Fasores e Circuitos RC em Corrente Alternada

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Fasores 
Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou vetor girante de 
amplitude igual ao valor de pico (VP) do sinal, girando no sentido anti-horário com velocidade 
angular . A esse tipo de representação dá-se o nome de diagrama fasorial. 
 
Cada ponto de uma senóide pode ser representado por um vetor de módulo constante numa 
posição diferente, como indicado na representação gráfica a seguir. A medida que a senóide é 
descrita o vetor assume posições diferentes. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor 
descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. Este vetor é, 
portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senóide foi descrito num dado intervalo de tempo 
(período T), o vetor deu uma volta completa no mesmo período da senóide. Assim, podemos 
concluir que para uma dada frequência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) 
do vetor possui a mesma frequência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a 
mesma frequência ou velocidade angular ω da senóide. 
 
 
Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ0 é positivo. Se o ciclo da 
senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ0 é negativo, conforme representado a 
seguir: 
Sinal adiantado, θ positivo: 
 
2 
 
Sinal atrasado, θ negativo: 
 
 
Representação Gráfica de um sinal senoidal puramente Resistivo (a corrente e a tensão 
estão em fase) 
 
Diagrama Fasorial de um circuito puramente resistivo: 
 
0º
90º
180º
270º
i(A)
v(V)
 
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Representação Gráfica de um sinal senoidal puramente capacitivo (a corrente está 
adiantada em 90º em relação a tensão) 
 
 
 
Diagrama Fasorial de um circuito puramente capacitivo: 
 
0º
90º
180º
270º
0º
90º
180º
270º
vc
ic
ic
– 90º
.
.
Diagrama fasorial, vc como referência Diagrama fasorial, ic como referência
vc
 
 
 
 
 
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Diagrama Fasorial de um circuito RC série: 
 
0º
90º
180º
270º
vc
vRi
– 90º
.
 
 
Diagrama Fasorial de um circuito RC paralelo: 
0º
90º
180º
270º
vc
vRiR
ic
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diagrama de Impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Circuito RC Série em Corrente Alternada 
Dado o circuito: 
i(t)
v(t)
VR
VCXC
R
 
 
Quando a tensão alternada é aplicada a um circuito RC série, a corrente continua adiantada 
em relação a ela, só que de um ângulo menor que 90º, pois enquanto a capacitância tende a 
defasá-la em 90º, a resistência tende a colocá-la em fase com a tensão. 
Impedância Capacitiva (ZC) 
A oposição que o capacitor oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e Xc. Essa 
combinação é denominada de impedância capacitiva Zc, dada em (Ω), e pode ser 
representada por um único símbolo, conforme a representação a abaxo: 
 
R
XC
ZC
 
 
A reatância capacitiva vale: 
0°
I
XC = 
i 90°
 = = XC – 90° = – j
ω.C
1 =
VC – j XC 
vC 
 
A resistência vale: 
90°
I
R = 
i 90°
 = = R 0° =
VR vR 
R
 
7 
 
A impedância capacitiva (Zc) é obtida pelas equações: 
ou ouZc = R – j Xc C
1
Zc = R – j Zc = R + j.C
1
 
 
A impedância capacitiva também pode ser representada na polar pelas equações: 
Módulo (Zc): 
(R)
2
 + (XC)
2
Zc = ou
R
2
 Zc = +
1
(C)
2
 
 
Fase (φ): 
φ = arctg
Xc
R
ou φ = arctg 1
C.R
 
 
Representação Gráfica da Impedância Capacitiva: 
No plano cartesiano, a impedância capacitiva fica como segue: 
 
R
XC
ZC
(a) simbolicamente (b) graficamente
Im
Real
R
Zc Xc 
φ
 
 
 
 
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Potência em Circuitos Capacitivos 
Dado o circuito a seguir: 
i(t) VR
VCXC
R
Vef (t)
 
 
Representando os fasores das tensões envolvidas (em Vrms) na forma de um triângulo 
(triângulo de tensões), temos: 
Triângulo de tensões: 
φ
VC 
VR 
V 
 
Multiplicando os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, obtemos o triângulo 
de potências, formado por: 
Triângulo de potências: 
P = VR .I
PQ = VC .IP
S= V.I
φ
 
