TODAS AS FÓRMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMÁTICA

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x x fl< 01-------t~ 
y 
x 
y y 
x 
y ,y 
a<O a>O 
i: sempre uma panlbola, com eixo de si- 
metria para le lo ao eixo v . Conforme o sin al de. 
a ede A podemos obter seis tipos de grlificos. 
c) Gnmco 
bl Resolvendo a equas:ao ax2 + bx + c = O 
obtemos as ra(zes de f, que sao os pontos em 
que o gnlfico def corta o eixo x. Depe{ldendo 
de A= b2 .- 4ac podemos encontrar duas, uma, 
ou nenhuma raiz. 
f : .R-+ R tal que f(x) = ax2 +bx + c, com •*O. 
al Definii;:io 
3, FUNCAO POLINOMIAL DO 2'! GRAU 
a 
x a>O ~ 
bl Gnlfico 
f : R -+ R tal que f(xl = ax + b, com 
a*O. y 
al Defin ii;:io 
2. FUN~AO POLINOMIAL DO 1'! GRAU 
bl x<y-a.x<a.y;VaEIR,:'. 
a) x <v-x + a<y+ a,VllE IR 
Sendo x, y ea nurneros reais, valem as se- 
guint11s propriedades: 
1. PROPRIEDADES DAS 
DESIGUALDADES 
Logo: V = { 1, -1, 2, -2} 
MATEMATICA 
x2 =4oux2 =1 - x=± 2 ou x=± 1 
Voltando para a inc6gnita inicial x ternos: 
- V=4 OU y=1 
Exemplo: 
x4 - 5x2 + 4 = O pode ser transformada 
em y2 - 5y + 4 = O; substituindo x2 por y. 
Assim: 
v2 -5y+4=0 - v= 5± 3 - 2 
b) Fazer uma troca de varillveis 
Exemplo: 
x3 - 4x2 - x + 4 = 0 * 
* x2 .(x - 41 - (x - 41=0 * 
o (x-4l.(x2 -11=0 * 
O X ~ 4 = 0 OU x2 - 1 = 0 - 
Logo:V={l,-1,4} 
a) Fatorar 
Se a. equai;:A'o proposta n;io 4! do 1'? gniu, 
nem do 2<? grau, deve-se, se possfvel: 
bl .JL = 0 - • = 0. b * 0 b 
4. EOUAC0ES REDUTIVEIS A 11? OU 
21?GRAU 
a) a . b = 0 - a= 0 ou b = O 
3. EOUACAO "PRODUJO" E 
EOUACAO "OUOCIENTE" 
d) Propriedades das ra(zes 
{
S=x1 +x2 =-t- 
p = X1 • X2 = _c_ • 
e) Uma equai;:A'o do 29 ~rau cujo conj·u· nto 
verdade4! {x1 ;x2} 4! lx2 :-Sx+P=Ol,sen- 
doS=x1 +x2 e Pr= x, .x2. . · .. r': 
..J. •.. .- 
A l -b +y'tl ,· -b -...;-t;-} . ·> 0 q v ={ -~"--- 2a 2a 
A=OqV={- :a} 
<" .4_<;:0 q V = .efJ (supondo V C IR) 
c) Di scussao 
b) Resolui;:A'o 
Ix= - b :ti I· ondelt.=b2 -4ac I 
(fdrmula de Baskaral 
i: uma sentens:a aberta do tipo 
lax2 +bx+ c;,, oj, com a*O 
al Definii;:A'o 
2. EOUACAO DO 21? GRAU 
cl Conjunto Verdade: V = { '- _E_} a 
ax + b = 0 · * ax = -b * x = - _E_ a 
b) Resolui;:A'o 
i: uma sentence aberta do tipo 
lax + b = ol. com a* 0 
al Definis:ao 
1. EOUACAO DO 11? GRAU 
Resumo Completo para oVESTIBULAR 
agnal
Realce
pois a fum,ao ir ESTRIT. DECRESCENTE 
fl SeO <a< 1 entio: 
I ax1 <a~ <> X1 > 112 I 
pois a funi;;a'o 11 ESTR ITAlillENTE CRESCENTE 
e) Se a> 1 entao: 
I 8x1 .( 8x2 ... Xi < ~ j 
di A funi;;a'o d INJETORA, OU seja: 
I •x1 ,,;,. a112 <> X1 ,,,;, 112 I 
cl 0 grafico def contem o ponto (0; 1 l 
·a) Definh;oes 
{Ya;;:x• x"=• 
2. RADICIACAO 
•" + b" = ( ..,!__ l" (b * 0) b 
(a"lm=a"m 
al Definii;;a'o 
t : R -+ IR tal que f(x) =ax, com a> 0 e 
a¢1. 
3. FUNCAO EXPONENCIAL 8n ·; 1m = 1n + m· 
1" +am = 1" - m (1 4' OI 
•" . b" = (ab)" 
..!!l 
an = zy-;m b) Propriedades 
cl Potencia de Exooente Racional 
a1 =a ; a0 = 1 
{YI. {Yb= {Ylb 
{YB+ {Yb= zY-F 
fl 'O'S'"' "'"ra 
!J7" = ( zya-1m zy-;m = ".er;mP (p ¢ Ol 
al Defini~es 
Se n E ri e a E R, define-se: 
a" =a . a . a . .. .. a (n > ii "'·----y- - ---' 
n fatores 
bl Propriedades 1. POTENCIACAO 
el R = I x I. VX E fl 
I. .1 x I = a <> x = a ou x = -a 
11. Ix I <a<> -a<x<a 
111. I x-] >a <> x <-a ou x >a 
Sendo a> 0, tsmos: 
di Propriedades 
cl Gnlfico 
f : Fl -+ R tal que f(xl = I x I 
bl Funi;:io Modular x 
x;;ioo. Ix 1 ·= x 
x <; o • I x I = -x 
al MOdulo de um nnmero real y 
4. FUNCAO MODULAR 
v 
a< O • lm(tl = {y E It I y <- _A_ } 4a 
111.Ra(zesdeSinaisContnlrios <> P<O 
x 
II. Ra(zesEstritamente Negativas <> · 
f!i>O 
<> 1.P>O s<o 
y 
a>O•lmltl= {yEflly>-_A_} 
4a 
el Conjunto lmagem 
.P= x1 .x2 = ..!:....,temos: • a 
I. Ra(zes.Estritamente Positivas ... . f ti>O 
<> · 1 P>O 
S>O 
i: o ponto V( - _!t_ · - -A. ) 
2a ' 4a 
Lembrando que S = x1 + x2 = - ..£.. e a 
fl Sinai dasra (zes d] Vdrtice 
( )+(k + 1)+(k + 2)+ ... +f n )=(n·+ 1) 
O 1 2 \n-k n-k 
d) Soma na diagonal 
( )+ {k + J+ (k + 2)+ ... +( n ) =(" + 1) 
k \k k k k+1 
c) Soma na coluna 
b) Soma na linha 
( 
n+ 1 ) 
k+l 
11 
3 
a) A relaciio de STIFEL pode ser memori- 
4. APLICAC0ES 
(~) (~) (~) (~) (~)···· (~) 
(b) -----2" 
3. TRIANGULO DE PASCAL 
zada assim: 
Prof. Andre 
( ")=~:~ k+1 
c) Relac;:aode FERMAT 
\ , _ 
(J (.:,) .: 
b) Relac;:ao de STIFEL 
(:)· (.".) 
Propriedades: 
a) Binomiais complementares siio iguais 
(n, kEN) 
Del::::~ ( k"nl = n! k! (n- kl! 
n<k0?( )=0 
k 
2. NIJMERO BINOMIAL 
Joi = 1 l- = n. (n-1)!,-VnElll* 
1. FATORIAL 
pois a func;:ao I! ESTRITAMENTE DECRES- 
CENTE. 
log x, < log x2 <=> x1 > x2 > 0 a a 
pois a furn;:iio I! ESTRITAMENTE CRESCENTE. 
f) selo<a<1lentiio 
log x1 <log x2 <=> O<x1 <x2 a a 
d) A furn;ao logarftmica e INJETORA, ou 
seja:I I .. _i_oe_8 x_,_=_lo_g_8 x_2_= __ x_,_=......,x_2 _>_o__, 
e) Se[!TI!entao: 
c) Graflcos 
8. FUNCAO LOGARl'rMICA 
a) Definic;:ao 
f : IR:-> IR tal que f(x) ~log x, com a> 0 
ea;Cl. a 
b) A func;:ao logar(tmica I! a INVERSA da 
func;:ao exponencial, pois: y =ax = x =log y 
a 
sitivo N, pode. ser escrito na forma: I logN=c+m I 
onde: c E Z I! a caracterfstica e 
0 .;;; m < 1 I! a mantissa, sendo m encontra- 
do na Tabua de Logaritmos. 
b) Determinacao da caracterfstica: 
Regra I - A caracterlstica do logaritmo 
decimal de um nurnero N > 1 e igual ao namero 
de algarismos de sua parte inteira, menos 1. 
Exemplos: 
log 2 =0, . 
log 231 =2; . 
Regra 2 - A caracterfstica do logaritmo 
decimal de um nomero 0 < N < 1 e igual ao 
oposto do numero de zeros que precedem o 1~ 
algarismo significativo. 
Exemplos: 
log 0,02 = '-2 + 0, ... = 2, ... 
Obs.: Para se passar um logarftmo negativo 
para a forma mista (caracterlstica negativa e 
mantissa positiva), basta somar 1 a sua parte de- 
clJ11al e subtrair 1 de sua parte inteira. 
c) Propriedade da mantissa 
Multiplicando-se ou dividindo-se um nume-_ 
ro positivo par 10, 100, 1000, etc., a mantissa 
do seu logaritmo decimal NAO SE AL TERA. 
a) Logaritmo decimal de um nurnero po· 
1.. LOGARITMOS DECIMAIS 
6. MUDANCA DE BASE 
log•N log N = ( 1 * c > 0) a loge a 
c) log (Nm)= m . log N 
a a 
d) log "VN = _1_ . log N 
a m a 
5. COLOGARITMO 
colog N = log _ _!_ = - log N 
a a N a 
a). log 1 = 0 b) logaa = 1 a 
4. PROPRIEDADES 
a) log (MN)= log M + log N 
a a a 
b) log ( _M_ ) = log M - log N 
a N a a 
1. DEFINICAO 
I'" -lo_g_a-~--~---,a-<=--a-<X_=_N-,1 
sendo: N o logaritmando, b a base e 
a o LOGARITMO. 
2. CONDICOES DE EXIST£NCIA I N>O; a>O; a'1'11 
3. CONSEQU£NCIAS DA DEFINICAO 
log N 
c) a a = N 
MATEMATICA 
· :I; f. D~ g) VariAncia: s2· = -=-:.i..=J._ n 
:z:t.lD·I el Desvio Medio: Om =.--1--1- n 
~ fl Desvio Padrao: s = .J- ~--1- 
b) Moda (M0): e o elemento de freqiltncia 
mtlxima. · 
c) Medians (Md): II o elemento.que ocupa 
a posi(iiO central. 
d) Desvio: D = x1- X 
• com l: fi=n a) Mlklia: X = 
8. ESTAT$TICA 
Repetindo n vezes urna experiincia onde 
um evento A tem probabiildade de ocorrer igual 
a p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezes o 
evento A I! 
7. LEI BINOMIAL DE.PROBABILIOADE 
_·.4 
b) A e B independentes => 
=- I PIA n Bl = PIA) . :.60!iJ 
a) P(A n B) =PIA) . P(B I Al 
6. INTERSECCAO DE EVENTOS 
a) P(A I B) = f(A) e P(B I A) = P(B) => 
=> A e B sio eventos independentes. 
bl P(A I Bl -=fo P(A) OU P(B I A) -=fo P(B) => 
=> A e B sao eventos dependentes. 
