Experimentos fatoriais

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4 Experimentos Fatoriais 
Conteúdo 
4.1 Caracterização ................................................................................................................145 
4.2 Usos de Experimento Fatorial .......................................................................................146 
4.3 Vantagens e Desvantagens de Experimento Fatorial ...................................................146 
4.4 Notação ...........................................................................................................................147 
4.5 Classificação de Experimentos Fatoriais ......................................................................147 
4.6 Conceitos Importantes....................................................................................................148 
4.7 Modelo Estatístico..........................................................................................................149 
4.8 Análise Estatística ..........................................................................................................150 
4.9 Experimentos Fatoriais 2 x 2.........................................................................................150 
4.9.1 Efeitos simples, efeitos principais e interação dos fatores ......................................151 
4.9.2 Estimação dos parâmetros e dos efeitos simples, efeitos principais e interação....154 
4.9.3 Análise da variação e testes de significâncias ..........................................................158 
4.9.3.1 Fatorial 2x2 sem interação ....................................................................................158 
4.9.3.2 Fatorial 2x2 com interação ....................................................................................162 
4.10 Experimentos Fatoriais 2x2x2.......................................................................................166 
4.11 Experimentos fatoriais com fatores de mais de dois níveis.........................................172 
4.11.1 Dois fatores qualitativos específicos.....................................................................173 
4.11.2 Um fator quantitativo e um fator qualitativo específico......................................181 
4.11.3 Dois fatores quantitativos......................................................................................188 
4.12 Exercícios........................................................................................................................191 
 
4.1 Caracterização 
 Experimento fatorial é um experimento com dois ou mais fatores. Nesse caso, os 
tratamentos são as combinações dos níveis dos fatores no experimento e constituem um esquema 
fatorial. O processo de escolha e arranjamento de fatores e correspondentes níveis para o 
experimento é designado delineamento de tratamento. 
 Um experimento fatorial pode adotar qualquer delineamento experimental, desde que 
apropriado para as condições específicas em que é conduzido. Dessa forma, as condições para a 
condução de um experimento fatorial em um delineamento simples são as mesmas consideradas 
anteriormente para experimentos unifatoriais. Entretanto, alguns delineamentos experimentais são 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 146 
especialmente apropriados para experimentos fatoriais. Alguns desses delineamentos serão 
considerados no próximo capítulo. 
4.2 Usos de Experimento Fatorial 
 Experimentos fatoriais são apropriados para as seguintes situações gerais: 
 1) Experimentos exploratórios, para determinar, rapidamente, os efeitos de cada um de 
um número relativamente elevado de fatores sobre características de interesse de um sistema. Em 
áreas novas de pesquisa, algumas vezes são conduzidos experimentos com número elevado de 
fatores, cada um em dois níveis, para seleção dos fatores mais importantes para ulterior pesquisa 
em experimentos mais detalhados, unifatoriais ou com poucos fatores. 
 2) Experimentos com propósito de recomendações para ampla faixa de condições. Em 
experimentos com um único fator principal pode ser conveniente incluir fatores adicionais para 
ampliar a base para as inferências que serão derivadas. 
 3) Estudo das interações entre os efeitos de vários fatores. Muito freqüentemente, a 
resposta a um fator depende do nível de um ou mais dos outros fatores no experimento, o que 
caracteriza a interação de fatores. A interação de fatores não pode ser determinada em 
experimentos unifatoriais separados, pois em cada experimento unifatorial os demais "fatores" 
estão presentes em um único nível. 
4.3 Vantagens e Desvantagens de Experimento Fatorial 
 Relativamente a experimentos unifatoriais separados com os mesmos fatores, o 
experimento fatorial apresenta as seguintes vantagens e desvantagens: 
 Vantagens 
 - Permite o estudo de interações, que é inviabilizado em experimentos separados. 
 - Economiza tempo e recursos, especialmente material. 
 - Amplia a base de inferência, o que pode significar maior proximidade entre a população 
amostrada e a população objetivo da pesquisa. 
 - Aumenta a precisão do experimento, em decorrência do maior tamanho de um 
experimento único em relação aos tamanhos de experimentos isolados. Ademais, a precisão de 
inferências referentes a efeitos separados de fatores e de interações de fatores também é aumentada 
pela presença de "repetições escondidas". 
 Desvantagens 
 - Aumenta o tamanho do experimento, o que muitas vezes inviabiliza a desejável 
execução de experimentos com todos fatores de interesse com interações esperadas. 
 - Aumenta a complexidade do experimento. Essa característica não é propriamente uma 
desvantagem do experimento fatorial, mas uma dificuldade inerente ao sistema sob pesquisa. 
 - Dificulta a interpretação dos resultados, em decorrência da presença de interações. Na 
realidade, essa circunstância também é inerente à complexidade do sistema sob pesquisa, que 
4. Experimentos Fatoriais 147 
implica na adoção de experimento fatorial. Essa dificuldade torna-se maior quanto mais elevado é 
o número de fatores no experimento. Interações de ordem mais elevadas, ou seja, que envolvem 
maior número de fatores, são usualmente de interpretação muito difícil. Felizmente, muito 
freqüentemente, interações de menor número de fatores são as mais importantes e interações de 
muitos fatores são irrelevantes. 
4.4 Notação 
 Um fator é denotado por uma letra maiúscula - uma das primeiras letras maiúsculas do 
alfabeto ou a inicial maiúscula do nome do fator; ou seja, por: A, B, C,..., ou por N e P, 
respectivamente para os fatores nitrogênio e fósforo, por exemplo. 
 Um nível de um fator é denotado pelo símbolo correspondente do fator com um índice 
específico; por exemplo, A1 indica o nível 1 do fator A. O número de níveis de um fator é 
denotado pela letra minúscula que corresponde ao símbolo do fator; assim, por exemplo, o número 
de níveis do fator A é denotado por a. 
 Uma combinação de níveis é denotada pela justaposição dos correspondentes símbolos 
dos níveis de cada um dos fatores. Assim, por exemplo, a combinação do nível 1 do fator A com o 
nível 2 do fator B é denotada por A1B2. 
 É comum denotar um estrutura fatorial de condições experimentais pelos símbolos dos 
fatores justapostos intercalados pela letra minúscula "x". Assim, por exemplo, uma estrutura 
fatorial de dois fatores A e B é denotada por AxB. 
 Também é usual designar um experimento com estrutura fatorial pela indicação do 
produto dos números de níveis dos fatores. Assim, um experimento fatorial com dois fatores A e B 
é um fatorial axb. um experimento particular com dois fatores Ração e Sexo, respectivamente 
com três e dois níveis, é um fatorial 3x2; um experimento com dois fatores Nitrogênio e Fósforo 
cada um com três níveis é um fatorial 3x3, ou 32. 
4.5 Classificação de Experimentos Fatoriais 
 De modo mais genérico, os experimentos fatoriais podemser classificados quanto às 
combinações dos níveis dos fatores presentes no experimento. Um experimento fatorial é 
denominado completo se todas as combinações dos níveis dos fatores estão presentes no 
experimento. É incompleto, se as combinações de níveis presentes no experimento são parte das 
combinações dos níveis dos fatores, ou seja, se uma ou mais das combinações são omitidas no 
experimento. 
 Os experimentos fatoriais completos são algumas vezes classificados quanto ao número 
de fatores e ao número dos correspondentes níveis, nas seguintes categorias: 
 • Série 2n - n fatores cada um em 2 níveis. Essa categoria compreende os esquemas 
fatoriais com dois ou mais fatores em que todos os fatores consistem de dois níveis; ou seja, os 
fatoriais 2x2, 2x2x2, etc. 
 • Série 3n - n fatores cada um em 3 níveis. Compreende os esquemas fatoriais com todos 
os fatores de 3 níveis, ou seja, os fatoriais 3x3, 3x3x3, etc. 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 148 
 • Fatoriais mistos. Essa categoria inclui os esquemas fatoriais em que os fatores não 
apresentam o mesmo número de níveis. Por exemplo, o esquema fatorial de dois fatores, um fator 
com 3 níveis e o outro com 4 níveis, ou seja, o fatorial 3x4. 
4.6 Conceitos Importantes 
 Em um experimento com dois fatores A e B cada um com dois níveis, a variação do valor 
populacional médio da variável resposta entre os níveis do fator A para um dos níveis específicos 
do fator B, seja B1, é denominada efeito simples do fator A para o nível 1 do fator B e denotada 
por A|B1. Semelhantemente, pode-se definir o efeito simples do fator A para o nível 2 do fator B, 
denotada por A|B2, e o efeito simples do fator B para cada um dos dois níveis do fator A, ou seja, 
B|A1 e B|A2. 
 O efeito principal do fator A, denotado pelo mesmo símbolo do fator, neste caso A, é a 
variação da resposta populacional média aos níveis do fator A globalmente para os dois níveis do 
fator B. O efeito principal do fator B é a variação da resposta populacional média entre os níveis 
deste fator, globalmente para os dois níveis do fator A. 
 Esses conceitos estendem-se para esquemas fatoriais com mais de dois fatores e com 
fatores de mais de dois níveis. Assim, para um esquema fatorial de três fatores A, B e C, com a, b 
e c níveis, respectivamente, pode-se definir o efeito simples do fator A para uma combinação de 
níveis particular dos fatores B e C, seja B1C2, como a variação da resposta populacional entre os 
níveis do fator A para a combinação B1C2, denotado por A|B1C2, ou para um nível específico do 
fator B, seja B1, globalmente para os c níveis do fator C, denotado por A|B1, ou para um nível 
específico do fator C, seja C2, globalmente para os b níveis do fator B, denotado por A|C2. O efeito 
principal do fator A é a variação da resposta populacional entre os níveis deste fator globalmente 
para as bc combinações dos níveis dos fatores B e C. 
 A interação de dois fatores A e B cada um com dois níveis, denotada por AxB, é a 
variação da resposta populacional ao fator A quando muda o nível do fator B, ou, reciprocamente, 
a variação da resposta populacional ao fator B quando muda o nível do fator A. A interação 
corresponde à variação do efeito simples de um fator entre os níveis do outro fator. Quando o 
efeito simples de um fator não varia entre os níveis do outro fator, a interação AxB é nula, ou 
inexistente. 
 O conceito de interação de dois fatores estende-se para interação de três fatores como 
segue: A interação de três fatores A, B e C, denotada por AxBxC, é a variação da interação AxB 
quando muda o nível do fator C, ou a variação da interação AxC quando muda o nível do fator B, 
ou, ainda, a variação da interação BxC quando muda o nível do fator A. Dessa forma, o conceito 
de interação é recíproco. Ele se estende, de modo geral, para qualquer número de fatores, 
recursivamente, ou seja: a interação de n fatores é a variação da interação de qualquer de seus 
subconjuntos de n-1 fatores quando muda o nível do fator restante. 
 Em um experimento fatorial, a derivação de inferências referentes aos efeitos dos fatores 
depende da presença ou ausência de interação. Na situação de ausência de interação, os fatores 
agem independentemente sobre a variável resposta, de modo que se pode inferir sobre a variação 
da resposta a um dos fatores independentemente do nível do outro fator. Entretanto, na presença de 
interação, as inferências sobre um dos fatores dependem do nível do outro fator. 
4. Experimentos Fatoriais 149 
4.7 Modelo Estatístico 
 O modelo estatístico para um experimento fatorial é o mesmo modelo básico para 
experimento unifatorial, que depende do delineamento adotado, com a substituição do termo que 
representa o efeito de tratamento por uma soma de termos que representam os efeitos principais e 
as interações dos fatores. 
 Assim, por exemplo, em um experimento com dois fatores A e B, o efeito de uma 
condição experimental tij (combinação do nível i do fator A com o nível j do fator B) é 
decomposto nos efeitos principais e na interação dos fatores A e B, ou seja: tij = ai + bj + abij. 
Então, a equação do modelo estatístico para um experimento com dois fatores fixos A e B com 
delineamento completamente casualizado é: 
ijk i j ij ijky = m + a + b + ab + e , i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, k=1,2,...,r, 
onde a e b são os números de níveis dos fatores A e B, respectivamente, r é o número de repetições 
comum para todas condições, ai é o efeito diferencial esperado do fator A, bj é o efeito diferencial 
esperado do fator B e abij é o efeito esperado da interação dos dois fatores. 
 Os termos ai, bj e abij têm a mesma pressuposição do termo referente a fator de tratamento 
fixo de experimento unifatorial, ou seja, são constantes populacionais desconhecidas (parâmetros). 
As pressuposições referentes à média geral esperada m e ao erro experimental eijk permanecem as 
mesmas de experimento unifatorial: m é um parâmetro da população e eijk (i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, 
k=1,2,...,r) é uma variável aleatória tal que E(eijk)=0, Var(eijk)=σ2 e e Cov(eijk, ei’j’k’)=0 para 
quaisquer duas unidades experimentais distintas. 
 Por conveniência, adotam-se as seguintes condições para os parâmetros: 
• a1 + a2 + ... + aa = 0; 
• b1 + b2 + ... + bb= 0; 
• abi1 + abi2 + ... + abib = 0, i=1,2,...,a; 
• ab1j + ab2j + ... + abaj = 0, j=1,2,...,b. 
 Essas condições implicam que a média populacional da variável resposta na unidade com 
a condição experimental correspondente à combinação do nível i do fator A com o nível j do fator 
B, denotada por mij, é: 
( )ijkij i j ijym = = m + a + b + abE , i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, k=1,2,...,r, 
já que: E(m) = m, E(ai) = ai, E(bj) = bi, E(aibj) = aibj e E(eij)= 0. Então, as médias populacionais da 
variável resposta nas unidades o nível i do fator A e com o nível j do fator B, denotadas por im . e 
jm. , respectivamente, são: 
( )i iim = = m + ay. ..E , i=1,2,...,a, e 
( )jj jym = = m + b. .. E , j=1,2,...,b. 
 Em algumas situações, que não serão consideradas neste texto, os fatores podem ser 
aleatórios, ou alguns fixos e outros aleatórios. 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 150 
4.8 Análise Estatística 
 A estimação dos parâmetros é procedida pelo método de quadrados mínimos. Os 
estimadores dos parâmetros, em geral, são funções das médias da amostra para os níveis e as 
combinações dos níveis dos fatores e da média geral da amostra. A forma da expressão desses 
estimadores é ilustrada na Seção 4.9.2 para a situação de dois fatores. 
 Da mesma forma que com experimentos unifatoriais, o primeiro passo para a derivação 
de testes de hipóteses de experimentos fatoriais é a análise da variação. Um dos propósitos da 
análise da variação é a estimação da variância do erro experimental. Com experimentos fatoriais, 
um outro propósito importanteé a execução dos testes de significância referentes aos efeitos 
principais e às interações dos fatores. 
 Como salientado na Seção 4.6, a apreciação dos resultados da análise da variação de um 
experimento fatorial deve iniciar-se, sempre, pela interação. Segundo o resultado do teste de 
significância da interação, um de dois caminhos alternativos devem ser seguidos para as 
inferências referentes aos efeitos principais dos fatores: 
 - Se a interação não é significativa, há indicação de que os efeitos dos dois fatores sobre 
a variável resposta são independentes, isto é, que o efeito de um fator não depende do nível do 
outro fator. Nessas circunstâncias, podem ser derivadas inferências separadamente para cada um 
dos fatores, ou seja, para os efeitos principais dos fatores. No caso de dois fatores cada um com 
dois níveis, nada mais há a fazer - as conclusões definitivas são obtidas da tabela da análise da 
variação segundo o esquema fatorial. 
 - Se a interação é significativa, os efeitos principais perdem interesse ou sentido e devem 
ser derivadas inferências separadamente para cada um dos fatores. Nesse caso, o mais apropriado é 
a derivação de inferências referentes aos efeitos simples dos fatores, ou seja, aos efeitos de cada 
um dos fatores separadamente para cada nível do outro fator. 
 De modo geral, o procedimento de análise estatística é distinto para experimentos 
fatoriais de fatores com dois níveis, ou seja, fatoriais da série 2n e experimentos fatoriais de fatores 
com mais de dois níveis. Comumente, inferências derivadas para fatores de dois níveis são restritas 
aos dois níveis presentes no experimento, ou seja, são necessariamente qualitativas, qualquer que 
seja a categoria do fator. Conseqüentemente, a análise de experimentos da série 2n é usualmente 
mais simples do que a de experimentos com fatores de números mais elevados de níveis. 
 Os procedimentos de inferência (estimação por ponto e testes de hipóteses) serão 
considerados, a seguir, para a situação de estrutura fatorial 2x2. 
4.9 Experimentos Fatoriais 2 x 2 
 Sem perda de generalidade, considere-se a situação de um experimento com dois fatores 
A e B cada um com dois níveis com delineamento completamente casualizado com r repetições. A 
equação do modelo estatístico para uma observação genérica é: 
ijk i j ij ijky = m + a + b + ab + e , i=1,2, j=1,2, k=1,2,...,r. 
4. Experimentos Fatoriais 151
4.9.1 Efeitos simples, efeitos principais e interação dos fatores 
 Um efeito simples de um fator é a diferença entre as médias populacionais dos dois 
níveis do fator em um nível específico do outro fator. Assim, para cada um dos dois fatores A e B 
são definidos dois efeitos simples, como segue: 
• efeito simples do fator A para o nível 1 do fator B: 
A|B1 = 21 11m - m = 2 21 1 11(a +ab ) - (a + ab ) 1; 
• efeito simples do fator A para o nível 2 do fator B: 
A|B2 = 22 12m - m = 2 22 1 12(a +ab ) - (a + ab ) ; 
• efeito simples do fator B para o nível 1 do fator A: 
B|A1 = 12 11m - m = 2 12 1 11(b +ab ) - (b + ab ) ; 
• efeito simples do fator B para o nível 2 do fator A: 
B|A2 = 22 21m - m = 2 22 1 21(b + ab ) - (b + ab ) . 
 O efeito principal de um fator é a diferença entre as médias populacionais dos dois níveis 
desse fator, globais para os dois níveis do outro fator. Assim, os efeitos principais dos fatores A e 
B são definidos como segue: 
• efeito principal do fator A: 
A = 2 1m - m. . = a2 – a1 
2; 
• efeito principal do fator B: 
B = 2 1m - m. . = b2 – b1 
 Pode-se observar-se que o efeito principal do fator A é a média de seus efeitos simples: 
( )1 2
1 A|B A|B
2
+ = ( ) ( )21 11 22 12
1
m - m m - m
2
−   = 2 1m - m. . = A, 
já que: 11 12 1(m m ) / 2 m+ = . e 21 22 2(m m ) / 2 m+ = . . Semelhantemente, 
[ ]1 2
1 B|A B|A
2
+ = 2 1m - m. . = B. 
 A interação dos fatores A e B é a variação da diferença de resposta média entre os dois 
níveis do fator A quando muda o nível do fator B, ou seja, a diferença entre os efeitos simples do 
fator A: 
 
