gabarito

Prévia do material em texto

ARITMÉTICA E TEORIA DOS 
NÚMEROS
2020
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
UNIDADE 1
TÓPICO 1
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
− − =
⋅ = −
− ⋅ = − ⋅
− ⋅ − =
− ⋅ − = ⋅
− =
− = −
−
2 2
3 3
a) 
b) 1
c) 
d
g
1 1) 
e)
)
1
 
 
f 
) 
a a
a a
a b a b
a b a b
a a
b b
1 Para , ∈a b , mostre que:
2 Mostre que para todo , ∈a b , vale a propriedade:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
− =
− + = − −
− − = −
− − = + −
− + = − −
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
0
 
a a
a b a a
b a a b
a b c a c b
a b c a b c
R: 
a) Verificado.
b) Verificado.
c) Verificado.
d) Verificado.
e) Verificado.
f) Verificado.
g) Verificado.
3
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.: 
a) Verificado.
b) Verificado.
c) Verificado.
d) Verificado.
e) Verificado.
TÓPICO 2
1 Mostre as seguintes fórmulas por indução:
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
+
+ +…+ =
+ +
+ +…+ =
 +
+ +…+ =  
 
−
+ +…+ − =
+ +
+ +…+ =
+ +…+ =
⋅ ⋅ ⋅ + +
+
+ +…+ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + +
+ +…+
⋅ ⋅ −
2 2 2
2
3 3 3
2
22 2
22 2
1
a) 1 2
2
1 2 1
b) 1 2
6
1
c) 1 2
2
4 1
d) 1 3 2 1
3
2 1 2 1
e) 2 4 2
3
1 1 1f) 
1 2 2 3 1 1
31 1 1g) 
1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2
1 1 1h) 
1 3 3 5 2
n n
n
n n n
n
n n
n
n n
n
n n n
n
n
n n n
n n
n n n n n
n( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
⋅ + +
+ +…+ =
⋅ ⋅ − ⋅ + +
+ +…+ =
⋅ ⋅ − ⋅ + +
1 2 1 2 1
1 1 1i) 
1 4 4 7 3 2 3 1 3 1
1 1 1j) 
1 5 5 9 4 3 4 1 4 1
n
n n
n
n n n
n
n n n
4
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.:
a) Verificado.
b) Verificado.
c) Verificado.
d) Verificado.
e) Verificado.
f) Verificado.
g) Verificado.
h) Verificado.
i) Verificado.
j) Verificado.
2 Ache uma fórmula para cada uma das seguintes somas:
( )
( )
( )
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+
+ + …+
a) 1 3 2 1
b) 1 4 3 2
c) 2 6 4 2
d) 3 9 3
1 1 1 1e) 
3 9 27 3
n
n
n
n
n
R.:
a) n².
b) 1/2 (3n^2-n).
c) 2n².
d) 3/2 (3^n-1).
e) 3^(-n).
3 Calcule fórmulas fechadas para as seguintes somas: 
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + − +
+ + + + + + + + + + +2 2 2 2 2 2
a) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 ··· .
b) 1·2·3 2·3·4 3·4·5 ··· 1 2 .
c) 1·3 3·5 5·7 ··· 2 1 2 1 .
d) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 3 ··· .
n
n n n
n n
n
5
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.:
4 Seja ∈a  . Mostre que 
5 Mostre por indução as seguintes observações.
( )
( )( )
( )( )
( )
+ + +
+ +
− +
+ + + +2 2 2
a) 1 2 ··· .
b) 1 2 .
c) 2 1 2 1 .
d) 1 2 3 ··· .
n
n n n
n n
n
( )
( )
∈ ∈ + = +
∈ ∈ − = +
2
)
b
.
a para cada , existe tal que 1 1.
R.: Verificado.
 para u) cada , existe tal q e 1 1.
R.: Verificado
n
n
n m a ma
n m a ma
 
 
> ∈
> ∈ ≥
> ∈ ≥
< ∈ ≥
2
2 , para todo .
! , para todo com 4.
! 3 , para todo com 7.
! , para todo com 2.
a) 
b) 
c) 
d) 
n
n
n
n n
n n n n
n n n
n n n n




