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CONJUNTOS NUMÉRICOS � PAGE �1�
CONJUNTOS NUMÉRICOS(Aula01-Top1-Link4)
	Alguns conjuntos numéricos são importantes e recebem nomes especiais, admitindo que o conjunto dos reais é o conjunto universo dos números(1), tem-se o conjunto dos números:
(a) Inteiros não negativos dado por 
(2);
(b) Inteiros dado por 
(3);
(c) Racionais dado por 
(4). Observe que são números racionais, as frações, os decimais com um número finito de algarismos decimais e os decimais tendo infinitos algarismos decimais periódicos. Qualquer que seja 
 observe também que 
 não está definido como número racional(5), em particular 
 
(d) Irracionais é indicado pela letra I e é o conjunto dos números reais que não são racionais. Os números irracionais não possuem representação usando os algarismos indo-arábicos, mas podem ser aproximados por números racionais. A existência de tais números, veio com a descoberta da 
 ou talvez 
 ou 
(6). Existe número irracional que não é raiz quadrada de nenhum número inteiro, por exemplo, os números indicados pelas letras “e” (que aparece no estudo do logaritmo, cujo valor é 
) e “
” (usado como a razão do comprimento da circunferência para o seu diâmetro, cujo valor é 
)(1); 
(e) Pares dado por 
(f) Ímpares dado por 
 
(g) Primos dado por 
é divísivel somente por um e ele mesmo}.
	Observe que: (i)
 (ii) 
 (iii) 
 (iv) 
 isto é, Q e I são disjuntos; (v) 
	Em tais conjuntos numéricos, quando se usa o símbolo: * (estrela), indica que o zero foi excluído do conjunto; + (sinal de adição), significa que foram excluídos todos os números negativos; 
(sinal de subtração), quer dizer que foram excluídos todos os números positivos. Por exemplos: (i) 
 (ii) 
 (iii) 
 é negativo}.
	O conjunto 
 é chamado de conjunto dos naturais. O conjunto 
 é dito o conjunto dos reais estritamente positivos e os outros conjuntos análogos têm nomes semelhantes. 
	Considerando que uma reta é formada de pontos, é possível identificar cada número real através de um ponto da reta e vice-versa, assim representar geometricamente o conjunto dos números reais R através de uma reta, isso é feito como segue.
	Suponha que r está na posição horizontal, escolhendo um ponto qualquer de r, designando esse ponto pela letra “O”, faça-o corresponder ao número “zero”; em seguida, escolha outro ponto qualquer à direita do ponto “O”, chamando esse ponto de “ P ”, identifique P com o número “um”. 
	Adotando a distância unitária de O a P, essa distância é usada para associar o restante dos números reais a pontos da reta. O número dois corresponde ao ponto que está à direita e a uma unidade de distância de P, o número três correspondente ao ponto que está à direita e a uma unidade de distância do ponto representando o número dois, assim sucessivamente; analogamente, é feita a correspondência dos inteiros negativos com os pontos à esquerda de O.
	Os números racionais são associados a pontos de r, seguindo o princípio natural da ordem e da distância unitária; por exemplo, para achar o ponto associado a 
, como 
 está entre 0 e 1, o segmento de O a P é dividido em três partes iguais por dois pontos, o segundo desses pontos está associado a 
. 
	Observe que entre dois números inteiros, pode não existir outro inteiro, por exemplo, entre 0 e 1 não existe número inteiro; entretanto, entre dois racionais, sempre existe outro racional, por exemplo, se a e b são números racionais, com a à esquerda de b, então 
 está entre a e b, e 
 Esta propriedade dos racionais, permite dizer que ele é denso no conjunto dos reais; porém, isso não significa afirmar que todos os pontos da reta estão associados somente aos racionais, conforme a figura e comentários a seguir.
	Além da construção na última figura, uma localização aproximada do ponto associado a raiz quadrada de dois, também pode ser efetuada usando uma aproximação racional, pois como 
o ponto está entres os pontos identificados com 
 e 
. Analogamente, o procedimento pode ser usado para localizar aproximadamente os pontos associados aos números “
” “
”, “e” e “
”. 
	Ficou evidente que o conjunto dos irracionais 
 não é vazio, mais do que isso, uma teoria mais avançada permite mostrar que ele também é denso em R; além disso, existe critério que classifica I mais amplo do que Q. 
	A explanação efetuada está de acordo com o postulado de Cantor-Dedekind(1) , este mas do que foi dito, afirma que cada número real corresponde a um único ponto da reta e cada ponto da reta está associado a um único número real. O conjunto dos reais, com as considerações mencionadas em relação a uma reta, é dito um sistema de coordenadas da reta e a reta é chamada de reta real ou eixo real. Embora um número real e um ponto de uma reta sejam elementos de natureza diferentes, devido a correspondência entre os pontos e números reais, é comum mencionar os pontos da reta como números, considerando desta forma fica natural uma expressão do tipo “o ponto 2 da reta” ou “o segmento de reta de 
 até 2”. 
	Se uma reta está na posição horizontal, por exemplo, dados os números reais a e b, então a é menor que b (ou b é maior que a), indica-se 
 (ou 
 se a está à esquerda de b na reta(2); além disso, 
 (lê-se, a menor do que b ou igual a b) se 
 ou 
 analogamente 
	Outros conjuntos numéricos importantes, são os intervalos de números reais, se 
 com 
 tais intervalos são definidos a seguir. Nas figuras, os eixos na cor “azul” representam o conjunto dos reais e intervalos estão ilustrados na cor “laranja”:
(a) Intervalo fechado, 
	
