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Convergência e Divergência de Séries Numéricas Infinitas - parte 2

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Cálculo II 
 
 
 
 
CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA DE SÉRIES 
NUMÉRICAS INFINITAS - PARTE 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Convergência e Divergência de Séries ................................................................................. 2 
1.1. Convergência ................................................................................................................ 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 4 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na última aula “Convergência e Divergência de Séries Numéricas Infinitas”, foi 
estudado sobre a definição de séries numéricas, como encontrar o termo geral e 
realizar as somas parciais. Nós aprendemos um pouco sobre convergência e 
divergência de séries. No entanto, este é um assunto que ainda vai ser bastante 
abordado em nossas aulas, pois existem inúmeros critérios para determinarmos a 
convergência ou não de uma determinada série. 
Nesta aula discutiremos a afirmação lógica: "se a série não converge, então ela 
diverge" buscando elucidar os nexos lógicos nas implicações matemáticas e 
construindo uma definição de divergência de Séries Numéricas. 
Objetivos 
• Definir o conceito de divergência em séries numéricas; 
• Compreender a diferença entre séries convergentes e divergentes. 
• Utilizar as definições de convergência e divergência nas implicações 
matemáticas. 
 
1. Convergência e Divergência de Séries 
1.1. Convergência 
Se a série não converge, então ela diverge? 
Para responder esta proposição precisamos analisar o contexto que envolve 
série convergente e divergente. Sabemos que a série abaixo é infinita. Neste caso, 
na
 
é o n-ésimo termo da série. 
 1 1 2 1 2 3, , ... na a a a a a a+ + + + + 
Agora, as somas parciais podem ser dadas, conforme abaixo: 
1 1S a= 
2 1 2S a a= + 
3 1 2 3S a a a= + + 
 
1 2 3
1
...
i n
n i n
i
S a a a a a
=
=
=  = + + + + 
 
3 
 
Esta é a sequência de somas parciais da série em que 
( )nS
 é a n-ésima soma 
parcial. 
Nós sabemos que quando uma série converge para determinado valor real, a 
sua soma será dada por este valor. Então podemos reescrever aquela série acima da 
seguinte forma: 
1 2 3
1
... n n
i
a a a a a x

=
+ + + + =  = 
Anteriormente, nós já estudamos sobre quando a série diverge. Mas 
precisamos encontrar uma lógica para defender a proposição inicial do capítulo. 
Vamos lá? 
Então, qual seria a razão que faz com que a série não convirja? 
Já temos conhecimento suficiente para dizer se os termos da série não 
decrescerem. Fácil, não? 
Vamos de exemplo, assim facilitaremos o entendimento para quem ainda não 
chegou ao raciocínio. 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da série 
3
1i
n

=

, determine as somas parciais e defina 
se a série converge ou diverge. 
Desenvolvendo a série, teremos: 
 
3
1
1
3
2
3
3
3
1
2 8
3 27
i
n
n
a
a
a
a n

=

=
= =
= =
=
 
3 3
1
1 8 27
i
n n

=
 = + + + +
 
Pelo que estamos vendo, os termos crescem 
indefinidamente, portanto, a série diverge. 
 
4 
 
Agora, vamos observar o que ocorre com os termos do exemplo 1. Estão 
crescendo ou decrescendo? Os termos são crescentes. 
Só mais uma pergunta, então estes termos tendem ao infinito? Sim!! 
Os termos tendem a crescer além de qualquer número 
( )x
, não podemos 
identificar o total da soma, além disso a soma dos 
( )n
 termos será maior do que n. 
Diante disso, só nos resta concluir que tal série é divergente, ou seja, ela não converge. 
Em outro momento nós vimos que as somas parciais formam uma nova 
sequência 
( )nS
, que poderá ou não apresentar um limite. Hum, será que podemos 
confirmar a proposição em função do limite? 
Sabemos que a soma da série é o limite da sequência das inúmeras somas 
parciais presentes. Ok! 
Qual a sua intuição, em relação ao significado, quando escrevemos 
1
n n
n
S a

=
= 
? 
Conscientemente, estamos tentando dizer que, há um número suficiente de 
termos para esta série, que os somarmos chegaremos muito perto de um 
determinado número 
( )x
. 
Mas como assim? 
Por meio do limite, veja! 
1 1
lim
n
n n
nn n
a a

→= =
 = 
 
Então, se conseguimos chegar a tal número, ou seja, o limite existir, a série 
converge. Caso contrário, não existe um limite e/ou o limite tende ao infinito, a 
tendência é divergir. 
Para analisar se uma série diverge, pode-se utilizar o seguinte teste: para uma 
série infinita do tipo 
1
n
n
a

=

 se 
1
lim 0
n
n
n n
a
→ =
 
 ou não existir, então a série diverge. 
Exercícios 
1 (Autora, 2019) Determine se a série
1 5k
k
k

=
 
 
+ 

 convergente ou divergente. 
 
2 (Autora, 2019) Dada a série 
1
1
n(n 1)+

, determine: 
 
5 
 
a) Os três primeiros termos da série; 
b) Se a série é convergente ou divergente; 
Gabarito 
1. Para determinar a convergência desta série 
1 5k
k
k

=
 
 
+ 

, será necessário fazer o 
limite: 
 n
n n
n
lim 1
lim lim =1
5 55
lim 1
k
k k
kk
k k
→+
→+ →+
→+
= =
++  
+ 
 
 
Portanto como 
n
lim 0
5
k
k→+

+
, então a série 1 5k
k
k

=
 
 
+ 
 diverge. 
 
2. a) Para obter os termos de uma determinada série basta fazer a substituição 
no termo geral da série 3
1
1
( 1)n n+

: 
1
( 1)
na
n n
=
+
 ( )
( )
( )
1
2
3
1 1
1 1 1 2
1 1
2 2 1 6
1 1
3 3 1 12
a
a
a
= =
+
= =
+
= =
+
 
b) Para obter a natureza da série basta fazer o limite desta série, que será:
n
n n
n
lim s lim 1
n 1→+ →+
= =
+
, como é diferente de zero, a série diverge. 
Resumo 
Nesta aula discutimos sobre a afirmação lógica: "se a série não converge, então 
ela diverge", aprendemos que, pelos conceitos até então estudados, quando a série 
não converge ela diverge. Entendemos que matematicamente, a divergência de uma 
determinada série está relacionada à tendência ao infinito dos seus termos, e 
portanto, da sua soma. 
 
6 
 
 Foi possível entender o conceito de que quando uma série converge para 
determinado valor real, a sua soma será dada por este valor, como neste caso 
genérico de série que sua soma teria um valor (X). 
1 2 3
1
... n n
i
a a a a a x

=
+ + + + =  = 
É necessário entender que quando os termos de uma série crescem 
indefinidamente a série irá divergir, pois não é possível obter a soma total de tal série. 
Então, se conseguimos chegar a tal número, ou seja, o limite existir, a série 
converge. Caso

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