1
 ( )
r
i j ij ijkij ij
k=1
m + a + b + ab + em = (y ) =    ∑.
E E
 
 ( )i j ij ijm + a + b + ab + e= .E i j ij= m + a + b + ab , pois ( )ije 0=.E . 
2
 ( )
b r
i j ij ijki i
j 1 k=1
m + a + b + ab + em = (y ) =
=
 
 
 
∑∑
..
E E 
 ( ) ii i= = m + am + a + e ..E , já que b1+b2=0, abi1+abi2=0 e ( )i 0e =..E . 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 152
AxB = ( ) ( )22 12 21 11m - m m - m− = 2 1A|B A|B− 
 = [ ] [ ]2 22 1 12 2 21 1 11(a + ab ) - (a + ab ) (a + ab ) - (a + ab )− 
 = 11 22 12 21ab ab ab ab+ − − , 
que é idêntica à diferença entre os efeitos simples do fator B: 
BxA = 2 1B|A B|A− 
 = [ ] [ ]2 22 1 21 2 12 1 11(b + ab ) - (b + ab ) (b + ab ) - (b + ab )− 
 = 11 22 12 21ab ab ab ab+ − − = AxB. 
Logo, a interação entre os fatores A e B é simétrica, ou seja, AxB = BxA. 
Significados geométricos 
 A Figura 4.1 mostra os significados geométricos de efeito simples, efeito principal e 
interação de dois fatores. Em particular, as representações gráficas (a), (b), (c) e (d) ilustram 
quatro situações distintas referentes à magnitude da interação AxB. Nesses gráficos os níveis do 
fator A são representados no eixo das abscissas e os valores esperados (populacionais) médios da 
variável resposta no eixo das ordenadas; então, as respostas às combinações de níveis A1B1 e A1B2 
são dois pontos de mesma abscissa A1 e as respostas esperadas às combinações de níveis A2B1 e 
A2B2 são dois pontos de igual abscissa A2. Para melhor compreensão do significado da interação 
AxB os pontos que representam às médias populacionais para as condições experimentais 
correspondentes a um mesmo nível do fator B são ligados por um segmento de reta. 
 