5. EVENTOSINDEPENDENTES 
A probabilidade de ocorrer o evento A, sa· 
bendo que ja ocorreu o evento B, e chamada de 
probabilidade de Acondicionada a B. 
P(A I B) = n(A n_Jll = P(A n B) 
n(B) P(B) 
~s 
4. PROBABILIOADE CONDICIONAOA 
P(A U Bl = P(A) + P(BIa) P(A U Bl = P(A) + P(BI - P(A n Bl 
b) Se A n B = cp os eventos.A e B sio 
chamados mutuamente axclusivos e neste caso: 
a) 0 <: P(A) <: 1 
bl P(AI + PIA) = 1 
3. UNIAO DE EVENTOS 
~. DECORRE da deflni~o que 
1. DEFINICAO 
A probabilidade do evento A, subconjunto 
de um espaco amostral S, e: 
""""""'="""""'""""""'"' 
~Al•:.· ll!~t::{{fl. 
sendo n(A) o numero de elementos do evento 
A e n(S) o numero de elementos do espaco 
amostral S. 
Prof. Andre 
I c~.k = Cn+k-1, k I 
b) Ccllculo das combina<;Oes com repeticao 
Sio iigrupamentos que diferem entre si ape· 
nas pela natureza de seus elernentos. 
a) Ccllculo das combinac5es simples 
C . = ~.k = nl . = ( n ) 
n,k Pk kl(n-k)I k 
pCl./3 = -1!.L -I n ci! /31 . 
repetidos. 
Sio agrupamentos que diferem entre si 
apenas pela ordem dos seus elementos. 
As permuta<;Oes sao um caso particular dos 
arranjos em que n = k 
a) Ccllculo das permutai;:oes simples I Pn=An, n=> Pn= nl I 
b) Ccllculo das permutai;;oes com elementos 
7. PERMUTACAO 
k fatores 
* k An k = n .. n. n ....• n.= n 
I .__ ... ,..~~----'-' 
b) Ccllculo dos arranjos com repeticao 
~~~~~~--~~~~~~~~~ 
An k=n.(n-1). (n-2) ..... (n-k+ 11=-n_l _ • .'"·--------,r·····-·--··" (n-k)I 
k fatores 
Sio agrupamentos que diferem entre si ou 
pela natureza ou pela ordem de seus elementos. 
a) Calculo dos arranjos simples: 
8. COMBINACOES 6. ARRANJOS 
cl Termo Geral 
0 termo de ordem k + 1 do desenvolvimento, feito segundo os expoentes decrescentes de x, e; T k + 1 = ( ~) ._xn-k. yk 
0 termo de ordem k + 1 do desenvolvimento, feitosegundo os expoentes crescentesde·x, e:T k + 1 =I~ I . xk. yn-k 
d) Nllmero de parcelas: o desenvolvimento de (x +vi" tem_ n + 1 parcelas. 
e) Soma de Coeficientes: a soma dos coeficientes numericos do desenvotvimento de (ax+ by)", com a e b constantes e (a +bl" 
(cada coeficientel x (expoente de x) + (expoente de y aumentado de 1) = coeficiente seguinte 
A maneira mais pratica de calcular os coeficientes e lembrar que o primeiro e sempre igual a 1 e os demais sao calculados a partir do anterior pela rela- cao de Fermat: 
5. TEOREMA DO BINOMIO 
In n) n 0 1 n I n-1 1 ( n) n-2 2 ( n I n-k k ( n) o n n ( n) n-k k a) Ix + y = ( 0 • x . y + , 1 . x . y + 2 . x . y + ... + k . x . y + ... + . x . y = l: k • x . y .n k=O . ~--·..,r---~ \... - - -v---...J \.-.---...,,----/ \.-. _ --·,,----' '---- -,,--.J '--- - --,,---J 
bl Cilculo dos coeficientes 
'· 
rE<ilesE~(il=o- r ± sE(il 
rE<ilesE(i} ~ r. sE (i} 
rEOesEIU*=-- ...!....eu s 
rE(ile aE R -<il ~ r±aE R -0 
rE<il"eaER-m·~ r.aER-IU 
rE<il*eaE R -<il ~...!:...e R-0 a 
aE R-GlefjE R -lil ~ a±fjE R 
aER-<ilefjER-<il~a·fjER 
aER-<ilefjER-<ilQ ~ER B 
IA:= {'xE IR I x<O} (reais estrit. nega~ivos) 
cl Fechamento 
IR+={xEIRlx;;;.O}(reais positives) 
1R; = {xE IA I x>O }(reais estrit. positives) 
IA_= {_xE IA I x.;;;o} (reais negatives) 
bl Observe que: 
NCZC<ilCR 
R =<ilU (R -<ill 
mn(IR-<lll=t/J 
R·=IR-{O} 
5: 
a) 0 conjunto dos nurneros reais ea uniao 
dos racionais com os irracionais 
e) Os unieos nnmeros que .nio sac racio- 
nais (isto t!: que nio podem ser escritos na for- 
ma ~ com a .E Z e b E Z*) sio os decimais 
niio exatos e niio peri6dicos. Estes numeros sio 
chamados irracionais. 0 conjunto dos numeros 
ir_racionai st! representado por R - <il. Exemplos: 
n , e, v'2. v"i, etc .. 
4. NUMEROS REAIS 
12 +2.. ___ 9 __ -:r7 
10 -30 
12+0,333 ... = 
10 
41 0,414141...= w 
1,2333 ... = 12,31~3 ... 
di Frai;:ao geratriz da d(zima peri6dica 
Decimais Nao Exatos Peri6dicos: 
; = 0,666 ... ; ~. = 1;2.333 ... 
DecimaisExatos: ~= 1;2.;2..=075;etc. .. 5 4 
cl Exemplos 
lnteiros: 2.. = 3 · __Q_ = O · _!Q_ = 5 ·etc. 1 • 2 • 2 ' .. 
bl Todo numero racional e inteiro ou deei- 
mal exato ou decimal nio exato e peri6dico [dr- 
zima peri6dica) 
a) 0= {xix= ~ ,comaEZebEZ"} 
3. NOMEROS RACIONAIS 
4) mdc (a; b) = mdc (a;a ± b) 
3) Se a e divisor de X, be divisor de x, a e b 
slo primos entre si entio ab e divisor de x. 
aED(x)· l bED(x) ~a .bED(x) 
mdc(a,b) = 1 
xED(a) l 
.xED(b) r ~ xED(a±b) 
21 Se p I! primo e p divide a .b en tao p e di· 
visor de a ou p e divisor deb. 
p primo } .; pED(a.b) ~·pED(a)oupED(b) 
Prof. lnATEMATICA 
1) Se x divide a e x divide b entio x divi· 
de a± b. 
k) .NClmeros primos entre si 
a e b primos entre si .._ 
<==> mdc(a, bl = 1 <=> mmc(a, b) = ab 
I) Teoremas importantes 
j) Propriedades do mdc e do mmc 
mdc(a, bl . mmc(a, b) =a. b, Va, b E Ill* 
D(a) n D(bl = D( mdc(a, b)) 
i) mdc e mmc 
rndcla, bl = max] D(a) n D(b)) 
rilmc(a, bl= mfn[ M:(a) n M:(b)) 
(k1 + 1). (k2 + 1). (k3 + 1) ..... (kn+ 1) 
2 2 divisores naturais de 120 
2 4 
2 8 
3 ,;J. 6, 12, 24 
s ~! !0_._2~.-~o_._1?~~~·-6~._1?~- 
hi Niimero de divisores 
k1 k2 k3 k ,. 
Se a = P1 . P2 . p3 ..... p0 °, onde p1, 
P2 •... , p0 sao os fatores primos naturals, distln- 
tos, do nurnero natural a e k1, k2, ... , k~ os res: 
pectivos expoentes, entao o nClmero de diviso- 
res naturais de a e 
Prof. 
:-1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ·: 
120 
60 
30 
15 
5 
g) Exemplo 
Obter os divisores naturais de 120 
f) Teorema fundamental da aritmetica 
T odo nlimero composto pode ser decom- 
posto (fatorado) num produto de fatores pri- 
mes. A menos da ordem dos tatores e do sinal 
dos fatores, a decornposicso e unica. 
t a decornposicdo em fatores primos, da 
qual obtemos o Dispositivo Pratico para obter 
todos os dlvisores naturais de um rurrnero natu- 
ral. 
el NClmero pri"'.10 e niimero compq'sto 
. { p * 0, p *· 1, p * -1 
pE Zeprimo~ 
Dip)= {(:.(1,p,-p} 
· { a * 0, a * 1, ~'=I= -1 
a E Z e composto <=> 
n( Dia))> 4 
di NClmero pare niimero fmpar 
a E Z e par .._ a E M(21 .._ a= 2k, k E Z 
a E Z e (mpar-a¢ Ml2) .._ a=2k + 1, 
k·ez 
cl Conjunto dos ml'.lltiplos de a 
Mia) = { x E Z Ix = ak, k E Z }= 
= { 0, ±a, ± 2a, ... } 
al Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... ·} 
bl Multiplo e divisor em Z 
a= b . c Q {a e multiple deb e de c 
be c sao divisores lfatores) de a 
2. NOMEROS INTEIROS 
Ser= 0 a divisao e chamada exata. 
Se a < b entao q = 0 e r = a 
a) Ill= { 0, 1, 2, 3, ... } 
bl Divisio Euclidiana em Ill 
alb*O ·{.a=b.q+r r q ~ r< b 
1. NOMEROS NATURAIS 
al Obtencio de r: 
J r = A (o>J (T. de D ·~ lambert) 
bl No dispositivo de Brion-Ruffini o ulti· 
mo coeficiente ja II o resto. 
cl Os demais coeficientes devem ser divi' 
divos por a que e o coeficiente de x no divisor. 
7. DIVISAOPOR Jx -oJ 
Valem as propriedades do item (61 e alem 
disso: 
Valem as propriedades do Item (7). obser- 
vando que: 
,a) 0 a, tanto no teorema de D'Alambert 
como no dispositivo de Briott-Rufflnl, hem- 
pre a raiz ,do div i!Dr ax + b. 
bl Obten91'o de Q(xl "' R(xl: 
Mdt0do da chave ou 
Mtltodo dos Coeficientes a determinar 
8. DIVISAOPORax+b 
a) Defin~ 
A(xl jB(xl ~ 0 
R(xl Q(x) 
.. {Alx) = B(xl, O(x,) ~ R(x) 
lGR <G8 ou R(x)=O 
(Brion-Ruffini) 
cl Se A(xl e divis(vel por x - a<> o e raiz 
de A(x). 
d) Se A(x) e divisive! por x - o e por x - /J, 
com o :F (3, entao A(x) e divis(vel por 
(x - a) . (x - (31. 
6. DIVISAO DE POLINOMIOS 
r· 
!.~~: •• .. 1n-1 
:<io: •• •• qn·1 L .. 
al Definii;io 
A(x)=B(xl<> A (x) = B (x). VxEC 
bl C.N.S. 
A(xl = B(x)- a0 =ho ;a1 =b1; 
a2 = b2 ; ••• ; an= bn 
bl Obteni;io de O(x) e r: 5. POLINOMIOS ID~NTICOS 
Prof. Andre 
a) Defini(:llo 
P(x) = 0 ~ P (x) = 0, ¥x EC 
bl C.N~S. f j;(~); o-..- ~:,,-a~: ;2-:.~: ~n-=-o: 
L-----·----------- ---·-' 
4. POLIN6MIO IDENTICAMENTE NULO 
a0=a1 =". •• =an-t =Oean:FO~G=O 
a0 = a1 = ... = •n = 0 ~ nlfosedefine grau 
i: o maior expoente de x com coeticiente 
d iferente de zero. 
a0:F0""G=n 
a0 = O'e a1 ;!. 0 ;,, G = n - 1 
a0 = a1 = 0 e a24' 0 ~ G = n -2 
3. GRAU 
Substituirx por a e efetuar as operaeoes 
indicadas. 