Potência Ativa ou Real (P) 
A potência ativa P, em watt (W), é aquela correspondente ao produto da corrente com a 
parcela da tensão (cateto adjacente ao ângulo φ) que está em fase com ela. Portanto: 
P = VRrms .Irms P = Vrms .Irms .cos φ ou 
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A potência ativa é indicada por um instrumento de ponteiro chamado wattímetro e a energia 
consumida tem como unidade o Joule (J) ou Watt-segundo ou o Watt-hora e é medida pelo 
instrumento chamado de medidor de energia ou Watt-hora-metro. 
A potência ativa é transformada em calor por efeito joule. Na prática, essa energia térmica 
pode ser utilizada para realizar trabalho. É por isso que a potência ativa é denominada também 
de potência útil, potência de trabalho ou potência real. 
Quanto mais próximo de zero for a fase φ, ou seja, quanto mais resistiva for a 
impedância, maior é a potência ativa. 
Potência Reativa (PQ ou PR) 
A potência reativa PQ, em volt ampére reativo (VAr), é produto da corrente com a parcela da 
tensão (cateto oposto ao ângulo φ) que está em quadratura com ela. 
A potência reativa está associada aos elementos indutivos e capacitivos. Ela circula pelos 
condutores sendo absorvida e devolvida sem produzir trabalho elétrico. 
 
PQ = VCrms .Irms P = Vrms .Irms .sen φ ou 
A potência reativa, neste caso, recebe o nome de potência reativa capacitiva PQC. 
 
Potência Aparente (PS ou PAP) 
A potência aparente Ps, em volt ampére (VA), é a potência total fornecida pelo gerador à 
impedância, isto é: 
PS = Vrms .Irms 
A hipotenusa do triângulo representa o produto da tensão pela corrente no circuito, o que seria 
aparentemente a potência real do circuito como o é nos circuitos resistivos puro e nos circuitos 
CC. Por isto, ela é chamada de potência aparente (S). Na verdade, a potência aparente contém 
uma soma vetorial de potência ativa (real) e reativa sem, no entanto, precisar quanto vale cada 
uma delas individualmente. 
(PS)
2
 = (P)
2
 + (PQ)
2
 
 
Fator de Potência – FP 
O Fator de Potência FP é definido como a relação entre a potência ativa (consumida) e a 
potência Aparente (fornecida pelo gerador), que ser dada por: 
 
