Capítulo 1 Controle de processo em tempo discreto

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PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Controle de Processos em Tempo Discreto
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Por: Gustavo Henrique da Costa Oliveira
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Conteu´do
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1 Introduc¸a˜o e Motivac¸o˜es
• Sistemas de controle em tempo discreto (digitais):
Algumas motivac¸o˜es... Sistemas digitais
– sa˜o mais precisos e mais confia´veis que sistemas analo´gicos. Na˜o
dependem da precisa˜o dos componentes eletroˆnicos.
– sa˜o mais flex´ıveis e versa´teis que sistemas analo´gicos. Podem ser
reprogramados e/ou possuir mais de uma func¸a˜o.
– esta˜o se tornado cada vez mas baratos.
• Algumas aplicac¸o˜es datam da de´cada de 50 e o uso generalizado deu-se na
de´cada de 80
(CLP, de´cada de 70).
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• Atualmente, praticamente todo sistema de controle esta´ implementado de
forma digital.
• Pode-se ver sistemas de controle digitais como aproximac¸o˜es de sistemas
analo´gicos
OU
⇒ Estudar seu funcionamento a fim de compreender suas caracter´ısticas e
aproveitar seu potencial.
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2 Esquema de Funcionamento
Relógio
D-AA-D ProcessoAlgoritmo
Computador
u(t) y(t)
u(k)y(k)
y(t)
• u(t) e y(t) sa˜o os sinais de controle e sa´ıda do processo em tempo cont´ınuo
(varia´veis manipuladas e controladas), com: x(t), t ∈ R.
• u(k) e y(k) sa˜o os sinais de controle e sa´ıda em tempo discreto, com:
x(k) ∈ R e k ∈ Z ou
{x(k)} = {x(k) : k = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
• A-D e D-A sa˜o conversores analo´gico-digital (amostragem) e
digital-analo´gico (reconstruc¸a˜o).
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• Algoritmo e´ lei de controle implementada na forma de um programa de
computador, cujo disparo e´ acionado a intervalos regulares de tempo.
→ o per´ıodo de amostragem ∆t (frequeˆncia wa)
Passos:
1. Esperar pelo sinal do relo´gio
2. Realizar a conversa˜o analo´gico-digital (leitura)
3. Calcular o sinal de controle
4. Realizar a conversa˜o digital-analo´gico (escrita)
5. Atualizar as varia´veis do sistema
6. Passo 1
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Algoritmo
Leitura
Escrita
O instante de tempo entre duas leituras e´ de um per´ıodo de amostragem (∆t
segundos) e o tempo recomenda´vel entre a leitura e a escrita e´ de no ma´ximo
10% do per´ıodo de amostragem.
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No tempo, sistema de controle em tempo discreto funciona conforme a figura
abaixo:
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3 Aspectos de Hardware
• CLP (Controladores Lo´gicos Programa´veis) sa˜o computadores especiais
projetados para serem robustos em ambiente industrial.
Sa˜o sistemas proprieta´rios em termos de software e hardware.
• Sistemas de controle baseados em plataforma PC na˜o sa˜o proprieta´rios e
esta˜o se tornando, cada vez mais, uma alternativa via´vel.
Sa˜o mais flex´ıveis em termos de utilizac¸a˜o e custo.
Sistemas com processamento em tempo real
• Hard Real Time Processing : quando as tarefas de tempo real relacionadas
com o sistema de controle sa˜o realizadas em instantes determin´ısticos de
tempo.
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3.1 Leitura complementar
Livro texto:
Computer Controlled Systems (CCS), autores K. Astrom e B. Wittenmark
• Sec¸a˜o 1.1: Introduction - sobre o contexto do curso.
• Sec¸a˜o 1.2: Computer Technology - tecnologia de implantac¸a˜o de sistemas de
controle em tempo discreto.
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4 Aspectos Teo´ricos
4.1 Sinais em tempo discreto e Amostragem
• Amostragem: quando o conversor A-D transforma um sinal cont´ınuo
(analo´gico) em uma sequeˆncia indexada de nu´meros, isto e´, um sinal discreto
(digital).
• Quantizac¸a˜o: quando a amplitude de um sinal discreto pode assumir
somente um nu´mero finito de valores.
