FUNDAMENTOS DE REOLOGIA 2017-05 e 06

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Equações de conservação e Fluxos Simples 
 
Profa. Dra. Aline Bruna da Silva 
2017 
Centro Federal de Educação Tecnológica 
de Minas Gerais- CEFET MG 
Fundamentos de Reologia 
2EMAT.014 
 
REOLOGIA é o estudo do fluxo e deformação da 
matéria. 
FLUXO indica movimento. Movimento pode ser 
representado por velocidade. 
Velocidade de que? 
•Velocidade (Movimento) de massa, energia.... 
Quantificar o movimento de massa? 
•Quantidade de movimento = massa x velocidade. 
Equações de Conservação 
Equações de Conservação 
• O estudo do comportamento reológico de um 
polímero fundido envolve a análise de seu fluxo 
(ou sua deformação) sob certas condições de 
temperatura e pressão; 
• Fluxo significa que uma quantidade de massa (m = 
rV) está sendo transportada através de um dado 
volume (V) ou superfície (A); 
 
 
Equações de Conservação 
EXEMPLO: 
 Moldagem por injeção de termoplásticos: 
• Fluxo de material aquecido sob pressão para dentro de 
uma cavidade mais fria. 
• Fluxo : quantidade de massa sendo transportada. 
• Massa sendo transportada: quantidade de 
movimento também estará sendo transportada. 
• Perfil de velocidades da massa será afetado pelo 
campo de temperaturas da massa e das paredes 
do molde. 
Equações de Conservação 
O comportamento reológico dos polímeros são 
governados pelas equações : 
• Equação da conservação de massa; 
• Equação da conservação de quantidade de 
movimento; 
• Equação de conservação de energia. 
 
Estas equações são universais, válidas 
para todo e qualquer processo. 
Equações de Conservação 
Para analisar quantitativamente o 
comportamento de um fluido enquanto 
interage com o sistema de processamento, é 
necessário formular e resolver as equações 
que descrevem o processo. 
Análise de fluxos encontrados em 
Processamento de Polímeros 
• 1- Escrever as equações gerais de conservação de 
massa (continuidade), de quantidade de movimento e 
energia, que o sistema deve obedecer; 
• 2- Relacionar (1) com as equações que descrevem as 
propriedades do material sendo processado 
• equações de estado ou equações constitutivas. 
• 3 - Impor as restrições e/ou condições iniciais e de 
contorno, e forças ou deformações impostas nas 
regiões de contorno ou por elas. 
Análise de fluxos encontrados em 
Processamento de Polímeros 
Fluxos Simples Encontrados em 
Processamento de Polímeros 
Conformação no 
estado fundido 
Geometrias 
complexas 
Solução das equações de conservação 
complexa e demorada 
Simplificação 
Decompor geometrias 
complexas em várias 
geometrias simples 
PRESSÃO ARRASTE ELONGACIONAL 
TIPOS DE FLUXOS 
Fluxos Simples Encontrados em 
Processamento de Polímeros 
Fluxos de Pressão 
• Fluxos em que um gradiente de pressão (DP) é 
aplicado ou imposto ao sistema; 
• O polímeros fundido escoará porque um gradiente de 
pressão foi aplicado à geometria onde esse material está 
confinado- Também conhecido como fluxo de Poiseuille; 
Fluxos de Pressão 
• Encontrado em: reômetros capilares; matrizes de 
extrusão (a pressão na entrada da matriz é maior 
que a pressão na saída); canais de alimentação 
em um molde de injeção. 
Fluxos de Arraste 
Fluxos de Arraste 
• Fluxo que ocorre em razão do movimento de 
uma das superfícies de contorno com 
respeito as outras superfícies contendo o 
fluido; 
• Nenhum gradiente de pressão é imposto ao 
sistema e o polímero se movimenta pelo 
arraste proporcionado pela superfície móvel; 
Fluxos de Arraste 
 Encontrado em: reômetros de placas paralelas e 
cone-placa, no interior de uma extrusora (devido 
ao movimento relativo da superfície da rosca em 
relação à superfície interna estacionária do barril). 
Fluxos Elongacionais 
• Fluxo que ocorre devido à diferença de velocidades na 
mesma direção do fluxo; 
• Também conhecido como fluxo extensional; 
• Encontrado em canais convergentes, como por exemplo, 
na entrada da matriz de uma extrusora. 
Fluxos Elongacionais 
Exemplo 
Revestimento de fios elétricos: 
• Fluxo de arraste devido ao 
movimento do fio dentro do 
canal da matriz; 
+ 
• Fluxo de pressão devido à 
diferença de pressão entre o 
cabeçote da extrusora e 
ambiente; 
Exemplo 
• 1- Escrever as equações gerais de conservação de massa 
(continuidade), de quantidade de movimento e energia, que 
o sistema deve obedecer; 
• 2- Relacionar (1) com as equações que descrevem as 
propriedades do material sendo processado 
• equações de estado ou equações constitutivas. 
• 3 - Impor as restrições e/ou condições iniciais e de 
contorno, e forças ou deformações impostas nas regiões de 
contorno ou por elas. 
Análise de fluxos encontrados em 
Processamento de Polímeros 
1- Escrever as equações gerais de 
conservação 
Equação da conservação da massa 
 (equação da continuidade) : 
 