ouFP = 
P 
PS
FP = cos φ
 
 
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O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente. Esta 
grandeza pode ser obtida pelas características físicas do circuito (resistência, impedância, etc). 
O fator de potência é um valor positivo entre 0 e 1 que reflete o quanto da potência aparente 
fornecida pelo gerador é efetivamente consumido pelo circuito ou pela impedância. 
Quando o fator de potência de um circuito for unitário (cos φ = 1 ou 100 %) toda a potência 
aparente absorvida pelo circuito é consumida irreversivelmente. 
Quando o fator de potência for menor do que 1 ( fp < 100 % ), há duas parcelas de energia ou 
potência: uma parcela representa a potência que realmente é consumida e outra que não é 
consumida e sim trocada entre o campo magnético dos indutores e o gerador. 
O Problema dos Circuitos Reativos 
Se considerarmos como um gerador a tensão da rede, é a potência aparente que as 
residências e as indústrias recebem da concessionária de energia elétrica, embora ele não seja 
totalmente utilizado por causa da potência reativa que é devolvida. O fator de potência FP é um 
dado importante a ser analisado em qualquer sistema ou instalação elétrica, pois ele dá a 
dimensãodo aproveitamento da energia fornecida pela rede elétrica. 
Correção do Fator de Potência 
A energia elétrica é consumida nas mais variadas atividades tais coma residenciais, comerciais 
e industriais. Nestas atividades a energia é consumida, principalmente, para a obtenção de luz, 
calor e força motriz (é definido como um agente natural, como água, vapor, vento, eletricidade, 
etc, usados opera transmitir movimento para maquinário, um motor). 
Nas indústrias a maioria das cargas é reativa indutiva (φ > 0º) ou resistiva (φ = 0º), embora haja 
também carga reativa capacitiva (φ < 0º). 
Cargas Resistivas 
As cargas resistivas não provocam defasagem entre a tensão e a corrente, recebendo do 
gerador apenas a potência ativa, que é dissipada totalmente. 
Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência unitário, isto é, FP = cos0º 
= 1 
Exemplos de cargas puramente resistivas: lâmpadas incandescentes e aquecedores elétricos 
(chuveiros elétricos, torneiras elétricas). 
A base de seu funcionamento é o aquecimento de um filamento (lâmpada) ou de uma 
resistência (aquecedor). 
Cargas Indutivas 
As cargas indutivas atrasam a corrente em relação à tensão, recebendo do gerador as 
potências ativa e reativa. Enquanto a potência ativa é totalmente dissipada, a potência reativa é 
devolvida ao gerador. 
Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência menor que a unidade, isto 
é, FP = cos φ < 1. 
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Como exemplos de cargas indutivas podemos citar: as lâmpadas fluorescentes (que 
necessitam para o seu funcionamento de um reator colocado em série com o tubo de gás), os 
transformadores,os motores CA e qualquer máquina que opere por meio de motores e 
transformadores. 
Cargas Capacitivas 
As cargas capacitivas são aquelas que adiantam a corrente em relação à tensão, recebendo do 
gerador as potências ativa (dissipada) e reativa (devolvida). Enquanto a potência ativa é 
totalmente dissipada, a potência reativa é devolvida ao gerador. 
Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência menor que a unidade, isto 
é, FP = cos φ < 1. 
As cargas capacitivas não são muito comuns, como exemplo de cargas capacitivas podemos 
citar o motor síncrono que, por suas características, pode ter um comportamento indutivo, 
resistivo ou capacitivo em função da corrente de campo (CC). Se o motor síncrono estiver 
subexcitado pela corrente de campo, ele se comporta como uma carga indutiva. Se ele estiver 
superexcitado,o seu comportamento é capacitivo. Nos dois casos, o seu fator e potência é 
menor do que a unidade. 
Há ainda um ponto de excitação intermediário em que ele se comporta como uma carga 
resistiva pura, sendo o seu fator de potência unitário. 
O Problema do Fator de Potência das Instalações Elétricas Industriais 
Corrigir o fator de potência é fundamental em qualquer instalação industrial. Quedas de tensão, 
perdas, sobrecargas são algumas das consequências de um fator de potência baixo numa 
instalação. 
Nas instalações elétricas monofásicas, as cargas Z são ligadas em paralelo om a linha de 
alimentação. Portanto, a corrente fornecida pela concessionária de energia elétrica e a corrente 
total (IT) defasada de um ângulo total (φT) em relação à tensão V. 
Essa corrente é maior do que a necessária para fornecer potência ativa (útil) às cargas. 
A maioria das instalações industriais tem a corrente total da linha atrasada, já que a maioria 
das cargas é indutiva e resistiva. 
A energia em (Kwh) cobrada da concessionária refere-se à potência ativa P(W), e não à 
potência aparente Ps (VA).Do ponto de vista técnico e econômico, para a concessionário isso 
não é bom, pois ela é obrigada a gerar mais energia do que o necessário.; Por isso ela 
sobretaxa os consumidores industriais cujas instalações elétricas operam com fator de potência 
FP < 0,92, para incentivá-los a aumentar esse valor. 
Para as indústrias um fator de potência baixo também não é interessante técnica e 
economicamente, pois além de pagar as multas, a instalação elétrica deve ser feita com 
condutores de maior diâmetro para suportar a corrente maior solicitada. 
A solução para esse problema é a redução da potência reativa total da instalação, de modo 
que fator de potência desejado seja igual ou maior que o limite imposto pela concessionária. 
Esse procedimento é denominado correção do fator de potência. 
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O aumento do fator de potência pode ser obtido pela conexão de um banco de capacitores na 
entrada da instalação elétrica e em paralelo com as cargas. Não se instala em série porque 
provoca queda de tensão. 
A potência ativa não é alterada porque os capacitores usados na correção de potência 
comportam-se muito próximos de capacitores ideais. No entanto, a potência aparente fica 
reduzida e, em consequência, a corrente fornecida pela rede fica proporcionalmente menor. 
 
Circuito RC Paralelo em Corrente Alternada 
Dado o circuito: 
i(t)
v(t) iC XCR
iR
 
 
No circuito RC em paralelo, a tensão do gerador v(t) é a mesma no resistor (vR) e no capacitor 
(vC), mas corrente fornecida pelo gerador i(t) é a soma vetorial das correntes no resistor (iR) e 
no capacitor (iC), 
Impedância Equivalente (ZC) 
ZC
i(t)
v(t) iC XCR
iR
v(t)
i(t)
 
 
A impedância equivalente do circuito é calculada utilizando a mesma expressão para o cálculo 
da resistência equivalente de dois resistores em paralelo, isto é: 
 
1
Zc 
=
1
R
+
1
– j Xc
ou Zc = 
 – j RXc
R – j Xc
 
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A impedância capacitiva também pode ser representada na polar pelas equações: 
Módulo (Z): 
1
Z 
=
1
(R)
2
+
1
(XC)
2
ou
Z = 
 RXc
(R)
2
 + (XC)
2
 
Fase (φ): 
Na forma polar, φ < 0º e, portanto: Zc = Z 
φ– 
φ = arctg R
Xc
–
 
 
 
 
Apostila elaborada por: 
 
Oswaldo da Silva Lopes Júnior 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 
Albuquerque, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Alternada; São Paulo, 
Editora Érica. 
Markus, Otávio. Análise de Circuitos Elétricos: Corrente Contínua e Corrente Alternada; 
São Paulo, Editora Érica. 
Mussoi, Fernando Luiz Rosa. Apostila do CEFET – SC – Sinais Senoidais: Tensão e 
Corrente Alternadas.