310718-Aula7

Prévia do material em texto

Motivação:
• Como estimar a incerteza 
do valor de uma grandeza 
que é calculada a partir de 
operações matemáticas 
com os resultados de 
outras grandezas medidas?
b
c
A = b . c
U(A) = ?
± U(b)
±
U
(c
)
Resultados de Medições Indiretas
Medições indiretas
 O valor do mensurando é determinado a partir 
de operações matemáticas envolvendo 
resultados de duas ou mais grandezas de 
entrada medidas separadamente.
 Exemplos:
 A área de um terreno calculada através do produto
entre sua largura pelo seu comprimento.
 Determinação da corrente elétrica dividindo a queda 
de tensão sobre um resistor pelo valor da sua 
resistência.
Considerações Preliminares
O Modelo Matemático
 É necessário um modelo matemático 
que relacione as grandezas de entrada 
com o valor do mensurando.
 Exemplos:
 A = l . h
 V = d / t
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd 
Dependência estatística & correlação
• Duas variáveis aleatórias são consideradas 
estatisticamente independentes ou não 
correlacionadas se as variações aleatórias da primeira 
não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da 
segunda.
• Exemplo:
– A temperatura da água do mar na praia do Morro e a 
cotação do dólar.
Dependência estatística
 Duas variáveis aleatórias são consideradas 
estatisticamente dependentes ou correlacionadas
se as variações aleatórias da primeira ocorrem 
de forma sincronizada com as variações 
aleatórias da segunda.
 Exemplos:
 Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar 
 A temperatura da água do mar em duas praias 
próximas.
Dependência estatística
 A grande maioria dos casos de interesse prático 
da engenharia é suficientemente bem modelada 
considerando medições como variáveis aleatórias 
independentes ou não correlacionadas.
 Apenas os casos que envolvem medições 
independentes ou não correlacionadas serão 
abordados no tópico seguinte: 
Adição e subtração de MNC
 O quadrado da incerteza combinada da adição 
ou subtração de MNC é calculado pela soma dos 
quadrados das incertezas padrão de cada termo:
2
n
2
2
2
1
2
n21 )][u(X...)][u(X)][u(X)]X X [u(X  
Estimativa da Incerteza Combinada em 
Medições não Correlacionadas (MNC)
Adição e subtração de MNC
 Se o número de graus de liberdade com que cada 
incerteza padrão é determinada é o mesmo, a 
equação também pode ser escrita em termos da 
incerteza expandida como:
2
n
2
2
2
1
2
n21 )][U(X...)][U(X)][U(X)]X X [U(X  
Exemplo 1: Adição de MNC
1 2
mT = m1 + m2
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
[U(mT)]
2 = [U(m1)]
2 + [U(m2)]
2
[U(mT)]
2 = [6]2 + [8]2 = 100
U(mT) = 10 g
MNC
mT = (3000 ± 10) gU(m1) = 6 g
U(m2) = 8 g
Exemplo 2: Subtração de MNC
mC = m2 – m1
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
[U(mc)]
2 = [U(m1)]
2 + [U(m2)]
2
[u(mT)]
2 = [6]2 + [8]2 = 100
U(mT) = 10 g
MNC
mC = (1000 ± 10) g
1 2
mC + m1 = m2
Multiplicação de MNC
 Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza 
combinada relativa é calculado pela soma dos 
quadrados das incertezas padrão relativas de 
cada fator:
2
2
2
2
1
1
2
21
21
X
)u(X
X
)u(X
.XX
).Xu(X


















)(Xu)(Xu).X(Xu 2
2
R1
2
R21
2
R 
Divisão de MNC
 Na divisão de MNC o quadrado da incerteza 
combinada relativa é calculado pela soma dos 
quadrados das incertezas padrão relativas do 
divisor e do dividendo:
2
2
2
2
1
1
2
21
21
X
)u(X
X
)u(X
/XX
)/Xu(X


















)(Xu)(Xu)/X(Xu 2
2
R1
2
R21
2
R 
Generalizando: Multiplicação e 
Divisão de MNC
 Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número 
de MNC o quadrado da incerteza combinada 
relativa é calculado pela soma dos quadrados das 
incertezas padrão relativas de cada termo por:
)(Xu)(Xu)(Xu)X.X(Xu n
2
R2
2
R1
2
R
1
n
112
R 21
 
Generalizando: Multiplicação e 
Divisão de MNC
 Se o número de graus de liberdade com que cada 
incerteza padrão é determinada é o mesmo, a 
equação também pode ser escrita em termos da 
incerteza expandida relativa como:
)(XU)(XU)(XU)X.X(XU n
2
R2
2
R1
2
R
1
n
112
R 21
 