 
 
 
(coordenadas cartesianas) 
1- Escrever as equações gerais de 
conservação 
Equação da conservação da massa (equação da 
continuidade): 
 
 
 
 
(coordenadas cilíndricas) 
Conservação da Massa 
Equação da conservação da massa: 
Polímeros fundidos são fluidos de alto peso molecular, 
podendo ser considerados, na maioria dos casos, como 
fluidos incompressíveis (ou seja, com densidade constante- 
meio contínuo). Assim: 
(Equação muito utilizada em simulações de processamento de 
polímeros) 
Conservação da Massa 
Equação da conservação da massa: 
- Com densidade constante- meio contínuo), em 
coordenadas cartesianas, tem-se: 
(Equação muito utilizada em simulações de processamento de 
polímeros) 
Conservação da Quantidade de Movimento 
• A variação da quantidade de movimento total com 
o tempo de um fluido irá variar de acordo com as 
forças externas atuando no fluido; 
• O fluxo de quantidade de movimento pode 
ocorrer em razão do escoamento do fluido como 
um todo, de seus movimentos moleculares e das 
interações do mesmo com as outras partes do 
fluido; 
Equação da conservação da quantidade de movimento 
Taxa de 
variação da 
quantidade de 
movimento 
com o tempo 
no volume (V) 
Transporte de 
quantidade de 
movimento através 
da superfície (A), 
devido ao 
escoamento do fluido 
como um todo 
(fluxo convectivo) 
Transporte de quantidade 
de movimento associado 
aos movimentos 
moleculares e às suas 
interações com as outras 
partes do fluido 
Força externa 
aplicada 
 (ex: gravidade) 
Equação da conservação da quantidade de movimento: 
(direção x) 
(direção y) 
(direção z) 
Conservação da Energia 
Princípio da conservação da energia: 
estabelece que a taxa de aumento de 
energia de um elemento de fluido de 
volume fixo e arbitrário (V) é igual à soma 
das taxas de aumento de energia. 
Conservação da Energia 
Taxa de 
aumento de 
energia do 
fluido 
Taxa de 
transporte 
convectivo 
de energia 
Taxa de 
transporte 
molecular 
Taxa de trabalho 
exercida no 
sistema por 
transporte 
molecular 
Taxa de 
trabalho 
exercida no 
sistema por 
forças 
externas 
Conservação da Energia 
 Equação da conservação da energia: 
1- Escrever as equações gerais de conservação de massa 
(continuidade), de quantidade de movimento e energia, 
que o sistema deve obedecer; 
2- Relacionar (1) com as equações que descrevem as 
propriedades do material sendo processado equações de 
estado ou equações constitutivas. 
3 - Impor as restriçõese/ou condições iniciais e de contorno, 
e forças ou deformações impostas nas regiões de 
contorno ou por elas. 
Análise de fluxos encontrados em 
Processamento de Polímeros 
• Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano 
através de um tubo; 
• Geometria simples (tubular); 
• Fluido pode ser representado pela equação reológica 
de um fluido Newtoniano; 
Fluxos Simples Encontrados em Processamento de 
Polímeros 
Hipóteses: 
• Perfil de velocidades é gerado pela aplicação de um gradiente 
de pressão externa (DP) no fluido; 
• Superfícies em que o fluido está contido são rígidas e 
estacionárias; 
• A velocidade do fluido na parede de contorno é zero, ou seja, 
não existe deslizamento na parede do tubo; 
• Fluxo em regime permanente ou estacionário (perfil de 
velocidades não muda com o tempo). 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano 
através de um tubo 
• Como a seção transversal do tubo é circular, é 
conveniente utilizar coordenadas cilíndricas; 
• Gradiente de pressão é aplicado na direção z: gradiente 
de pressão não muda com direções r e q; 
• Componentes não-nulas de velocidade existirão 
apenas na direção z e são dependentes apenas de r; 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido 
Newtoniano através de um tubo 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido 
Newtoniano através de um tubo 
Componentes do vetor velocidade: 
 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido 
Newtoniano através de um tubo 
Equações de conservação de quantidade de movimento: 
(direção z) 
(direção q) 
(direção r) 
(direção z) 
(direção q) 
(direção r) 
Aplicando as hipóteses de conservação: 
Resultando em: 
(direção r) 
(direção z) 
(direção q) 
Cálculo do tensor tensão: Equação Constitutiva 
Fluido Newtoniano: 
Substituímos 
essas 
componentes 
na equação 
constitutiva 
Componentes do tensor taxa de deformação em coordenadas cilíndricas: 
Como as componentes não-nulas de velocidade existirão apenas 
na direção z e são dependentes apenas de r: 
Como as componentes não-nulas de velocidade existirão apenas 
na direção z e são dependentes apenas de r: 
Substituindo os valores de tij nas equações de conservação 
de quantidade de movimento: 
(direção r) 
(direção q) 
(direção z) 
Substituindo os valores de tij nas equações de 
conservação de quantidade de movimento: 
• Direção r = 0; Direção q= 0; 
• Direção z: 
 
