelo menos uma raiz nesse intervalo ou um número ímpar de raizes.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
		
	 
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	Respondido em 16/10/2019 15:43:01
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
		
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	Respondido em 16/10/2019 16:13:50
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
		
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	Respondido em 16/10/2019 16:15:15
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		1.
		Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
	
	
	
	1,67
	
	
	1,77
	
	
	1,70
	
	
	1,87
	
	
	1,17
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Ponto fixo      
	
	
	Newton Raphson  
	
	
	Gauss Jordan        
	
	
	Bisseção      
	
	
	Gauss Jacobi
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	1.0746
	
	
	1.0800
	
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(2, 3)
	
	
	(0, 1)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DOPONTO FIXO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2.154
	
	
	3,254
	
	
	3,104
	
	
	2,854
	
	
	2,354
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	 
		
	
		1.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinação de raízes.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x
	
	
	y=2x-1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1,2, 3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,-2,3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	
	
	
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
Explicação:
Multiplicando a segunda  por ( -2 ) e somando com a  primeira elimina-se o x2  e resulta :
-3x1 = -60   ..donde  x1 = 20 .
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 :
5.20 + 4 x2  = 180  ...  4  x2  = 180 -100  = 80   ... x2  = 20. 
 
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
	
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
	
Explicação:
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema apresentará discussão:
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução)
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções)
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução)
	
	 
		
	
		1.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,-2,3
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,2,-3
	
	
	-1, 3, 2
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange.Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	grau 15
	
	
	grau 30
	
	
	grau 20
	
	
	grau 32
	
	
	grau 31
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = ax + 2
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Integração.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Derivação.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro derivado
	
	
	 
		
	
		1.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos.
	
	
	
	menor ou igual a n
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(11,14,17)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
	
	
	
	4,785
	
	
	3,985
	
	
	7,970
	
	
	5,125
	
	
	2,395
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função exponencial.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,500
	
	
	 13,000
	
	
	 13,857
	
	
	 13,900
	
	
	 13,017
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
	
	
	
	5
	
	
	Indefinido
	
	
	20
	
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		1.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 135 cm, mas o valor correto era 125 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	7%           
	
	
	0,074 %
	
	
	0,08 %     
	
	
	7,4 %
	
	
	8 %      
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (135 - 125) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 125 = 0,08 = 8%
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	0,83%
	
	
	7,7%    
	
	
	8,3%      
	
	
	0,77%
	
	
	0,077%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
	
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos,isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	Indefinido
	
	
	0,3
	
	
	3
	
	
	0,5
	
	
	30
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro relativo
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,142
	
	
	3,1416
	
	
	3,1415
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
	
	
	
	0,6667
	
	
	0,2667
	
	
	0,1667
	
	
	0,30
	
	
	0,1266
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	0.0015926536
	
	
	3,14
	
	
	0,14
	
	
	0,1415926536
	
	
	3,1416
	
		1.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	5
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	0,351
	
	
	1,053
	
	
	0,382
	
	
	1,567
	
	
	0,725
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
	
	
	
	[3,4]
	
	
	[4,6]
	
	
	[5,6]
	
	
	[4,5]
	
	
	[2,3]
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
	
	
	
	0,4
	
	
	0,8
	
	
	1,2
	
	
	1,0
	
	
	0,6
	
	
	 
		
	
		1.
		
	
	
	
	Método dos Trapézios Repetidos
	
	
	Polinômio de Newton
	
	
	Método de Lagrange
	
	
	Newton-Raphson
	
	
	Método de Euler
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
	
	
	
	X21 + 3X + 4
	
	
	X20 + 7X - 9
	
	
	X19 + 5X + 9
	
	
	X30 + 8X + 9
	
	
	X20 + 2X + 9
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro booleano
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro relativo
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere f (x) = x3 − 9x +3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
	
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
		1.
		O método da bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo Numérico e se baseia na sucessiva divisão de intervalo no qual consideramos a existência de raízes até que as mesmas (ou a mesma) estejam determinadas. Considerando a função f(x)= x3-3x2+4x-2, o intervalo [0,5], identifique o próximo intervalo a ser adotado no processo reiterado do método citado.
	
	
	
	[3,4]
	
	
	[0; 1,5]
	
	
	[0; 2,5]
	
	
	[3,5]
	
	
	[2,5 ; 5]
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual o resultado da seguinte operação:
0,68723 x 10-1 - 0,4559 x 10-2
	
	
	
	0,6416 x 10-1
	
	
	6,4164 x 10-2
	
	
	5,4164 x 10-3
	
	
	6,4164 x 10-3
	
	
	Nenhuma das anteriores.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Uso de dados de tabelas
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	0,8%
	
	
	99,8%
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,992
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	2.10-2 e 1,9%0,030 e 1,9%