2, VALOR NUM!:RICO: P(a) 
P(x) = aoxn +a1xn-t +a2xn-2 + ... +an 
onde n E Ill~ y EC e ai EC 
1. OEFINICAO 
c) Os argumentos das ra(zes n4simas de z sfo os n primeirot termos de um1 P.A. cujo primeiro ter- 
11 2ir mo d - e cuja razio 4 n n 
a) Todo complexo z :F O admite no campo complexo n refz• n-4simu. 
b) Todas as rarzes n-4simas de z possuem o - m6clulo, que vale f/P. 
ConclullJes: 
, cl Potenciai;io: zn = pn. [cos (n81 + i . sen (nlll] 
d) R, .. iciacio: zk = 'YP .[cos(~+ 2ir .k) + i .sen 1.!.+ 211' .k)] ,com kE {0,1,2, •.. n-1} n n n n 
bl Divisio: ~= (~). [cos (111 -821 + i. sen (81 -112 I J ~ Pz ' 
al Multipli~o:z1 .z2 = (p1 .Pz) .[cos (81 +1121 +i .sen 1111 +821] 
6. OPERAC0ES NA FORMA TRIGONOMtTRICA 
x. cl Forma Trigonomdtrica: z = p • (cos II + i . sen Ill 
al Mddulo:I z ] =p=~ 
bl Argumilnto: d o Angulo 6, tal que 6 E 0 I- 2ir e {cos 6 = .; (p ;= OI 
sen8 = ...!... p 
6. FORMA TRIGONOMtTRICA E REPRESENTACAO GEOMtTRICA 
di Divilfo: (supondo c +di :F 01 
a +bi a + bi c - di 
c+di= c+di · c-di = 
ac+bd be-ad . = fi'- + d2 + c;r+ij2 • I 
el Potlncils de, i: ei1I i° = 1 I i1 = 1 I 1,~ ,;,, -1 I 13 = -11 
&z I ~~ ,,.hn = irl, 'o'nE N 
e31 i"E { 1,i, -1, -i}. YnE Z 
3. IGUALDADE 
1+bi=c+di• •=ceb=d 
4. CON,IUGADO 
Se z = x + yi entfo o conjugado de z d o 
complexol'tel que:i" = x -yi. 
,, Adi_,: 
(1 +bi) + (c +di) = (1 +cl + (b + d)i 
bl Subtr1_,: 
(a +bi) - (c +di) = (a - cl + (b - d)i 
cl Multiplk:8(:fo: 
(a +bi) .(c+di) = (ec-bdl +(ad +bcli 
2. OPERACOES NA FOltMA A,L(;tBRICA 
z=x+yl,comx,yERei2 =-t' 
1. FORMA ALGYRICA 
,l!lo<,, 
,-"!'·. 
3. Fatore desenvolvendo: 
a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 = 
= a3 - b3 - 3ab(a - b) = 
= (a - b) (a2 +ab + b2 ) - 3ab(a - b) = 
= (a - b) (a2 +ab+ b2 - 3ab) = 
= (a - b) ( i - 2ab + b2) = 
= (a - b)(a - b)2 =(a - b)3 
= x2 (22 - w2) - y2 (22 - w2) = 
= (x2 _ y2) (z2 - w2). Pode-se continuar a 
fatoracao por diferenca de quadrados 
(x2-y2 )(22 ~w2) = (x+y)(x-y)(z+w)(2-w) 
x2 - Sx + 6 = l(x - 2) (x - 3) 
1. Fatorar x2 - 5x + 6 
As rafzes da equai;:ao x2 - Sx + 6 = 0 sio 
r1 = 2 e r2 = 3; o coeficiente a= 1 
Logo: 
3. EXEMPLOS 
1 .: 
8~ caso: UM ARTIF(CIO 
a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 - a2 = 
= (a2 + 1 )2 - a2 = (a2 + 1 +a) (a2 + 1 - a) 
I ax2 +bx+c=a(x-ri) (x-r2) 
onde r1 e r2 sio as ratzes da equa<;:iio 
ax2 +bx+ c= 0 
7~ caso: TRINOMIO DO 2? GRAU 
a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 = 
=(a -b).(a -b).(a -b) =(a -b)3 
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 
=(a +b).(a +b).(a +b) =(a +b)3 
6'? caso: CUBO PERFEITO 
59 caso: SOMA e D IFEREN<;:A-DE CUBOS 
J a3 + b3 = (a + b). (a2 - ab + b2 ) J 
la3 -b3 =(a -b).(a2 +ab+b2) J 
J a2 + 2ab + b2 =(a+ b) .(a+ b) = (a+ b)2 J 
Ja2 -2ab +b2 =(a -b).(a -b) =(a -b)2j 
:f! caso: DIFERENCA DE QUAD RADOS 
J a2 - b2 = (a + b) . (a - b) J 
4'? caso:QUADRADO PERFEITO 
ax+ bx+ ay+ by= x.(a +b) + y.(a +b) = 
= (a + b) .(x + y) 
I ax +bx= x .(a+ b) I 
29 caso: AG RUPAMENTO 
19 caso: FATOR COMUM 
2. CASOSTIPICOS 
Fatorar e tran sformar uma soma de duas 
ou mais parcelas num produto de dois ou mais 
fatores. 
1. D0EFINICAO 
d) Se a* 0 I! raiz de uma equai;:ao rec(pro- 
1 ' ca entao - tambl!m e. a 
c) · Colocando em evidencia os fatores eor- 
respondentes ao item (b), recai-se numa equa- 
i;:ao rec(proca de 1 !I especie e grau par: para re- 
solver esta existe um "artif(cio". 
I 
a)fDe 1: esi)ec~e se'. a0:: an;.a1 ~ an-i ; . .'. 
lDe 21 espec1e se.ao- -·an, a1 - -an_1 .... 
b) Os numeros (1:: e •S::! ~ geralmente sio 
rarzes, 
10. EQUACOES RECli>ROCAS 
Se I z =a +.bij, com b se O,eraizdeurna 
equai;:ao de coeficientes reais entaoj z = a - bi I 
tambern e. Ah!m disso z e ~ sio ralzes de mesma 
multiplicidade. 
Conseqiiencia: Toda equa<;:§o algl!brica de 
coeficientes ·reais e grau (mpar sempre admite 
pelos menos uma raiz real. 
9. RAl%ES COMPLEXAS 
F(x) 
I F(x1) . F(x2) < 0 I ~ numero impar de 
rarzes reai s no intervalo x 1 -- x2 • 
8. RAIZES REAIS 
Se re raiz de multiplicidade [ill) de F(x) =O 
sera tarnbern raiz de F'(x) = O com multipli- 
cidade i::m::=J] . 
7. RAIZES MUL TIPLAS 
Se ~ e raiz de F(x) =Ode coeficientes in- q 
teiros entao p e divisor de an e q e divisor de Bo. 
Obs.: _£__ e frai;:ao irredutivel. q 
6. RAIZES RACIONAIS 
MATEMATICA 
a1 r I + r2 + r 3 + ... + r n = - --a;;- 
r1 r2 +r1r3 +r1r4 + ... = +~ . ao 
. a3 r1r2r3+r1r2r4 + .... =--a;;- 
5. RELACOES DE GIRARD 
Toda equai;:ao de grau estritamente positivo 
admite no campo complexo pelo menos uma 
raiz e no mui.mo n raizes. 
4. DE 2 E 3 CONCLUIMOS 
3. T. DA DECOMPOSICAO 
Toda equai;:ao de grau estritamente positivo 
admite no campo complexo pelo menos uma raiz. 
2. T.FA. 
1. DEFINICAO 
di O gralfico de uma func;:io (mpar I! simll· 
trico em relac;:io a origem do sisteina de 
coordenadas. 
Seja f: A__,. Ruma func;:io.· 
al f I! uma Fu~io Parse, e somente se: 
I f(-x) = f(x) I . para todo x EA. 
bl f I! uma Funt;iofmpar se,e somente se:. 
I f(-x) = -f(x) I , para todo x .E A 
c) O grafico de uma func;:io par I! sim.lltricc> 
em relac;:io ao eixo.dos y. 
e) f I! CONST ANTE EM I se, e somente se: 
x1 <x2 '*I f(xil = f(x2I 1. Vx1,x2 El 
4. FUNCAO PAR E FUNCAO IMPAR 
di ft! DECRESCENTE EM l,see somente 
se: 
[ii_1_ <x2 - f(x1l>M 
cl f I! ESTRITAMENTE DECRESCENTE 
E::M I, see somente se: 
bl f I! CRESCENTE EM I se, e somente se: 
Xt < X2 => l±G:£~ 
Ix, <x2 => f(xi) <t(xtl] 
al ft!ESTRITAMENTECRESCENTEEM I 
se, e somente se: 
Sejam: f: A__,. B uma func;:io, I um subcon- 
junto de A e x1 e x2 elementos de I. 
cl Func;:io Bijetora 
Uma func;:io f: A __,. B I! bijetora, se e SO· 
mente se, f I! sobrejetora e injetora. 
3. · FUNCOES MONOTONICAS (MONOTO- 
NASI 
bl Func;:io lnjetora 
Uma func;:io f: A -+ B I! injetora, se e 
somsntese: 
·• )(I * X2 => f(x ii * f(x2 I. \tX I • X2 E A 
al Fum;io Sobrejetora 
Uma func;:io f: A__,. B I! sobrejetora se, 
e somente se, lm(fl = CD(f). 
2. TIPOS DE FUN(:OES 
b) Conjunto domlnio def 
D(f) =A 
cl Coniunto contradomlnio de f 
CD(f) =B 
di Conjunto-lmagem def 
lm(f) = { fix) EB I x EA} 
A 
0 unico y E B chama-se IMAG EM DE x 
PELA FUNCAO f e I! indicado por f(xl. 
al Defin~ 
Seja f urna · Relac;:io B in;lria de A em B. 
Dizernos que f t! urna Fi.inc;:io de A em 
B se, e somente se, estio verificadas as seguintes 
condic;:Oes: 
F.1. - Todo x EA se relaciona com al- 
gum y EB. 
F .2. - Cada x E A que se relaciona, rela- 
clona-se com um unieo y EB. 
1. FUNCAO OU APLICACAO 
di Propriedades 
ACB=>AUB=B 
ACB o AnB=A 
AU(B n C) =(A UB) n (AUC) 
A n(B u C) = (AnB) u (An Cl 
AC B 0BCA 
AUB=Ans 
A.nB=AUB 
C,qB =A - B = { x I x EA ex fl: B} 
n(A - B) = n(Al - n(A n Bl 
2) x c s => x = s - x = ~x 
A 
n(A U Bl : n(AI + n(BI - n(A n Bl 
Se A n B = </> entio dizernosque A e B 
sio D isjuntos. 
cl Subtr~o 
11A-B={xlxEAex¢'8} 
B A 
bl lnterse~ 
An e'= { '! i x EA ex EB} 
al Reuniio ou Uniio 
AU B={xl xEAouxEB} 
A 
6. OPERACOES ENTRE CONJUNTOS 
cl Propriedades 
1) AE P(AI 
2) <j>E PIA) 
3) Se A tern k elementos entio A possui 
2k subconjuntos. 
bl Teorema 
Se A tern k elernentos entso P(A) tern 
2k elernentos. 
