ARITMÉTICA_E_TEORIA_DOS_NÚMEROS_-_TUTOR_-_U1 1

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Disciplina:
Aritmética e Teoria dos Números
Docente:
Luiz Carlos Pitzer
Unidade 1: Números Inteiros e Divisibilidade
Esta unidade está dividida em quatro tópicos:
 Tópico 1 – Números inteiros
 Tópico 2 – Indução matemática
 Tópico 3 – Divisibilidade
 Tópico 4 – Sistemas de numeração
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
OBJETIVOS DA APRENDIZAGEM
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
conhecer as propriedades e as estrutura dos números inteiros;
reconhecer as operações de adição e de multiplicação e as propriedades construídas a partir delas;
desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades;
aplicar o conceito de adição e multiplicação em questões relacionadas com a divisibilidade;
compreender o sistema de numeração e como é possível representá-los em outras bases numéricas.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Números inteiros
Neste primeiro momento, damos fundamentos axiomáticos, para a construção desta disciplina, que foi desenvolvido pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), no final do Século XIX. 
Ele foi quem contribui para a menor lista de axiomas, para obter os números naturais e, consequentemente, os inteiros.
Os números naturais possuem como ideia simples e primordial a noção intuitiva de contagem. Porém, houve a necessidade de criar outros números, entre eles, os números negativos. 
Estes possuem, como uma de suas aplicações, as atividades comerciais. Suas regras operatórias foram publicadas em 1572 pelo matemático Rafael Bombelli.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Números inteiros
O conjunto dos números inteiros, , é munido das operações de adição e de multiplicação. 
Neste conjunto, há um subconjunto muito importante que utilizaremos bastante, o dos números naturais, que trataremos sem a utilização do zero, 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Para fins de simplificação, a lista de axiomas que utilizaremos para construir as propriedades será bastante sucinta. Porém, como o intuito é estudar outras partes da teoria, selecionamos as seguintes propriedades:
A1 – A adição e multiplicação são Bem Definidas. 
 
A2 – A adição e a multiplicação são Comutativas.
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 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
A3 – A adição e a multiplicação são Associativas.
 
A4 – A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros.
 
Assim, é o Elemento Neutro da adição e é o Elemento Neutro da multiplicação.
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 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
A5 – Adição possui elemento simétrico.
 
A6 – A multiplicação é distributiva com relação à adição.
tem-se 
A adição nos fornece condições suficientes para definir uma outra operação, que chamaremos de subtração.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
D1 – Seja dado dois números inteiros e , define-se o número menos , denotando essa operação por , como sendo e dizemos que é o resultado da subtração de de .
São com estes axiomas que conseguimos realizar a demonstração de várias outras propriedades.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Exemplo : mostre que se , então .
Resolução:
Partindo de , somaremos em ambos os membros aplicando A1
Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita 
Aplicando A3 e A2 na esquerda, primeiramente dentro dos parênteses, obtemos 
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 Tópico 1 – Números inteiros
ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Exemplo : mostre que se , então .
Resolução:  
Aplicando A5 na esquerda e A4 na direita 
Aplicando A2 e A4 na esquerda 
Como queríamos demonstrar.
Perceba que até para eliminar o zero da última etapa, utilizamos a comutatividade e o elemento neutro da adição.
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 Tópico 1 – Números inteiros
ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
Vimos, anteriormente, algumas propriedades que são válidas para os inteiros. 
Desta forma, dando continuidade, veremos mais duas importantes propriedades que contribuirão para a demonstração de algumas proposições.
A7 – Fechamento nos : O conjunto dos é fechada para a adição e multiplicação, ou seja, para todo , tem-se que e .
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 Tópico 1 – Números inteiros
ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
A8 – Tricotomia: Dados , uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades é verificada:
em outras palavras
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 Tópico 1 – Números inteiros
ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
Apresentaremos algumas propriedades que podem ser demonstradas pelos axiomas vistos até o momento, e, em alguns casos, realizaremos sua demonstração.
Proposição 1: a relação “menor do que” é transitiva: 
Proposição 2: a adição e a lei do cancelamento são compatíveis com respeito à relação “menor do que”: 
Proposição 3: a multiplicação por elementos de é compatível e passível de cancelamento com respeito à relação “menor do que”: 
Entre outras!
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 Tópico 1 – Números inteiros
PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO
Veremos, agora, o nono e último axioma, que nos darão condições suficientes para deduzir todas as propriedades que estão ligadas aos números inteiros, e que fornecerão uma propriedade que diferenciará os inteiros dos demais conjuntos. 
Com esse nono axioma será possível, então, caracterizar o conjunto dos números inteiros.
A9 – Princípio da Boa Ordenação: se é um subconjunto não vazio de e limitado inferiormente, então possui um menor elemento.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Veremos a forma de demonstrar pelo Princípio da Indução Matemática.
Para entender um pouco o funcionamento do teorema antes de apresentá-lo, vamos supor algo bem intuitivo, acredito que você já tenha se divertido com este tipo de brincadeira que envolve dominós. 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Na prática, o método da brincadeira com dominós possui um funcionamento bem simples. 
Garanta que todos estejam alinhados, que o primeiro funcione e que este influencie no próximo e assim por diante. 
Assim, mesmo que a fila seja indefinidamente extensa, podemos garantir que todos os dominós cairão.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Teorema 1: (Princípio da Indução Matemática) sejam um subconjunto de e tais que:
 
 é fechado em relação à operação de “somar 1” a seus elementos, ou seja, .
 