 
 
• 1- Escrever as equações gerais de conservação de 
massa (continuidade), de quantidade de movimento e 
energia, que o sistema deve obedecer; 
• 2- Relacionar (1) com as equações que descrevem as 
propriedades do material sendo processado equações 
de estado ou equações constitutivas. 
• 3 - Impor as restrições e/ou condições iniciais e de 
contorno, e forças ou deformações impostas nas 
regiões de contorno ou por elas. 
Análise de fluxos encontrados em 
Processamento de Polímeros 
• Condições de contorno: 
• Pressão: P(L=0) = Pi; P(L) = Pf; 
• Velocidade: vz (r = 0) = vz; vz (r = R) = 0; 
 
 
 
 Como a pressão depende somente de z e a velocidade 
depende de r, tem-se que: 
 
 
 
onde C é uma constante. 
 
• Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano através de um 
tubo; 
• Se , integrando-se essa equação chega-se a: 
 
• Aplicando as condições de contorno para pressão: 
• P(0) = Pi; P(L) = Pf 
 
• Portanto: 
 
 
 
 
• Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano através 
de um tubo; 
• Integrando em r, obtém-se: 
 
 
 
• Condição de contorno: quando vz (r = 0) = vz, 
 
• Assim temos: 
 
 
 
Portanto: C1 = 0. 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano através de 
um tubo 
• Integrando em r, obtém-se: 
 
• onde C2 é uma constante. 
• Pela condição de contorno para velocidade: vz (r = R) = 0 
• Aplicando C2 na equação: 
 
 
 
 
 
Perfil de 
velocidades é 
Parabólico 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano através de um 
tubo 
 
 
 
 
 
A taxa de cisalhamento varia 
linearmente com o raio, 
sendo nula no centro (onde a 
velocidade é máxima) e 
máxima na parede (onde a 
velocidade é nula) 
A taxa de cisalhamento no 
polímero 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Newtoniano através de um 
tubo 
 
 
 
 
 
 
 
 
A vazão volumétrica (Q) do fluido é dada por: 
• Geometria simples (tubular); 
• Fluido pode ser representado pela equação reológica de 
um fluido não-Newtoniano; 
• O polímero fundido se comporta como um fluido da Lei 
das Potências; 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano 
através de um tubo: 
• Hipóteses: 
• Perfil de velocidades é gerado pela aplicação de um 
gradiente de pressão externa (DP) no fluido; 
• Superfícies em que o fluido está contido são rígidas e 
estacionárias; 
• A velocidade do fluido na parede de contorno é zero, ou 
seja, não existe deslizamento na parede do tubo; 
• Fluxo em regime permanente ou estacionário (perfil de 
velocidades não muda com o tempo). 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano 
através de um tubo 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não 
Newtoniano através de um tubo 
 
 
• Como a seção transversal do tubo é circular, é 
conveniente utilizar coordenadas cilíndricas; 
• Gradiente de pressão é aplicado na direção z  gradiente 
de pressão não muda com direções r e q; 
• Componentes não-nulas de velocidade existirão apenas 
na direção z e são dependentes apenas de r; 
• As hipóteses são as mesmas assumidas quando 
descrevemos o fluxo do fluido newtoniano através do 
tubo, logo as equações de conservação de 
quantidade de movimento são idênticas as obtidas 
para este caso (uma vez que são variáveis do 
processo e não do material): 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não 
Newtoniano através de um tubo: 
 
 
(direção r) 
(direção z) 
(direção q) 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não 
Newtoniano através de um tubo: 
 
