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Fenômenos de Transporte Cap. 5 – Aula 16 Prof. Dr. Welber Gianini Quirino wgquirino@fisica.ufjf.br ICE / Departamento de Física UFJF – Universidade Federal de Juiz de Fora Sólido Semi-Infinito Outra configuração geométrica simples, para qual há soluções analíticas disponíveis, é o sólido semi-infinito, que se estende ao infinito em todas as direções, exceto uma, e pode, portanto ser caracterizado por uma superfície única. sT )t,x(T iT T x 0 É uma aproximação para muitos exemplos práticos: ❖ Cálculo de efeitos de transferência transitória de calor próximo à superfície da Terra; ➢Aproximação à resposta transitória do sólido finito, como uma placa espessa, durante o primeiro período de uma situação transitória, quando a temperatura no interior da placa ainda não é influenciada pelas mudanças das condições superficiais. sT )t,x(T iT T x 0 Se uma variação térmica for rapidamente imposta à superfície, uma onda unidimensional de temperatura se propagará por condução dentro do sólido e é regido por: = x0 x T t T1 2 2 Sólido Semi-Infinito Para resolver essa equação temos que impor duas condições de contorno e a distribuição inicial de temperaturas: a) (distribuição de temperatura) - A temperatura dentro do sólido é uniforme em Ti, ou seja T(x,0) = Ti; b) (1ª cond. contorno) - Postulamos que longe da superfície a onda de temperatura não afetará a temperatura interna, que permanecerá Ti, ou seja T(,t) = Ti; sT )t,x(T iT T x 0 c) (2ª cond. contorno) - Soluções de forma fechada foram obtidas para três tipos de variações das condições superficiais, aplicadas de forma instantânea em t = 0: sT )t,x(T iT T x 0 1. Uma rápida variação na temperatura superficial Ts Ti 2. Uma rápida aplicação de fluxo de calor especificado, q”0, (p.ex.: radiação) 3. Uma rápida exposição da superfície a um fluido com Temperatura diferente e <h> cte. Os três casos estão ilustrados na próxima figura e as soluções estão resumidas a seguir: Sólido Semi-Infinito Idealização de um sólido finito de grande espessura Figura 2.34: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície. Caso 1: Temperatura na superfície constante A Função erf é a função Gaussiana de erro, que é encontrada com frequência em engenharia e está tabelada no apêndice B. = − − t x erf TT TtxT si s 2 ),( ( ) t TTk x T kq is 0x − = −= = − = t2x 0 de 2 t2 x erf 2 sT)t,0(T = Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante A Função erfc é a função Gaussiana de erro complementar, que é dada por: ( ) − − =− t2 x erfc k xq t4 x exp k tq2 T)t,x(T s 0 2 s 21 0 s 0s qq = ( ) ( )−= erf1erfc Caso 3: Convecção na superfície Observe que a quantidade + + − − = − − k th t2 x erfc k th k xh exp t2 x erfc TT T)t,x(T 2 i i 22 kth )t,0(TTh x T k 0x −= − = É igual ao quadrado de Bi vezes Fo: ( ) = 2 2 2 x t k xh Fo.Bi Figura 2.34: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície Exemplo: Para o caso 3, os históricos de temperatura específicos, calculados a partir da equação dada, estão representados graficamente na figura abaixo. A curva para <h> = é equivalente ao resultado que seria obtido para uma rápida variação na temperatura superficial para Ts = T(x,0), pois quando <h> = , o segundo termo do lado direito da equação é zero, e o resultado é equivalente à equação do primeiro caso. caso) 1 ao te(equivalen 2 ),( 2 exp 2 ),( 0 h qdo 0 2 = − − + + − − = − − == t x erfc TT TtxT k th t x erfc k th k xh t x erfc TT TtxT i i i i A Função Gaussiana de erro erf (0,4) = 0,43 – Tabela 57,0)2015()200()(),( =−−−=−− ii TTTtxT = kth 4,0t2x = Tarefa 6 – Entregar no moodle Tarefa 6 – Entregar no moodle – Para solução exata use o formulário abaixo ou onde = −= 1 *)cos(* 2 n n Fo n xeC n *)cos(* *0 xn = )2(2 4 nn n n sen sen C + = 2 cL t Fo = Exercícios Cap. 5 M.C.C.: 5; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 17; 18; 26 Parede: 34; 37; 39; 42; 43; 46 Cilindro: 48; 49; 50; 52; 53; 57 Esfera: 57; 58; 59; 60; 62 Semi-infinito: 66; 67; 68; 71; 75