Então, .
https://www.youtube.com/watch?v=6XUlhBPEkzk
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Parece simples o teorema, porém, apesar da simplicidade de imaginar que o sucessor de um número pertence a um subconjunto dos inteiros, este serve como base para um importante método de demonstração, que chamaremos de 
Prova por Indução Matemática.
Mas qual o motivo de provar as coisas?
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
“As ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica para formular leis que devem reger determinados fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. 
Esse tipo de procedimento, embora não seja uma demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é frequentemente satisfatório.”
(FONSECA, 2011, p. 30)
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Apesar do comentário de Fonseca ser “satisfatório”, PODE NÃO ser relevante para várias situações da matemática.
Para explicar a induçãoempírica, Bertrand Russel (1872-1970), matemático inglês, batizou a indução empírica de forma irônica, chamando de indução galinácea, que apresentava a seguinte história:
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar. 
No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a senhora se retirava. No nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso da velha senhora. 
No centésimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seu milho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora a pegou pelo pescoço com a intenção de pô-la na panela.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Admitir que algo funcione para uma certa quantidade de valores não significa que funcione para qualquer uma delas.
Veremos exemplos extremamente curiosos sobre a raciocínio indutivo que darão ênfase ao motivo de “demonstrar para validar”.
Exemplo: encontramos um polinômio , que fornece apenas números primos.
Será que é verdade?
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Este consegue fornecer até todos números primos
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Será que conhecemos, então, um polinômio que fornece apenas números primos? 
Apesar de todos os números obtidos até o momento serem realmente primos, o polinômio não funciona para . 
Notem como é importante na matemática a demonstração. 
Apesar de refutarmos a ideia do polinómio com um contraexemplo, é fundamental conhecermos métodos de demonstração. 
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Teorema: (Prova por Indução Matemática) sejam e seja uma sentença aberta em . Suponha que:
 
 é verdadeiro, e que
, é verdadeiro.
 
Então, é verdadeiro para todo .
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
O teorema nos diz que, se um certo valor a goza da sentença definida nos números inteiros, e que, além disso, o sucessor de a também goza desta sentença, então todos os números deste conjunto gozam desta sentença.
Vejamos um exemplo! 
Obs.: o desenvolvimento do método requer um bom conhecimento de matemática básica.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Exemplo: mostre que para , vale:
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar que a propriedade
vale para todo . Verificaremos inicialmente que é válida. De fato: 
o que é verdade.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
https://www.youtube.com/watch?v=0jwoxttpnu0
Supondo que é verdadeira para certo valor de , somamos ambos os 
Logo . Assim pelo Princípio da Indução, 
 vale para todo . 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Teorema: (Prova por Indução Completa) seja uma sentença aberta tal que
 
 é verdadeiro, e que
 e e e é verdadeiro
 
Então, é verdadeiro para todo .
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
A diferença entre o Princípio de Indução Matemática com este, é que enquanto no primeiro tínhamos um número natural qualquer e tentamos provar que é verdadeira baseado apenas, na hipótese de que é verdadeira.
Na indução completa, prova-se que é verdadeira fundamentado no fato de que as proposições , , , , são todas verdadeiras, ou seja, em vez de admitir que apenas é verdadeira, pode-se admitir que , , ..., são verdadeiros, desta forma, temos mais base e consistência na demonstração.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Para dar continuidade ao desenvolvimento das aplicações do método da indução, veremos o conceito de recorrência, que trará mais rigor no tratamento de algumas situações matemáticas.
Muitas sequências, como as aritméticas e geométricas, podem ser definidas recursivamente, ou seja, mediado de uma regra que possibilita calcular qualquer termo, em função do antecessor imediato.
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 Tópico 2 – Indução Matemática
DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Exemplo 9: seja a sequência com . Essa é uma sequência bem conhecida, uma progressão aritmética de razão . Logo, uma forma de definir o próximo termo da sequência , por recorrência, resumir-se-ia na expressão:
 