4. IGUALDADE DE CONJUNTOS 
ACB o (V-x) (xEA=>xEBI 
A<tB o (3xl(xEAexflBI 
xEA o {x} CA 
xflA o {x} <tA 
3. SUBCONJUNTO OU PARTE - RELA· 
CAO DE INCLUSAO 
A = </> 0 Vx, x fi A 
2. CONJUf4TO VAZIO 
Se x t! um elemento de um conjunto A, es· 
creveremos: x E A ( hi·se "x t! elemento de A '1. 
Sex nio t! um elemento de um conjunto A, 
escreveremos: x fl A ( lt!·se "x nio ~ elemento 
deA'1. 
1. CONJUNTO E ELEMENTO 
A=B - A,c Be BC A 
A4'B - A¢BouB(i A 
5. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CON· 
JUNTO 
al Defin~ 
P(A)={x/xCA} 
xEP(AI-xC A 
•c.-., 
s =1(264~1) =264-1 
n 1 
n = 64 logo: 
1~ 
I 
4; EXEMPLOS 
·1. Problemri 'nroposto a Gauss · nuando o 
mesmo deduziu intuitivamente uma forma 
de obter a soma dos n prirneiros termos de 
uma P.A. 
Ache a soma dos primeiros 100 nurneros 
naturais(excluindo o zero). 
a1 = 1 r= 1 
an= 100 
n = 100 S100 = .!_ + lOO x 100 = 5050 2 . 
2. Em um tabuleiro de xadrez, colocando-se 
1 grao de mi lho na 1 ~ casa,' 2 na 2~ 4 na 
3~ e assim sucessivamente ate a 64~ casa, 
qual o nurnero total de griios de milho 
teremos sobre o tabuleiro.? 
Observa-se uma P.G. 
Com a1=1 
q = 2 
,,.. 
\ 
a1• (1-qn) 
1-q 
~ 
1,.. 
1 
2).Se qi= 1 entao: 
-
a_.· i'-'-1 q,_· "----'1 i._ Sn=· 
q - 1 
. 31 Se -1 < q < 1 entiio 
S = llm S ;, -·· _a, __ 
cc n-s+:» n 1 - q' 
Prof. Andre 
di Propriedades 
1l ak: = ak_1.ak+l , isto e: numa P.G. 
cada terrno, a partir do segundo, e media geo- 
metrica entre o anterior e o posterior. 
a) Dafinic;:ao: 
Dados os nnrneros a e q define-se: 
(a1, il2 •... , an,.{.·!: ~:a P.G. • 
~. an + 1 = 8n · q 
b) Termo Geral: an= a1 . qn - l 
c) Produto : \P0 i=.J<a1 .a0)"1 
3. PROGRESSAO GEOMeTRICA ( ... G.) 
2) ak + 1 +an _ k = a1 + a0, ou seja: 
considerando os n primeiros termos de uma 
PA. a soma de dois termos squidistantes dos 
extremos I! igual a soma dos extremos. 
b) Termo Geral:_a0 = a1 + (n -1) .r 
c) Soma: S0 = (ai ; an) . n 
d) Propriedades: 
ak -1 +ak + 1 l)ak= 2 .jsto e inuma 
P.A. cada termo, a partir do segundo, e media 
aritrnetica entre o anterior e o posterior. 
a) Dllfinic;:ao: 
Dados os mlmeros a e r define-se: 
(a1, a2, ••• , an •... ) e uma P.A.¢=? 
2. PROGRESSAO ARITMeTICA (PA.I 
Definic;:io: e toda funcao f : N *-+ R que a 
cada nurnero natural n associa um unico nume- 
ro real an. 
NOta~:f= (anlnEN*= (a1 .ai, ... ,an•···) 
onde a1 , ai, ... sao chamados termos da se- 
qu4ncia. 
1. SEQU~NCIA REAL 
2) ak+l .an-k = a1 .an, ou seja: consi- 
derando os n primeiros termos de uma P.G., o 
produto de dois termos equidistantes dos ex- 
tremos e igual ao produto dos extremes. 
e) Soma dos terrnos da P .G.: 
1) Se q = 1 entiio S0 = n . a 1 -=--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----~( 
f ~9;: 
0 a 
bl f : [ a ; b ]-'+ [ o ; d ] tal que f(x) = x2 
A func;:ao e: fm 
Sobrejetora 
· Par 
Limitada 
A funcao nli'o 
I! injetora. 
c 
d Estritamente crescente 
lmpar a 
lnversfvel 
Limitada 
9. EXEMPLOS 
a) f : [ a ; b]-+ [ c; d ] tal que f(x) = x 
A funcao e: f(x) 
Bijetora 
.i 
Se f(x + p) = f(x) para todo x EA, entao 
t(x + K .p) = t(x) para todo x EA, com KE z: 
. Se uma funr;io I! peri6dica entao o menor 
valor positivo de p chama-se perfodo de f. 
f(x' +pl= f(x), para todo x EA. 
Unia funcao f: A -+ R e peri6dica se, e so- 
mente se, existe p ER•. tal que. 
8. FUNCAO PERl6DICA 
Prof. 
Se f I! uma tuncao limitada, o · seu gn!fico 
esta contido em um a fa ixa horizontal. 
Seja f: A-+ R uma tunr;io. 
A fu nr;io f e I im itada se, e somente se, ex is· 
tern a e b reais tais que: 
I a'°' f(xl '°' b I 
7, FUNCAO LIMITADA 
1) A funr;io t:A-+ Be inversfvel se, e so- 
mente se, f.l! bijetora. 
2) Para se determinar a sentence da funcao 
inversa basta: 
a) isolar x na sentenca def 
b) trocar x. por y. 
3) Os graficos de f e 1-1 sio sim6tric:os em 
rel~io A bissetriz dos quadrantes fmpares. 
Observemos que: 
Seja f : A-+ B uma funcioe i a tuncao Iden- 
tidade. 
Se existir uma tunr;io g: B -+ A tal que: 
a) got = iA. bl fog = i8 
dizemos que g I! a funr;io inversa de f e a 
indicamospor 1-1• 
6. FUNCAOINVERSA 
~)=g(t<x> 1 I 
B 
Sejam f : A -+ B e g: B -+ C duas tum;iies. 
Chama-se Funr;io Cornposta de t com g a 
tunciO got: A-+ C, tal que: 
5. COMPOSICAO DE FUNCOES 
MATEMATICA 
0 determinante de uma matriz quadricla 
nao se altera se: 
al trocarmos ordenadamente linr.. por 00· 
lunas (det M = det Mtl. 
bl somarmos a uma fila uma combin119fo 
linear de outras filas paralelas (T. de Jacc!bil. 
0 determinante de uma matriz quadrada I! 
igual a zero, sea matriz possui: 
al uma fila nula. 
bl duas filas paralelas iguais. 
cl duas filas paralelas proporcionais. 
di uma fila que Ii combi~ linear U. 
outras filas paralelas. 
Grupo 3 - Determinante nfo se altera. 
Grupo 2 - Oeterminante igual a zero. 
Numa matriz quadrada a soma dos produ- 
tos dos elementos de uma fila qualquer: 
al pelos respectivos cofatores Ii igual ao da- 
terminante da matriz. (T.de Laplace) 
bl pelos cofatores dos elementos eorres· 
pondentes de outra fila paralela Ii zero. rr. de Cauchy) 
Grupo 1 - Teoremas de Laplace e Cauchy 
3. PROPRIEDADES 
=au a22 a33 +a,, a23 a31 + a13 a21 a32 + 
-a, 3 a22 a31 - au a23 a32 - a12 a,, a33 
bl Determinante de ordem 3: 
a) Determinante de ordern 2: 
2. REGRAS PRATICAS 
c) Cofator Aij 
Se M = (a11l entaoA11 = 1. 
Se M e matriz quadrada de ordem n;;;;., 2 
entao Aij = (-1 )i +j . Dij onde Dij e o determi- 
nante que se obtern de M suprimindo a tinha 
ea coluna l- 
b) Determinante de matriz de ordem n;;;;., 2. 
0 determinante I! igual a soma dos pro- 
dutos (-l)P. a1C1Ci a2CIC2 a3CIC3 ... a00n onde 
C1C1 , a2 , C1C3, ... , CICn I! uma permutac!o generica 
dos segundos (ndices e p I! o nurnero de inver- 
s6es em relacao a fundamental 1, 2, 3, ... , n. 
a) Determinante de matriz de H ordem. 
Se M = (a11 l entao detM = a11 
1. DEFINICOES 
II. DETERMINANTES 
dl (At)t= A 
e) (A+Blt=At+et 
fl (CIC . Alt =CIC . At 
g) (A .elt= et .At 
qualquer entao: 
racso indicada em cada caso e CIC ,1f um nurnero . 
/ 
Se A e B sao matrizes conforrnes para ope- 
bl Pode-se ter A . B = 0 mesmo com A * 0 
eB'i=O. 
cl Pode-se ter A . C = B . C mesmo com 
Aot=Bec'*o· 
Prof. Andre 
As propriedades das operacoes com mlme- 
.ros reals valem para as operac;:Oes com matrizes, 
. porem, na rnultiplicacao de matrizes nao valem 
as propriedades comutativa, anulamento do 
produto e cancelamento, ou seja: 
a) Existem matrizes A e B tais que 
A.B-=FB.A 
3. PROPR IEDADES 
c) Multiplica~o (de matriz por matriz) 
S~ A = (aik)mxp• B = (bkj)pxn e C = 
(cij)mxn entao, C = A .B se, e somente se, 
Cjj=a11 .bq+!ijl .b,j+ ... +!ljp'bpj' 
b) Multiplicacao (de nomero por matrlal 
Se A = (aij)mxn• B = (bij)mxn e CIC I! 11m 
numero qualquer entao B =CIC.Ase, e somente 
se, blj =CIC . aij' 
a]' Adii;:ao 
Se A = (aij)mxn• B = (bij)mxn e 
C = (cij) mxn entao C =A+ B se, e somente 
se, cij = aij + bij. 
f) Matrizes iguais 
A= (aij)mxn e B "." (bij)mxn sao matri- 
zes iguais, se, e somente se, 
aii = bii. 
2. OPERACOES 
A= 
el Matriz transposta. 
Se A = (aij)mxn e uma matriz entao 
At= (a'ijlnxm ea matriz transposta de A see 
somente se a'ji = aij" 
dl Matriz oposta 
Se A = (aij)mxn e. uma matriz entao 
B = (bijlmxn e a matriz oposta de A see so- 
mente se bij = -aij. 
10 = (xij)nxn tal que xii = 1 se i = I e 
xii= 0 se i -=fo j. 
c) Matriz identidade ou unidade de ordem n. 
b) Matriz nula 
Se m = n entao a matriz M e quadrada. 
~
11 
21 
M= : 
am1 
.-. a) Matriz m x n 
1. DEFINICOES 
I. MATRIZES 
.. :L I= n 
... 
.... 
'11''' ····--··--. 
Solu1=ao: (x; y; z) = (1; 2; 31 
z=-1.2-=3 4 Y =J!.=2· 4 • x=~=l· 4 . 
1
1 1 6 l Dz= 1-1 2 =12 
1. 1 0 
D =1~; ~1 =8,.' y f 0-1 1 6 1 1 I Ox= 2-1 1 =4 0 1 -1 
1~ . 1 = 4 
-1 <, 
-1 
1 
5. SISTEMA LINEAR HOMQGENEO 
'<, a) p = q, sempre => sistema possivel. 
bl a enupla (0, 0, ... , 01 sempre II solu\:i<) 
(trivial). 
cl p 1= n ,:> s6 admite a solucao trivial. di p <.fl => outras solucaes alem da trivial. 