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0 1 2 3 4
2
3
4
5
6
co
n
tin
uo
tempo em segundos [t]
0 1 2 3 4
2
3
4
5
6
pt
s 
am
os
tra
do
s
tempo em segundos [k∆t]
0 2 4 6 8
0
1
2
3
4
5
6
di
sc
re
to
iterações [k]
0 2 4 6 8
0
1
2
3
4
5
6
qu
an
tiz
aç
ao
iterações [k]
x(t) x(k∆t) 
x(k) xq(k) 
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4.2 Teorema da Amostragem
• O teorema da amostragem relaciona a frequeˆncia de amostragem com o fato
de que um sinal possa ser unicamente representado pelas suas amostras.
• Assuma que o processo de amostragem e´ representado pela multiplicac¸a˜o de
um sinal x(t) por um trem de impulsos p(t), isto e´:
xa(t) = x(t)p(t) onde p(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− n∆t)
X
t t
t
x(t) p(t)
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Apo´s multiplicac¸a˜o pelo trem de impulsos, o sinal torna-se:
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
1
2
3
4
5
6
tempo [seg]
x
(t)
x(0.5) 
x(1) 
x(1.5) 
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O sinal p(t) e´
p(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− n∆t)
portanto, perio´dico, com frequeˆncia wa.
an =
1
T
∫ T/2
−T/2
x(t)e−jnw0tdt
an =
1
∆t
∫ ∆t/2
−∆t/2
δ(t)e−jnwatdt
an =
1
∆t
∫ ∆t/2
−∆t/2
δ(t)dt =
1
∆t
e
X(jw) =
∞∑
n=−∞
2piakδ(w − nw0) P (jw) =
∞∑
n=−∞
2pi
1
∆t
δ(w − nwa)
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• Em termos da frequeˆncia, a multiplicac¸a˜o no tempo equivale a` convoluc¸a˜o na
frequeˆncia.
Se X(jw) e´ a resposta em frequeˆncia do sinal original (cont´ınuo) e P (jw) a
do trem de impulsos, ie:
w-w
w
X(jw)
w
a a
-w
w
N N
P(jw)
2pi/delta_t
tem-se que Xa(jw) e´ a resposta em frequeˆncia do sinal amostrado.
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A convoluc¸a˜o entre X(jw) e P (jw)
Y (jw) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X1(jθ)X2(j(w − θ))dθ
Xa(jw) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
∞∑
n=−∞
2pi
1
∆t
δ(w − nwa)X(j(w − θ))dθ
Xa(jw) =
1
∆t
∞∑
n=−∞
∫ ∞
−∞
δ(w − nwa)X(j(w − θ))dθ
Xa(jw) =
1
∆t
∞∑
n=−∞
X(j(w − nwa))
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• O sinal amostrado Xa(jw) e´ dado por:
Xa(jw) =
1
∆t
∞∑
n=−∞
X(j(w − nwa))
w w
a aN N-w-w
w
X(jw)
Teorema da Amostragem: Seja x(t) um sinal limitado em frequeˆncia (ie,
X(jw) = 0, ∀ |w| > wN ). Enta˜o x(t) pode ser unicamente determinado atrave´s
de suas amostras sss
wa > 2wN
wN e´ a frequeˆncia de Nyquist (Nyquist frequency)
2wN e´ a taxa de Nyquist (Nyquist rate)
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4.2.1 Efeitos da sub-amostragem: Aliasing
• Quando o sinal na˜o e´ amostrado com uma frequeˆncia suficientemente grande,
os espectros de frequeˆncia gerados pela convoluc¸a˜o podem se sobrepor e o
sinal original na˜o e´ mais recupera´vel.
• Energia em frequeˆncias antes inexistentes aparecem.
w w
a aN N-w-w
w
X(jw)
Pre´-filtragem: Para evitar o aliasing, pois sinais reais na˜o sa˜o limitados em
frequeˆncia, filtros analo´gicos podem ser inseridos antes da amostragem (Filtros
Antialiasing).
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• Assuma, por exemplo, um sinal x(t) = sin(2pit), ie, 1 Hz.
• A amostragem e´ realizada na frequeˆncia de 1.2 Hz, portanto, abaixo da taxa
de Nyquisty.
• O espectro do sinal original e do sinal amostrado sa˜o:
w
X(jw)
w
1-1
1.2-1.2 0.2-0.2
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0 1 2 3 4 5 6
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Original 1Hz + Amostragem 1.2Hz (0.83seg) => 0.2Hz (5seg)
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4.3 Quantizac¸a˜o
• Quantizac¸a˜o e´ um sistema na˜o-linear e na˜o-invers´ıvel que transforma:
uma sequeˆncia de entrada x(k) (que pode assumir infinitos valores dentro de
um intevalo [a, b]) em
uma sequeˆncia de sa´ıda xq(k) (que pode assumir somente um nu´mero finito
de valores dentro do mesmo intevalo [a, b])
• Ex.:
Seja x(k) ∈ [0, 10]. Apo´s quantizac¸a˜o, xq(k) ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 10}
• O processo de quantizac¸a˜o esta´ relacionado com a representac¸a˜o bina´ria de
um nu´mero.