4. Experimentos Fatoriais 153
 
 
 
 
Figura 4.1. Diferentes magnitudes da interação de dois fatores A e B: (a) 
ausência de interação; (b) e (c) interação média; (d) interação 
elevada. 
 
 Em cada um dos quatro gráficos da Figura 4.1 os segmentos verticais que conectam os 
pontos que representam combinações de níveis com um mesmo nível do fator A representam 
efeitos simples do fator B, B|A1 e B|A2; a médias desses segmentos para os dois níveis A1 e A2 
exprime o efeito principal do fator A. Então, o gráfico (a) em que esses segmentos verticais são 
iguais ilustra ausência de interação; os gráficos (b), (c) e (d) em que esses segmentos são 
diferentes, presença de interação. Observe-se que na Figura 4.1 (a) a diferença de resposta entre 
os níveis B2 e B1 do fator B é igual para os dois níveis A1 e A2 do fator A; isso significa que os 
efeitos simples B|A1 e B|A2 do fator B são iguais. Na situação da Figura 4.1 (d), para o nível A1 a 
resposta ao fator B é mais elevada para o nível B1 do que para o nível B2, mas para o nível A2 o 
sentido da resposta ao fator B inverte-se: a resposta é mais elevada para B2 do que para B1; os 
efeitos simples B|A1 e B|A2 têm sinais contrários. Nas situações ilustradas na Figura 4.1 (b) e na 
Figura 4.1 (c), o sentido da resposta ao fator B é o mesmo para os dois níveis A1 e A2 do fator A: 
a resposta é mais elevada para o nível B2 do que para o B1; a presença da interação AxB provém 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 154
da variação da amplitude das diferenças entre as respostas para os dois níveis do fator B entre os 
níveis A1 e A2; os dois efeitos simples B|A1 e B|A2 têm o mesmo sinal, mas grandezas diferentes. 
 Pelas definições ao início desta Seção, pode-se verificar que os efeitos simples, os efeitos 
principais e a interação dos fatores A e B são contrastes das médias populacionais das quatro 
condições experimentais cujos coeficientes são apresentados na Tabela4.1. 
 
Tabela 4.1. Coeficientes dos contrastes correspondentes aos efeitos 
principais e à interação de dois fatores A e B cada um com 
dois níveis. 
 
Média populacional Efeito 
m22 m21 m12 m11 
A|B1 0 +1 0 -1 
A|B2 +1 0 -1 0 
B|A1 0 0 +1 -1 
B|A2 1 -1 0 0 
A +1 +1 -1 -1 
B +1 -1 +1 -1 
AxB +1 -1 -1 +1 
 
 Observa-se, ademais, que os efeitos principais A e B e a interação AxB constituem três 
contrastes ortogonais, aos quais correspondem os três graus de liberdade atribuíveis às 4 condições 
experimentais (combinações dos níveis dos fatores A e B). 
 É conveniente observar as seguintes regras para a derivação dos coeficientes para os 
contrastes correspondentes aos efeitos principais e à interação: 
• os coeficientes para o efeito principal de um fator são +1 para as combinações de níveis 
com um dos níveis do fator e -1 para as combinações de níveis com o outro nível do 
fator; 
• os coeficientes para a interação são os produtos dos correspondentes coeficientes dos 
efeitos principais dos dois fatores. 
4.9.2 Estimação dos parâmetros e dos efeitos simples, efeitos principais e interação 
 Os estimadores dos parâmetros m, ai, bj e abij derivados pelo método dos quadrados 
mínimos são: 
mˆ y=
...
, 
i iaˆ y y= −.. ... , 
j jˆb y y= −. . ... , 
� ij ij i jab y y y y= − − +. .. . . ... , 
4. Experimentos Fatoriais 155
onde iy .. e jy. . representam as médias da amostra para os níveis i do fator A e j do fator B, e y... 
representa a média geral da amostra. 
 O estimadores dos efeitos simples, efeitos principais e interação dos fatores A e B são 
funções das médias das respostas observadas na amostra para as combinações dos níveis dos dois 
fatores e os níveis individuais desses fatores: 
�
21 111A|B y y= − 3, 
�
22 122A|B y y= − , 
�
12 111B|A y y= − , 
�
22 212B|A y y= − , 
�
2 1A = y y−. . , 
�
2 1B = y y−. . , 
�
22 12 21 11AxB = y y y y− − + . 
 Para compreensão dessas expressões é conveniente dispor as médias observadas para as 
combinações de níveis nas células de uma tabela de dupla entrada, com uma entrada para cada um 
dos fatores A e B, com as médias correspondentes aos níveis de cada um desses dois fatores nas 
margens (Tabela 4.2). Com essa disposição das médias, pode-se observar o seguinte: 
• os efeitos simples do fator A para os níveis 1 e 2 do fator B são as diferenças das 
médias nas células das linhas 1 e 2, respectivamente; 
• os efeitos simples do fator B para os níveis 1 e 2 do fator A são as diferenças das 
médias nas células das colunas 1 e 2, respectivamente; 
• o efeito principal do fator A é a diferença das médias na margem inferior da tabela; 
• o efeito principal do fator B é a diferença da médias na margem direita; 
• e a interação é a diferença entre as diferenças das médias na diagonal principal e na 
diagonal secundária da tabela. 
 
 
3
 Para simplicidade de notação omite-se o ponto indicativo de que as médias são obtidas também sobre o 
índice k que denota repetição. 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 156
Tabela 4.2. Tabela de dupla-entrada com as médias observadas de 
um experimento com dois fatores experimentais A e B. 
 
A 
B 
A1 A2 
Global 
B1 11y 21y 1y. 
B2 12y 22y 2y. 
Global 1y . 2y . 
 
 Exemplo 4.1. Considerem-se os dados de um experimento que pesquisou o efeito do 
implante do hormônio Stilbestrol sobre o ganho de peso de cordeiros machos e fêmeas da raça 
Corriedale, em um intervalo de 180 dias após o implante. O experimento compreendeu dois fatores 
Hormônio e Sexo cada um com dois níveis na amostra: 
Fator A – Hormônio 
 A1 – Sem Stilbestrol 
 A2 – Com Stilbestrol 
Fator B – Sexo 
 B1 – Fêmea 
 B2 – Macho 
 O experimento foi conduzido com delineamento completamente casualizado com 4 
repetições. A unidade experimental para cada condição experimental – combinação de nível dos 
fatores experimentais hormônio e sexo – foi constituída por um animal. A Tabela 4.3 apresenta o 
ganho de peso de cada cordeiro (unidade experimental), em kg/180 dias. 
 
Tabela 4.3. Ganho de peso de cordeiros, em kg/180 dias, no 
experimento do Exemplo 4.1. 
 
Repetição Condição 
experimental 1 2 3 4 
Soma Média 
A1B1 22 27 25 26 100 25,0 
A1B2 25 29 32 28 114 28,5 
A2B1 32 28 34 30 124 31,0 
A2B2 29 36 37 34 136 34,0 
Soma 474 
 
 A estimação dos parâmetros m, ai, bj e abij, i=1,2, j=1,2, e dos efeitos simples, efeitos 
principais e interação dos fatores é facilitada pela disposição das médias observadas para as 
combinações dos níveis e os níveis dos dois fatores na Tabela 4.4, organizada de modo 
semelhante à Tabela 4.2 
 
4. Experimentos Fatoriais 157
Tabela 4.4. Tabela de dupla-entrada com as médias observadas 
experimento do Exemplo 4.1. 
 
A: Hormônio 
B: Sexo 
A1: Sem A2: Com 
Global 
B1: Fêmea 25,0 31,0 28,00 
B2: Macho 28,5 34,0 31,25 
Global 26,75 32,50 29,625 
 
 Então, as estimativas dos parâmetros m, ai, bj e abij , i=1,2, j=1,2, são obtidas como segue: 
mˆ y = 29,625=
...
, 
1 1aˆ y y 26,75 29,625 = -2,875= − = −.. ... , 2aˆ 32,50 29,625 = 2,875= − ; 
1 1
ˆb y y 28,00 29,625 = -1,625= − = −
. . ...
, 2
ˆb 31, 25 29,625 = 1,625= − ; 
�11 11 1ab y y y y= − − +. 1.. . . ... = 25,0 – 26,75 – 28,0 + 29,625 = -0,125, 
�12ab = 28,5 – 26,75 – 31,25 + 29,625 = 0,125, 
�21ab = 31,0 – 32,50 – 28,00 + 29,625 = 0,125, 
�22ab = 34,0 – 32,50 – 31,25 + 29,625 = -0,125. 
As estimativas dos efeitos simples, efeitos principais e interação são obtidas imediatamente a partir 
das médias disponíveis na Tabela 4.4: 
 - efeito simples do fator Hormônio para fêmeas: 
�
21 111A|B y y 31,0 - 25,0 = 6,0= − = ; 
 - efeito simples do fator Hormônio para machos: 
�
2A|B = 34,0 - 28,5 = 5,5 ; 
 - efeito simples do fator Sexo para ausência de Stilbestrol: 
�
1B|A = 28,5 - 25,0 = 3,5 ; 
 - efeito simples do fator Sexo para presença de Stilbestrol: 
�
2B|A = 34,0 - 31,0 = 3,0 ; 
 - efeito principal do fator Hormônio: 
�
2 1A = y y 32,50 - 26,75 = 5,75− =. . ; 
 - efeito principal do fator Sexo: 
�B = 31,25 - 28,00 = 3,25 ; 
 - interação dos fatores Hormônio x Sexo: 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 158
�
22 12 21 11AxB = y y y y 25,0 + 34,0 - 31,0 - 28,5 = -0,5− − + = . 
 Alternativamente, essas estimativas podem ser derivadas a partir das estimativas dos 
parâmetros mˆ , iaˆ , jˆb , � ijab , utilizando as relações dos efeitos principais, efeitos simples e 
interação com esses parâmetros especificadas na Seção 4.9.1. 
4.9.3 Análise da variação e testes de significâncias 
 Como foi antecipado na Seção 4.8, o procedimento para a análise da variação e os testes 
de significâncias distinguem-se para as situações de ausência de interação dos fatores. Esses 
procedimentos são apresentados a seguir através de exemplos. 
4.9.3.1 Fatorial 2x2 sem interação 
 Exemplo 4.2. Considere-se o experimento cujos resultados foram utilizados no Exemplo 
4.1. 
 A fase preliminar da análise da variação é procedida ignorando o esquema fatorial, ou 
seja, considerando as combinações de níveis como se constituíssem os níveis de um único fator. 
Obtém-se, então: 
C = 
1
16
 4742 = 14.042,25, 
 
 SQ Condição = 1
4
(1002 +1142 +1242 +1362 ) - C = 
 = 14.217,00 - 14.042,25 = 174,75, 
 
 SQ Total = 222 +272 +...+342 - C = 
 = 14.314 - 14.042,25 = 271,75. 
 