R.:
a) Verificado.
b) Verificado.
c) Verificado.
d) Verificado.
TÓPICO 3
1 Mostre que dados a, b e c inteiros, com ≠ 0c , temos: ⇔ .ac bc a b
R.: Verificado.
2 Determinar a soma de todos os múltiplos de 6 que podem ser escri-
tos com 2 dígitos.
6
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R: 810.
3 Com quantos zeros termina 1000!
R: 249.
4 Mostre utilizando indução:
a) 8 | 32n + 7
b) 169 | 33n+3 – 26n – 27
R.: 
a) Verificado.
b) Verificado.
5 Mostre que 13 | 270 + 370.
R.: Verificado.
6 Mostre que para todo n:
a) 9 | 10n – 1
b) 8 | 32n – 1
R.:
a) Verificado
b) Verificado
7 Para quais valores de a, temos que a + 2 | a4 + 2.
R: 1, 4, 7 e 16.
8 Determine o quociente e o resto da:
a) Divisão de 36 por 7.
R: Quociente: 5 Resto: 1.
b) Divisão de 147 por 32.
R: Quociente: 4 Resto: 19.
9 Verifique a paridade:
7
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
a) Da soma de dois números inteiros.
R: Verificado.
b) Da diferença de dois números inteiros.
R.: Não verificado.
c) Do produto de dois números inteiros.
R.: Não verificado.
d) Da soma de n ímpares.
R.: Não verificado.
10 Mostre que a é par, se e somente se, an é par.
R.: Verificado.
11 Seja a terna de números n, n + 1 e n + 2, mostre que apenas um deles 
é divisível por 3.
R.: Verificado.
12 (ENC, 2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto 
da divisão de N por 5?
 
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2002).
R.: 40.
13 Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 
3 e por 4.
R.: 70.
14 (ENC, 2000) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então 
a2 deixa resto 1 na divisão por 3.
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2000).
R.: As questões que pedem para “mostrar” não tem resposta fixa. Deve-se 
provar e verificar a veracidade.
8
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
TÓPICO 4
1 Dado o número 464 na base 10. Escreva-0 na base 2, 4 e 5.
R: 
(111010000)2
 (13100)4
 (3324)5
2 O número 3416 está escrito em base 7. Como ele é escrito na base 2 
e 5?
R: 
Base 2: (10011010110)2
Base 5: (14423)5
3 Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?
R: Base 5.
4 Mostre que um número na base 10 que é um quadrado perfeito, os 
algarismos das unidades só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
R.: Verificado.
5 (ENC, 2016) Escolha um número abc de três algarismos no sistema 
decimal, de modo que os algarismos das centenas a e o das unida-
des c difram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números 
abc e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz. A 
soma de xyz com zyx vale 1089. Justifque esse fato.
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2016).
R.: 1089 – Verificado.
9
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Um empreiteiro deseja construir um prédio em um terreno retangu-
lar de dimensões 216 m por 414 m. Para isso deverá cercá-lo por es-
tacas. Se ele colocar uma estaca em cada canto do terreno e utilizar 
sempre a mesma distância entre duas estacas consecutivas, qual 
será a quantidade mínima de estacas a serem utilizadas?
R.: 70 estacas.
2 Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 900 degraus e a 
outra com 660 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas 
só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra 
quantos andares tem o prédio.
R.: 60 estacas.
3 Em um cesto haviam ovos. Eram mais de 50 e menos de 60. Contan-
do de 3 em 3, sobravam 2. Contando de 5 em 5, sobravam 4 ovos. 
Qual é a quantidade de ovos no cesto?
R.: 59 ovos.
4 Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é 
divisível, ao mesmo tempo, por 4, 8 e 12.
R.: 120 estacas.
5 Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são ne-
cessárias para cobrir uma superfície retangular de 12,8 m de com-
primento por 9, 6 m de largura?
R.: 12 estacas.
6 Determine o mdc dos números a seguir pelo Lema de Euclides.
a) 340 e 622.
R.: 2.
10
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
b) 1230 e 560.
R.: 10.
7 Tente calcular o mdc(1203, 3099) usando uma fatoração simultânea 
e depois calcule este mdc usando a propriedade mdc(a, b) = mdc(a, 
b – a).
R.: 3.
8 Para cada par de números naturais a e b dados a seguir, ache mdc(a, 
b) e determine os números naturais m e n tais que mdc(a, b) = na – 
mb ou mdc(a, b) = mb – na.
a) 637 e 3887.
R.: 13.
b) 648 e 1218.
R.: 6.
c) 552 e 874.
R.: 46.
9 Determine dois números a e b tais que mdc(a, b) = 150 e a + b = 80.
R.: 30 e 50.
10 (OBMEP) O produto de dois números de dois algarismos cada um 
é 1728. Se o máximo divisor comum deles é 12, quais são estes nú-
meros?
FONTE: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – IMPA (2010)
R.: 36 e 48.
TÓPICO 2
1 Determinar a solução geral das seguintes equações diofantinas line-
ares: 
11
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
a) 56x + 72y = 40.
b) 24x + 138y = 18.
c) 221x + 91y = 117.
d) 48x + 7y = 5.
2 Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes 
equações diofantinas lineares:
a) 5x – 11y = 29.
 infinitassoluções.
b) 12x + 21y = 771.
c) 58x – 87y = 290.
d) 8x + 3y = 64.
 