Ou, ainda, a soma de todos os termos, seria definida por
 
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 Tópico 2 – Indução Matemática
DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Podemos denotar somas como a dos exemplos anteriores, pela notação de somatório:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Indução Matemática
DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Por recorrência, é possível definir o fatorial de um número inteiro, com , denotado por , como sendo e se .
Outra importante aplicação da recorrência está na definição da operação de potenciação. Seja um elemento de um conjunto munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências com inteiro, , são definidas por recorrência, como:
 e , se então .
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 Tópico 3 – Divisibilidade
INTRODUÇÃO
Neste tópico, apresentaremos o conceito de divisibilidade, retomaremos e aprofundaremos os conceitos acerca dos números inteiros.
Veja a divisão de um número inteiro a por um número inteiro não nulo b.
Note que se , resulta que e seguem as seguintes relações: 
a divisão de por tem resto ;
a divisão de por é exata;
 é divisível por ;
 é um múltiplo de ;
 é um divisor de ;
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISIBILIDADE
Definição 1: dados e , números inteiros. Afirmaremos que divide , se existir de modo que De mesmo modo, diremos que não divide , quando não puder ser escrita a forma , com 
Notações:
 indica que b divide a;
 indica que b não divide a.
Essa relação aqui definida é a de divisibilidade de números inteiros.
Não pode ser confundida 
a relação de divisibilidade 
 com a de fração . 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISIBILIDADE
Exemplos:
Mas , pois não existe t inteiro tal que .
Uma proposição importante:
Proposição: se e somente se, 
Detalhes maiores no nosso livro!
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISIBILIDADE
Propriedades:
Se e , então 
Se e , então 
Se e , então 
Se , então .
Se , então , para quaisquer números inteiros .
Sejam e , então .
Sejam e , então .
Sejam e , então .
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISÃO EUCLIDIANA
Introduziremos um conceito baseado nos estudos de Euclides, nos seus Elementos, em que é tratado que mesmo que quando um número inteiro a não divide outro inteiro b, é citado que sempre é possível efetuar a divisão, porém, neste caso, com um resto (lembrando que Euclides só tratava de números positivos).
Teorema (Divisão Euclidiana): sejam , dois números inteiros quaisquer, com . Existem dois números (únicos) , tais que: 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISÃO EUCLIDIANA
Exemplo: 
Como exemplo do resultado visto, podemos afirmar que para a divisão de 19 por 5, temos e . Pois, sabemos que , assim . 
Já se tivéssemos -19 por 5, seriam e 
Pois, .
Unidade1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Divisibilidade
DIVISÃO EUCLIDIANA
Apenar de simples o resultado, o estudo que segue abordará vários conceitos, e todos eles estão fortemente ligados com o conceito de divisibilidade. 
Desta forma, é importante que você esteja bastante apropriado deste embasamento teórico para a sequência de seus estudos.
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 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
INTRODUÇÃO
O sistema de numeração que estamos habituados a utilizar é o sistema posicional de base 10.
Porém, existem outros sistemas de numeração que são bastante usuais e que tem sua base de análise fortemente ligadas à Aritmética.
Neste tópico, dedicaremos algumas linhas para discutir a base formal desse sistema de numeração e ampliar nosso horizonte para outras formas de representações numéricas.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema que utilizamos é o sistema de base 10, ele está organizado através de agrupamentos de 10 em 10, conforme podemos visualizar:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Por exemplo, no nosso sistema decimal, no número , o representa ; o representa e o representa mesmo. 
Assim, . 
Mais genericamente, podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟, em que 𝑟 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ 0, 1, … , 9 ; para 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e o representamos por 𝑎𝑟𝑎𝑟−1 … 𝑎1𝑎0 com 𝑎𝑖 sendo um dígito de 𝑛.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM BASE QUALQUER
Teorema: seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo número natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira: 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.
Semelhante ao que realizamos com a base 10!
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B
Aplicando sucessivamente a divisão euclidiana temos:
E, assim por diante, seguindo com , portanto: 
Decorre disso, se tivermos , implica que , e, assim sendo, , logo: 
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Sistemas de Numeração
EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B
Exemplo: representar o número 723 na base 5.
Resolução: utilizando a expansão (divisão euclidiana sucessiva), temos:
 Tomando os restos das divisões, escrevemos: 
. 
Assim, o número 723 se representa como 10343 na base 5.
Bons estudos!
“
𝑛 𝑝(𝑛) 𝑛 𝑝(𝑛) 𝑛 𝑝(𝑛) 𝑛 𝑝(𝑛) 
1 41 11 151 21 461 31 971 
2 43 12 173 22 503 32 1033 
3 47 13 197 23 547 33 1097 
4 53 14 223 24 593 34 1163 
5 61 15 251 25 641 35 1231 
6 71 16 281 26 691 36 1301 
7 83 17 313 27 743 37 1373 
8 97 18 347 28 797 38 1447 
9 113 19 383 29 853 39 1523 
10 131 20 421 30 911 40 1601