De onde provém os resultados resumidos na Tabela 4.5. 
 
Tabela 4.5. Análise da variação dos dados do Exemplo 4.1. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Condição 3 174,75 58,250 7,206 0,0051 
Erro 12 97,00 8,083 
Total 15 271,75 
Média geral: 29,6 kg/animal/180 dias. 
CV: 9,60%. 
 
 O experimentotem por objetivo inferências referentes aos efeitos (principais ou simples) 
e à interação dos dois fatores. Assim, não é de interesse particular o teste de significância da 
4. Experimentos Fatoriais 159
variação atribuível aos efeitos globais das condições experimentais, provido pela análise da 
variação resumida na Tabela 4.5. Conforme estabelecido na Seção 4.9.1, os três graus de 
liberdade referentes à condição experimental devem ser decompostos nos três graus de liberdade 
individuais correspondentes aos dois efeitos principais e à interação dos fatores hormônio e sexo. 
Então, a análise de variação deve prosseguir com a decomposição da variação atribuível a 
condição experimental de acordo com o esquema da Tabela 4.6. 
 
Tabela 4.6. Esquema da decomposição da variação entre condições 
experimentais para o experimento fatorial de dois 
fatores com dois níveis do Exemplo 4.1. 
 
Fonte de variação GL 
Hormônio 1 
Sexo 1 
Hormônio x Sexo 1 
Erro 12 
Total 15 
 
 A decomposição da SQ Condição pode ser procedida por dois métodos alternativos: 
método de contrastes ortogonais e método de tabelas auxiliares. 
Método de contrastes ortogonais 
 Os coeficientes dos contrastes correspondentes aos efeitos principais e à interação dos 
fatores Hormônio e Sexo estão na Tabela 4.7 que inclui, também, os totais de condições 
experimentais. 
 
Tabela 4.7. Coeficientes dos contrastes correspondentes aos efeitos 
principais e à interação dos fatores A: Hormônio e B: Sexo, 
Exemplo 4.1. 
 
Condição experimental 
Componente 
A1B1 A1B2 A2B1 A2B2 
Hormônio +1 +1 -1 -1 
Sexo +1 -1 +1 -1 
Horm. x Sexo +1 -1 -1 +1 
Total (yi) 100 114 124 136 
 
 A soma de quadrados de um contraste, para totais de tratamentos, é dada pela expressão: 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 160
SQ Contraste = 
i i
i
2
i
i
c y
r c
∑
∑
. 
Logo, 
SQ Hormônio = 
2 2
2 2 2 2
[100 114 124 136] ( 46)
164[1 1 ( 1) ( 1) ]
132,25+ − − −
+ + − + −
= = , 
SQ Sexo = 
2 2
2 2 2 2
[100 114 124 136] ( 26)
164[1 ( 1) 1 ( 1) ]
42, 25− + − −
+ − + + −
= = , 
SQ Horm. x Sexo = 
2 2
2 2 2 2
[100 114 124 136] ( 2)
164[1 ( 1) ( 1) 1 ]
0,25− − + −
+ − + − +
= = . 
 A análise da variação é resumida na Tabela 4.8. 
 
Tabela 4.8. Análise da variação para os dados do experimento do Exemplo 4.1. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Hormônio 1 132,25 132,25 16,361 0,0016 
Sexo 1 42,25 42,25 5,227 0,0412 
Hormônio x Sexo 1 0,25 0,25 0,031 0,8633 
Erro 12 97,00 8,083 
Total 15 271,75 
 
Método de tabela auxiliar 
 Um procedimento alternativo para a determinação das somas de quadrados referentes aos 
efeitos principais e à interação utiliza uma tabela de duas entradas, com uma entrada para cada um 
dos dois fatores, com os totais das condições experimentais dispostos nas células e os totais para 
os níveis dos fatores dispostos nas margens. Então, essas somas de quadrados são obtidas pelo 
processo usual para decomposição da soma de quadrados referente à variação entre as células 
(combinações dos níveis dos dois fatores, no presente caso) em três componentes: 
• uma soma de quadrados referente à variação dentro de cada margem (ou seja, à 
variação atribuível ao efeito principal de cada fator), e 
• uma soma de quadrados para a variação restante (atribuível à interação dos fatores) 4. 
 Considerem-se, novamente, os dados do experimento do Exemplo 4.1. Os ganhos de peso 
totais para as combinações dos níveis dos dois fatores estão na Tabela 4.9. 
 
 
4
 Esse processo é utilizado para a determinação das somas de quadrados para tratamento, bloco e erro em 
um experimento unifatorial em blocos casualizados, a partir das observações dispostas em uma tabela 
com uma entrada para tratamentos e outra para blocos. 
4. Experimentos Fatoriais 161
Tabela 4.9. Tabela auxiliar para o cálculo das somas de quadrados para os 
efeitos principais e interação de Hormônio e Sexo, Exemplo 
4.1. 
 
Hormônio 
Sexo 
Sem Com 
Soma 
Fêmea 100 124 224 
Macho 114 136 250 
Soma 214 260 474 
 
 Os cálculos seguem: 
2474
4 4
C 14.042,25
×
= = , 
SQ Hormônio = 2 21
2 4
(214 +260 ) - C = 132,25
×
, 
SQ Sexo = 2 21
2 4
 (224 +250 ) - C = 42,25
×
, 
SQ Horm. x Sexo = SQ Hormônio e Sexo – SQ Hormônio – SQ Sexo 
 = 
2 2 2 21
4
 - 132,25 - 42,25 = 0,25(100 +114 +124 +136 ) - C    . 
Observe-se que o fator 4 comum nos denominadores dessas expressões visam reduzir todas as 
somas de quadrados a uma unidade experimental. Os resultados são, naturalmente, os mesmos 
apresentados na Tabela 4.8. 
 A análise da variação revela que a interação Hormônio x Sexo não foi significativa. Dessa 
forma, pode-se concluir separadamente para cada um dos dois fatores. Isso significa a 
adequabilidade das inferências referentes aos efeitos principais dos fatores. Por outro lado, como 
cada fator compreende apenas dois níveis, não há necessidade de qualquer procedimento adicional 
para discriminar a variação entre condições experimentais. As conclusões da análise estatística 
são, então, as seguintes: 
 1) A interação Hormônio x Sexo não foi significativa (P>0,05). 
 2) O efeito principal do hormônio Stilbestrol foi significativo (P=0,0016). As médias de 
ganho de peso para os animais que receberam e não receberam implante de Stilbestrol foram as 
seguintes: 
 
Implante de 
Stilbestrol 
Média 
(kg/animal/180 dias) 
Com 32,50 
Sem 26,75 
Diferença 5,75 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 162
Logo, o implante do hormônio Stilbestrol elevou significativamente (P<0,0016) o ganho médio de 
peso dos cordeiros em 5,75 kg/animal/180 dias. 
 2) O efeito principal de Sexo foi significativo (P=0,0412). As médias de ganho de peso 
para os dois sexos foram as seguintes: 
 
Sexo Média (kg/animal/180 dias) 
Macho 31,25 
Fêmea 28,00 
Diferença 3,25 
 
Logo o ganho médio de peso dos cordeiros machos foi significativamente superior (P=0,0412) ao 
ganho médio de peso das fêmeas em 3,25 kg/animal/180dias. 
4.9.3.2 Fatorial 2x2 com interação 
 Exemplo 4.3. Seja um experimento que teve como propósito o estudo do espaçamento de 
plantio de batatinha, com dois fatores experimentais - Espaçamento e Cultivar - cada um em dois 
níveis. Os tratamentos - combinações dos dois níveis de Espaçamento (0,10 e 0,30m dentro de 
linha) e dos dois níveis de Cultivar (Baronesa e Hansa), foram os seguintes: 
 
Tratamento Espaçamento Cultivar 
1 0,10m x 1m Baronesa 
2 0,30m x 1m Baronesa 
3 0,10m x 1m Hansa 
4 0,30m x 1m Hansa 
 
 Os dados de produção de tubérculos, em kg/0,1 ha, estão na Tabela 4.10. 
 
Tabela 4.10. Produção de tubérculos (em kg/0,1 ha) do experimento do Exemplo 
4.3. 
 
Bloco 
Tratamento 
1 2 3 4 5 6 
Soma 
1 750 766 790 879 976 823 4.984 
2 469 484 672 563 469 563 3.220 
3 424 394 500 470 470 341 2.599 
4 235 324 368 463 316 404 2.110 
Soma 1.878 1.968 2.330 2.375 2.231 2.131 12.913 
 
4. Experimentos Fatoriais 163
 A análise da variação segundo o esquema fatorial, efetuada por qualquer um dos dois 
métodos ilustrados anteriormente, produz os resultados da Tabela 4.11. 
 
Tabela 4.11. Análise da variação dos dados de produção de tubérculos de 
batatinha do experimento do Exemplo 4.3. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Bloco 5 49.257 
Espaçamento 1 211.500 211.500 47,651 < 0,0001 
Cultivar 1 508.959 508.959 114,668 < 0,0001 
Espaçam. x Cult. 1 67.734 67.734 15,261 0,0014 
Erro 15 66.578 4.438 
Total 23 904.029 
Média geral:538,0 kg/0,1 há. 
C.V.: 12,38 %. 
 
 Na presente situação, a interação é significativa. Conseqüentemente, inferências 
referentes aos efeitos principais dos fatores tornam-se irrelevantes ou sem sentido. A análise 
estatística deve prosseguir para o estudo da interação, ou seja, para a derivação de inferências 
referentes aos efeitos simples dos fatores. No caso em que um dos fatores é mais importante, sendo 
o outro um fator suplementar, os testes de significâncias podem restringir-se aos efeitos simples do 
fator principal. No experimento utilizado para ilustração, Espaçamento é o principal fator. Cultivar 
foi incluído como fator suplementar para permitir que as conclusões referentes a Espaçamento 
pudessem ser estendidas para o conjunto das cultivares consideradas na população objetivo, 
representadas pelas duas cultivares Baronesa e Hansa. 
 A apreciação dos coeficientes na Tabela 4.1 revela que o efeito principal de um fator e os 
dois efeitos simples do outro fator constituem um conjunto de três contrastes ortogonais (por 
exemplo, A, B|A1 e B|A2 são contrastes ortogonais). Dessa forma, um procedimento adequado 
para o Exemplo 4.3 é a decomposição da variação atribuível a condições experimentais em um 
conjunto alternativo de componentes correspondentes a três contrastes ortogonais: efeito principal 
de Cultivar, efeito simples de Espaçamento para a cultivar Baronesa e efeito simples de 
Espaçamento para a cultivar Hansa, conforme a Tabela 4.12. 
 
