A equação da vazão

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Física II 
 
 
 
 
A EQUAÇÃO DA VAZÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Equação da vazão volumétrica ................................................................................................ 2 
1.1. Vazão volumétrica e velocidade ........................................................................................ 3 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Já conhecemos o conceito de vazão, nessa apostila vamos explorar um pouco 
mais esse conceito, indo além e o traduzindo em linguagem matemática. Você já 
deve ter notado que a linguagem matemática é essencial para o conhecimento de 
muitos conceitos da física, certo? Na física costuma-se dizer que a linguagem é a 
própria matemática, mas não se engane, apesar de ser usada como uma ferramenta 
de linguagem na física, a matemática é muito mais que isso, configurando-se um 
campo próprio de estudos. 
Isaac Newton, que você já deve conhecer, foi um excelente cientista e 
matemático, dando contribuições expressivas nessas duas grandes áreas de estudo. 
E você, conhece algum outro grande pensador que contribuiu para mais de uma 
ciência? Se não conhecer, faça uma breve pesquisa, tivemos muitos desses gênios na 
história da humanidade. 
Objetivos 
• Demonstrar a equação geral da vazão volumétrica. 
• Demonstrar a equação da vazão volumétrica com a velocidade. 
 
1. Equação da vazão volumétrica 
Anteriormente falamos sobre o conceito de vazão que, como você bem 
lembra, relaciona a quantidade de fluido que passa por uma seção observada por 
unidade de tempo, certo? Dessa forma, podemos dizer que a vazão mede a rapidez 
com que um volume escoa. 
Isso pode ser traduzido para a forma matemática de maneira simples. Para 
começarmos, vamos considerar um líquido que escoa por um conduto, um cano, por 
exemplo, da esquerda para direita, conforme a figura a seguir. 
01 
Certa quantidade de líquido passa por uma seção em um conduto. 
 
 
3 
 
Na figura anterior, as setas representam as linhas de corrente para o líquido e 
os anéis A e B seções transversais, entre elas temos uma seção volumétrica, que 
definimos para analisar o volume de líquido que passa. Com medidores de volume e 
de tempo entre A e B, conseguimos definir a quantidade de volume de líquido que 
passa por essa seção por unidade de tempo. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
Em que Q representa a vazão, V o volume e 
t
 o tempo. 
Analisando as unidades no SI, temos: 
 
 
 
 
3
V
Q
t
m
Q
s
=

=
 
Logo, a unidade padrão SI da vazão é o metro cúbico por segundo (m3/s). 
Porém, é comum também aparecer o litro por segundo (L/s). 
 
1.1. Vazão volumétrica e velocidade 
Podemos também escrever uma equação para a vazão volumétrica 
relacionando-a à velocidade do líquido. Para isso, considere o esquema da figura 
seguinte, que é o mesmo da figura anterior, mas com dados a mais. 
Essa quantidade será a vazão volumétrica do líquido, 
definida matematicamente como o volume por 
unidade de tempo, assim: 
V
Q
t
=

 
 
4 
 
02 
O líquido atravessa as seções A e B com velocidade v. 
 
Na figura anterior, temos que o líquido atravessa as seções A e B, que tem 
uma distância d entrei si, com uma velocidade 
v
 em um tempo 
t
. Retomando a 
equação da vazão, temos: 
V
Q
t
=

 
Considerando o esquema da figura anterior, temos que o volume V pode ser 
escrito como a área A de uma das seções vezes a distância d entre elas: 
V A d= 
 
Dessa forma, a equação da vazão fica: 
V A d
Q
t t

= =
 
 
Bem, olhando para a equação anterior, o que é uma distância (d) sobre um 
tempo (
t
)? É uma velocidade (v)! 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
Essa é a expressão da vazão volumétrica Q que relaciona a vazão com a área A 
de uma seção transversal e com a velocidade v do líquido. 
A unidade de medida do SI continua sendo a mesma, vamos comprovar? 
Dessa forma, a equação da vazão ficará: 
Q A v= 
 
 
5 
 
     
 
 
2
3
Q A v
m
Q m
s
m
Q
s
= 
= 
=
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
O exemplo da eclusa nos traz o dado de vazão e de área e precisamos 
descobrir a velocidade da água. Qual das equações anteriores relaciona essas três 
grandezas físicas? É essa mesma: 
Q A v= 
! 
Substituindo os dados na equação teremos: 
( ) ( )2
Q A v
20000L/s 2000m v
= 
= 
 
Isolando a velocidade v, teremos: 
( )
( )2
20000L/s
v
2000m
v 10 m/s
=
=
 
Assim, a velocidade da água na eclusa que tem vazão de 20000 L/s e área de 
2000 m2 é de 10 m/s. 
Exercícios 
1. (Adaptado de UEM, 2018) Em relação à eclusa e ao transporte hidroviário, 
assinale o que for correto. 
01) Eclusas são obras que permitem que embarcações se desloquem em 
locais onde há desníveis de água, cujo funcionamento se baseia no 
conceito dos vasos comunicantes da Hidrostática. 
Uma determinada eclusa, pequeno canal que permite o 
nivelamento de água afim de permitir o translado de 
embarcações, tem uma vazão de 20 000 L/s. 
Considerando que a área de seção transversal da eclusa 
é de 2000 m2, qual a velocidade com a qual a água 
escoa nessa eclusa? 
 
 
6 
 
02) Para que uma eclusa de 200 m de comprimento, 30 m de largura e 5 m 
de profundidade demore 20 minutos para encher, a vazão de água para o 
seu interior deve ser de 30.000 L/s. 
 