3 Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o 
primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
R.: 56 e 44.
4 Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se 
que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas es-
posas e que cada homem gastou 18 dólares e cada mulher gastou 15 
dólares, pede-se determinar as possibilidades de quantas mulheres 
e quantos homens poderiam estar no hotel.
= + = − −R.: 9 2, 7 1.x n y n
= + = − −R.: 23 18, 4 3.x n y n
= + = − −R.: 7 3, 17 6.x n y n
= + = − −R.: 7 2, 48 13.x n y n
( ) ( ) ( ){ }= + = + = …R.: 11 8, 5 1, 19, 6 ; 30,1 1 ; 41,1 6 ; x n y n S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= + = − + =R.: 7 3, 4 35, { 3, 35 ; 10, 31 ; 17, 27 ; 24, 23 ; 31,1 9
38,1 5 ; 45,1 1 ; 52, 7 ; 59, 3 }. 
x n y n S
( ) ( ) ( ){ }= + = − = …R.: 3 2, 2 2, 8, 2 ; 11, 4 ; 14, 6 ; infinitas soluções.x n y n S
( ){ }= + = − =R.: 3 2, 16 8, 5, 8x n y n S
12
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.: Usando x para homens e y para mulheres, as opções são
5 Sabendo que um time de basquete é composto de 5 jogadores e um 
time de vôlei é formado por 6 jogadores. Quantas quadras de bas-
quete e quantas de vôlei são necessárias para que 80 alunos joguem 
simultaneamente qualquer um dos esportes? E se forem 77 alunos?
R.: Para 80 alunos, podem ser 5 de basquete e nenhum de vôlei ou 2 de 
basquete e 5 de vôlei. Para 77 alunas, não há solução.
6 Para participar de um evento comemorativo em um clube, não só-
cios pagavam R$ 12,00 e sócios R$ 8,00. Sabendo-se que foram ar-
recadados R$ 908,00 na portaria, quantos sócios estiveram no even-
to?
R.: As soluções são dadas por = + = −2 1, 112 3 . x n y n
7 O laboratório Sangue Bom dispõe de 2 máquinas para examinar 
amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, 
enquanto a outra examina 25. Quantas vezes essas máquinas de-
vem ser acionadas para examinar exatamente 2 mil amostras?
R.: As soluções são dadas por = = −5 , 80 3 . x n y n
8 Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas 
são as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença 
entre esses dois números é a menor possível?
R.: 67 coelhos e 66 galinhas.
9 (ENC, 2002) Em certo país, as cédulas são apenas de $4 e $7. Qual 
das opções, apresenta a possibilidade de pagar, sem troco, qual-
quer quantia inteira com as cédulas à disposição:
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2002)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= = − + =5 , 6 46, { 5, 40 ; 10, 34 ; 15, 28 ; 20, 22 ;
25,1 6 ; 30,1 0 ; 35, 4 }.
x n y n S
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }= …1,1 12 ; 3,1 09 ; 5,1 06 ; 7,1 03 ; ; 71, 7 ; 73, 4 ; 75,1 S
( ) ( ) ( ){ }= 5, 77 ; 10, 74 ; 15, 71 .S
13
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
a) ( ) a partir de $11, inclusive.
b) (x) a partir de $18, inclusive.
c) ( ) ímpar, a partir de $7, inclusive.
d) ( ) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.
e) ( ) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.
TÓPICO 3
1 Quais dos números a seguir são primos? 
a) (x) 239.
b) (x) 241. 
c) ( ) 247. 
d) ( ) 253. 
e) (x) 1789. 
2 (ENC, 98) Uma das afirmativas a seguir, sobre números naturais, é 
FALSA. Qual? 
a) ( ) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do 
que ele. 
b) ( ) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar. 
c) (x) Um número primo é sempre ímpar. 
d) ( ) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de 6. 
e) ( ) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.
3 Realize a fatoração em números primos (agrupando os fatores) para 