No exemplo, assuma uma representac¸a˜o de 2-bits. Somente 22 = 4 nu´meros
diferentes podem ser representados.
Assim, xq(k) ∈ { 0, 3.33, 6.66, 10 }.
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• Resoluc¸a˜o do processo de quantizac¸a˜o e´ a diferenc¸a entre os n´ıveis do sinal
xq(k)
No exemplo, a resoluc¸a˜o e´ 3.33
• Erro devido a` quantizac¸a˜o e´ dado por ξ(k), e:
x(k) = xq(k) + ξ(k)
No exemplo, assuma que o sinal amostrado no instante k e´ x(k) = 4. Assim,
apo´s o processo de quantizac¸a˜o, tem-se um sinal xq(k) = 3.33, com erro de
quantizac¸a˜o igual a ξ(k) = 0.67.
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4.4 Sistemas Discretos e Transformada Z
• Sistemas em tempo discreto sa˜o mapeamentos que transformam sinais de
entradas discretos em sinais de sa´ıda discretos.
• Podem ser modelados usando equac¸o˜es a diferenc¸as
y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) = b1u(k − 1) + b2u(k − 2)
• O operador avanc¸o / atraso
qx(k) = x(k + 1) e q−1x(k) = x(k − 1)
• A ana´lise e´ feita usando a Transformada Z
X(z) = Z{ x(k) } =
∞∑
k=0
z−kx(k)
• A Transformada Z e´ ana´loga a` Transformada de Laplace para sistemas
cont´ınuos e possui propriedades similares ao operador avanc¸o / atraso
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4.5 Reconstruc¸a˜o
• E´ o processo inverso da amostragem, isto e´, a conversa˜o de uma sequeˆncia
x(k) em uma func¸a˜o cont´ınua x(t).
• Reconstruc¸a˜o usando segurador de ordem zero (SOZ), ou Zero order hold
(ZOH )
x(t) = x(k), k∆t ≤ t < (k + 1)∆t
• Devido a` simplicidade, e´ bastante utilizado em sistemas de controle discretos.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Amostras 
Sinal apos
reconstrucao 
• Existe um tempo de atraso associado com a utilizac¸a˜o do SOZ.
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5 Estudo de caso:
5.1 Sistema de 1a ordem
• Seja um sistema em malha aberta dado por:
H(s) =
1
s+ 1
• Este modelo representa aproximadamente o processo ”ball-and-hoop”do
laborato´rio.
• Assuma que dois sistemas de controle sa˜o implementados, um cont´ınuo e um
baseado em computador.
e que o controlador discreto possui per´ıodo de amostragem de ∆t = 0.5
segundos.
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• O controlador e´ proporcional;
• A figura abaixo representa a resposta dos sistemas cont´ınuo e discreto, com
ganho proporcional de k = 1, k = 2.5 e k = 5.
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5.2 Exemplo 1.2 do Livro CCS, Sec¸a˜o 1.3
• O exemplo aborda o problema de controle de um brac¸o de disk-drive
• O modelo deste tipo de processo e´ (duplo integrador):
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
k
Js2
• Assuma a seguinte configurac¸a˜o de sistema de controle
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• O algoritmo de controle, apo´s substituic¸o˜es propostas no livro, e´:
U(s) =
Jw2o
2k
Uc(s)− (2Jw2o/k)
s+ wo/2
s+ 2wo
Y (s)
• Com este controlador, os po´los de malha fechada sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio
P (s), e:
P (s) = s3 + 2wos2 + 2w2os+ w
3
o
• A resposta dos sistemas cont´ınuo e discreto, quando o per´ıodo de
amostragem e´ 0.2/wo e´ apresentada na Figura 1.6 (livro). Nota-se que a
resposta dos dois sistemas e´ pro´xima.
• Na Figura 1.8 (livro) nota-se, pore´m, que a resposta do sistema discreto
tende a se deteriorar com o aumento do per´ıodo de amostragem.
• O aumento no per´ıodo de amostragem na˜o implica em baixo desempenho.
Quando bem projetado, um sistema de controle em tempo discreto pode
apresentar desempenho superior ao cont´ınuo, ver exemplo controle dead-beat
na Figura 1.9 (livro).