2. (UFJF, 2018) Para economizar energia, você contratou uma bombeira 
hidráulica, chamada Maria Emmy, que instalou um sistema de aquecimento 
solar para um reservatório de água. O reservatório é conectado ao chuveiro 
de sua casa por 12 metros de tubulação com diâmetro de 1 cm. Quando a 
torneira é aberta, o chuveiro apresenta uma vazão constante de 6 litros por 
minuto. Quanto tempo você deve esperar para começar a cair água quente no 
chuveiro? Utilize
(pi) 3.π
 
a. 18 s 
b. 9 s 
c. 36 s 
d. 2,25 s 
e. 5,5 s 
 
3. (UFJF, 2017) Uma caixa d’água em formato cúbico com um metro de aresta 
está conectada a uma mangueira pela qual é retirada água para molhar um 
jardim. Suponha que o nível da caixa d'água diminua à razão de 4 mm por 
minuto e que a área da extremidade da mangueira seja de 1 cm2, 
aproximadamente. Determine a vazão e velocidade da água que sai da 
mangueira, respectivamente: 
a. 1/15 L/s e 2/3 m/s 
b. 1/15 L/s e 20/3 m/s 
c. (1/15)∙10−3 L/s e 2/3 m/s 
d. 15 L/s e 4/6 m/s 
e. (15)∙10−3 L/s e 40/6 m/s 
Gabarito 
1. Soma = 01 
[01] Correto. Elas agem como se fossem elevadores aquáticos, enchendo 
ou escoando a água de forma a nivelar a embarcação. 
[02] Incorreto. O volume da eclusa será: 
=    =  = 4 3 7V 200 30 5 V 3 10 m 3 10 L 
Logo, a vazão será:7 
 

= = =

7V 3 10
Q 25000 L s
t 20 60Δ
 
 
2. B 
Primeiro vamos calcular o volume da tubulação: 
( )− −
−
=    =   
=  =
2
3 6
4 3
V 12 5 10 12 3 25 10
V 9 10 m 0,9 L
π
 
A água cai no chuveiro logo após encher a tubulação, dessa maneira 
temos: 
=  =
=
=
V L 0,9 L
Q 6
t min t
t 0,15 min
t 9 s
Δ Δ
Δ
Δ
 
 
3. A 
A vazão 
Q
é constante e igual à variação do nível da caixa d’água de 
4 mm
 
por minuto, dessa forma: 
 
= =
4 mm
V
Q
t
−

310 m
1 mm
−

= 
2
3
3
1 m
min
m
Q 4 10
min

1 min
−= 
3
3
60 s
1 m
Q 10
15 s
 
Fazendo a conversão para litros, temos: 
−= 
3
31 mQ 10
15

3
3
10 L
s 1 m
=
1 L
Q
15 s
 
Para calcular velocidade que sai da mangueira podemos utilizar a 
equação que relaciona a vazão e a velocidade: 
= Q v A,
mas primeiro 
vamos fazer a transformação da unidade de área para o SI: 
= 2A 1 cm
−

4 2
2
10 m
1 cm
− = 4 2A 10 m
 
Assim, podemos calcular a velocidade de saída da água da mangueira: 
 
8 
 
−
−
=   =

=
=
3
3
4 2
Q
Q v A v
A
1 m
10
15 sv
10 m
2 m
v
3 s
 
 
Resumo 
Começamos definindo a equação da vazão volumétrica a partir do exemplo 
de um fluido passando em um conduto por duas seções transversais, chegamos à 
conclusão que a equação é: 
V
Q
t
=

 
Na qual Q é a vazão, V o volume e 
t
 o intervalo de tempo. Assim, essa 
equação representa a quantidade de líquido em volume que passa por um ponto 
observado por unidade de tempo. Vimos que no SI a unidade de medida é o metro 
cúbico por segundo (m3/s), mas que também é comum o litro por segundo (L/s) 
Logo em seguida vimos que podemos relacionar a vazão com a velocidade do 
líquido, da seguinte maneira: 
Q A v= 
 
Lembre-se que a unidade de medida continua sendo a mesma! 
Na apostila seguinte sobre a vazão mássica voltaremos a falar do conceito de 
vazão, dessa vez explorando a vazão mássica. 
 
 
9 
 
Referências bibliográficas 
FEYMMAN, Richard. P; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. Lições de Física. Porto Alegre: Bookman, 2008. 3 v. 
Tradução de Adriana Válio Roque da Silva. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos. 2000. 
LEJBMAN, Iuda D. Goldman Vel. Fluidos. 2017. Disponível em: 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3593584/mod_resource/content/1/Notas%20de%20Aula%20-
%20Fluidos.pdf>. Acesso em: 22 abr. 2019. 
SCHNEIDER, Prof. Paulo Smith. Medição de Velocidade e Vazão de Fluidos. 2011. Disponível em: 
<http://www.ufrgs.br/medterm/areas/area-ii/vazao_mt.pdf>. Acesso em: 25 abr. 2019. 
UEM. Vestibular. 2018.Disponível em: 
<http://www.vestibular.uem.br/padrao.php?url=vestibulares_anteriores.html>. Acesso em: 06maio 2019. 
UFJF. Vestibular. 2017.Disponível em: <http://www.ufjf.br/copese/vestibular-pism-2/vestibular-pism-edicoes-
anteriores/vestibular-pism-2017/>. Acesso em: 06 maio 2019. 
UFJF. Vestibular. 2018.Disponível em: <http://www.ufjf.br/copese/vestibular-pism-2/vestibular-pism-edicoes-
anteriores/vestibular-pism-2018/>. Acesso em: 06 maio 2019.