	 
	
(b) Intervalos abertos,
	
	 
�
	
	
	 
 
	
	
	 
 
�,
	
	
	 
	
(c) Intervalos semifechados ou semi-abertos,
	
	 
�
	
	
	 
 
	
	
	 
�,
	
	
	 
�
	
	Exemplo Resolvido. Os intervalos 
 e 
 são representados por
 
(1) Alguns autores consideram o conjunto universo dos números como sendo o conjunto dos números complexos. Números complexos, são números da forma � EMBED Equation.DSMT4 ��� onde � EMBED Equation.DSMT4 ��� a e b são reais, surgiram antes dos números negativos e os irracionais estarem solidamente estabelecidos, a grande contribuição foi do italiano Raplael Bombelli (1526-1572) em sua “� EMBED Equation.DSMT4 ���Algebra” de 1573. Entretanto o símbolo “� EMBED Equation.DSMT4 ���” foi introduzido em 1629 pelo francês Albert Girard (1590-1633) e “i” foi usado pela primeira vez para indicar � EMBED Equation.DSMT4 ��� em 1777 pelo suíço Leonhard Euler (1707-1783); foi impresso pela primeira vez em 1794 e o termo “número complexo” foi introduzido pelo alemão Carl Friederich Gauss (1777-1855) em 1832. Não estou querendo causar nenhuma confusão na sua cabeça, mas na realidade, o que se chama de “números complexos” de forma tradicional, são pares ordenados de números reais. 
(2) A letra “N” se refere a inicial da palavra “natural”, embora existam autores que consideram o conjunto dos naturais (isto é, conjunto dos números que são usados para contagem de objetos da natureza) como os inteiros positivos, o que é mais lógico.
(3) A letra “Z” vem da palavra alemã “zahl” que significa “número”.
(4) A letra “Q” deriva da palavra inglesa “quotient” que significa “quociente”.
(5) Em Matemática pode ocorrer na solução de certos problemas se chegar ao símbolo � EMBED Equation.DSMT4 ���, particularmente em � EMBED Equation.DSMT4 ���, mas tais expressões não representam nenhum valor; entretanto, podem indicar procedimentos a serem seguidos para resolver esse tipo de problema.
(6) É suposto que o pitagórico Hipasus de Metapontum ou Crotona (cerca de 400 A.C.) descobriu o primeiro número irracional,� HYPERLINK "http://www.consciencia.org/introdutorios.shtml" ��Parte inferior do formulário
aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles, que revelaria a irracionalidade da � EMBED Equation.DSMT4 ��� mais dois outros problemas poderiam ter levado a � EMBED Equation.DSMT4 ��� e a � EMBED Equation.DSMT4 ���
(1) A irracionalidade de “e” e “� EMBED Equation.DSMT4 ���” têm demonstrações de níveis mais alto do que a raiz de dois. A demonstraçao que o número “e” é irracional foi obtida por Euler em 1737. O uso da letra “e” foi idealizado por Euler e impresso pela primeira vez em sua obra “Mechanica” de 1736, embora o seu conceito já fosse conhecido a mais de um século. A letra “� EMBED Equation.DSMT4 ���” é a inicial da palavra “perímetro” em grego e foi também adotada por Euler; porém foi o suiço Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quem primeiro apresentou a prova de que � EMBED Equation.DSMT4 ��� é irracional, na Academia de Berlin em 1761. O conceito de � EMBED Equation.DSMT4 ��� data da época dos antigos babilônios e egípcios, que já usavam com precisão bastante satisfatória, consideravam � EMBED Equation.DSMT4 ���
(1) Até o final do século XIX não havia qualquer definição da expressão “número real”, a preocupação dos matemáticos em complementar os racionais para chegar aos reais, durou cerca de meio século, até que o alemão Julius Wihelm Richard Dedekind (1831-1916) viu que o conjunto dos racionais podia ser estendido aos reais, supondo o que é chamado o axioma de Cantor-Dedeking, isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. Tal axioma tem uma aritmetização, que divide os números racionais em duas classes e se chama “corte de Dedekind”, essa sistemática define número irracional. Resumindo, o corte de Dedekind no sistema dos racionais, faz uma construção dos números reais.
(2) Esta é uma definição geométrica, mas é possível estabelecer uma definição analítica de <.
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