os seguintes números:
a) 12.. 
R.: 22 · 3.
b) 36. 
R.: 22 · 32 · 5.
c) 180. 
R.: 22 · 32.
d) 234. 
R.: 2 · 32 · 13.
14
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
e) 1000.
R.: 23 · 33.
f) 12000.
R.: 25 · 3 · 53.
4 Determine a quantidade de divisores positivos para os números do 
exercício 3.
R.: 
a) 6.
b) 9.
c) 18.
d) 12.
e) 16.
f) 48.
5 Determine os possíveis valores de m e n inteiros, para os quais 9m · 
10n tenham:
a) 27 divisores positivos. 
R.: Os pares (m, n) são (1, 2) e (13, 0).
b) 243 divisores positivos. 
R.: Os pares (m, n) são (1, 8), (13, 2) e (121, 0).
6 Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais 
a e b através da fatoração em primos desses números, prove que 
mdc(a, b).mmc(a, b) = ab.
R.: Verificado.
7 Calcule o mmc e o mdc dos valores a seguir, utilizando a sistemática 
de γi e δi.
a) 12 e 25. 
R.: mdc(16, 36)=4, mmc(16, 36)=144.
b) 16 e 36. 
R.: mdc(16, 36)=4, mmc(16, 36)=144.
15
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
c) 120 e 250. 
R.: mdc(120, 250)=10, mmc(120, 250)=3000.
d) 48 e 75. 
R.: mdc(48, 75)=3, mmc(48, 75)=1200.
TÓPICO 4
1 Mostre que todo divisor de um número de Fermat Fn é da forma 4m 
+ 1.
R.: Verificado.
2 Classifique em números abundantes, deficientes e perfeitos:
a) 14.
R.: Deficiente.
b) 28.
R.: Perfeito.
c) 15.
R.: Deficiente.
d) 6.
R.: Perfeito.
e) 30.
R.: Abundante
3 Decomponha os seguintes números em fatores primos:
a) 8!
R.: 27 x 32 x 5 x 7.
b) 12!
R.: 210 x 35 x 52 x 7 x 11.
c) 24!
R.: 222 x 310 x 54 x 73 x 112 x 13 x 17 x 19 x 23.
16
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Classifique (V) para verdadeiro e (F) para falso as congruências a 
seguir.
d) 30!
R.: 226 x 314 x 57 x 74 x 112 x 132 x 17 x 19 x 23 x 29
4 Determine a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores pri-
mos.
R.: 18.
5 Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000. 
R.: 2499.
6 (ENC, 2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna n! 
divisível por 1000!.
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2002)
R.: n=15.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
≡
+ + ≡
≡
≡
≡
≡ −
a) ( ) 91 0 7
b) ( ) 3 5 7 5 1 0
c) ( ) 437 68 3
d) ( ) 326 123 7
e) ( ) 42 1 7
f) ( ) 76 2 6
mod
mod
mod
mod
mod
mod
( )
( )
( )
( )
( )
( )
− ≡ −
≡ −
≡
≡ −
− ≡
− ≡
g) ( ) 45 13 4
h) ( ) 17 1 3
i) ( ) 21 6 5
j) ( ) 2 2 4
k) ( ) 12 45 1 1
l) ( ) 23 101 4
mod
mod
mod
mod
mod
mod
17
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.: 
a) (V). 
b) (V). 
c) (F). 
d) (V). 
e) (V). 
f) (V). 
g) (V). 
h) (V). 
i) (F). 
j) (V). 
k) (F). 
l) (V).
2 Sabendo-se que 726 ≡ 675 (mod m), ache todos os possíveis valores 
do módulo m.
R.: 3 ou 17 ou 51.
3 Ache todos os inteiros x tais que:
a) 0 < x < 15 e 3x ≡ 6 (mod 15).
R.: a) x=2, x=7 e x=12.
b) 1 < x < 100 e x ≡ 7 (mod 17).
R.: b) x=7, x=24, x=41, x=58, x=75 e x=92.
4 Sabendo-se que k ≡ 1 (mod 4), mostrar que 6k + 5 ≡ 7 (mod 4).
R.: Verificado.
5 Ache o resto da divisão:
a) de 710 por 51.
R.: 19.
b) de 2100 por 11.
R.: 1.
c) de 14256 por 17.
R.: 1.
18
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
d) de 1212 por 5
R.: 1
e) de 4165 por 7.
R.: -1.
6 Mostre que para todo ∈n , mostre que:
a) 1016n – 1 é divisível por 70.
b) 31000 + 3 é divisível por 28.
(Dica item a: mostre é divisível por 7 e por 10).
R.: Verificado para a) e b).
7 Mostre que para todo ∈n , mostre que 102n + 1 ≡ –1 (mod 11).
R.: Verificado.
8 (ENC 2000) Se x2 ≡ 1 (mod 5), então:
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2000)
a) ( ) x ≡ 1 (mod 5).
d) ( ) x ≡ 2 (mod 5).
c) ( ) x ≡ 4 (mod 5).
d) (x) x ≡ 1 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5).
