Calculo integral exerciciopdf

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Departamento de ciências e tecnologias
Curso de licenciatura em Informática
Texto de apoio de Cálculo Integral
1. Integrais impróprios 
A integral 

b
a
dxxf )(
denomina-se integral imprópria se:
(1) a ou b ou ambos. Isto é: um limite de integração é infinito ou ambos o 
são.
(2) )(xf não é limitada em um ou mais pontos de bxa  . Denominam-se tais 
pontos de singularidades de )(xf .
Chamamos de integrais impróprios da primeira e da segunda espécies 
respectivamente, às integrais correspondentes a (1) e (2). As integrais que satisfazem a 
ambas as condições (1) e (2) denominam-se integrais impróprios da terceira espécie.
1.1. Integrais impróprias da primeira espécie.
Seja )(xf limitada e integrável em todo intervalo finito bxa  . Então definimos:



b
a
b
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Chamamos a integral do primeiro membro de convergente ou divergente conforme 
exista ou não o limite do segundo membro. 
Analogamente, definimos:



b
a
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
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Chamamos a integral do primeiro membro de convergente ou divergente conforme 
exista ou não o limite do segundo membro. 
Exemplo 1: 
  110lim11lim
1
limlim
1
1
1
2
1
2 
















 b
x
x
dx
x
dx
bb
b portanto a 
integral


1
2x
dx
 é convergente.
Exemplo 2: 
   senasenusenxcoxdxcoxdx ua
u
a
a
u
 


limlimlim
como este limite não 
existe a integral 


u
xdxcos
é divergente.
Da mesma forma definimos:






0
0
)()(
x
x
dxxffxdxdxxf
Onde 0x é um número real. Chamamos a integral de convergente ou divergente 
conforme as integrais do segundo membro sejam ou não convergentes.
Integrais impróprias particulares de primeira espécie.
1. Integral geométrica ou exponencial



a
txdxe
onde 
t
é uma constante, converge 
se 0t e diverge se 0t . 
Note-se a analogia com a série geométrica com ter  de modo que re tx  .
2. Integral em 
p
da 1ª espécie 


a
px
dx
 onde 
p
é uma constante e 
0a
, converge se 
1p e diverge se 1p . Compare com a série em p .
1.2. Integrais impróprias da segunda espécie 
Se )(xf se torna não – limitada somente no ponto extremo ax  do intervalo bxa  
então definimos 
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




b
a
b
a
dxxfdxxf


)(lim)(
0
Se existe o limite do segundo membro, a integral do primeiro membro é convergente, 
caso contrário é divergente.
Analogamente, se )(xf se torna não – limitada somente no ponto extremo bx  do 
intervalo bxa  então definimos 







b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
A integral do primeiro membro converge ou diverge conforme exista ou não o limite 
(finito) do segundo membro.
Se )(xf se torna não – limitada somente em um ponto interior 0xx  do intervalo 
bxa  então definimos







b
x
x
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
1
00
0
2
10
1
)(lim)(lim)(



A integral do primeiro membro converge ou diverge conforme existam ou não os 
limites do segundo membro.
1. Algumas integrais impróprias da segunda espécie.
1.  


b
a
pax
dx
 converge se 
1p
 e diverge se 
1p
2.  


b
a
pxb
dx
 converge se 
1p
 e diverge se 
1p
Chamamos a estas de integrais em p da segunda espécie. Notemos que para 0p , 
as integrais não são impróprias.
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1.3. Integrais impróprias da terceira espécie
Podemos exprimir as integrais da terceira espécie em termos de integrais improprias da 
primeira e da segunda espécie, e, portanto, para verificar se aquelas são convergentes ou 
divergentes, usaremos os resultados já estabelecidos.
2. Sucessões Numéricas
Uma função de variável inteira positiva designada por onde n=1,2,3,… chama-se 
sucessão. Ou seja uma sucessão é uma aplicação de .
Uma sucessão é um conjunto de números dispostos numa certa ordem e formada 
segundo uma dada ordem.
2.1. Convergência
Diz-se que uma sucessão real converge para o número real ou que é o limite da 
sucessão ao tender n para o infinito, quando a todo o 0 corresponde um número 
natural  00 nn  tal que para todos os termos de ordem 0nn  se tenha  aan
Se as condições são satisfeitas a sucessão diz-se convergente, aann lim ou aan 
Ex: prove que: 
1
2
lim 
 n
n
n