Tabela 4.12. Análise da variação para os testes de significâncias dos 
feitos simples de espaçamento para cada cultivar. 
 
Fonte de variação GL 
Cultivar 1 
Espaçamento | cultivar Baronesa 1 
Espaçamento | cultivar Hansa 1 
Erro 15 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 164
 Os coeficientes dos contrastes correspondentes a essas três fontes de variação são 
apresentados na Tabela 4.13. 
 
Tabela 4.13. Coeficientes dos contrastes para inferências referentes 
aos efeitos simples de espaçamento para cada cultivar. 
 
Tratamento Componente 
1 2 3 4 
Cultivar -1 -1 +1 +1 
Esp. | Baronesa -1 +1 0 0 
Esp. | Hansa 0 0 -1 +1 
Total (yi) 4.984 3.220 2.599 2.110 
 
 As somas de quadrados para os efeitos simples de espaçamento para a cultivar Baronesa e 
para a cultivar Hansa podem ser determinadas por um dos dois processos alternativos: contrastes 
ortogonais e tabela auxiliar. 
 Método de contrastes ortogonais 
 As somas de quadrados para esses contrastes podem ser obtidas do modo usual. 
 Método de tabelas auxiliares 
 Inicialmente, dispõe-se os totais dos tratamentos em uma tabela de dupla-entrada, com os 
dois fatores experimentais como entradas, Tabela 4.14. 
 
Tabela 4.14. Totais de tratamentos dispostos em uma tabela de dupla 
entrada para os fatores Espaçamento e Cultivar, Exemplo 4.3. 
 
Cultivar 
Espaçamento 
Baronesa Hansa 
Soma 
0,10m x 1m 4.984 2.599 7.583 
0,30m x 1m 3.220 2.110 5.330 
Soma 8.204 4.709 12.913 
 
As somas de quadrados para os efeitos simples são determinadas como segue: 
SQ Esp. | Baronesa = 
2 2 24.984 3.220 8.204
2 66
+
×
−
 = 259.308, 
SQ Esp. | Hansa = 
2 2 22.599 2.110 4.709
2 66
+
×
−
 = 19.926,8. 
4. Experimentos Fatoriais 165
 Observe-se que cada uma dessas somas de quadrados é determinada a partir dos dados 
parciais para cada uma das cultivares, ou seja, a partir da metade dos dados do experimento. Por 
essa razão, a soma de quadrados de cada um dos efeitos simples usa um termo de correção 
próprio. 
 Os resultados dessa análise da variação e dos correspondentes testes de significâncias 
referentes aos efeitos simples podem ser apresentados em uma tabela de análise de variação 
simplificada, Tabela 4.15. 
 
Tabela 4.15. Análise da variação com os testes de significâncias dos 
efeitos simples de espaçamento para cada cultivar, Exemplo 
4.3. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Cultivar 1 508.959 
Espaçam.|Baronesa 1 259.308 259.308 58,422 < 0,0001 
Espaçam.|Hansa 1 19.927 19.927 4,489 0,0512 
(Espaçam.|Cultivar) (2) (279.235) 139.617 31,456 < 0,0001 
Erro 15 66.578 4.439 
 
 Observe-se que a SQ Espaçamento|Cultivar na Tabela 4.15, com 2 graus de liberdade, 
corresponde à combinação das somas de quadrados referentes a Espaçamento e à interação 
Espaçamento x Cultivar, cada uma com um grau de liberdade. 
 Os resultados na Tabela 4.15 revelam que a variação da resposta entre os espaçamentos 
foi significativa para a cultivar Baronesa, mas não foi significativa para a cultivar Hansa. Essa 
observação é corroborada pela apreciação dos totais dos tratamentos na Tabela 4.14. As 
conclusões da análise estatística são resumidas a seguir: 
 1) A interação Espaçamento x Cultivar foi significativa (P=0,0014). 
 2) O efeito simples de Espaçamento foi significativo para a variedade Baronesa 
(P<0,0001); não foi significativo para a variedade Hansa (P=0,0512). As respostas médias para 
cada combinação dos níveis dos fatores Espaçamento e Cultivar, e para cada nível de cada um 
desses dois fatores globais para os níveis do outro fator, são mostradas na Tabela 4.16. 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 166
Tabela 4.16. Produção média de tubérculos (em kg/0,1 ha) para cada 
um dos níveis dos fatores Espaçamento e Cultivar, e 
para cada combinação dos níveis desses dois fatores. 
 
Cultivar Espaçamento 
Baronesa Hansa 
Global 
0,10m x 1m 830,7 433,2 631,9 
0,30m x 1m 536,7 351,7 444,2 
Global 683,7 392,4 538,0 
 
 Observa-se que a estimativa do efeito simples de Espaçamento foi mais elevada para a 
cultivar Baronesa do que para a cultivar Hansa, embora ambas no mesmo sentido - média mais 
elevada para o menor espaçamento: 
Espaçamento | Baronesa = 830,7-536,7 = 294,0, 
Espaçamento | Hansa = 433,2-351,7 = 81,5. 
4.10 Experimentos Fatoriais 2x2x2 
 O procedimento de análise estatística será ilustrado através de um exemplo. 
 Exemplo 4.4. Para ilustração, considere-se um experimento que teve por propósito o 
estudo da fertilização do solo com nitrogênio, fósforo e potássio para a cultura da ervilha, com 
dois níveis (ausência e presença) de cada um desses três fatores. Assim, o experimento constou 
dos 8 (2x2x2) tratamentos listados na Tabela 4.17. 
 
Tabela 4.17. Lista dos tratamentos do experimento com 3 fatores N, 
P e K cada um com 2 níveis (ausência e presença), 
Exemplo 4.4. 
 
Tratamento N P K 
 1 - (1) Sem Sem Sem 
2 - n Com Sem Sem 
3 - p Sem Com Sem 
4 - k Sem Sem Com 
 5 - np Com Com Sem 
 6 - nk Com Sem Com 
 7 - pk Sem Com Com 
 8 - npk Com Com Com 
 
 Os dados de produção de grãos de ervilha, por parcela, são apresentados na Tabela 4.18. 
 
4. Experimentos Fatoriais 167
Tabela 4.18. Dados de produção de grãos de ervilha, em hg/9m2, Exemplo 4.4. 
 
Bloco 
Tratamento 
1 2 3 4 
Soma 
(1) 22 18 18 19 77 
n 28 24 22 20 94 
p 24 19 31 18 92 
k 17 9 20 8 54 
np 13 19 26 28 86 
nk 16 7 11 6 40 
pk 29 20 18 24 91 
npk 29 28 31 28 116 
Soma 178 144 177 151 650 
 
 A variação correspondente aos sete graus de liberdade para as oito combinações dos 2 
níveis de cada um dos 3 fatores pode ser decomposta em 3 graus de liberdade individuais 
correspondentes aos 3 efeitos principais de N, P e K, 3 graus de liberdade individuais 
correspondentes às 3 interações de dois fatores (interações duplas, ou de primeira ordem): NxP, 
NxK e PxK, e 1 grau de liberdade correspondente à interação dos três fatores (interação tripla, ou 
de segunda ordem): NxPxK, segundo o esquema de análise de variação da Tabela 4.19. 
 
Tabela 4.19. Decomposição da variação entre as 8 combinações dos 2 
níveis dos fatores N, P e K nos componentescorrespondentes 
aos efeitos principais e à interação desses fatores. 
 
Fonte de variação GL 
 N 1 
 P 1 
 K 1 
 NxP 1 
 NxK 1 
 PxK 1 
 NxPxK 1 
 
 Método de contrastes ortogonais 
 Esses componentes da variação de Tratamento constituem um conjunto de sete contrastes 
ortogonais, cujos coeficientes estão na Tabela 4.20. 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 168
Tabela 4.20. Contrastes correspondentes aos efeitos principais e às interações 
dos fatores N, P e K, cada um com dois níveis. 
 
Tratamento 
Componente 
(1) n p k np nk pk npk 
 N -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 
 P -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 
 K -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 
 NxP 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 
 NxK 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 
 PxK 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 
 NxPxK -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 
Total (yi) 77 94 92 54 86 40 91 116 
 
 As somas de quadrados para esses contrastes são obtidas do modo usual. Os resultados da 
análise da variação e dos testes de significâncias dos efeitos principais e das interações são 
resumidos na Tabela 4.21. 
 
Tabela 4.21. Análise da variação e testes de significância dos efeitos 
principais e das interações dos fatores N, P e K, Exemplo 4.4. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
 Bloco 3 115,625 - 
 N 1 15,125 15,125 0,7547 0,3948 
 P 1 450,000 450,000 22,4532 0,0001 
 K 1 72,000 72,000 3,5925 0,0719 
 NxP 1 8,000 8,000 0,3992 0,5343 
 NxK 1 0,000 0,000 0,0000 1,0000 
 PxK 1 351,125 351,125 17,5198 0,0004 
 NxPxK 1 120,125 120,125 5,9938 0,0232 
 Erro 21 420,875 20,042 
 Total 31 1.552,875 
Média geral: 20,3 hg/9m2. 
C.V.: 22,04 %. 
 
4. Experimentos Fatoriais 169
 Método das tabelas auxiliares 
 Alternativamente, as somas de quadrados dos efeitos principais e interações de N, P e K 
podem ser determinadas através do método de tabelas auxiliares. Para tal, inicialmente, dispõe-se 
os totais dos tratamentos em uma tabela de três entradas; por exemplo, uma tabela com os níveis 
de nitrogênio em colunas e as combinações dos níveis de fósforo e potássio em linhas, Tabela 
4.22. 
 
Tabela 4.22. Tabela auxiliar com os totais das observações para as 
combinações dos níveis dos fatores N, P e K, Exemplo 
4.4. 
 
N: N0 N1 
P: P0 P1 P0 P1 
Soma 
K: K0 77 92 94 86 349 
 K1 54 91 40 116 301 
Soma 131 183 134 202 650 
 
Organizam-se, também três tabelas de dupla-entrada para as combinações dos níveis de N e P, N e 
K, e P e K, Tabela 4.23. 
 
Tabela 4.23. Tabelas auxiliares com os totais das observações para as combinações 
dos 3 pares dos fatores N, P e K, Exemplo 4.4. 
 