Exemplo: 
Resolver o sistema: "<, 
rx+y+z=6 11 1 x-y+z=2 D=.,11 ~x+y-z=O 
al p .= q * (sl II impossfvel (nenhuma solu-· 
~). 
bl p = q = n * (sl II i>oss<vel e determina-do (6nicas0lu*I. . 
ci p = q < n * (1) II possfvel e indeterm.i· 
nado (infinites solu~sl. ' 
0 teorema de Rouche-Cappelli nos permi- 
te concluir que: 
Sendo: p, a caracteristica de M.I. 
q, a caracterrstica de M.C. 
n, o nurnero de inc6gnitas 
4. DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR 
A caracterfstica de uma matriz e "p" se, e 
somente se: 
al Existir um menor de ordem p (determi- 
nantel diferente de .zero. 
bl Todos os menores de ordem p + 1 (de- 
terminantel que se obtem ORLANDO o menor 
de ordem p do item (a) sio iguais a zero. 
3. CARACTERISTICA 
cl Resolui;:iio (regrade Cramer) 
D1 D2 Dn. x1 =0;x2 =0; ... ;xn=o 
bl Teorema de Cramer - qualquer siste- 
ma normal e poss(vel e determinado . 
alm=neD.=o 
2. SISTEMA NORMAL 
di Se a matriz incompleta for quadrada. o 
seu determinante e chamado daterrninante do 
sistema (DI. 
'~~'. .... ~~~ ·.·.· .... ;~.~ .... ;.~] 
~ml am2 amn bm 
cl Matriz Completa 
~
II 812 a1 n] 
~I •.• 8~2 .. • '. : .' ~~ 
mt am2 ... emn 
M.I.= 
bl Matriz lncompleta. 
Obs.: Se b1 = b2 = ... = bm = 0, o siste- 
ma e homoqeneo. 
{
811 X1 + 812 X2 + + 81 n Xn = b, - 
B21 X1 +822 X1 + +a2nXn=b2 . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . 
am1 x1 + Bm2 x2 + ... + amn xn = bm 
a I Si stem a linear 
1. DEFINICOES 
a) Calcule det M 
bl Determine a matriz dos cofatores de M: 
M' 
c) Determine a matriz adjunta: M = M't 
di Aplique a f6rmula: M-1 = -.-1-- . M detM 
4. REGRA 
cofator de 'ii de M 
b .. de M-1 = -------- 11 det M ,, 
3. ELEMENTO 
M If inversfvel se, e somente se,det M .=o. 
2. EXISTl::NCIA 
M - 1 e in versa de M se, e somente . se, 
M.M-1 = M-1 .M= In 
1. DEFINICAO 
Ill. MATRIZ INVERSA 
,.-.., 
5. PROPRIEDADES 
al A -i e unica. 
bl (A-11-1 =·A 
cl (A.81-1 =e-1.A-1 
di (At)'-1 = (A-1 )t 
el det(A-11= -1- detA 
6. EXEMPLO 
Determine a inversa da matriz M dada: ,-,, 
M=[: :] 
al Det M = 6 - 5 = 1 .'. det M .= 0 
[3 -:i bl M'= - 1 
c) M-[ 3 -~i ~ -5 ~ 
di M-1 = _!_ -r_: -1 i- = [ 3 -~ l ~ 1 2 -5 
Prof. 
abed 
di a 0 0 0 
x b 0 0 
y z c 0 
m n pd 
~ ! I = (b-al .(c-al.(c-bl 
bl cl 
cl Determinante de Vandermonde 
bl a p+q x a [P.) x a f9J x 
b m+n y b@ y + b ~;_lj v 
r+s ,-, c C~! c z c :..r~ z z 
al Teorema de Binet - Se A e B sao 
matrizes nuadradas de mesma ordem entao 
det (AB) = det A • det B. 
Grupo 5 - Propriedades complementares 
0 determinante de uma matriz quadrada de 
ordem n altera-se: 
al trocando de sinal, quando duas filas pa- 
ralelas trocam de lugar entre si, 
bl ficando multiplicado por a, quando os 
elementos de uma fila sio multiplicados por a. 
cl ficando multiplicado por a" quando a 
matriz e multiplicada por a. 
Grupo 4 - Alter~es no deteminintll 
hi Func§o Composta 
y = ~n x => y' = cos x 
y = cos x => y' = -sen x 
y = tg x => v' = sec2 x 
y = cotg x. ,..···y(= -cossec2 x 
y = sec x => y' ""'Sec x . tg x 
y = cossec x => v' = -conec x coig x 
g) .F uneees Trigonoml!tricas 
y = In ~ => v' = _!_ x 
y =log x => v' = ..!.. . -1- a x Ina 
f) Func§o Logarltmica 
observamos que: 
~ .. f(xl=c} 
lim _ f(x) = c => lim f(x) = c -=fo f(al = b · x+a x+a 
f(a) =b · 
logo: 
A func;:io II descontinua em a, apesar de 
existir o lim f(x). 
x+a 
a )( 
al .Se lim f(x) = 0 e se para x "muito pre- 
ximo de a"f(x) * 0 entao: 
lim -1-= ±ooou ;;i lim _l_ 
x+ a f(xl x+a f(x) 
b) Se lim f(x) = ±00entao lim -1-= O 
x-+a x+ a f(x) 
Exemplo: 
Analise a continuidade da func§o descrita 
pelo grafico abaixo: 
f(x) 
b ·------;~>. 
c ----·-~ 
I 
I I 
8. LIMITES INFINITOS 
a) Operacaes com func;:aes: 
Sejam u = f(x) e v = g(x) duas funcaes 
.-. e k um numero real. 
y = ax=> v' = ax . In a 
Y =ex=> y' = ex 
3. TABELA DE DERIVADAS 
el Func§o Exponencial 
d) Func§o Potencia 
5eJa f: I -+ Fl uma func§o derivavel em I. 
Chama-se funi;io derivada da Func§o f a 
funi;ao f': I -+ IR tal que: 
f'(x) = lim f(x +hi - f(x) 
h-+O h 
y = x= y'= 1 
2. FUN«;AO DERIVADA 
cl F unc§o ldentidade 
f'(al= lim 
h-+0 
y= k=>y'=O f(x +hi ...., f(x) 
h 
bl Func;:ao Constante 
O numero real d e a derivada da func;:ao 
f no ponto a e e indicado por f'(a). 
Se fizermos x - a = h entao: 
u y=- v .. 
v;u'-u.v' 
v2 => y' :;:::;- 
d= lim 
x-+ a 
y = u . v => y' = v . u' + v' .• u f(x) - f(al 
x -a 
y = k . u => y' = k . u' 
y = u + v => v' = u' + v' 
y = u - v => y' = u' - v' 
Seja f: I .... Fl uma func§o de variavel real. 
e derivavel no ponto a E I, see somente se, 
existe um numero real d tal que: ~.:, 
1. DEFINICAO 
lim t(x) 
d) lim ..!J.!1= x-+a (se lim g(xl ;601 
x+a g(xl lim g(xl x ... a 
x-+a 
lim (1 + ..!..ix= e x . 
5. LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL 
x ... a x ... a x-+a 
cl lim [ f(xl . g(xl) = lim f(xl . lim g(xl 
lim ~ = 1 (x em radianos) 
x-+O x 
bl lim [f(x)-g(x)J= lim f(x)- lim g(xl 
x+a x-e a x +a 
4. LIMITE TRIGONOM.;TRICO 
FUNDAMENTAl. 
a) lim [f(xl +g(xl] = lim f(xl + lim g(xl 
x+a x+a x+a 
f e descontinua no ponto a E O(f) se, e so- 
mente se, ou ;f lim f(x) ou lim f(xl -=fo f(al. 
x+a x-+a 
7. OPERACOES 
Pode-se concluir que lim f(xl = b 
x+a 3. FUNCAO DESCONTllllUA 
lim h(xl=b x+a 
f Ii cont(nua no ponto a E 0 (f) se, e sornen- 
te se lim f(xl = f(al 
X-+8 
- 2. FUNCAO CONTl'NUA bl Sejam f, g eh tres funcaes tais que: g(xl,;;;; f(xl,;;;; h(x). Vx -=fo a lim g(x) = b x-+a e litn f(xl = -L x ... a lim f(xl = L x-+a+ 
al 0 limite de uma func§o f: A -+ IR, se 
existir e unico. 
L Ii o limite da func§o f, quando x tende ao 
ponto a, se, e somente se: 
6. PROPRIEDADES DOS LIMITES 1. LIMITE DE UMA FUNCAO 
x-++oo 
.... 
. cit 
J = 100 
(a, b, cl d inversamente proporcional a 
(m,n,pl se,esomeritese:a.m = b.n= c.p= k 
Se um capital C rende juros simples j ap6s 
um tempo t aplicado a uma taxa de i% entio: 
3. GRANDEZASINVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS 
5. JU ROS SIMPLES 
..!....=.!'_=~=k= a+b+c m n p m+n+p 
(a, b, cl 6 dii'etamente. proporcional a 
(m, n, pl se, e somente se: 
{100 + p)%. {100 +pl%. C = { 100+ P12. C 100 
Se um .capital C e aplicado a uma taxa de 
i% por perfodo ap6s t perfodos teremos um ju- 
ro composto j tal que 
j = c [ {100 + 1)%11 - 1) 
2, GRANDEZAS DIRETAMENtE 
PROPORCIONAIS 
Ap6s dois aumentos sucessivos de p% sobre 
C passamos a ter 
c) ..!_=~ => a+c =.J!..=_£_ b d b +d b . d 
d) ..!_= .s, => ~= ~= ~c:.. b d b d2 b.d 
b) ..!_ = ~ => a + b = c + d 
b d b d 
Ap6s um aumento de p% sobre c passamos 
ater{100+pl%.C= (l~;pl .C 
Ap6s um desconto de p% sobre C passa- 
mos a ter (100- p)%C = 1~~ P. C 
a) ..!_ = .£.... => a . d = b . c b d 
p% de C 11 _e_. C. . . 100 Sejam a; b, c e d numaros reais nio nulos. 
A;;;.G 
4. PORCENTAGEM 1. PROPORC(SES 
f'(al = 0 e f"(al > 0 =>a e ponto de m(nimo. 
f'(a) = 0 e f"(a) < 0 =>a e ponto de maximo. 
el A media aritmetica e sempre maior ou 
igual a media geometrica 
Se f: I-+ RI! deriv;ivel e f': I-+ Re tam- 
bl!m derivilvel, entio: 
l I, 
}__ 
l 
di Ml!dia Geoml!trica 
H = --------.....,.-- _1_+ _1_+ ._1_ 
X1 ~ ••• Xn 
n 
c) Ml!dia Harmonica 
p = X1 • P1 + X1 ' P2 + ... + Xn • Pn 
P1 +1>2 .+ · · ·:+"Pn 
bl Media ~ritmlftica Ponderada 
A = X1 + X1 + ... + lln 
n 
al Media Arltmetlca 
c) Pontes de M<iximo e Mfnimo Locais: dx dv 
v = fix) o x = r1 tvl ~ 
~ dx 
6. MEDIAS 
Se f: I -+. R E! derivllvel em JC I, entio: 
- f If estritameme cresceme em J se, e 
somente se, f'(x) >o para todo xE J. 
- f If estritamente decrescente em J se, 
e somente se, f'(xl < O para todo x E J. 
b) Fun~ MonotOnica {MonOtonal 
Prof. Andre 
Se a E I E! um oonto cr(tico de f entio: 
{ 
ou a Ii minimante 
OU a e maximante 
OU a e abseissa de ponto de inflexlio 
horizontal. 
i) Fun~ lnversa 
dy dy du Y= g [ f{xl ] => dX = dU. dX" 
A derivada de f no ponto a I! o coefici- 
ente angular da reta t, tangente a curva f no 
ponto P(a, f{a)I. 
