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Cálculo II CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS - PARTE 2 1 Sumário Introdução .................................................................................................................................... 2 Objetivos ....................................................................................................................................... 2 1. Convergência e Divergência de Séries ................................................................................. 2 1.1. Convergência ................................................................................................................ 2 Exercícios ...................................................................................................................................... 4 Gabarito ........................................................................................................................................ 5 Resumo ......................................................................................................................................... 5 2 Introdução Na última aula “Convergência e Divergência de Séries Numéricas Infinitas”, foi estudado sobre a definição de séries numéricas, como encontrar o termo geral e realizar as somas parciais. Nós aprendemos um pouco sobre convergência e divergência de séries. No entanto, este é um assunto que ainda vai ser bastante abordado em nossas aulas, pois existem inúmeros critérios para determinarmos a convergência ou não de uma determinada série. Nesta aula discutiremos a afirmação lógica: "se a série não converge, então ela diverge" buscando elucidar os nexos lógicos nas implicações matemáticas e construindo uma definição de divergência de Séries Numéricas. Objetivos • Definir o conceito de divergência em séries numéricas; • Compreender a diferença entre séries convergentes e divergentes. • Utilizar as definições de convergência e divergência nas implicações matemáticas. 1. Convergência e Divergência de Séries 1.1. Convergência Se a série não converge, então ela diverge? Para responder esta proposição precisamos analisar o contexto que envolve série convergente e divergente. Sabemos que a série abaixo é infinita. Neste caso, na é o n-ésimo termo da série. 1 1 2 1 2 3, , ... na a a a a a a+ + + + + Agora, as somas parciais podem ser dadas, conforme abaixo: 1 1S a= 2 1 2S a a= + 3 1 2 3S a a a= + + 1 2 3 1 ... i n n i n i S a a a a a = = = = + + + + 3 Esta é a sequência de somas parciais da série em que ( )nS é a n-ésima soma parcial. Nós sabemos que quando uma série converge para determinado valor real, a sua soma será dada por este valor. Então podemos reescrever aquela série acima da seguinte forma: 1 2 3 1 ... n n i a a a a a x = + + + + = = Anteriormente, nós já estudamos sobre quando a série diverge. Mas precisamos encontrar uma lógica para defender a proposição inicial do capítulo. Vamos lá? Então, qual seria a razão que faz com que a série não convirja? Já temos conhecimento suficiente para dizer se os termos da série não decrescerem. Fácil, não? Vamos de exemplo, assim facilitaremos o entendimento para quem ainda não chegou ao raciocínio. EXEMPLO 1 A partir da série 3 1i n = , determine as somas parciais e defina se a série converge ou diverge. Desenvolvendo a série, teremos: 3 1 1 3 2 3 3 3 1 2 8 3 27 i n n a a a a n = = = = = = = 3 3 1 1 8 27 i n n = = + + + + Pelo que estamos vendo, os termos crescem indefinidamente, portanto, a série diverge. 4 Agora, vamos observar o que ocorre com os termos do exemplo 1. Estão crescendo ou decrescendo? Os termos são crescentes. Só mais uma pergunta, então estes termos tendem ao infinito? Sim!! Os termos tendem a crescer além de qualquer número ( )x , não podemos identificar o total da soma, além disso a soma dos ( )n termos será maior do que n. Diante disso, só nos resta concluir que tal série é divergente, ou seja, ela não converge. Em outro momento nós vimos que as somas parciais formam uma nova sequência ( )nS , que poderá ou não apresentar um limite. Hum, será que podemos confirmar a proposição em função do limite? Sabemos que a soma da série é o limite da sequência das inúmeras somas parciais presentes. Ok! Qual a sua intuição, em relação ao significado, quando escrevemos 1 n n n S a = = ? Conscientemente, estamos tentando dizer que, há um número suficiente de termos para esta série, que os somarmos chegaremos muito perto de um determinado número ( )x . Mas como assim? Por meio do limite, veja! 1 1 lim n n n nn n a a →= = = Então, se conseguimos chegar a tal número, ou seja, o limite existir, a série converge. Caso contrário, não existe um limite e/ou o limite tende ao infinito, a tendência é divergir. Para analisar se uma série diverge, pode-se utilizar o seguinte teste: para uma série infinita do tipo 1 n n a = se 1 lim 0 n n n n a → = ou não existir, então a série diverge. Exercícios 1 (Autora, 2019) Determine se a série 1 5k k k = + convergente ou divergente. 2 (Autora, 2019) Dada a série 1 1 n(n 1)+ , determine: 5 a) Os três primeiros termos da série; b) Se a série é convergente ou divergente; Gabarito 1. Para determinar a convergência desta série 1 5k k k = + , será necessário fazer o limite: n n n n lim 1 lim lim =1 5 55 lim 1 k k k kk k k →+ →+ →+ →+ = = ++ + Portanto como n lim 0 5 k k→+ + , então a série 1 5k k k = + diverge. 2. a) Para obter os termos de uma determinada série basta fazer a substituição no termo geral da série 3 1 1 ( 1)n n+ : 1 ( 1) na n n = + ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 6 1 1 3 3 1 12 a a a = = + = = + = = + b) Para obter a natureza da série basta fazer o limite desta série, que será: n n n n lim s lim 1 n 1→+ →+ = = + , como é diferente de zero, a série diverge. Resumo Nesta aula discutimos sobre a afirmação lógica: "se a série não converge, então ela diverge", aprendemos que, pelos conceitos até então estudados, quando a série não converge ela diverge. Entendemos que matematicamente, a divergência de uma determinada série está relacionada à tendência ao infinito dos seus termos, e portanto, da sua soma. 6 Foi possível entender o conceito de que quando uma série converge para determinado valor real, a sua soma será dada por este valor, como neste caso genérico de série que sua soma teria um valor (X). 1 2 3 1 ... n n i a a a a a x = + + + + = = É necessário entender que quando os termos de uma série crescem indefinidamente a série irá divergir, pois não é possível obter a soma total de tal série. Então, se conseguimos chegar a tal número, ou seja, o limite existir, a série converge. Casocontrário, não existe um limite e/ou o limite tende ao infinito, a tendência é divergir. Para determinar isso, pode-se utilizar a proposição: para uma série infinita do tipo 1 n n a = se 1 lim 0 n n n n a → = ou não existir, então a série diverge. 7 Referências bibliográficas FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um trabalho visando à corporificação dos conceitos. (Dissertação) Ouro Preto: Universidade Federal de Ouro Preto, 2012. STEWART, James.Cálculo. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
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