 N0 N1 Soma N0 N1 Soma P0 P1 Soma 
P0 131 134 265 K0 169 180 349 K0 171 178 349 
P1 183 202 385 K1 145 156 301 K1 94 207 301 
Soma 314 336 650 Soma 314 336 650 Soma 265 385 650 
 
 O termo de correção, comum para todas as somas de quadrados, é: 
2650
32
C 13.203,125= = . 
A soma de quadrados para o efeito principal de cada um dos três fatores pode ser obtida a partir 
dos correspondentes totais disponíveis em uma das tabelas de dupla-entrada. O divisor da soma de 
quadrados não corrigida para um efeito principal é o produto de três fatores: número de níveis de 
cada um dos outros dois fatores e número de repetições (blocos), ou seja: 2x2x4=16 (ou, o 
quociente do número total de parcelas no experimento pelo número de totais cujos quadrados estão 
sendo somados: 32/2=16). Assim, 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 170
 
SQ N = 
2 2314 336
16
C+ − = 
 = 13.218,25 - 13.203,125 = 15,125, 
 
 
SQ P = 
2 2265 385
16
C+ −
 = 
 = 13.653,125 - 13.203,125 = 450,000, 
 
 
SQ K = 
2 2349 301
16
C+ −
 = 
 = 13.275,125 - 13.203,125 = 72,000. 
 
 As somas de quadrados para as interações duplas são obtidas das tabelas de dupla-
entrada. Assim, a SQ NxP é obtida da tabela N-P, subtraindo da soma dos quadrados das 
combinações dos níveis de N e P (nas células da tabela), que se designará por SQ NeP, as somas 
de quadrados para as duas margens dessa tabela, ou seja, SQ N e SQ P; dessa forma: SQ NxP = 
SQ N e P - SQ N - SQ P. Essas somas de quadrados são obtidas a seguir: 
 
 
SQ NxP = 
2 2 2 2131 134 183 202
2 4
+ + +
×
 - C - 15,125 - 450,00 = 
 = 13.676,25 - 13.203,125 - 15,125 - 450,000 = 8,000, 
 
 
SQ NxK = 
2 2 2 2169 180 145 156
2 4
+ + +
×
 - C - 15,125 - 72,000 = 0,000, 
 
 
SQ PxK = 
2 2 2 2171 178 94 207
2 4
+ + +
×
 - C - 450,000 - 72,000 = 351,125. 
 
Finalmente, a soma de quadrados para a interação tripla, SQ NxPxK, é a soma de quadrados das 
células da tabela de três entradas N-P-K (isto é, SQ Tratamento) subtraída das somas de quadrados 
de todos os efeitos principais e interações duplas: 
 
 SQ NxPxK = SQ N, P e K - SQ N - SQ P - SQ K - SQ NxP - SQ NxK - SQ PxK = 
 
 = 
2 2 277 92 ... 116
4
C+ + +
 
− 
 
 - 15,125 - 450,000 - 72,000 - 8,000 - 0,000 – 
 - 351,125 = 120,125. 
 
 As conclusões dos testes de significâncias dos efeitos principais e interações de N, P e K, 
efetuados na Tabela 4.21, são as seguintes: 
4. Experimentos Fatoriais 171
- a interação PxK foi significativa (P<0,001); 
- a interação NxPxK foi significativa (P<0,05); 
- as interações NxP e NxK não foram significativas; 
- o efeito principal de fósforo (P) foi significativo (P< 0,001); 
- o efeito principal de potássio (K) não foi significativo, mas aproximou-se do nível 
mínimo de significância (α=0,05); 
- o efeito principal de nitrogênio não foi significativo. 
 As significâncias das interações PxK e NxPxK revelam que os efeitos dos fatores não 
foram independentes. A interpretação dos resultados demanda conhecimento teórico referente à 
área de pesquisa e conhecimento das condições de execução do experimento. A discussão que 
segue tem propósito apenas ilustrativo. 
 Para melhor apreciação desses resultados, é conveniente organizar as médias de 
tratamentos em uma tabela de três entradas, como a Tabela 4.24. 
 
Tabela 4.24. Produção média de grãos de ervilha (em dag/9 m2) para 
cada combinação dos níveis de N, P e K. 
 
N 
K P 
Sem Com 
Global 
Sem Sem 19,25 23,50 21,37 
 Com 23,00 21,50 22,25 
Com Sem 13,50 10,00 11,75 
 Com 22,75 29,00 25,87 
Global 19,62 21,00 20,31 
 
 A significância da interação NxPxK pode ser explicada pelo efeito negativo do fósforo na 
presença de nitrogênio e na ausência de potássio; para as demais combinações de ausência e 
presença destes dois elementos o efeito de fósforo foi positivo. Como esse fato não parece 
explicável, considerar-se-á, a seguir, o estudo da interação PxK para conclusões referentes aos 
efeitos dos fatores P e K. Para esse propósito, os três graus de liberdade referentes aos efeitos 
principais e à interação de P e K devem ser decompostos em um de dois modos alternativos, 
segundo o mais adequado para os propósitos do experimento seja o estudo dos efeitos simples de 
potássio para cada nível de fósforo ou o estudo dos efeitos simples de fósforo para cada nível de 
potássio. Para ilustração, considerar-se-á a primeira situação, de modo que os três referidos graus 
de liberdade para os efeitos principais e a interação de P e K serão decomposto em um grau de 
liberdade para o efeito principal de fósforo e um grau de liberdade para cada um dos dois efeitos 
simples de potássio. Para tal, necessita-se da tabela auxiliar de duas entradas com os totais para as 
combinações dos níveis dos fatores P e K, constante da Tabela 4.23. 
 As duas somas de quadrados correspondentes aos efeitos simples de potássio na ausência 
e na presença de fósforo são obtidas como na situação de um experimento fatorial 2x2, levando-se 
em conta que os divisoressão os correspondentes números de unidades experimentais que 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 172
contribuem para cada total utilizado nos cálculos. Assim, pelo método de tabelas auxiliares, 
obtém-se: 
SQ K | sem P = 1
8
 (1712+944) - 1
16
2652 = 370,5625 , 
SQ K | com P = 1
8
 (1782+2072) - 1
16
 3852 = 52,5625 . 
 Os testes de significâncias para essas duas fontes de variação podem ser efetuados em 
uma tabela de análise de variação apropriada, como a Tabela 4.25. 
 
Tabela 4.25. Análise da variação para os testes de significância dos efeitos simples de 
potássio na ausência e na presença de fósforo, Exemplo 4.4. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
P 1 450,000 450,000 22,4532 0,0001 
K | sem P 1 370,562 370,562 18,4896 0,0003 
K | com P 1 52,562 52,562 2,6227 0,1203 
Erro 21 420,875 20,042 
Total 31 1.552,875 
 
 As conclusões da análise estatística se completam como segue: 
 - A variação entre níveis de potássio foi significativa (P< 0,001) na ausência de fósforo, 
mas não foi significativa na presença de fósforo (α=0,05). As produções médias de grãos de 
ervilha para as combinações dos níveis de fósforo e potássio estão na Tabela 4.26. 
 
Tabela 4.26. Produção média de grãos de ervilha (em ha/9m2 ) para 
cada combinação de níveis de fósforo e potássio. 
 
P 
K 
Sem Com 
Global 
Sem 21,37 22,25 21,81 
Com 11,75 25,87 18,81 
Global 16,56 24,06 20,31 
 
4.11 Experimentos fatoriais com fatores de mais de dois níveis 
 A apresentação que segue restringir-se-á a esquemas fatoriais de dois fatores. Em 
decorrência das implicações da categoria do fator para os procedimentos de análise estatística, 
abordar-se-á, separadamente, as situações em que ambos os fatores são qualitativos, em que um 
dos fatores é qualitativo e o outro quantitativo, e em que ambos os fatores são quantitativos. 
4. Experimentos Fatoriais 173
Também será importante a distinção entre fator de tratamento e fator intrínseco, ou fator de 
classificação. 
 Em qualquer circunstância, a análise estatística inicia-se com a análise da variação e os 
testes de significância referentes aos efeitos principais e à interação dos fatores. O prosseguimento 
da análise depende da significância ou relevância da interação. 
4.11.1 Dois fatores qualitativos específicos 
 A apreciação dos resultados inicia-se com a inspeção da interação. Se a interação mostra-
se irrelevante ou não significativa, o experimento evidencia que as diferenças entre as médias das 
observações para dois níveis de um dos fatores, seja A, não se alteram com o nível do outro fator, 
B. Nessas circunstâncias, a interpretação dos resultados do experimento simplifica-se ao exame 
dos dois efeitos principais dos fatores, ou seja, das diferenças entre as médias das observações nos 
diferentes níveis do fator A globais para todos os níveis do fator B, e das diferenças entre as 
médias dos valores observados nos diferentes níveis do fator B globais para todos os níveis do 
fator A. Caso contrário, se a interação é relevante, os efeitos principais perdem importância e a 
análise dos efeitos simples torna-se mais informativa. Nesse caso, a interação deve ser descrita 
qualitativamente do modo mais apropriado. Em muitas situações, um dos fatores é mais 
importante. Esse é usualmente o caso se um dos fatores é um fator de tratamento (cultivar e 
antibiótico, por exemplo) e o outro um fator intrínseco (local e sexo, por exemplo), em que o 
primeiro é o fator principal. Se um dos fatores, seja A, é mais importante do que o outro, fator B, 
pode ser melhor descrever a interação através da discussão dos efeitos simples do fator B, 
separadamente para cada nível do fator A. 
 Exemplo 4.5. Seja um experimento que teve como propósito a pesquisa de fontes e 
métodos de adubação fosfatada para o cultivo de soja. O experimento constou dos dois fatores e 
correspondentes níveis especificados a seguir: 
Fator A - Fonte de fósforo: 
 A1 - Superfosfato - 90 kg/ha de P2O5, 
 A2 - Fosfato de Olinda - 90 kg/ha de P2O5, 
 A3 - Superfosfato - 90 kg/ha de P2P5 e Cloreto de Potássio - 60 kg/ha de K2O. 
Fator B - Método de adubação: 
 B1 - À lanço, 
 B2 - No sulco, junto à semente, 
 B3 - Em sulco, próximo à semente. 
 O experimento foi conduzido em blocos casualizados, com 3 blocos de parcelas de 5,4m2 
de área útil (6 linhas de 1,80m, distanciadas de 0,5m). Os dados de peso da produção de grãos são 
apresentados na Tabela 4.27. 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 174
Tabela 4.27. Peso da produção de grãos de soja, em dag/5,4m2, 
experimento do Exemplo 4.5. 
 
