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( ) 2 2,F x y x i y j= +
 
( ) ( )2, , .F x y xy x= −
( ), , .F x y z yz i xzj xyk= + +

 
( ) 2 2 2 2, .
y xF x y i j
x y x y
−
= +
+ +
 
( ) ( ) ( )( ), , 1, , .F x y z sen z ycos z=
( ) ( ) , , , , . yz yz yzF x y z e xze xye=
( , , ) ( , , ).F x y z y x z= −
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) div(F) = 1
b) div(F) = 2x + 2y
c) div(F) = y
d) div(F) = 0
e) div(F) = 0
f) div(F) = –ysen(z)
g) div(F) = xeyz(y2 + z2)
5 Um dos campos mais utilizados é campo radial F(x,y) = (x,y) ou 
F(x,y,z) = (x,y,z), calcule o divergente e o rotacional desses campos.
 
R: Divergente 2 e Rotacional zero.
6 Quais dos campos vetoriais da Questão 2 são conservativos? 
R.: Letra D.
7 Verifique que dados dois campos vetoriais F e G então vale que
rot(F + G) = rot(F) + rot(G)
e
div(F + G) = div(F) + div(G)
R.: Verdadeira.
8 Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do 
comportamento de forças em um espaço. O campo vetorial a seguir 
é dado pela função ( ),F x y yi xj= − +

 
.
22
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Acerca deste campo vetorial, podemos afirmar que:
a) ( ) O campo rotacional gerado por ele é nulo.
b) ( x ) Seu divergente é nulo.
c) ( ) Ele pode ser chamado de campo radial.
d) ( ) Possui gradiente igual à própria característica do vetor.
9 No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que 
indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do 
ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor 
de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o 
espaço em consideração. Em particular, pode-se descrever um campo 
de temperaturas, conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS.
Assim, dado o campo escalar T(x,y,z) = x2y + y3z, analise as sentenças 
e assinale a opção CORRETA:
I- O gradiente de temperatura, aponta para a direção de maior taxa de 
variação da temperatura.
II- O gradiente de temperatura é a função ( ) ( )2 22 3 ³T xy i x y z j y k∇ = + + +
 
 
.
III- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,3,2).
IV- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,13,8).
a) ( ) I e II estão corretas.
b) ( ) II e III estão corretas.
c) ( x ) I, II e IV estão corretas.
d) ( ) III e IV estão corretas.
10 Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma 
construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto 
de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço 
euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função 
vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz.
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
CAMPO VETORIAL: ( ) ( )2 3 ²F x y i y zx j z k= + − +

Sabemos que existem campos especiais que podem ser calculados a 
partir de um campo vetorial, que é o divergente e o rotacional. Sendo 
assim, analise as sentenças como V (verdadeiro) ou F (falso) e em 
seguida, assinale a opção CORRETA.
( ) O divergente deste campo é dado por (–x)i + (–z – x2)k.
( ) O rotacional, indica que um corpo que entra neste campo não possui 
rotação em torno do próprio eixo na direção de j (eixo y).
( ) O rotacional deste campo aplicado no ponto (1,2,2) é rotF = –1i – 3k.
(			)	O	divergente	determina	o	fluxo	pontual	deste	campo	em	uma	unidade	
de volume.
a) ( x ) V – V – F – V.
b) ( ) V – F – V – F.
c) ( ) F – F – V – V.
d) ( ) V – V – V – V.
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule as integrais de linha das funções escalares a seguir. 
a)
b)
( ) ( )( )
3 
3 , 0 2
x t t
y ds com t para t
y t tγ
γ
 == ≤ ≤ =
∫
 