A equacao da reta tangente a curva .f no 
ponto de abscissa a I! y- f{a) = f'{al . (x-a), 
Exemplo: 
Determine o ponto de maximo {ou mini- 
mo) de uma funcao quadratlca. 
f{xl=ax1·+bx+c {a¢01. 
f'(xl ;, 2ax + b = 0 => x = - ...!L. v 2a 
Yv =t{xvl =a. {- _b_l1 + b {- _b_f +c :. 
2a 2a 
b1 b1 b1 - 2b1 + 4ac y = -- - -- + c = -=-=---'---"'::.. v 4a 2a 4a 
t. 
4a 
e) lnterpretaesc Geoml!trica. 
f'(a) = 0 =>a e ponto de lnflexio horizontal. 
f'(a) * 0 => a 6 ponto de inflexio oblfqua. 
Seja f: I -+ R derivavel tal que f' e f" se- 
jam tambl!m<:lerivaveis. Se f"(al= 0 ef"'(al ¢0, 
entiio: Seja f : I -+ IR uma funcao derivavei. Um 
ponto a E I e chamado ponto crftico de he, e 
somente se, f'(al = 0. 
Y = g(ul • dy · du 
al Ponto crrtlco de f. 
di Pontos de lnflexlio: 4. APLICAcQES DE DERIVADAS · du u= f(xl => dx 
.,!.;._. 1~' .- ~~ .. ' 
Funqio Dominic lmagem I II Ill IV Par ou impar Periodo Sinais 
sen x fl [.-1 ; 1 ] t. \, \, t impar 2 1T ($ sen(-x) =-sen x 
cos x fl [ -1 ; 1 ] \, \, t r Par 2 7T. 
~ ~ cos x =cos (-x) 
tg x x,P~+n7r fl r r t t lmpar <. 1T @ ~ 2 tg(-x) =·-tg x ·-.- - \ 
sen x = ON 
cosx = OM 
tg x = AT 
(?o ciclo trigonoml!trico definimos:' 
B' 
A' 
la+n.360°1 
(nEZ) 
OU 
I a+n.27r I ® a A 
~ I! o conjunto de todos os arcos de ori- 
gem A e extremidade P. 
Conjunto das determina¢ies: 
5. ARCO TRIGONOp.,£TRICO 
6. FUNCOES TRIGONOM£TRICAS 
±a+n.·1ao0. 
±a+n.7r 
VI) 
a+n.7r/2 
a+n.90° 
V) 
A.I.) sec2 x = 1 + tg2 x 
A.II.) cossec2 x = 1 + cotg2 x 
F.V.) cossec x = ,......._l - sen x 
x \.\ sen x cosx tg x \ 
I 1T 1 .,ff V'3 :1)0 .1 - 2 2 3 I 6. 
I 
450. I 1T v'2 v'2 I 1 I 4 2 2 
I Y3 11)0 I 1T 1 Y3 I 3 -2 2 I 
3. VALORES NOTAVEIS 
Angulos complementares tdm co-tuneoes 
iguais. 
F.1.) sen2 x + cos2 x = 1 
F.11.) tg x =...!!!UL cos x 
F.111.) cotgx=-1-=~ tg x sen x 
F.IV.) secx=-1- cos x 
cossec B = -8- = sec C b 
· cotg B = _c_ = tg C 
. b -··· 
sec B = -8- = cossec C c ' 
tgB=l=cotgC c 
cosB=-c-=senC a . 
4. RELAC0ES FUNDAMENTAIS E AUXl- 
UARES 
Prof. 
sen B =-b-=cos C a 
(-t)n.a+n.180° 
(-1)n.a+n.7r 
±a+n.27r 
±a+ n. 360° 
a+n.7r · 
a+ n. 180° 
a+n.27r 
a+ n. 360° 
Casos Notaveis: 
""~ I) ®· .f-'1'.~" .-"-;· 
..... ~ 11) ffi A a 
Ill) iJ· 
Q 
.-t IVt eEj 0 A 
. . 
.- '--_,.._,..,.......,.......,.......,......._;...,.......,.......,.......,.......,.......,..._ ....... ,.......~,.......,.......,.......,.......,.......,.......,.......,.......,.........,,.,.,,,....... __ ,._,.......~~-.-......,,.......~~~...,.,,.,.,._......,..""""' ....... --.~,.......,.......~ 
tangente = cat. oposto 
cat. adjac. 
cat. adjac. 
hi pot. co-seno = 
seno = cat. oposto 
hipot. 
2. FUNCOES TRIGONOMtTRICAS NO 
TRIANGULO RETANGULO 
c 
comp (AB) Cll 
,,,,,---,~ 
" I I I I I Cll . : /:i_ __ A· 
I O r ' . I .. " ... ; ...... .,, 
Minuto (') -1- do grau 60 
Segundo(")= -· 1-. do minuto 
60 
Sinema Radiano 
-1- do angulo reto 90 
· Sinema Grau 
Grau (0) 
1. MEDIDAS DE ARCOS E ANGULOS 
.A. 
a2 = b2 + c2 -2 .b .c.eos A 
b2 =a2 +c2 -2.a.c.cosB 
c2 = a2 + If - 2 .a .b .cos C 
l 
II. Lei dos Conenos 
0 quadrado de um lado.e a soma dos qua- 
drados dos !ados restantes, menos o duplo pro- 
duto des$!!$ dois lados pelo co-seno do angulo 
que eles forrnam 
r;-=_b_=_c_=2 R I '"SeilJC sen B sen C 
I. Lei dos Senos 
As medidas dos !ados siio proporcionais aos 
senos dos angulos opostos e . a constante de 
proporcionalidade t! a rnedida do diametro da 
circunferencia circunscrita. 
h 
__ h 
14. RELAC0ES NUM TRIANGULO 
OUALQUER 
sen p - sen q = 2 . cos ( ~ l . sen ( E..::_g_2- ) . 2 
sen p + sen q = 2 . sen ( P ; q ) . cos ( P ; 9 ) 
cos p + cos q = 2 . cos ( p ; q ) . cos ( p ; q ) 
~s p - cos q = -2 . sen ( P ; q I . se~ ( p; 9 I 
13. TRANSFORMACAO .EM PRODUTO 
A partir de: 
I) cos (a+ b) =cos a. cosb- sena. senb 
_II) cos (a~ b) = cos a. cos+ sen a. senb 
·11.11 sen (a+ bl= sen a. cosb + cosa. senb 
IV) sen (a - b) =sen a. cosb- cosa. senb 
obtern-se 
I+ 11:. cos(a +bl +cos(a - b) =2.cosa.cosb 
1-11: cos(a+b)-cos(a-b)=-2.sena.senb 
lll+IV; sen(a+b)+sen(a-b)=2.sena.cosb 
111- IV: sen(a +-b) - sen(a-b) = 2. cosa. senb 
12. FORMULAS DE REVERSAO (WERNER) 
sen( 3 . a) = 3 . sen a - 4 . sen3 a 
cos(3. a)·= 4. cos3a - 3. cos a 
11. ARCO TR.IPLO 
tg (2 . a) = 2 . tg a 
1 - tg2 a 
sen(2 . a) = 2 . sen a . cos a 
cos (2 .a)= cos2 a - sen2 a = 
= 2 cola - 1 = 1. - 2 -sen2 a 
10. ARCO DUPLO 
tg (a ±bl= tga ±tg b 
1 +tga.tgb 
sen (a ± b) =sen a . cos b ±cos a . sen b 
cos (a ± b) = cos a . cos b +sen a . sen b 
9. ADICAO E SUBTRACAO DE ARCOS 
Prof. Andre 
. -1112 
x 
_______ !fl]--------- 
y 
cl A funcao inversa da fu~o 
f : ] - ; ; ; [ -+ A t.q. f(xl = tg x 6 
1-1 : IR -+ ] -..!!....; .!!.. [ t.q. 1-1 (xi = arc tg x. 2 2 
x 
y 
x 0 -1 
y 
al A funi;:ao inversa da .funcao 
f : [ O ; rr ] -+ [ -1 ; 1 ] t.q. f(xl = cos x 6: r-1 :[-1 ;1]-+ [O;rr]t.q.f-1(x)=arccosx 
8. FUNCOESINVERSAS 
b) G raficamente ocorrem as segu intes 111&1· 
dancas: 
I) 0 grafico da fun~o mbe K se K > 0 ou 
desce K seK <O. 
II) O grl!fico da fun~o deforma-se na verti- 
cal (abre ou fecha). Se K < 0 o gr;lfico tamMm 
gira em 1aoo em torno do eixo x. 
111) o grafico desloca-se K, para a asquerda 
se K > 0 ou para a direita se K < 0. 
IV) O grafico deforma-se na horizontal 
(abre ou fecha), devldo a muda114;3 do per(odo. 
bl - A fum;io inversa da fulll;io 
f : [ -!!.....; .!!... ] -+ ( -1; 1 ] t.q. f(xl = senx t! 2 2 . 
r1: (-1; 1)-+ [-; ; ; ] t.q. r1 (xi= ere sen x 
P=p 
P=-p- 
1 KI 
Ill) Y = f(x +Kl entio 
IV) Y = f(K. xi entiio 
I I 
7-. VARIACAO DO PERiODO DE UMA FUN· 
cAo 
al Seja y = f(xl de perfodo p 
e Y de perfodo P 
I) Y = K + f(x) entio P = p 
111 Y = K . f( x) entiio P = p 
1371'12 x 
I 
I 
-tr/2 
y=tg x 
y=cosx 
Y~Yo =m(x-xo) (mER) . ou ·X~ 
m1 =mi e h1 * h2 - re s paralelas 
m1 = m2 e h1 = h2 - res coincidentes 
m1 '* m2 ._ i- e s concorrentes 
m1 = - -1- ._ re s perpendicularas 
mi 
x 
8.6. POSl(:AO RELATIVA DE DUAS RETAS 
• r:v=m1x+_h1. 
s:y=mix+hi 
• Falxe de Retas Concorrantas de Centro 
CIXo. Vol v 
x 
...!!_ = ~ * ~ - re s paralelas 
82 b2 Ci 
...!!_ = ...£i. = .EL - re s coincidentes 
iii b2 Ci 
...!!_ #- .EL - r e s concorrentes 
iii b2 - . 
81 .32 +b1 .~ "",O<>r es perpendiculares 
8.7. FEIXE DE RET AS·_ 
• Feixe de Retas Paralel• 
r : ax + by + c ,;, O entao o feixe lie retas 
paralelas a r terd equa\:io ax + by + K = 0 
(KER). . Y 
P(p;OI 
·8.5. EOUACAOSEGMENTARIA 
y 
O(O;q) 
m = - _a_ coef. angular 
b 
h = - _c_ coef. linear 
·•·- r : a1 x + b1 y + c1 = 0 
s :82x + b2Y+c2· =O 
Prof. Andre 
As coordenadas do ponto de intersec\:io . 
sao as solucoes do sistema 
{
f(x; y) = 0 
g(x;y) = 0 
fJ = arctg m 
x 
f(x;y) = 0 
g(x;y) = 0 
f(x;yl=O 
7. INTERSEC(:AO DE CURVAS 
v 
I y=mx~ 
8.4. EQUACAO REDUZIDA 
v 
D = O - A, e, C sao colineares 
D*O-A B Cformamtria ulo 
x 
4, AUNHAMENTO DE 3 PONTOS 
Sejam: 
A(xA,yA)l lxA YA 
B(x9. Y9l J e D = Xs Ys 
Clxc· vcJ xc Ye 
I 
YM _ ....... "'' i YM= 
I 
YA A !IM( 
xA +xe 
I 
I 2 
XA XM X9 x 
6. AREA DO TRIANGULO 
Area do triiingulo = +~ 
6. INTERCEPTOS 
Obtem;io de: 
Ix ..,. toma-se v = 0 em v = f(x) 
ly -+ toma-se x = 0 em y = f(x) 
v 
ly(O;y) 
Ponto Medio: 
y e 
Ya - - - - - - 
x 
B Va ' - - -: - ;I_~--------~ • rl , 1 Note que: 
Ye, '- ~/ c'' i a) CinternoaAe-r> 0 
\ I I I VA. - · i b) C externo a AB - r < 0 
Ai I i L-----------' 
y 
A(xA,yA)l x y 1 ..XA YA 1 =O=o> e<xe, Yel J Xe Ye 1 
"°' ax+by+c=O 
8.3. EQUACAO"GERAL 
v 
8. ESTUDO DA RETA 
8.1. EOUA(:AO DA RETA 
ax +by+ c = o a e b nlo simultaneamente·nulos. 
a = 0 • y.,:z;;;-. _c_ "°' Y = K Reta horizontal I b=O• x=\:. 7 •x =KI Reta vertical 
I c = 0 "°'ax+ by= 0 I Reta passa pela origem 
8.2. DECLIVIDADE 
{ 
-+ Xc-XA 
r=~ em Ox :r = ~B __ ~xc 
CB -+ Ye-YA em Oy :r= 
Ye -Ye 
... 