Bloco 
Fonte Método 
1 2 3 
Soma 
1 1 334 398 354 1.086 
 2 142 269 182 593 
 3 391 367 313 1.071 
2 1 315 302 297 914 
 2 287 363 369 1.019 
 3 439 331 375 1.145 
3 1 368 364 356 1.088 
 2 163 126 113 402 
 3 271 339 387 997 
Soma 2.710 2.859 2.746 8.315 
 
 Análise da variação 
 A análise da variação é efetuada segundo o esquema apresentado na Tabela 4.28. 
 
Tabela 4.28. Esquema da análise da variação para o experimento fatorial 3 
x 3 com ambos fatores qualitativos específicos, Exemplo 4.5. 
 
Fonte de variação GL 
Bloco 2 
Fonte 2 
Método 2 
Fonte x Método 4 
Erro 16 
Total 26 
 
 As somas de quadrados para os efeitos principais e interação de Fonte de fósforo e 
Método de adubação podem ser obtidas pelo método de tabela auxiliar, com o uso da Tabela 4.29, 
como segue: 
 
4. Experimentos Fatoriais 175
Tabela 4.29. Totais das observações para as combinações dos níveis 
dos fatores Fonte e Método, Exemplo 4.5. 
 
Fonte 
Método 
1 2 3 
Soma 
1 1.086 914 1.088 3.088 
2 593 1.019 402 2.014 
3 1.071 1.145 997 3.213 
Soma 2.750 3.078 2.487 8.315 
 
C = 
28.315
27
 = 2.560.712, 
 
 SQ Total = 3342+3982+...+3872 - C = 
 = 2.766.309 - 2.560.712 = 205.597, 
 
 SQ Bloco = 1
9
 (2.7102+2.8592+ 2.7462) - C = 
 = 2.562.055 - 2.560.712 = 1.343, 
 
 SQ Fonte = 1
3 3×
 (2.7502+3.0782+2.4872) - C =
 = 2.580.195 - 2.560.712 = 19.483, 
 
 SQ Método = 1
3 3×
 (3.0882+2.0142+3.2132) - C = 
 = 2.657.257 - 2.560.712 = 96.545, 
 
 SQ Fonte x Método = SQ Fonte e Método – SQ Fonte – SQ Método = 
 
= 
2 2 21
3
19.483 96.545(1.086 914 ... 997 ) C  − −+ + + −   = 
= 2.734.075 – 2.560.712 – 19.483 - 96.545 = 57.336. 
 
 A análise da variação é resumida na Tabela 4.30. 
 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 176
Tabela 4.30. Análise da variação para o experimento fatorial com os 
fatores Fonte de fósforo e Método de aplicação, Exemplo 4.5. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Bloco 2 1.343 - 
Fonte 2 19.483 9.741,37 5,0456 0,0200 
Método 2 96.545 48.272,26 25,0028 < 0,0001 
Fonte x Método 4 57.336 14.333,93 7,4243 0,0014 
Erro 16 30.891 1.930,68 
Total 26 205.597 
Média geral: 307,96 dag/5,4m2). 
CV: 14,27%. 
 
 A interação Fonte de fósforo x Método de aplicação foi significativa (P<0,01). Esse 
resultado demanda a descrição qualitativa da interação. 
 Se um dos fatores é mais importante, a análise deve prosseguir para o estudo da variação 
atribuível ao fator mais importante separadamente para cada um dos níveis do outro fator. Se 
ambos os fatores são igualmente importante, há duas rotas alternativas a seguir: a) o estudo da 
variação atribuível a cada um dos fatores separadamente para cada um dos níveis do outro fator, 
ou seja, da variação atribuível ao fator A para cada nível do fator B, e da variação atribuível ao 
fator B para cada nível do fator A; ou b) o estudo da variação entre as combinaçõesdos níveis dos 
fatores A e B, através de algum teste de comparações múltiplas de tratamentos. Esta segunda 
alternativa é mais raramente apropriada. 
 No presente exemplo, os dois fatores parecem igualmente importantes. Assim, proceder-
se-á, a seguir, à análise da variação atribuível ao fator Método separadamente para cada um dos 
níveis do fator Fonte e, ulteriormente, à análise da variação atribuível ao fator Fonte para cada um 
dos níveis do fator Método. 
 Análise da variação atribuível à Método para cada nível de Fonte 
 Essa análise baseia-se na análise da variação com o esquema indicado na Tabela 4.31. 
 
4. Experimentos Fatoriais 177
Tabela 4.31. Esquema da análise da variação para o estudo da 
variação atribuível a Método para cada nível de Fonte, 
Exemplo 4.5. 
 
Fonte de variação GL 
Fonte 2 
Método | Fonte 1 2 
Método | Fonte 2 2 
Método | Fonte 3 2 
Erro 16 
 
 Essa análise é procedida com o recurso da tabela auxiliar já elaborada anteriormente, 
Tabela 4.29. A soma de quadrados para cada uma das novas fontes de variação nesta tabela 
envolve os dados de apenas uma das colunas da Tabela 4.29. Assim, por exemplo, a SQ Método | 
Fonte 1 envolve os dados apenas da primeira coluna desta tabela; logo, cada uma dessas somas de 
quadrados usa um correspondente específico termo de correção. Os cálculos para essa 
decomposição são indicados a seguir: 
SQ Método | Fonte 1 = 
2 2 2 21.086 593 1.071 2.750
93
+ +
− = 52.418, 
SQ Método | Fonte 2 = 
2 2 2 2914 1.019 1.145 3.078
93
+ +
− = 8.918, 
SQ Método | Fonte 3 = 
2 2 2 21.088 402 997 2.487
93
+ +
− = 92.545. 
 A análise da variação e os testes de significância são completados na Tabela 4.32. 
 
Tabela 4.32. Análise da variação com a decomposição da variação 
atribuível a Método para cada nível de Fonte, Exemplo 4.5. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Método | Fonte 1 2 52.418 26.208,78 13,5749 0,0004 
Método | Fonte 2 2 8.918 4.459,00 2,3096 0,1315 
Método | Fonte 3 2 92.545 46.272,33 23,9669 < 0,0001 
Erro 16 30.891 1.930,68 
 
 Esses resultados revelam que a variação entre os métodos é altamente significativa 
(P<0,001) para as fontes 1 e 3, ou seja Superfosfato e Superfosfato + Cloreto de potássio, mas não 
significativa para a fonte 2 - Fosfato de Olinda. 
 A variação entre os métodos para as fontes 1 e 3 pode ser analisada mediante os 
contrastes de interesse no experimento, ou seja: 
C1: Aplicação fósforo à lanço versus aplicação em sulco e 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 178
C2: Aplicação do fósforo junto à semente versus aplicação próximo à semente. 
Os coeficientes destes contrastes são apresentados na Tabela 4.33. Observe que esses dois 
contrastes são ortogonais. 
 
Tabela 4.33. Coeficientes dos dois contrastes ortogonais de interesse para a análise da 
variação entre métodos dentro de cada fonte, Exemplo 4.5. 
 
 Método 
Contraste 
1 2 3 
C1- Aplicação à lanço v. em sulco 2 -1 -1 
C2- Aplic. junto à sem. v. próx. à semente 0 -1 1 
Total - Fonte 1 1.086 593 1.071 
 Fonte 2 914 1.019 1.145 
 Fonte 3 1.088 402 997 
 
 As somas de quadrados para esses contrastes são determinadas da forma usual; por 
exemplo, para a fonte 1: 
SQ C1 | Fonte 1 = 
2
2 2 2
[2 1.086 593 1.071]
3[2 ( 1) ( 1) ]
× − −
+ − + −
 = 14.337, 
SQ C2 | Fonte 1 = 
2
2 2
[ 593 1.071]
3[( 1) 1 ]
− +
− +
 = 38.081. 
 Os testes de significância destes contrastes podem ser efetuados com o auxílio de uma 
tabela de análise de variação, Tabela 4.34. 
 
Tabela 4.34. Análise da variação para os testes de significância dos 
contrastes de efeitos atribuíveis a Método para cada nível de 
Fonte. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
C1: Método | Fonte 1 1 14.337 14.336,89 7,4258 0,0150 
C2: Método | Fonte 1 1 38.081 38.080,67 19,7240 0,0004 
C1: Método | Fonte 2 1 6.272 6.272,00 3,2486 0,0904 
C2: Método | Fonte 2 1 2.646 2.646,00 1,3705 0,2589 
C1: Método | Fonte 3 1 33.541 33.540,50 17,3724 0,0007 
C2: Método | Fonte 3 1 59.004 59.004,17 30,5613 < 0,0001 
Erro 16 30.891 1.930,68 
 
 As conclusões dessa análise são as seguintes: 
4. Experimentos Fatoriais 179
 - A aplicação do fósforo à lanço foi significativamente superior à aplicação em sulco 
(junto ou próximo à semente) para as fontes 1 - Superfosfato 90 kg/ha de P2O5 (P=0,0150) e 3 - 
Superfosfato 90 kg/ha de P2O5 + Cloreto de Potássio - 60 kg/ha de K2O (P=0,0007); essas duas 
formas de aplicação não diferiram significativamente (P>0,05) para a fonte 2 - Fosfato de Olinda - 
90 kg/ha de P2O5. As diferenças médias de produção de grãos (em dag/5,4m2) foram, 
respectivamente, 84,7, 129,5 e -56,0 dag/5,4m2. 
 - A aplicação do fósforo em sulco próximo à semente foi significativamente superior à 
aplicação em sulco junto à semente para as fontes 1 e 3 (P<0,001); entretanto, esses dois métodos 
de aplicação em sulco não diferiram significativamente para a fonte 2. As diferenças médias de 
produção de grãos (em dag/5,4m2) foram, respectivamente, 159,3, 198,3 e 42,0 dag/5,4m2. 
 Análise da variação atribuível à Fonte para cada nível de Método 
 Os resultados da análise da variação para os testes de significância dos efeitos simples do 
fator Fonte são resumidos na Tabela 4.35. Esses resultados revelam que a variação atribuível à 
Fonte foi significativa (P < 0,0001) para o método 2, mas não significativa para os métodos 2 e 3. 
 
