Convergência absoluta

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Cálculo II 
 
 
 
 
CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Séries absolutamente convergentes ................................................................................... 2 
1.1. Definição ....................................................................................................................... 2 
1.2. Série condicionalmente convergente.......................................................................... 3 
2. Convergência uniforme - curiosidade ................................................................................. 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na aula sobre Intervalo de convergênciaI, você estudou sobre suas 
características como defini-lo. 
Se você reparar bem, uma série do tipo 
0
n
nn
a x

=
 não é só convergente, mais 
do que isso, ela converge absolutamente para todo x real. Mas o que significa 
convergir absolutamente? 
Nesta aula, iremos aprender mais sobre como se comporta uma série 
convergente e o que a torna uma série absolutamente convergente. Também vamos 
compreender a diferença de convergência absoluta e condicional. 
Só para você pensar, vamos deixar também uma curiosidade sobre 
convergência de um conjunto de funções. 
Objetivos 
• Aprender o conceito e a definição de convergência absoluta aplicada a 
exemplos que refletem o seu uso; 
• Diferenciar convergência absoluta de convergência condicional identificando 
suas principais características; 
 
1. Séries absolutamente convergentes 
1.1. Definição 
Uma série é dita absolutamente convergente se o seu módulo for convergente. 
Assim, se temos uma série do tipo 
0 nn
a

=
 , dizemos que ela é absolutamente 
convergente se 
0 nn
a

=
 . 
Por exemplo, a série de potências da função exponencial é absolutamente 
convergente para qualquer valor. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, podemos dizer que toda série cujo módulo dos termos da soma 
for absolutamente convergente, indica uma série convergente. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
É importante destacar que, se a série analisada apenas possuir termos 
positivos, então 
n na a=
 e a convergência absoluta é a mesma coisa que a 
convergência nesse caso. 
 
1.2. Série condicionalmente convergente 
Quando uma série é convergente, porém não é absolutamente convergente, 
dizemos que ela é condicionalmente convergente. 
A série de potência do logaritmo, por exemplo, é condicionalmente 
convergente. 
 
 
Suponha a série 
20
sin
n
n
n

=
. Vamos verificar se a série é 
absolutamente convergente. 
Se compararmos o termo 
2
sinn
n
 com a razão 
2
1
n
 , para 
todo 
1n 
 temos: 
2 2
sin 1n
n n

 
Sabemos que 
20
1
n n

=
 é convergente, logo, pelo critério 
de comparação, o módulo da série é convergente, e por 
fim, a série é absolutamente convergente. 
Se uma série for absolutamente convergente, ela sempre 
será convergente. Porém uma série convergente nem 
sempre é absolutamente convergente! 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Convergência uniforme - curiosidade 
A convergência uniforme é um modo de convergência de funções mais forte 
que a tratada até aqui, chamada de pontual. Uma sequência de funções converge 
uniformemente para uma função limitadora 
f
 se a sequência de somas parciais 
convergir uniformemente para 
f
 . 
 
1 
Simulação computacional de convergência uniforme da série ∑ 𝑠𝑖𝑛𝑛(𝑥)100𝑛=1 . Neste caso, a função 
limitara é indicada por 𝑠𝑖𝑛(𝑥). 
 
Seja a série 
1
0
1
( 1)k
k k
 +
=
−
 . Vamos verificar se a série é 
absolutamente convergente. 
Suponha que 
1
0
( 1)k
k
 +
=
−
 seja absolutamente 
convergente. Isso significa que 1
0
( 1)k
k k
+

=
−

 converge e 
o limite 1
0
( 1)
lim
k
kk k
+

=→
−

 existe. Mas sabemos que a 
série harmônica ∑
1
𝑘
∞
𝑘=1 é divergente, logo a suposição é 
absurda e o limite do módulo da série não existe. 
Portanto, a série 1
0
( 1)k
k k
+

=
−

 é dita condicionalmente 
convergente. 
 
5 
 
A diferença entre convergência uniforme e convergência pontual não foi 
totalmente adotada no início da história do cálculo, levando a instâncias de raciocínio 
falho. O conceito, que foi formalizado pela primeira vez por (1815-1897), é 
importante porque várias propriedades das funções, como a continuidade, a 
integrabilidade de Riemann e, com hipóteses adicionais, a diferenciabilidade, 
derivam dele. 
Exercícios 
1. (Guidorizzi, 2002 adaptado) Determine se a série 
3
( 1)
ln
n
n n

=
−

 é absolutamente 
ou condicionalmente convergente. 
2. (Guidorizzi, 2002 adaptado) Determine 𝑥 para que a série seja convergente e 
identifique o tipo de convergência. 
a. 
2 ln
n
n
x
n

=
 
b. 
1
nx
n
e

=
 
c. 1
1
( 1) 2
3
n
nn
+

=
−

 
Gabarito 
1. Pelo critério de comparação, para todo n natural, maior do que 3, 
1 1
lnn n

 , 
logo 
3
1
lnn n

=
 diverge. 
1
( 1)
lnk
n
n

=
−

 converge para zero (faça um teste 
descobrindo os 10 primeiros termos da série), e, portanto, é uma série 
condicionalmente convergente. 
2. 
a. A série converge em torno de 𝑥0 = 0, então vamos encontrar o raio de 
convergência
1/ ln
lim 1
1/ ln 1n
n
R
n→
= =
+
 .Tomamos 
0 1x R− = −
 , e temos 
2
( 1)
ln
n
n n

=
−

 
que é convergente para todo 
1x 
 ; e tomando 
0 1x R+ =
 , temos 
2
1
lnn n

=
 
que é divergente. Portanto a série é condicionalmente convergente para todo 
1 1x−  
 . 
 
6 
 
b. Pelo critério do termo geral, temos que 
lim 0n
n
e
→
= + 
 , logo a série diverge 
para 
0x 
 . Para 
0x 
 temos que 
1xe 
 , pois 
2n 
 , logo a série converge 
para zero. Portanto, a série é condicionalmente convergente. 
c. Pelo teste de comparação, como a série 
1
2
3nn

=
 converge, e 2
1
3lim ( 1) 0
n
n
n
+
→
− =
 , 
logo existe, a série 21
3
1
( 1)
n
n
n
+
=
−
 absolutamente convergente. 
Resumo 
Nesta aula, você aprendeu que uma série absolutamente convergente é aquela 
em que a soma dos módulos dos termos converge. Fique sempre atento ao fato de 
que a recíproca não é verdadeira, pois uma série convergente pode ser divergente 
quando analisamos o limite do módulo da série.Podemos também perceber como os fatores de uma série se comportam 
individualmente no limite da soma. As séries que convergem, mas não são 
absolutamente convergentes, podem ser chamadas de condicionalmente 
convergentes, e é importante destacar que o critério utilizado para definir esse 
comportamento se resume a analisar todos os fatores que compõem a série indicada, 
utilizando por exemplo o critério de comparação. 
É imprescindível fazer vários exercícios e treinar a análise de diferentes séries. 
Esse conhecimento vai ser fundamental para compreender alguns desenvolvimentos 
de séries de funções, como o conceito de convergência uniforme que falamos nesta 
aula. Esse conceito nos leva aos trabalhos de Weierstrass, que mesmo tendo 
desenvolvido testes no século 19, são base de diversas discussões em cálculo até hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Volume 4. São Paulo: LTC, 2002. 
 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Volume 2. São Paulo: Pearson, 2010. 
Referências imagéticas 
Figura 01. Disponível em: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence#/media/File:Drini_nonuniformconvergence_SVG