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6 Exerc´ıcios resolvidos
1. Calcule a equac¸a˜o de y(k) quando y(0) e y(1) sa˜o iguais a 1 (Se´rie de
Fibonacci)
y(k + 2) = y(k + 1) + y(k)
sol.:
z2Y (z)− z2y(0)− zy(1) = zY (z)− zy(0) + Y (z)
Y (z)(z2 − z − 1) = z2
Y (z) =
z2
z2 − z − 1 = z
(
z
(z − 1.618)(z + 0.618)
)
Y (z) = z
(
0.7236
z − 1.618 +
0.2764
z + 0.618
)
y(k) = Z−1{Y (z)} = 0.7236(1.618)k + 0.2764(−0.618)k, k ≥ 0
y(k) = { k ≥ 0 : 1, 1, 2, 3, . . . , ∞ }
v1 (2s/2006) 1-36
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2. Calcule a equac¸a˜o de y(k) quando y(0) = 1 e y(k) = 0 para k < 0.
y(k + 2) = 0.5y(k + 1)− 0.3y(k)
sol.:
z2Y (z)− z2y(0)− zy(1) = 0.5zY (z)− 0.5zy(0)− 0.3Y (z)
mas y(0) = 1 ⇒ y(1) = 0.5
z2Y (z)− z2 − 0.5z = 0.5zY (z)− 0.5z − 0.3Y (z)
Y (z) =
z2
z2 − 0.5z + 0.3
comparando
α2 = 0.3 ⇒ α = √0.3
2α cosw = 0.5 ⇒ cosw =
√
0.3
1.2
w = 1.0968 ⇒ α sinw = 0.4061
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Y (z) =
z2
z2 − 2α coswz + α2
comparando com a transformada do cosseno ponderado, tem-se
Y (z) =
z2 − α coswz + α coswz
z2 − 2α coswz + α2
Y (z) =
z2 − α coswz
z2 − 2α coswz + α2 +
α coswz
z2 − 2α coswz + α2
Y (z) =
z2 − α coswz
z2 − 2α coswz + α2 +
(cosw
sinw
) α sinwz
z2 − 2α coswz + α2
y(k) = αk cos(wk) +
(
1
tanw
)
αk sin(wk), k ≥ 0
ou
y(k) = (
√
0.3)k cos(1.0968k) + 0.513(
√
0.3)k sin(1.0968k), k ≥ 0
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3. Calcule a equac¸a˜o de y(k) quando x(k) e´ um impulso e as condic¸o˜es iniciais
sa˜o nulas.
y(k + 2)− 1.5y(k + 1) + 0.7y(k) = x(k + 2) + 2x(k + 1)
sol.:
z2Y (z)− 1.5zY (z) + 0.7Y (z) = z2X(z) + 2zX(z)
Y (z) =
z2 + 2z
z2 − 1.5z + 0.7X(z)
como X(z) = 1 e comparando
α2 = 0.7 ⇒ α = √0.7
2α cosw = 1.5 ⇒ cosw = 0.8964
w = 0.4592 ⇒ α sinw = 0.3708
tem-se:
Y (z) =
z2 + 2z
z2 − 2α coswz + α2
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comparando com a transformada do cosseno ponderado, tem-se
Y (z) =
z2 − α coswz + α coswz + 2z
z2 − 2α coswz + α2
Y (z) =
z2 − α coswz
z2 − 2α coswz + α2 +
(
α cosw + 2
α sinw
)
α sin z
z2 − 2α coswz + α2
y(k) = αk cos(wk) +
(
α cosw + 2
α sinw
)
αk sin(wk), k ≥ 0
ou
y(k)= (
√
0.7)k cos(0.4592k) + 7.4162(
√
0.7)k sin(0.4592k), k ≥ 0
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7 Exerc´ıcios
1. Reproduza (usando o matlab) o estudo de caso da Sec¸a˜o 5.1
2. Para cada uma das equac¸o˜es abaixo,
a) u(k + 2) = 0.25u(k)
b) u(k + 2) = −0.25u(k)
c) u(k + 2) = u(k + 1)− 0.5u(k)
Resolva as equac¸o˜es a diferenc¸a usando transformada Z, isto e´, obtenha uma
expressa˜o para u(k), k = 0, 1, 2, 3, . . ., quando u(0) = 1 e u(k) = 0, k < 0.
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Refereˆncias
Astrom, K. J. and B. Wittenmark (1997). Computer Controlled Systems, Theory
and Design. 3 ed.. Prentice-Hall, Inc.
v1 (2s/2006) 1-42