1
2n
n






 2
2
2
21
2 nn
nn
n
n
De onde resulta: 
22 
n
que é a ordem a partir da qual se verifica a condição.
3. Séries numéricas 
Soma de uma série
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Seja dada uma sucessão numérica infinita ,,,,, 321 nuuuu a expressão 
 nuuuu 321 chama-se série numérica, sendo os números 
,,,,, 321 nuuuu os termos da série.
A soma dos n primeiros termos da série chama-se soma parcial nS .
 nn uuuuS 321
3.1. Convergência e Divergência 
Consideremos as somas parciais:
11 uS  ; 212 uuS  ; 3213 uuuS  ; nn uuuuS  321
Se a sucessão destas somas parciais é convergente, isto é, se existe um número S, tal 
que SSnn lim , Chama-se soma da série e diz-se que a série é convergente. Se o limite 
não existe diz-se que a série é divergente e que não tem soma.
Exemplo:
a)


1 2
1
n
n
b)
 




1
11
n
n
3.2. Propriedades Fundamentais 
1. Se  nu converge então 0lim  nn u . A recíproca entretanto não é sempre verdadeira, 
isto é, se 0lim  nn u , pode ou não convergir. Conclui-se que, se o enésimo termo de uma 
série não tende para zero a série é divergente.
2. Multiplicando cada termo de uma série por uma constante (diferente de zero), a série 
contínua convergente ou divergente.
3. Suprimindo (acrescentando) um número finito de termos de (a) uma série, esta 
permanece convergente ou divergente. 
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Séries especiais. 
1. Série Geométrica:




1
1
n
nar
, onde 
a
e 
r
 são constantes. Converge para 
r
aS


1 se 
1r
e diverge se 
1r
2. A série em p, 


1
1
n
pn onde p é uma constante. Converge para 
1p
e diverge 
para 1p . A série com 1p é a série harmónica.
3.3. Critérios de convergência, para as séries numéricas 
3.3.1. Critério de comparação para séries de termos positivos 
Sejam duas séries de termos positivos:
 nuuuu 321 (1)
 nvvvv 321 (2)
Teorema (1) se os termos da série (1) não forem superiores aos correspondentes termos 
da série (2) isto é, se nn vu  e se (2) converge a série (1) converge também.
Teorema (2) se os termos da série (1) não forem inferiores aos correspondentes termos 
da série (2) isto é, se e se a série(2) diverge a série(1) diverge igualmente.
3.3.2. Critério de quociente para séries de termos positivos
(a) Se 
0nu
 e 
0nv
 e se 
0lim 

A
v
u
n
n
n ou 

então 
 nu
 e 
 nv
convergem 
ambos ou divergem ambos.
(b) Se 0A e  nv converge, então  nu converge.
(c) Se A e  nv diverge, então  nu diverge. Este critério relaciona-se com o 
da comparação e muitas vezes é uma útil alternativa deste. Em particular 
tomando 
pn n
v 1
as propriedades da série 


1
1
n
pn nos dão:
Teorema (1) seja Aun n
p
n


lim . Então:
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(i)  nu converge se 1p e A é finito.
(ii)  nu , diverge se 1p e 0A (A podendo ser infinito).
Exemplo:   24 3n
n
converge pois 4
1
24
lim 3
2

 n
nn
n 

1
ln
n
n
 diverge pois  



2
1
2
1
1
lnlim
n
nn
n
3.3.3. Critério de integral para séries de termos positivos 
Se )(xf é positiva, continua e monótona decrescentepara Nx  e é tal que nunf )( , 
Nn  , 1N , 2N , 
,
 então  nu converge ou diverge quando 
 



N
M
N
M
dxxfdxxf )(lim)(
 converge ou diverge. Em particular, podemos ter 
1N
, 
como é frequente na prática.
Exemplo: 


1
2
1
n n converge pois 








 Mx
dx
M
M
M
11limlim
1
2
 existe.
3.3.4. Critério para séries alternadas
A série alternada é aquela cujos termos sucessivos são, alternadamente, positivos e 
negativos.
Uma série alternada converge quando satisfaz as duas condições seguintes
(a) nn uu 1 para 1n
(b) 
0lim 

nn
u
 ou  0lim  nn u
Exemplo:
Para a série 
 






1
11
5
1
4
1
3
1
2
11
n
n
n temos 
 
n
u
n
n
11 

, n
un
1

, 
1
1
1


 n
un para . Também 
0lim 

nn
u
. Portanto a série converge.
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3.3.5. Convergência absoluta e condicional.
A série é absolutamente convergente quando converge. Se converge, mas diverge, 
então é condicionalmente convergente.
Teorema: 
Se converge então converge. Em outras palavras uma série absolutamente convergente 
é convergente.
3.3.6. Critério da relação ou regra de Alambert
Seja 
L
u
u
n
n
n