Tabela 4.35. Análise da variação com a decomposição da variação 
atribuível a Fonte para cada nível de Método, Exemplo 4.5. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Fonte | Método 1 2 6.652 3.325,78 1,7226 0,2101 
Fonte | Método 2 2 66.516 33.258,09 17,2261 0,0001 
Fonte | Método 3 2 3.651 1.825,33 0,9454 0,4092 
Erro 16 30.891 1.930,68 
 
 Aparentemente, há duas comparações de maior interesse entre os níveis do fator Fonte: 
C1: Superfosfato versus Fosfato de Olinda (90 kg/ha de P2O5); 
C2: Superfosfato - 90 kg/ha de P2O5 e Cloreto de Potássio 60 kg/ha de K2O versus 
Superfosfato - 90 kg/ha de P2O5 (ou seja, efeito da aplicação de Cloreto de 
Potássio 60 kg/ha em adição à aplicação de Superfosfato - 90 kg/ha de P2O5. 
 Pode-se verificar que estas duas comparações não são ortogonais. Entretanto, se 
constituem as únicas comparações de interesse no experimento, elas poderão ser efetuadas do 
modo usual. 
 Para ilustração, suponha-se que a comparação das fontes 2 e 3 também é de interesse no 
experimento. Nesse caso, devem ser efetuadas todas as comparações entre os três níveis de Fonte, 
separadamente para cada método de aplicação do fósforo. Nessas circunstâncias o fator Fonte deve 
ser mais apropriadamente considerado como qualitativo não estruturado e o conjunto das 9 
comparações de interesse (3 para cada método de aplicação) constitui um subconjunto de todas as 
comparações entre os 9 tratamentos do experimento (combinações dos níveis dos fatores Fonte e 
Método). Então, as comparações múltiplas de tratamentos constituem o procedimento apropriado. 
 Considere-se, para ilustração, a aplicação do teste dms de Fisher (α=0,05). Este teste é 
condicionado à significância do teste F efetuado na análise da variação, ou seja, ele somente pode 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 180
declarar como significativas diferenças de médias cuja variação global revelou-se significativa 
pelo teste F. Na presente situação, a variação entre os níveis do fator Fonte foi significativa para o 
método 2, mas não foi significativa para os métodos 1 e 3. Essa condição implica que as 
comparações entre os níveis de Fonte para os métodos 1 e 3 são não significativas; deve-se 
proceder as comparações apenas para o método 2. Tem-se:dms = t(ν;α) 2 2s r/ 
 = t(16;0,05) 2 1930,68 3x . / = 2,120 x 35,88 = 76,06. 
 Os resultados das comparações de interesse são apresentados na Tabela 4.36. 
 
Tabela 4.36. Resultados das comparações entre os 3 métodos de aplicação 
de Fósforo para cada uma das 3 fontes, Exemplo 4.5. 
 
Método de aplicação Fonte de Fósforo Média 
1
 
(dag/5,4m2) 
À lanço Superfosfato 90 362,0 a 
 Fosfato de Olinda 90 304,7 a 
 Sup. 90 + Clor.Pot. 60 362,7 a 
 
 No sulco, junto à sem. Superfosfato 90 197,7 b 
 Fosfato de Olinda 90 339,7 a 
 Sup. 90 + Clor.Pot. 60 134,0 b 
 
 No sulco, próx. À sem. Superfosfato 90 357,0 a 
 Fosfato de Olinda 90 381,7 a 
 Sup. 90 + Clor.Pot. 60 332,3 a 
1
 Para cada método de aplicação de fósforo, fontes cujas médias 
não são seguidas de uma mesma letra diferiram 
significativamente, pelo teste dms de Fisher (α=0,05). 
Comparações múltiplas de médias 
 Se os dois fatores qualitativos específicos são não estruturados, inferências referentes aos 
efeitos principais e aos efeitos simples, apropriadas respectivamente nas situações de ausência e 
presença de interação dos fatores, podem ser efetuadas por procedimento de comparações 
múltiplas. Essas comparações podem ser efetuadas pelo teste dms de Fisher, ou pelos testes de 
Tukey ou de Duncan (Seção 2.5). Agora, o divisor r das expressões dos critérios desses testes (que 
na situação de um único fator com igual número de repetições para todos os níveis é o número de 
repetições comum dos tratamentos) é o número comum de observações que contribuem para as 
médias que se comparam. Os critérios para esses testes são, respectivamente, os seguintes: 
dms = t(ν; α) i i '
^
Var(y y )− , 
4. Experimentos Fatoriais 181
∆ = q(ν; t; α) i i '
1
2
^
Var(y y )− , 
wa = qa(ν; α) i i '
1
2
^
Var(y y )− , 
com as seguintes expressões para o estimador da variância da diferença de duas médias, 
i i '
^
Var(y y )− : 
- comparações de níveis do fator A globais para os níveis do fator B: 
2 2s
b r , 
- comparações de níveis do fator B globais para os níveis do fator A: 
2 2s
a r
, 
- comparações de níveis do fator B para um nível específico do fator A: 
2 2s
r
, 
- comparações de níveis do fator A para um nível específico do fator B: 
2 2s
r
, 
onde a e b são os números de níveis dos fatores A e B, respectivamente, e s2 = QM Erro com ν 
graus de liberdade. 
 O procedimento para comparações referentes a efeitos simples é ilustrado no final do 
Exemplo 4.5. 
 Contrastes mais genéricos referentes a efeitos principais e a efeitos simples, ou seja, a 
médias de um fator globais para os níveis do outro fator ou a médias específicas para um dos 
níveis do outro fator, da forma: C = c1y1 + c2y2 + ... + ctyt, podem ser testados pela estatística: 
t
c y c y c y
s
t t
C
=
+ + +1 1 2 2 ...
�
 , 
onde: 
Cˆ
^
ˆs Var(C)= , 
e 
^
ˆVar(C) são generalizações das respectivas expressões anteriores de estimadores de diferenças 
de duas médias que substituem o coeficiente 2 por c c c t1
2
2
2 2+ + +... . 
4.11.2 Um fator quantitativo e um fator qualitativo específico 
 Muito freqüentemente, o fator quantitativo é o mais importante. Nesse caso, as 
inferências de maior interesse referem-se à forma da curva de resposta ao fator quantitativo. Se a 
interação mostra-se irrelevante e o efeito principal do fator qualitativo não é significativo, há 
indicação de que o ajustamento de uma curva comum para os diferentes níveis deste fator é 
apropriado. Se a interação mostra-se irrelevante e o efeito principal do fator qualitativo é 
Estatística Experimental. 2. Análise Estatística de Experimentos 182
significativo, as curvas de resposta para os diferentes níveis do fator qualitativo específico são 
distintas mas paralelas. Nessas circunstâncias poder-se-á efetuar-se o ajustamento de curvas com 
parâmetros comuns, com exceção da interseção. Entretanto, se a interação é importante ou revela-
se significativa, curvas distintas devem ser ajustadas para os diferentes níveis do fator qualitativo, 
possivelmente com um ou mais dos parâmetros comuns. 
 Assim, o procedimento mais recomendável é o exame da similaridade dos diferentes 
aspectos geométricos da curva entre os níveis do fator qualitativo, tendo em conta seus 
significados na situação experimental. Assim, por exemplo, se a relação entre a variável resposta e 
o fator quantitativo pode ser representada por uma função polinomial de grau baixo, seja uma 
função quadrática, pode ser melhor o exame separado da declividade e da curvatura. Para tal, 
procede-se ao teste da significância da variação em declividade entre os diferentes níveis do fator 
quantitativo e a uma análise semelhante da curvatura. Se as curvas para os diferentes níveis do 
fator qualitativo não são quadráticas, pode-se adotar um método semelhante para a análise 
separada dos diferentes aspectos geométricos da curva. 
 Em situações menos freqüentes, o fator qualitativo específico é mais importante do que o 
fator quantitativo. Nessas circunstâncias, o procedimento mais recomendado é iniciar com o 
exame do efeito principal do fator qualitativo e, então, proceder ao exame dos efeitos simples do 
fator qualitativo para cada nível do fator quantitativo. Dessa forma, o fator quantitativo é tratado 
como se fosse qualitativo. 
 Exemplo 4.6. Considere-se um experimento que estudou a eficiência da hidrazida 
maleica na redução da incidência do capim anoni, e do tempo decorrido entre a aplicação da 
hidrazida maleica e o preparo do solo. O experimento constou dos dois fatores e correspondentes 
níveis especificados a seguir: 
Fator A - Hidrazida maleica - 3 níveis (doses): 
 A1 - 0 kg/ha 
 A2 - 4 kg/ha 
 A3 - 8 kg/ha 
Fator B - Tempo entre a aplicação da hidrazida e o preparo do solo - 2 níveis: 
 B1 - 3 dias 
 B2 - 10 dias 
 Embora o fator Tempo seja quantitativo, a presença de dois níveis no experimento 
implica que as inferências devem restringir-se a esses níveis, já que não há razão que justifique a 
expectativa de resposta linear à esse fator. Dessa forma, esse fator deve ser tratado como 
qualitativo específico. 
 Os dados na Tabela 4.37 correspondem à raiz quadrada do número de plantas de capim 
anoni por quadrado de 30 cm de lado, tomado em cada parcela, após 52 dias da aplicação da 
hidrazida maleica. 
 
4. Experimentos Fatoriais 183
Tabela 4.37. Raiz quadrada do número de plantas de capim anoni por 
quadrado de 30 cm de lado, em cada parcela do experimento, 
Exemplo 4.6. 
 
Fator Bloco 
B A 1 2 3 4 
Soma 
 3 0 15,7 14,6 16,5 14,7 61,5 
 4 9,8 14,6 11,9 12,4 48,7 
 8 7,9 10,3 9,7 9,6 37,5 
10 0 18,0 17,4 15,1 14,4 64,9 
 4 13,6 10,6 11,8 13,3 49,3 
 8 8,8 8,2 11,3 11,2 39,5 
Soma 73,8 75,7 76,3 75,6 301,4 
 
 Análise da variação 
 A análise da variação para os testes de significância dos efeitos principais e interação dos 
fatores Hidrazida e Tempo é efetuada como no exemplo anterior. Seus resultados são sumariados 
na Tabela 4.38. 
 
Tabela 4.38. Análise da variação para o experimento fatorial com os 
fatores Hidrazida e Tempo para o preparo do solo, Exemplo 
4.6. 
 
Fonte de variação GL SQ QM F Prob.>F 
Bloco 3 0,5817 - 
Hidrazida 2 153,6633 76,8317 29,2630 < 0,0001 
Tempo 1 1,5000 1,5000 0,5713 0,4614 
Hidr.x Tempo 2 0,4900 0,2450 0,0933 0,9114 
Erro 15 39,3833 2,6256 
Total 23 195,6183 
Média geral: 12,56 (raiz quadrada do número de plantas/900cm2). 
CV: 12,90%. 
 
 A interação Hidrazida x Tempo não foi significativa. Portanto, inferências referentes aos 
efeitos principais dos dois fatores são apropriadas, ou seja, pode-se concluir separadamente para 
cada um dos dois fatores. O efeito principal de Hidrazida foi significativo