2 2 2b) 2 1. x y ds com ametade superior docirculounitário x y
γ
γ+ + =∫
R.:
a) 32,3
b) 6,9
24
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha 
reta. Calcule o comprimento da trajetória descrita por um ponto do 
aro entre dois contatos consecutivos com o solo. Note que a curva 
que parametriza esse caminho é y(t) = (–sen(t),–cos(t) com 0 ≤ t ≤ 2π.
a)
b)
c)
d)
R.: 2π
y
x0 S
S
2π
3 Calcule a massa de uma bobina de mola descrita por y(t) = cos(t), 
sen(t),t), cuja densidade no ponto (x,y,z) é x2 + y2 + z2.
R.: 420,48
4 Calcule a massa de um fio com forma de uma hélice com equações 
paramétricas x = 3cos(t), y = 3sen(t) e z = 4t com 0 ≤ t ≤ 
2
π , sendo a 
função de densidade
( ) 2, , .1
xF x y y
y
=
+
R.: 8,88
5 Calcule a integral de linha sobre o caminho y(t) = (t,t,t) para 0 ≤ t ≤ 1 
dos campos vetoriais a seguir.
( ) ( ), , 3 , 2 , 4F x y z y x z=
( ) 2
1, , 0, ,0
1
F x y z
x
 =  + 
( ) ( ), , , 2 , .F x y z z x y= −
( ) ( ), , , , F x y z xy yz xz=
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
e) ( ) ( )2, , 3 3 ,3 ,1 .F x y z x x z= −
R.:
a) 4,5
b) π/4
c) 1/3
d) 1
e) 2
R.:
a) 48
b) 24
c) π/2
6 Calcule a integral de linha a seguir. 
a)
b)
c)
( ) ( ) ( ) ( )2, , 4 ,8 , 2 , ,1 0 2.F x y z xy y e t t t com tγ= − = ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , 0, 3 , 4 0 1.F x y z x yz y e t t t com tγ= = ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,0, cos , 0, 0 .F x y z x y x e t t sen t com tγ π= − = ≤ ≤
7 Encontre o trabalho realizado pela força F(x,y) = (xy,y – x) sobre o 
segmento de reta que liga os pontos (1,1) e (2, 3).
R.: 25/6
8 Encontre o escoamento do campo de velocidade F(x,y) = (x + y, –x2 
–y2 ao longo do segmento de reta que liga os pontos (1,0) e (-1,0).
R.: 4
9 Um arame tem a forma curva dada pela curva parametrizada
( )
( )
( )
( )
1 cos
2 
1 cos
t
t sen t
t
γ
 +

= 
 −
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
para 0 ≤ t ≤ π. Sabendo que a densidade em cada ponto do arame é 
dada por f(x,y,z) = xy.
Podemos afirmar que a massa total do arame é:
a) ( ) 2 u.m.
b) ( x ) 4 u.m.
c) ( ) 6 u.m. 
d) ( ) 8 u.m.
10 Calcule o trabalho realizado pela partícula na trajetória indicada.
 
2 y dx xdy
γ
+∫
onde y é o segmento de reta que liga (1,2) até (4,8).
Podemos afirmar que a massa total do arame é:
a) ( ) 12.
b) ( ) 45.
c) ( ) 69.
d) ( x ) 94.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule a integral de linha:
Pelo método direto e depois compare com a utilização do Teorema de 
Green, sabendo que C é o caminho fechado entre as curvas y = x2 e y 
= x no sentido anti-horário.
2
C
x dx y dy+∫
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Sabemos que o trabalho realizado por um campo de forças sobre 
uma partícula é dado pela integral de linha sobre uma curva 
parametrizada. Podemos então afirmar que o trabalho realizado pelo 
campo de forças
2 Usando o Teorema de Green, determine:
3 Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular,
onde C é a curva fechada formada por y = 0, x = 1, y = 1 e x = 0, no 
sentido anti-horário.
onde C é a circunferência x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário? Utilize a 
forma parametrizada para calcular este caso.
em uma partícula que percorre uma vez o círculo x2 + y2 = 1 no sentido 
anti-horário é
R.:
R.: 1
R.: Sim, e a integral é igual a 0.
1
12
−
2
2 ( )1C
x yI dx arctg x dy
x
= +
−∫
2 2 2 2
C
y xdx dy
x y x y
+
+ +∫
( ) ( )( )3 3, ( ) cosxF x y e y i y x j= − + +
a) ( ) 
2
π
b) ( x ) 3
2
π
d) ( ) 3
2
c)	(				)	π
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
5 Usando o Teorema de Green,