1lim
, então a série 
(a) Converge (absolutamente) se 
(b) Diverge se 
(c) Se falha o critério, também conhecido como critério da razão. 
3.3.7. Critério da raiz enésima ou Cauchy
Seja Lu
n
nn


lim . Então a série 
(a) Converge (absolutamente) se 
(b) Diverge se 
(c) Se falha o critério.
Exercícios:
1. Determina a natureza das seguintes séries por um critério de comparação:
a)



1
3 3
1
n n
b)





1
2 1
1
n n
n
c)


 1
2 )1(
1
n nn
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d)


 1
33 1)1(n nn
nn
e)


1
2))((
n n
sen 
2. Estuda a natureza das seguintes series pelo critério da razão ou pelo de 
D’Alembert:
a)


1 3n n
n
b)


1
3
!n n
n
c)



1 )12(...7553
!
n nxxxxx
n
d)



1 )13(...852
)2(...642
n nxxxx
nxxxx
e)


1 )!2(n
n
n
n
4. Estude a natureza das seguintes séries pelo critério da raiz ou de Cauchy
a)


2
2
))(log(n n
n
n
n
b)
Rk
n
k
n
n



;
!1
c)








 
1
2
1
n
n
n
n
d)










1
111
n
n
n nn
e)









1
)(
n
n
n
sen 
5. Usando o critério do integral, estude a natureza das seguintes series:
a)  


2
2log
1
n nn
b)


1 log
1
n nn
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c)


 1 11
1
n n
d)
n
n









1 2
1
3. Sucessões de funções 
Seja nf uma sucessão de funções, RRDfn : .
Diz-se que nf converge num ponto se a sucessão numérica ))(( afn é convergente com 
limite finito.
Se a sucessão )( nf converge em todos os pontos de D, pode definir-se uma função 
RDf :
por )(lim)( xfxf nn  a qual se diz limite de )( nf em D. Diz-se também que 
)( nf converge pontualmente para f em D.
Exemplo: 
A sucessão de funções 
n
n
x )1( 
 ,definido em R, converge qualquer que seja 
Rx
. A 
função limite é 
xexf )(
. Ou seja: 
xn e
n
x
 )1lim(
3. Séries de funções
Chama-se série de funções a toda a série na qual o termo geral é uma função duma 
variável x .
Consideremos a série de funções:
...)(...)()()( 321  xuxuxuxu n
Dando a x diferentes valores numéricos obtém-se diferentes séries numéricas que 
podem convergir ou divergir.
Ao conjunto dos valores x para os quais a série de funções converge chama-se domínio 
de convergência ou campo de convergência de série. 
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A função )(lim)( xSxS n onde )(...)()()( 21 xfxfxfxS nn  e x pertence ao campo 
de convergência, recebe o nome de soma da série e )()()( xSxSxR nn  de resto da 
série.
Para determinar o campo de convergência da série de funções basta aplicar os critérios 
de convergência já conhecidos considerando x fixo.
Exemplo:
...
2
)1(...
23
)1(
22
)1(
21
1
3
3
2
2












n
n
n
xxxx
Chamando de nu o termo da série teremos:
2
1
1)1(2
2*1
limlim
1
1
1 







x
xn
nx
u
u
nn
nn
n
n
Baseando-se no critério de D’Alambert pode-se afirmar que a série é convergente
Se 
1
2
1

x
 
21 x
; 










3
1
2)1(
21
x
x
x
x
 
13  x
campo de convergência.
A série é divergente se 












3
1
2)1(
21
;1
2
1
x
x
x
xx
isto é: 
3 x
ou 
 x1 .
Exercícios 
1. Para quais valores de x as seguintes séries convergem?
a)




1
1
3n n
n
n
x
 
b)






1
121
)!12(
)1(
n
nn
n
x
 
c) 



)13(2
)1(
n
xn
n
n
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d)
n
n x
x
n










1 1
2
12
1
 
e) 
 n
n xsenxsenxxsensenx
3
2
9
4
3
2
f)

n
kkk
x
n
nxxx
!!3
3
!2
2 32
 
4. Séries de potências 
Chama-se série de potências ou série inteira de 0xx  a uma série de forma: 




0
0 )(
n
n
n xxa
 com 
NnRan  ,
Fazendo 
0xxy 
, as séries de potências podem reduzir-se a forma 


0n
n
n ya
 .
Em geral, uma série de potências converge para Rx  e diverge para Rx  , onde a 
constante R é o raio de convergência da série. Para Rx  a série pode ou não convergir.
O intervalo RxR  com a possível inclusão de pontos extremos, denomina-se 
intervalo de convergência da série. 
Podem aparecer dois casos especiais 0R e R . No primeiro caso a série converge 
somente para 0x ; para segundo caso converge para todos os valores de x .
Quando falamos em uma série de potências convergente, admite-se 0R salvo 
indicação em contrário.