e) ( ) x ≡ 2 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5).
9 Encontre o menor múltiplo positivo de 7 que deixa resto 1 quando 
dividido por 2, 3, 4, 5 e 6.
R.: 301.
10 Encontre o menor múltiplo positivo de 6 que deixa resto 1 quando 
dividido por 2, 3, 4 e 5.
R.: 301.
11 Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando 
dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.
R.: 59.
19
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
TÓPICO 2
1 Verificar utilizando o PTF que:
a) 1850 ≡ 2 (mod 7).
b) 19933 ≡ 8 (mod 31).
c) 538 ≡ 4 (mod 11).
R.: Verificado para todos.
2 Encontre o algarismo das unidades do inteiro 3400 com auxílio do 
PTF.
R.: 1.
3 Demonstrar que 13 | (270 + 370) através do PTF.
R.:Verificado.
4 Encontre o resto da divisão de 21137 por 17.
R.: 2.
5 Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e para p = 7. 
R.: Verificado para todos.
6 Mostrar que 11, 13, 17 e 19 são primos usando o Teorema de Wilson. 
R.: Verificado para todos.
7 Mostrar que 8 é composto usando o Teorema de Wilson. 
R.: Verificado.
8 Achar o resto da divisão de 21! por 23. 
R.: 1.
9 Mostrar que 18! + 1 ≡ 0 (mod 437).
R.: Verificado.
20
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
10 Sendo p um primo ímpar, demonstrar que ( ) ( )2 × p - 3 ! º –1 mod p .
R.: Verificado.
11 Calcular φ(420), φ(120), φ(1000), φ(50) e φ(200).
R.:
φ(420) = 96.
φ(120) = 32.
φ(1000) = 400.
φ(50) = 20.
φ(200) = 80.
12 Verifique que φ(n) = φ(n + 1), para n = 5186.
R.: Verificado.
13 Resolva em naturais as seguintes equações:
a) φ(n) = 12.
b) φ(n) = 18.
c) φ(n) = 20.
d) φ(n) = 30.
e) φ(n) = 4!.
R.: 
a) 6.
b) 4. 
c) 5.
d) 2. 
e) 10.
14 Resolva as seguintes congruências lineares:
a) 5x ≡ 7 (mod 12).
b) 2x ≡ 3 (mod 9).
c) 7x ≡ 1 (mod 10).
d) 2x ≡ 1 (mod 17).
3) 5x ≡ 2 (mod 24).
21
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
R.: 
a) 11.
b) 6.
c) 3.
d) 9.
e) 10.
TÓPICO 3
1 Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando 
dividido por 26? E quando dividido por 25?
R.: Sim.
2 Resolva as seguintes congruências lineares:
a) 3X ≡ 5 (mod 7).
R: X = 7n + 4.
b) 6X ≡ 21 (mod 18).
R: Não há solução.
3 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando 
divididos por 3, 4 e 5, respectivamente. 
R.: x = 59 + 60n.
4 Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando divi-
dido por 5, 7 e 9, respectivamente.
R.: 311.
5 Resolva os seguintes sistemas de congruências:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
2 1 1
a) 4 1 2
5 1 3
3 1 7
b) 5 2 1 1
4 3 1 3
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
22
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
 ≡
2 1 1
a) 4 1 2
5 1 3
3 1 7
b) 5 2 1 1
4 3 1 3
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
R.: a) x = 772 + 1716n.
 b) x = 1001n + 810.
6 Construa a tabela de adição e multiplicação de 6 .
R.:
7 Determine os elementos invertíveis de 6 .
R.: [5] é o único invertível.
8 (ENADE–2008) no anel 12 :
FONTE: Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – INEP (2008).
a) ( ) Não há divisores de 0.
b) ( ) Todo elemento não nulo é invertível.
c) ( ) O subconjunto dos elementos invertíveis forma um subanel de 12 .
d) ( ) A multiplicação não é comutativa.
e) (x) Há exatamente 4 elementos invetíveis.
23
ARITMÉTICA E TEORIA DOS NÚMEROS
TÓPICO 4 
1 Utilizando pares de primos distintos (a escolher) e a tabela utilizado 
nos exemplos deste tópico, criptografe e descriptografe as seguin-
tes mensagens:
a) Primos.
b) Divisor.
c) Números.
d) Aritmética.
R.: Resposta pessoal. A resposta desta pergunta depende da escolha dos 
números primos de cada acadêmico.