Exemplo 3: Multiplicação
Determine o volume de uma 
pirâmide com base 
retangular, cujas dimensões 
estão especificadas na 
figura, e altura 
h = (200,0 ± 1,0) mm.a
b = (90,0 ± 0,6) mm
3
.. hba
V 
b
a = (100,0 ± 0,8) mm
Exemplo 3: Multiplicação
U(V) = 6931 mm³
3
.. hba
V 
V = (600,0 ± 6,9) 10³ mm³
Cálculo do volume:
Incerteza do volume:
2222
)()()()(
























h
hU
b
bU
a
aU
V
VU
2222
200
0,1
90
6,0
100
8,0
600000
)(























 VU
3600000
3
20090100
mmV 


6-
2
1025)44(64
600000
)(





 VU
Exemplo 4: Divisão de MNC
V
R I
Determine a corrente elétrica 
que passa por um resistor 
de (500,0 ± 1,0)  sobre o 
qual foi medida uma queda 
de tensão de (150,0 ± 3,0) V.
R
V
I  U(R) = 1,0 Ω
U(V) = 3,0 V
V
R I
A0,300
500
150
R
V
I 
V = (150,0 ± 3,0) V
R = (500,0 ± 1,0) 
222
R
U(R)
V
U(V)
I
U(I)


















222
500
1,0
150
3,0
0,300
U(I)


















000004,00004,0
0,300
U(I)
2






U(I) = 0,0060 A
I = (300 ±6) mA
Exemplo 4: Divisão de MNC
Caso Geral de MNC
),,,( 21 nXXXfG 
22
2
2
2
1
1
2 )()()()( 

















n
n
Xu
X
f
Xu
X
f
Xu
X
f
= Gu 






iX
f

 = coeficiente de sensibilidade
Podem ser calculados analitica ou numericamente
Seja, por exemplo, uma grandeza G calculada em função de 
diversas grandezas de entrada relacionadas por:
Caso Geral de MNC
22
2
2
2
1
1
2 )()()()( 

















n
n
XU
X
f
XU
X
f
XU
X
f
= GU 






 Se o número de graus de liberdade com que 
cada incerteza padrão é determinada é o 
mesmo, a equação pode ser escrita em 
termos da incerteza expandida como:
Exemplo: Caso Geral de MNC
• Na determinação da massa específica (ρ) de um 
material usou-se um processo indireto, medindo-se 
em um laboratório, com uma balança, a massa (m) 
de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram 
determinados por um micrômetro e um paquímetro 
respectivamente. Após a compensação dos erros 
sistemáticos, foram encontrados os seguintes 
resultados e os respectivos números de graus de 
liberdade para cada grandeza de entrada:
Medições Realizadas
D
h
Para a massa: 
m = (1580 ± 22) g
m = 14
Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm
D = ∞
Para a altura:
h = (77,35 ± 0,11) mm
h = 14
Massa Específica
D
h
),,( hDmf = 
 
Vol
m
 = 
hD
4m
 = 
2

Considerando que as medições foram efetuadas em 
condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram 
compensadas, é muito provável que as medidas das três 
grandezas sejam não correlacionadas. 
A incerteza padrão associadaa cada grandeza envolvida será 
calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t 
de Student:
u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g
u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm
u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
Cálculo da incerteza combinada
222
2 )()()()( 

















hu
h
f
Du
D
f
mu
m
f
= u 





2
22
2
3
2
2
2 )(
4
)(
8
)(
4
)( 




 





 






hu
hD
m
Du
hD
m
mu
hD
= u 
2222
)()(
2
)()(
























h
hu
D
Du
m
mu
=
u
 

Cálculo da incerteza combinada
2222
35,77
050,0
423,25
0030,0
2
1580
10)(
























=
u
 

  88
2
2 10.2,405310.8,4157,58,4005
)(
)(  





 =
u
u R 

2222
)()(
2
)()(
























h
hu
D
Du
m
mu
=
u
 

Cálculo da incerteza combinada
mmg/ 0,040239 
.77,35 )423(25. 1413
1580 4
 
.h D. 
.m 
 = 3
22

,59,
.4
38 g/mm0.000256210.2,4053.040239,0)(.)(   Ruu
Cálculo do número de graus de liberdade 
efetivos
h
R
D
R
m
R
ef
R huDumuu

 )()()()( 4444

14
35,77
050,0
423,25
0030,0
14
1580
10
040239,0
0002562,0
4444




























ef
143,14 ef 20,2t
Valor da massa específica:
U() = 2,20 . u()
U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3
 = (0,04024  0,00056) g/mm3