 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não 
Newtoniano através de um tubo: 
 
 
 
• Cálculo do tensor tensão: 
• Equação Constitutiva 
• Tipo de Fluido: 
• Fluido da Lei das Potências: 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano 
através de um tubo: 
 
 
Componentes do tensor taxa de deformação em coordenadas 
cilíndricas: 
Como as componentes não-nulas de velocidade existirão apenas na direção z e são 
dependentes apenas de r: 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano 
através de um tubo: 
 
 
 
• Substituindo os valores de tij nas equações de conservação de 
quantidade de movimento: 
• Direção r: 0; 
• Direção q: 0; 
• Direção z: 
 
 
 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano 
através de um tubo: 
 
 
 
• Usando os mesmos argumentos e condições de contorno do caso anterior 
(fluxo de um fluido Newtoniano), chega-se a: 
 
 
 Cuja solução é dada pela expressão: 
 
 
 
Perfil de velocidades de um fluido 
não-Newtoniano 
(Lei das Potências) 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano através 
de um tubo 
 
 
 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano através 
de um tubo 
 
 
 
Perfil de velocidades de um fluido não-
Newtoniano (Lei das Potências) 
Perfil de velocidades para 
um fluido newtoniano 
n=1 
• O perfil de velocidades de um fluido não-Newtoniano (Lei das Potências)quando em fluxo através de um tubo não é parabólico e dependerá de n e m 
(fatores que variam de polímero para polímero): 
 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano através 
de um tubo 
 
 
 
Perfis de velocidade através de um tubo de (a) fluido Newtoniano (parabólico), 
(b) fluido de Lei das Potências com n = 0,7 e (c) fluido da Lei das Potências com n 
= 0,2. 
• Quanto maior a pseudoplasticidade do polímero, mais plano o perfil 
de velocidades no centro e maior o gradiente de velocidades perto 
da parede  fluxo tipo pistão (plug flow). 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano através 
de um tubo 
 
 
 
• A taxa de cisalhamento no polímero pode ser expressa por: 
 
 
 
 
 
Perfis de taxa de cisalhamento através de um tubo de (a) fluido Newtoniano 
(parabólico), (b) fluido de Lei das Potências com n = 0,7 e (c) fluido da Lei das 
Potências com n = 0,2. 
Quanto maior a pseudoplasticidade 
do polímero, menor a orientação 
no centro, já que a taxa de 
cisalhamento será zero ao longo 
dessa região central. 
Fluxo de Pressão: fluxo de um fluido Não Newtoniano através 
de um tubo 
 
 
 
• Ocorre em razão do movimento de uma das superfícies em que o 
fluido está confinado; 
• Superfície superior movimenta-se a uma dada velocidade Vw, 
enquanto que a superfície inferior está parada: 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• Hipóteses: 
• Fluido Newtoniano; 
• O fluxo é gerado somente pelo deslocamento com o 
tempo (velocidade) da placa superior na direção x; 
• Fluxo em regime permanente (a velocidade não muda 
com o tempo); 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• A única componente do vetor velocidade será vx, ou 
seja: 
 
 
• vx somente variará com y, ou seja, vx = f(y). 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
•Hipóteses: 
Equações de conservação de quantidade de movimento em coordenadas 
cartesianas: 
(direção x) 
(direção y) 
(direção z) 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano entre 
placas paralelas 
• Aplicando as hipóteses nas equações de conservação de quantidade de 
movimento: 
(direção x) 
(direção y) 
(direção z) 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• Resultando em: 
(direção x) 
(direção y) 
(direção z) 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
 
• Cálculo do tensor tensão: Equação Constitutiva; 
• Fluido Newtoniano: 
 
• Componentes do tensor taxa de deformação em coordenadas 
cartesianas: 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• Como as componentes não-nulas de velocidade existirão apenas na 
direção x e são dependentes apenas de y: 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• Substituindo os valores de tij nas equações de conservação de 
quantidade de movimento: 
(direção x) 
(direção y) 
(direção z) 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano 
entre placas paralelas 
• Substituindo os valores de tij nas equações de conservação de 
quantidade de movimento: 
• Direção y: 0; 
• Direção z: 0; 
• Direção x: 
 
 
 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano entre 
placas paralelas 
• Condições de contorno: 
• Velocidade: vx (y = B) = Vw; vx (y = 0) = 0; 
 
 
• Integrando e aplicando as condições de contorno, obtém-se o perfil de 
velocidades: 
 
 
 
Fluxo de Arraste: fluxo de um fluido Newtoniano entre 
placas paralelas 
Integrando e aplicando as condições de 
contorno