3. RAZAO DE SEC(:AO 
--+_ ......... _...., __ x 
Xe ··:....... 
2. DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS 
·1 dAe =J (xe - xA)2 +(ye - yA)2 I 
y ::-~fayJ 
·-;... - idx) . I I ! ! 
! x<O x>u] x ! v<O y_2_~ 
P(x, y) •·-·-·-·- P(x, y) 
P(x,y) ... ·-·-·-· 
i x<o i y>o 
y ordenadas 
P(x,y) ·-·-·-· x>Oi 
Y > O ; abscissas 
1, COORDENADAS CARTESIANAS NO 
PLANO 
(x - gl2 + (y- hi~ _ __ b_2_ __a_2_ - 
(x-9)2 (y-h)2 
·--a-2- + b2 
L l 
L 
~· 
Observac;io: 
Se o centro da elipse for o ponto C(g; h) en- 
tio as equar;:Oes A e B transformar-se-io em: 
• Relai;:iio entre os coeficientes 
Eixomaior: A1A2 =2a} 
Eixomenor: B1B2=2b =>la2=b2+t2I 
Distancia focal: F 1 F2 = 2f 
x2 y2 --+--=1 b2 a2 
x 
Bl 
Prof. Andre 
x 
v 
• Eq.uai;io Reduzida 
Al 
10. ESTUOO DA ELIPSE 
• Defini~ 
Dados dois pontos F 1 e F2 (focos) e um 
segmento de medida 2a, denomina-se E LIPSE 
ao L.G. dos pontos do piano tais que: I PF1+PF2=2a 
secantes <=> s» 0 
tangentes - !:i. = 0 exteriores <=> s« 0 
recai-se numa equac;io do 2? grau de discrimi- 
nante !:i.. A reta ea circunferancia serio: 
Resolvendo o sistema 
{
ax+ by -t- c = 0 
x2 + y2 + mx -t- ny + p 0 
9.5. POSICAO .RELATIVA DE RETA E CIR· 
CUNFEReNCIA . 
flx.o.ro l =O 
' ' ' 
9.4. POSICAO DE UM PONTO EM RELACAO 
A UMA CIRCUNFEReNCIA 
Sejam x2 + y2 + mx + ny + p = O a equa- 
i;:iio de uma circunferencia e P(x0, y0) um pon- 
to qualquer. Seja, amda, 
f(xo, Yol = x~ + Y~ -t- m. X0 + n. Yo+ p 
A posicao do ponto P em relaciio ll ~ircunfe- 
rencia e determinada pelo valor de f(x0, y 0). 
Assim: 
f(x0, Yol = 0 <=> P pertence ll circunferencia 
f(Xo. Yol > 0 - P externo Ii circunferencia 
f(x0, y0) < 0 <=> P interno i citcunferencia 
Observacio: 
a) Se a2 + bl - p = 0 a equai;:iio representa ape- 
nas o ponto C(a, bl. . . 
b) Se al -t- b2 - p < O o conjunto verdade da 
equacio e o conjunto vazio. 
e raio r = J 12 + b2 - p0 
se, e somente se : 
al Os coeficientes de x2 e yl forem iguais e nao 
nulos. Podemos sempre supor que·sejam am- 
bos iguais a 1. 
bl "Nlo existir" o termo em xv, ou seja k = O. 
c) r2 = a2 + b2 - p > 0 . 
b=- ..!!... 2 • e com a= - ..!!!.. 2 C(a,bl, 
sera a equacao de uma ckcunferencia de centro 
A equacio do segundo grau 
, x2 + y2 + k . xy + mx +- ny + p = 0 
9.3.EQUACAO DO z<? GRAU E A CIRCUN- 
FEReNCIA 
92. EQUACAO GERAL (ou Normal) 
Desenvolvendo-se (I), obtemos: I x2 +y7- -2ax~2by+p=O 
x2 -t- Y2 = r2 I sera: 
Caso particular 
Se o centro da circunferencia for a origem 
do sisterna cartesiano entio C(O, 0) ea equai;:iio 
@. r P(x, yl 
y 
FICHA 33 ---· Prof. 
• 
A equac;io· da circunferencia de centro 
C(a, b) e raio re: 
~I (_x .: a_)_2- ... -_-(y---b-)2_=_r~2 j (I) 
9. ESTUDO DA CIRCUNFERENCIA 
9.1. EQUACAO CARTESIANA (ou reduzida) 
x 
d = I c - c' I 
~ 
Dadas as retas paralelas 
{
r: a . x + b ." y + c = 0 
s: a. x + b. y + c' = O, temos: 
8.10 DIST~NCIA ENT RE DUAS RET AS 
x 
I a. xp + b. Yp + c I .rs:: d= 
.. p 
/ 
y 
8.9. DISTANCIA DE PONTO A RETA 
Dado o ponto: P(xp. Yp) e a reta 
r : ax + by + c = 0, temos: 
x 
m -m l tg IJ = s r 
1 +m5.m, 
Conhecidos os coeficientes angulares mr e 
m5, temos: 
ty 
8.8. ANGULO ENTRE DUAS RETAS 
A'IATEMATICA 
la=y+z I {J=x+z J 'Y=x+y J 
I a + (3 + 'Y = 3so0 
a) Rela.,:6e$ Angulares 
I x + v + z = 1 ao0 I 
Ouan11> aos Quan11> aos 
lados Angulo• 
6 6 
aqui16taro acutlngulo 
6 ~ 
is6sceles retAngulo 
I~ ~ I escaleno obtusAngulo .· 
c) Classifica~o 
a B 
b) Condi.,:Ges de ExistAncia 
j a<b+c I b<a+clc<a+b 
a) Angulos Correspond~es: j r Os <=> 1:1: = a j 
Analogamente: (3 = b; 'Y = c; o = d 
a 
~ 
I) .. 
"( 
c 
r//s 
2. PARALELISMO b 
3. TRIANGULOS 
cl Angulos Colaterais:~~ + d = 1so0j 
Analogamente: (3 + c='Y + b-= o1+ a= 180° 
b) Angulos Alternos: Ir/ls <=> a= c I 
Analogamente: (3 = d; 'Y =a; o = b 
nio convexa convexa 
YA, BER} 
•ArlCR 3C,DESICois 
A*B 
.'·'"'-\ 
1. REGIAO CONVEXA E NAO CONVEXA 
xl =-4. f. v I 
----,- 
~ 
I x2 = 4. t. v 
x x 
-----~ . I v=t I 
v y C) B) 
PF= Pr 
• Defini.,:io 
Dado um ponto F (foco) e uma reta r (di· 
retriz), denomina-se PARABOLA ao L.G. dos 
pontos do piano eqliidistantes de F e de r. 
12. ESTUDO DA PARABOLA 
I v2 =-4.f.x I v2 =4.f.x 1 
I 
I ( 
I x =-t I 
(x - 9)2 , = 1 
b2 
(y- h)2 --.a-2- - 
r x· 
I I 
I 
I ) 
~ 
' r 
(y- h)2 
--b2- =1 (x - 9)2 __ a_2_ - 
2) Se o centro da hiperbole for o ponto 
C(g; h) as equacoes A e B transtormar-se-so em: 
y y 
item B v= ± ~. x 
b 
• Equa.,:io Reduzida 
A) 
item A v=±_E_.x a 
Observac;Oes: 
1) As equacdes das assintotas dahiper- 
bole com centro C(O; 0) sao: 
,'.4:.,_'• ----------------- 
~-L=1 a b2 
B) 
2· 2 _x __ ..L...= 1 
az b2 
11. ESTUDO DA HIP!:RBOLE 
• Defi ni i;io 
Dados dois pontos F 1 e F2 (focos) e um 
segrilento de medida 2a, denomina-se HIPtR· 
BO LE ao L.G. dos pontos do piano tals que: 
j lPF1 -PF2 1=2a J 
• Equ~o Recluzida 
A) , 
• Q= R" 
• a=r=R../3 2 
c) Hexagono Regular 
• Seis triangulos 
equilateros 
sn 
·. ·. ·. ·. ·. ·. ·.·.·:. ·. ·.·.::.. ·:::::::::~/ .......... ,. 
Q :>~:~·:i: 
b) Quadrado 
• d e diagonal 
• d=2R 
• d=£v2 
• a=r=-2- 2 
l!/2 sn 
• Os quatro pontos notaveis eoinci- 
dem (B = I = C = 0) 
• a=r= ~ 2 
• h=R+r 
• h= l!v'°3 
2 
b) Se P for interno 
a circunferencia' .entao: I PA. PB= PC. PD I 
~ L l 
a) Tritingul«>.;J~qiiilatero 
..!> Seja R o raio da circunferencia circunscri- 
ta, r o raio da inscrita, 2 o lado do pol(gono e 
a oap6tema. 
P ... ;;::::_------e:- T --- a) Se P for externo '<".:-._--~ --~ 8 a circunferencia, entao: 'c <, -- -- 
I PA.PB=PC.PD= PT2j '-0--. 
12. POTENCJA DE PONTO 
13. POLIC30NOS REGULARES ,- • 
CENTRAL a=A8 @: 
~- ....... INSCRITO {J=~=~ ' 2 2 ,. 
e1 r=A8+@ c EXC£NTRICO r INTERIOR ' 2 -, 
EXC£NTRICO """""' ,,.... -~ s= AB -CD EXTERIOR 2 -8------ 
11. ANGULOS NA CIRCUNFERt:NCIA 
lnc:entro Baricentro 
10. PONTOS NOTAVEIS DO TRIANGULO 
(BICO) 
Calculando m em fun~o deb e cos A obte- 
mos, em ambos os casos, o teorema do~ co-senos: 
a1 = b2 + c2 ·._ 2bc cos A 
a2 = b2 + c2 + 2mc 
~-----------~ B 
RELAC0ES Mt:TRICAS NUM TRIANGU· 
LOQUALQUER 
·9. 
Prof. Andre 
•b.c=a.h 
A • b2·= a. m: 
• a2 = b2 + c2 (Teorema de Pttagor11) 
8. RELAC()ES M~TRICAS NOS TRIAN- 
GULOS RETANGULOS 
AA"' LLL'V I LAL 'V cl Criterios: 
b) 6.ABC"" 6.MNP .... Area (6.ABC) = k2 Area (llMNP) 
AB 
BS 
·- { A ~ M, 8 ~ N, c ~I> a) 6. ABC "" 6. MNP <=> AB BC AC 
MN NP= MP = k 
~I I AS e' bissetriz - 
6. TEO REMA DA BISSETRIZ 
r//sllt//ull ... =>- AB = ~ = ~ = ... RS ST TU 
R r II s s s II t 
T t // u 
u u II ... 
7. SEMELHANCADE TRIANGULOS 
Prof. Andre 
5. TEOREMADE TALES 
b) Cada angulo externo vale: 3600 n 
(n-2)·180° a) Cada angulo interno vale:-'-'--=-"-"""-- 
Seo pol(gono for regular entao 
4. POLIGONOS CONVEXOS DE n LADOS 
e d= n(n2-3) A10A, A, A• 
• Si = (n - 2) . 180° ; 
• Se= 3600 A ----- n ~--- 
As 
ALA LAL 
~~· ~~ 
LLL LAA0 
~~ ~~ 
d) Criterios de Congru4ncia 
MATEMATICA 
d) Tetraedro Regular 
H= av'& 
3 
AT=a2..f3 
V= a3...f2 
12 
• 92 = H2 + a2 
• 22:: H2 + R2 
• A8=p.a 
• AL=p.g 
• V= _E.!1!. 3 
po semi per(metro da base 
a o apetsma da baseR o ralo da circunscrita 
g o ap6tema latera I 
2 a aresta lateral, tem-se: 
c) Pirimide Regular 
E a piriimide reta cuja base 6 urn pol(gono 
regular. -, · - " 
Senclo: 
Prof. Andr~ 
Segmento Circular: 
s=...&..JL -SMAB 2 
s=....L!L 2 
Setor Circular: 
Coroa Circular 
S=1T(R2 - r2) 
(]
A 
\; 
\, j' 
. B 
() \ on •"' I , • ' . 
Area do circulo: 
S = 7TR 2 
Comprimento da circunt.: 
2=27TR 
c) Figuras Circulares 
. Quadrado: 
S=22 =L 2 
~l 
I D 
Losailgo: 
s = ...!Ll!... 2 
a) Piramide ~eta e Piramide Obl(qua 
a 
2. PIRAMIDES 
e AT =6a2 
e V=a3 
e D=afi 
e) Cubo 
Retangulo: 
S=ab 
s=..!L..L 2 
Trapezio: 
S = (B + !!L..!J... 
2 
b 
Paralelogramo: 
S=bh 
b 
b) auadrilateros Notaveis · 
b) Area e Volume 
~ 
S = y'p(p - a) (p- b) (p - cl a .- ·: :::::·::'.:: .. c . - .. :·:.':' .·~·.':· .. ·. f6rmula de H1erao ~ 
b 
22../3 S=--- 4 
Diagonal: D = .../ a2 + b2 + c2 
8 
d) Peralelep(pedo Reto-Ret8ngulo 
IAT=AL+2Ae IV=Ag.H 
c) Prima Regular 
i; o prisma reto cujas bases sao polfgonos 
regulares. 
bi Area e Volume 
1. PRISMAS 
a)· Prisma Reto e Prisma Oblrquo 
........... 
<"-< MATEMATICA 
S= p. r 
~ 
b 
. a~ 
~ 
b 
S= a b-c 
.4R 
S= ab.sena 
2 
S= ...!L..!l. 2 
a) Triangulos 
Sendo R o raio da circunfertincia eircuns- 
crita, r o da in~rita e p = a+ b +.c o semipe- 
2 
rimetro, a area de um triiingulo pode ser caleu- 
lada das seguintes formas: 
12. AREAS DA:.. FIGURAS PLANAS 
-- 
'--~~~~~~~~~~~~~~~~~-~-;~.~~~~~~~~~~~~~----~__,~ 
'· 
e) Anel Esferico 
• A rotai;So do segmento circular em tor. 
no do eixo e gera o anel esft!rico cujo volume e: 
V= ~rrR2 H 3 . 
dl Setor Esferico 
'• A rotacao do setor circular em torno do 
eixo e gera o setor esferic:O cujo volume e: 
b) DeCone 
• 92 = H2 + (R - r)2 
• AL = rr (R + rl g 
• V = ~ (R2 + r2 + Rrl 3 
a) De Piramide 
• A,- =AL + AB + Ab 
• V= ~ l'\+'\,+VA8Ab 
iH 
I 
I 
I 
I 
' 
6. TRONCOS DE BASES 
PARALELAS 
(Area da Base) . Altura 
3 Volume= 
bl Para s61idos "com ponta'; coma pirami· 
·dee cone,tem-se: 
- I Volume= (Area da base) . Altur.a 
al Para s61idos de "seccao constante" tais 
coma cilindro, prisma, etc., tem-se: 
• V = ~ (3r2 + H2 l seg 6 
• Acalota = 2 rr R H 
- 
5. LEMBRETE 
• Fa:zendo 
r1 = 0 obternos a 
calota esft!rica e o 
segmento esferico 
de uma base. 
d) Calota Esferica e Segmento Esferico de 
umabase 
• Vseg.= !!.SH (3r2 +3rj +.H2) 
esft!rico e o s61ido 
limitado pela zona 
esft!rica. 
cl Zona Esferica .e Segmento Esferico de 
duas bases 
• Zona Esferica e parte da superflcie esfe· 
rica. i: a "easea". 
.;..- / , 
• Pela regrade tres / _ ',, 
{
. ~60o ~ rr R3 r,_ 
" __ __,.,.V cunha \ -- 
obtemos: I V cunha = ~ , ,,,_ 
esfera. i: o "gorilo-da laranja". 
obtemos: .1 Atuso = * 
• A cunha esferica e um s61ido. i: parte da 
• Pela regra de tres 
{ 
~Oo--- ... 4rrR2 
" .,. Atuso 
bl Fuso Esft!rico e Cunha Esft!rica 
• 0 fuso esferico de angu lo equatoria I a 
(em grausl e parte da superf(cie esft!rica .. i: a 
"casca do gomo da laranja". 
7. ESFERA E SUAS PART ES 
al Superffoie Esferica e Ester~ 
• .Area da superffcie esft!rica I A=4;-;;-1 . 
• Volume da esfera I V = -i-rr R3 I 
Prof. 
g = 2R 
cl Cone EqGilatero 
i: aquele cuja seci;;ao meridiana e um trian- 
gulo equilatero. 
• sf= R2 + H2 
• AB= rr R2 
• AL =rr Rg 
• AT=rr R (g+Rl 
• V= rr R2 H B ~ 
• .0 triiingulo isosceles VAB ea ~o me· 
ridiana · 
v g=H 
bl Cone Reto 
i: aquele em que a projei;;ao ortogonal do 
vertice v e 0 centro 0 da base 
v v 
4. CONES 
al Cone 
/ 
H=2R 
cl Cilindro Eqiiilatero 
i: aquele cuja seccao me- 
ridiana e um quadrado 
• A seci;;ao meridiana e 
um retangulo 
A D 
' 
bl Cilindro Reio 
• AB= rr R2 
• AL= 2 rr RH 
• AT= 2 rr R (R + Hl 
• V =rr R2 H 
al Cilindro Obltquc 
• AT= AL +2 A8 
• V= A8 .H 
• 0 paralelogramo 
ABCD e a seci;:a'o meridiana 
""'""' ''"oi;fl' I 
I 
I :H 
I 
I 
WifM.W-- - - _ci 
3. CILINDROS 
{J VLAS O>E Mk-J} l=JS / (QU l 
qJoq-gb62 f 
lcosaedro Regular 
• faces triangulares 
• V = 12; A= 30; F = 26 
' 0 . ' 
Oodecaedro Regular 
• faces pentagonais 
• V = 20; A = 30; F = 12 
Octaedro Riigular 
• · faces triangulares 
• V = 6; A= 12; F = 8 
onde: 
• "A. quantidade de arestas nos vertices e 
constante. 
• A qu~ntidade de lades nas faces e cons· 
tante. 
Existem somente 5 poliedros de Platso: Te- 
traedro, Hexaedro, Octaedro, Oodecaedro e 
lcosaedro (THODI). 
• Em todo poliedro Euleriano (V-A+f =2) 
a soma de todos os angu las de todas as faces e 
360~ (V -2). . 
c) Poliedros de Platiib 
i: todo poliedro Euleriano (V '-A+ F = 2) 
b) Superf(cies Polledrieas Fechadas 
• Para todo poliedro convexo e para al- 
guns poliedros niio convexos e valida a seguinte 
relacao: I V - A+ F = 2 (Euler) I 
No Poliedro da figura temos·:®i L-~ 
V=13,A=21ef=10 ..--··· -c ••• 
V-A-t-F=13-21-t-10=-2 
V-A+f=1 
Hexaedro Regular 
ou Cubo 
• faces quadrangulares 
• V = 8; A= 12; F = 6 
xas e v a Iida a se- 
guinte relac;iio: 
P s//r ------~----.-- 
Tetraedro Regular 
• faces triangulares . 
• V = 4; A= 6; F = 4 
/)'.~\ • .. w1y / y 
e) Poliedros Regulares 
Silo poliedros de Platiio cujas faces silo 
pollgonos regulares. Siio eles: 
Por P e unico o 
piano 13 paralelo a a 
Por P e (mica a re- 
ta s paralel.a a r 
Sendo V o nurnero de vertices, A o nu· 
mero ;de arestas e F o numero de faces, para as 
soperf1'cies poliedricas convexas abertas e cone, 
a) Superf(cies Poli6dricas Abertas 
5. SUPERFICIES POLllODRICAS E 
POLIEDROS 
a, b e c siio arestas 
O!, Pe 'Y silo faces 
d1,d2 e d3 sio diedros (angulosentre faces). 
Silo validas as seguintes desigualdades: 
• 00<0!+/3+1< 3600 
• l/3-1l<a<i3+'Y 
• 180° < d1 + d2 + d3 < 5400 
• d, + 1800> d2 +.d3 
c b 
b a 
4. DIEDROS E TRIEDROS 
v 
~· 
gl Das Tres Perpendiculares 
rsl:~e::pj=-JRciit,¥ RE rl ,--i~~.....,_- 
tls, em a 
a* p ~~a--+-~-~ 
• Se uma reta forma an- 
~ 
gulo reto com duas concorren- 
tes de um piano entao ela e • 
r 
perpendicular ao piano. 
• Se um piano conrern .r. uma reta perpendicular a ou- tro piano entao os dois pianos silo perpendiculares. 
f) Do Perpendicularismo 
e Se uma reta nao conti- sHr s#a 
da em um piano e paralela a 
uma reta do piano entao ela e /~----;-/ 
paralela ao piano . 
• Se um piano cont em ~:; duas retas concorrentes entre 
si e paralelas a outro piano en- / a/ tao os pianos s8o paralelos. 
c} Da lnclusao 
Se. dois pontos distintos de uma reta per· 
tencem a um piano, a reta estli contida nesse 
piano. 
d) Da U.nicldade 
... /A• •C "/" ~:pl 
Tres pontos nao Uma reta e um ponto 
colineares nao pertencente a ela 
/><'! ~1' 
Duas retas Duas retas 
concorrentes paralelas distintas - 
e) Do Paralelismo 
. Prof. Andre 
2. PRINCIPAIS POSTULADOS E TEORE· 
MAS -- 
al Da Determina9fo da Reta 
Dois pontos distintos determinam uma reta 
b) Da Determinac;iio de Pianos 
Prof. Andre 
;~ .. 
Sec antes 
. 
' / 
' 
anfj=r 
Paralelos Paralelos 
Coincidentes Distintos 
. p:;;;;:;;-; I a .. ,. ·.·.· ./ 
~ /}·::·,:-::::/ 
a=P an(j=rp 
cl Entre Pianos 
0$0 
rna=r rna={~} rna=q, 
b) Entre Reta e Plano 
~a:> r,s rns={P} 
Revers as Concorrentes 
r Ca; s Ca; r n s = q, 
Paralelas Dlstlntes Paralelas Coinciden11!s 
1. PoSICOES RELATIVAS 
al Eritre Re~ ' .